第5章 函数的概念、性质及应用（核心素养提升+过关检测）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第一册）

第5章 函数的概念、性质及应用（核心素养提升+过关检测） 知识点01函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 一般地，设D是非空的实数集，且对D中任意给定的实数x，按照某种确定法则，都有唯一确定的实数值y与之对应，则这种对应关系称为集合D上的一个函数；记作：y＝f(x)，x∈D. 其中x叫做自变量，其取值范围（数集D）称为 该函数的定义域； 值域 对于自变量x0,由法则f所确定的x0所对应的值y0，称为函数在x0处的函数值，记作y0=f(x0)； 所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈D}称为这个函数的值域； 知识点02 函数相关概念 相同函数 如果两个函数的定义域和对应法则都完全一致，就称这两个函数是相同的.（同一个对应法则可能有不同的表述形式）； 函数的解析法 用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应法则，这种表示函数的方法称为解析法； 函数的列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表达函数关系的方法 函数的图像法 对于函数；由（其中）的全体组成的集合叫做函数图像； 分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数； 要点01 对函数概念的理解 （1）对数集的要求：集合A，B为非空数集； （2）任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性； （3）对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样； （4）一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值； （5）函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可； 要点02 掌握函数定义域的求法 （1）若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零； （2）若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零； （3）若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合； （4）若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集； （5）若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义； 要点03 注意函数相等问题的3个易错点 （1）函数值域是由定义域和对应关系决定的．因此判断两个函数是否相等，看定义域和对应关系即可； （2）当两个函数的对应关系和值域分别相等时，这两个函数不一定相等； （3）若两个函数只是自变量用的字母不同，则这两个函数相等；例如，函数f(x)＝x2，x∈R与函数f(t)＝t2，t∈R是相等函数． 要点04 掌握求函数值域的常用方法的4种方法 （1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； （2）配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法； （3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； （4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域； 要点05 掌握求函数解析式的方法的4种方法 （1）直接法(代入法)：已知f(x)的解析式，求f[g(x)]的解析式，直接将g(x)代入即可； （2）待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式； （3）换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，从而求出f(x)； （4）解方程组法或消元法：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做解方程组法或消元法； 要点06 注意描点法画函数图像的3个关注点 （1）画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； （2）图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像； （3）要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点； 要点07 理解分段函数的理解关注2个易错点 （1）分段函数是一个函数而非几个函数：分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集； （2）分段函数的图像应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况； 知识点03 函数的奇偶性 1.函数奇偶性的定义 【奇函数】 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 解题方法点拨： ①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x 那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x 【偶函数】 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 解题方法点拨： ①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？ ②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点． 2.奇、偶函数图像的特征 奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n． 【解题方法点拨】 由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值． 解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数， 那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4 3.具备奇偶性的函数的单调性的特点 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 参照奇偶函数的性质那一考点，有： ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反 知识点04.函数的单调性 1.函数的单调性概念 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 2.函数的单调区间 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间． 知识点05.函数的最大值、最小值 函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围． 【解题方法点拨】 求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种： ①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8； ②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2； 知识点06 函数的零点 1.方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 2.二次函数的零点 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 3.二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 4.函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 知识点07 一元二次方程根的分布与方程系数的关系 （1）设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是： ①当x1＜x2＜k时，有； ②当k＜x1＜x2时，有； ③当x1＜k＜x2时，； ④当x1，x2∈（k1，k2）时，有； ⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有． 知识点08 用二分法求函数的零点 1.二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中. 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度. 要点诠释： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根 知识点09 反函数 1、反函数定义 一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=。在习惯上，自变量用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为 2、关于反函数的结论 （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域， （2）互为反函数的两个函数y=f(x)与图像关于直线y=x对称；若点M（a，b）在y=f(x)的图像上，则点(b,a)必在图像上； （3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,除外，其中c为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数； （4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如； （5）y=f(x)与互为反函数，设f(x)定义域为D，值域为A，则有f[]=x, ; （6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身； （7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应； （8）x=f(y), ,与函数y=f(x)的比较； 函数 自变量 图像 x=f(y) y是自变量 与y=f(x)的图像关于y=x 对称 y是自变量 和y=f(x)的图像相同 x是自变量 和y=f(x)的图像关于直线y=x 对称 （9）y=f(x)与图像若有公共点，并非一定在y=x上，例如：f(x)=与有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x对称 3、求反函数的步骤 （1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由y=(x)解出； （3）改写：在中，将x,y互换得到； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。 题型一： 函数的定义域问题 1．（2023上·上海·高一专题练习）与为同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】由题意可知：的定义域为， 但的定义域为，、的定义域均为， 故ACD错误； 的定义域为，且，所以与是同一个函数，故B正确； 故选：B. 2．（2023下·上海杨浦·高一上海市控江中学校考开学考试）函数的定义域是 . 【答案】 【详解】要使函数有意义则： ， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 题型二： 函数的值域问题 1．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）函数的值域为 ． 【答案】 【详解】由， 又，则，则，所以， 故函数的值域为． 故答案为：． 2．（2023上·高一课时练习）函数的值域是 ． 【答案】 【详解】函数有意义，则，解得且， 显然，则，由，得， 所以函数的值域是． 故答案为： 3．（2023上·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）已知定义域为R的函数，，若对任意，均有，则称是S关联． (1)判断函数是否是关联，并说明理由： (2)若是关联，当时，，解不等式：； (3)判断“是关联”是“是关联”的什么条件?试证明你的结论． 【详解】（1）函数是关联，证明如下： 任取R，若，则， 所以函数是关联； 函数不是关联，证明如下：： 若，则， 所以函数不是关联； （2）因是关联，则，有，即， 当时，，而， 即，解得或，所以不等式的解集为或， 当时，， 所以当时，， 而，得，解得，所以不等式的解集为， 当时，或当时，，此时不等式无解； 综上得或， 所以不等式的解集为或，. （3）“是关联”是“是关联”的必要不充分条件，证明如下， 易得函数是关联，但时，所以函数不是关联； 所以充分性不成立； 当函数是关联时，即，， 则有，，即有， 又，则有，于是得， 从而得，即函数是{2}关联； 所以“是关联”是“是关联”的必要不充分条件. 题型三： 函数的单调性与单调区间问题 1．（2023上·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）已知函数（为常数）．若在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】依题意，函数，显然函数在上单调递减，在上单调递增， 因为在区间上单调增函数，因此，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 2．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）函数的增区间为 ． 【答案】 【详解】若的单调递增区间为， 任取，， 因为，，可得恒成立， 即，解得或（舍去）， 所以函数的增区间为． 故答案为： 3．（2023上·上海·高一复旦附中校考期中）已知，若实数a、b、c、d满足，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，，且在上单调递减， 因为，所以， 所以， 因为在上单调递减，， ， ，， 所以. 故答案为：. 题型四： 函数模型的建立 1．（2023上·上海·高一华师大二附中校考期中）如图，现要将矩形花坛扩建为更大的矩形花坛，使得点在对角线上．已知长3米，长2米．    (1)设长米，试用表示矩形的面积； (2)求矩形的面积的最小值，并指出取到最小值时的长度． 【答案】(1) (2)矩形的面积的最小值为，此时. 【详解】（1），故，故， ； （2）， 当且仅当，即时等号成立. 故矩形的面积的最小值为，此时. 2．（2023上·上海徐汇·高一统考期末）高铁体现了中国装备制造业的水平，是一张亮丽的名片．已知甲、乙两个城市相距，假设高铁列车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过．高铁列车每小时运输成本（元）由可变部分和固定部分组成，可变部分每小时运输成本与速度x（）的平方成正比（其中比例系数为），固定部分每小时运输成本为10125元． (1)写出全程运输成本y（元）关于速度x（）的函数表达式，并指出函数的定义域； (2)当高铁列车时速大约为多少（）时，全程运输成本（元）最小． 【详解】（1）解：由题意得：高铁行驶的时间为小时，每小时的运输成本为 元， 所以全程运输成本y（元）关于速度x（）的函数表达式为： ，函数的定义域； （2）， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以当高铁列车时速大约225（）时，全程运输成本（元）最小. 3．（2023上·上海松江·高一校考期末）甲、乙两地相距800km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过，若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成：可变成本是速度的平方的倍，固定成本为元. (1)将全程运输成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？并求出全程运输成本的最小值. 【详解】（1）依题意，可变成本为，固定成本为a元，所用时间为， 所以，定义域为. （2）由（1）知，当，得， 显然函数在上递减，在上递增，又， 所以当时，货车以的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车以的速度行驶，全程运输成本最小. 题型五： 函数的零点 1．（2023上·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上不一定有零点 B．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值 C．没有达到精确度，应该接着计算 D．没有达到精确度，应该接着计算 【答案】D 【详解】对于A，由，且连续，则根据函数零点存在定理知，在上一定有零点，故A错误； 对于B，C，D，，没有达到精确度的要求，应该接着计算，故B错误，C错误，D正确． 故选：D． 2．（2023上·上海·高一上海市市西中学校考期中）（1）利用定义证明：函数在上单调递增. （2）求方程的实数解（精确到0.1）. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】证明：当时， ； 所以单调递增 （2）由（1）可知方程对应的函数在上单调递增，方程的根，即为函数的零点 所以通过二分法就可求出函数的零点，， 所以在区间上进行二分法计算. 所以在区间上有零点. 所以在区间上有零点. 所以在区间上有零点. 因为精确度为， 所以对应方程的解为. 3．（2023上·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）已知函数（，常数）. (1)求函数的零点； (2)根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)若函数在上单调递减，求实数的取值范围，证明函数在上有且仅有1个零点. 【答案】(1)时，无零点；时，的零点为 (2)时，是偶函数；时，是非奇非偶函数；理由见解析 (3)；证明见解析 【详解】（1）因为（，常数） 当时，由得，则无零点； 当时，由得，则的零点为； （2）因为的定义域为， 当时，对任意，有，因此是偶函数 当时，且，因此是非奇非偶函数； （3）因为在上单调递减， 则在上任取，有恒成立， 即恒成立，而，所以， 当时，，取， 则， 又，，，， 所以，即， 所以在上严格递减，则在上至多1个零点， 又，即 所以由零点存在定理在区间上有且仅有1个零点. 【点睛】关键点睛：本题第3小问解决的关键是利用函数单调性的定义判断得的单调性，从而利用零点存在定理即可得解. 4．（2023上·上海闵行·高一闵行中学校联考阶段练习）已知函数． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，恒成立， 所以，恒成立； 时，恒成立，满足题意； 时，只需，，即； 综上，实数的取值范围是； （2）即， 当时，即，解得：，所以不等式的解集为：； 当时，即，，不等式的解集为：； 当时，即， 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为. 综上：当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （3）时，令， 则存在，有四个不等实根， 即有四个不等实根， 令，时一个对应两个；时一个对应一个；时无与之对应； 则存在，有两个不等正根， 则，存在，， 即存在，， 即，且存在，， 时，时最大值为， 则， 由可得， 所以实数的取值范围是. 5．（2023上·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点. (1)若且，证明：函数必有局部对称点； (2)若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围； (3)若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围. 【详解】（1）由得， 代入得， 得到关于的方程，其中， 由于且， ∴恒成立， ∴函数必有局部对称点； （2）因为函数在上有局部对称点， 所以，即， 即方程在上有解， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （3）∵在上有局部对称点， ∴在上有解， 即（*）在上有解， 令，则， ∴方程（*）变为在内有解， 需满足条件， 即， 化简得， 所以实数的取值范围为. 题型六：函数性质的简单综合 1．（2023上·上海徐汇·高一统考期末）已知函数是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若可知：且在也严格单调递减，故 当和时，，当和时，， 故等价于和，解得， 故选：B 2．（2023上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）若定义在区间上的函数满足：存在常数，使得对任意的，都有成立，则称为一个有界变差函数，并将满足条件的的最小值称为的全变差. (1)判断函数，和（为有理数集）是否为有界变差函数；（无需说明理由） (2)求函数的全变差； (3)证明：函数是上的有界变差函数. 【详解】（1）由在上递减， 令，则， 显然，存在，使任意的，都有成立， 所以为一个有界变差函数； 对于，令，所得中有理数、无理数都有可能为无限个， 若以无理数、有理数成对依次出现时随n的变大趋向于正无穷大， 所以不是一个有界变差函数. （2）对任意的， 在上单调递减，所以， 即， 在上单调递增，所以， 即， 所以， 所以，存在使成立， 则称为一个有界变差函数，的最小值2称为的全变差. （3）由（2）知：在上是一个有界变差函数， 令，则，而在上， 所以，即，故是有界变差函数； 又在上递增且值域为[0,2]，任意，则， 所以，故存在使，则是有界变差函数， 令，则， 由上可设且均为常数，故，而、均为有界变差函数， 所以为有界变差函数. 题型七：反函数 1．（2023上·上海·高一复旦附中校考期中）已知存在函数和使得函数的定义域为，且表达式为，则的表达式不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项A，当时，. 由可得， 与函数的定义矛盾，所以选项A不可能. 对于选项B，当时，令，，. 因为函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增. 所以函数在区间上单调递增. 故，即. 因为 所以，即，此时的定义域为.故选项B可能. 对于选项C，当时，由可得，则 ，此时的定义域为.故选项C可能. 对于选项D，当时，由可得，则 ，此时的定义域为.故选项D可能. 故选：A. 2．（2023上·上海·高一上海市宜川中学校考期中）若函数的值域是，则此函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由，则，， 即函数的值域是的反函数为，， 当时，所以， 当时，所以， 即反函数，的值域为， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 题型八: 函数图象的变换 1．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）为了得到函数的图象，可以把函数的图象右移 个单位. 【答案】1 【详解】为了得到函数的图象，根据平移规律，可以把函数的图象右移1个单位， 故答案为：1 2．（2023上·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）将函数的图象向左平移 个单位可得到函数的图象. 【答案】 【详解】因为， 所以将函数的图象向左平移个单位可得函数的图象. 故答案为： 3．（2023上·上海·高一校考期中）给出下列4个结论， ①函数与函数的定义域相同； ②函数（为常数）图像可由的图像平移得到； ③函数的图像关于原点成中心对称且的图像关于轴对称； ④若幂函数的图像关于原点成中心对称，则是定义域上的严格增函数，则以上结论中正确结论为 ．（填序号） 【答案】①②③ 【详解】对①，函数的定义域为， 要使函数有意义，则，所以，故①正确； 对②，， 当时，函数（为常数）图像可由的图像向左平移个单位得到， 当时，函数（为常数）图像可由的图像向右平移个单位得到， 所以函数（为常数）图像可由的图像平移得到，②正确； 对③，函数定义域为， ， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 又因为函数为奇函数， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，③正确； 对④，如幂函数关于原点中心对称， 但该幂函数在上单调递减，④错误； 故答案为:①②③. 4．（2023上·上海静安·高一校考期末）已知函数． (1)请说明该函数图象是由函数的图象经过怎样的平移得到的； (2)已知函数的一个零点为3，求函数的另一个零点． 【详解】（1）向左平移2个单位得到， 再向上平移1个单位得到. （2）， 因为函数的一个零点为3，所以，解得. 所以， 令，解得. 所以函数的另一个零点为. 5．（2023上·上海静安·高一上海市市西中学校考期中）已知幂函数满足：①在区间上是严格增函数；②函数图像关于原点对称. (1)求同时满足①②的幂函数的表达式. (2)在（1）条件下，图像先向左平移了2个单位，再向上平移了1个单位，恰好和函数的图像重合，求函数的表达式. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵幂函数在区间上是严格增函数， ∴，即解得， 又∵，∴或. 当时，为偶函数，图像关于轴对称，不满足②， 当，为奇函数，图像关于原点对称，满足②. 故 （2）由（1）知， 图像先向左平移了2个单位，再向上平移了1个单位，得到的图像，即. 一、填空题 1．（2023上·上海奉贤·高一校考期末）已知关于x的等式恒成立，则 ． 【答案】 【详解】令，则由已知可得，. 故答案为：. 2．（2023上·上海·高一复旦附中校考期中）已知，若实数a、b、c、d满足，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，，且在上单调递减， 因为，所以， 所以， 因为在上单调递减，， ， ，， 所以. 故答案为：. 二、单选题 3．（2023上·上海·高一上海市市西中学校考期中）设，若有且仅有三个解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】首先作函数的图像，由题意可知， 当时，，则此时在上单调递减，且值域为. 当时，由可知，函数是以1为周期的周期函数，且当时，， 结合函数的图像可知：当满足时，与有且仅有三个交点， 即有且仅有三个解时有， 故选:D. 4．（2023上·上海·高一复旦附中校考期中）已知存在函数和使得函数的定义域为，且表达式为，则的表达式不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项A，当时，. 由可得， 与函数的定义矛盾，所以选项A不可能. 对于选项B，当时，令，，. 因为函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增. 所以函数在区间上单调递增. 故，即. 因为 所以，即，此时的定义域为.故选项B可能. 对于选项C，当时，由可得，则 ，此时的定义域为.故选项C可能. 对于选项D，当时，由可得，则 ，此时的定义域为.故选项D可能. 故选：A. 三、解答题 5．（2023上·上海奉贤·高一校考期末）如果函数满足：对于任意，均有（m为正整数）成立，则称函数在D上具有“m级”性质． (1)分别判断函数，，是否在R上具有“1级”性质，并说明理由； (2)设函数在R具有“m级”性质，对任意的实数a，证明函数具有“m级”性质； (3)若函数在区间以及区间（）上都具有“1级”性质，求证：该函数在区间上具有“1级”性质． 【详解】（1）函数在R上具有“1级”性质，在R上不具有“1级”性质，理由如下： 对于，任意，， 故在R上具有“1级”性质； 对于，，则， 故在R上不具有“1级”性质； （2）函数在R具有“m级”性质， 即对于任意，均有成立， 故对任意的实数a，，则， 设，则 ，（m为正整数）， 故函数具有“m级”性质； （3）函数在区间以及区间（）上都具有“1级”性质， 即对于任意，均有， 对于任意，均有， 故任取，若同时属于或，则成立； 若中一个属于，另一个属于，不妨设，， 则 ， 综合上述，对于任意，均有， 故函数在区间上具有“1级”性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 函数的概念、性质及应用（核心素养提升+过关检测） 知识点01函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 一般地，设D是非空的实数集，且对D中任意给定的实数x，按照某种确定法则，都有唯一确定的实数值y与之对应，则这种对应关系称为集合D上的一个函数；记作：y＝f(x)，x∈D. 其中x叫做自变量，其取值范围（数集D）称为 该函数的定义域； 值域 对于自变量x0,由法则f所确定的x0所对应的值y0，称为函数在x0处的函数值，记作y0=f(x0)； 所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈D}称为这个函数的值域； 知识点02 函数相关概念 相同函数 如果两个函数的定义域和对应法则都完全一致，就称这两个函数是相同的.（同一个对应法则可能有不同的表述形式）； 函数的解析法 用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应法则，这种表示函数的方法称为解析法； 函数的列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表达函数关系的方法 函数的图像法 对于函数；由（其中）的全体组成的集合叫做函数图像； 分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数； 要点01 对函数概念的理解 （1）对数集的要求：集合A，B为非空数集； （2）任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性； （3）对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样； （4）一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值； （5）函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可； 要点02 掌握函数定义域的求法 （1）若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零； （2）若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零； （3）若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合； （4）若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集； （5）若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义； 要点03 注意函数相等问题的3个易错点 （1）函数值域是由定义域和对应关系决定的．因此判断两个函数是否相等，看定义域和对应关系即可； （2）当两个函数的对应关系和值域分别相等时，这两个函数不一定相等； （3）若两个函数只是自变量用的字母不同，则这两个函数相等；例如，函数f(x)＝x2，x∈R与函数f(t)＝t2，t∈R是相等函数． 要点04 掌握求函数值域的常用方法的4种方法 （1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； （2）配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法； （3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； （4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域； 要点05 掌握求函数解析式的方法的4种方法 （1）直接法(代入法)：已知f(x)的解析式，求f[g(x)]的解析式，直接将g(x)代入即可； （2）待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式； （3）换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，从而求出f(x)； （4）解方程组法或消元法：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做解方程组法或消元法； 要点06 注意描点法画函数图像的3个关注点 （1）画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； （2）图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像； （3）要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点； 要点07 理解分段函数的理解关注2个易错点 （1）分段函数是一个函数而非几个函数：分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集； （2）分段函数的图像应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况； 知识点03 函数的奇偶性 1.函数奇偶性的定义 【奇函数】 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 解题方法点拨： ①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x 那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x 【偶函数】 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 解题方法点拨： ①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？ ②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点． 2.奇、偶函数图像的特征 奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n． 【解题方法点拨】 由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值． 解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数， 那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4 3.具备奇偶性的函数的单调性的特点 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 参照奇偶函数的性质那一考点，有： ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反 知识点04.函数的单调性 1.函数的单调性概念 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 2.函数的单调区间 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间． 知识点05.函数的最大值、最小值 函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围． 【解题方法点拨】 求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种： ①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8； ②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2； 知识点06 函数的零点 1.方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 2.二次函数的零点 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 3.二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 4.函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 知识点07 一元二次方程根的分布与方程系数的关系 （1）设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是： ①当x1＜x2＜k时，有； ②当k＜x1＜x2时，有； ③当x1＜k＜x2时，； ④当x1，x2∈（k1，k2）时，有； ⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有． 知识点08 用二分法求函数的零点 1.二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中. 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度. 要点诠释： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根 知识点09 反函数 1、反函数定义 一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=。在习惯上，自变量用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为 2、关于反函数的结论 （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域， （2）互为反函数的两个函数y=f(x)与图像关于直线y=x对称；若点M（a，b）在y=f(x)的图像上，则点(b,a)必在图像上； （3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,除外，其中c为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数； （4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如； （5）y=f(x)与互为反函数，设f(x)定义域为D，值域为A，则有f[]=x, ; （6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身； （7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应； （8）x=f(y), ,与函数y=f(x)的比较； 函数 自变量 图像 x=f(y) y是自变量 与y=f(x)的图像关于y=x 对称 y是自变量 和y=f(x)的图像相同 x是自变量 和y=f(x)的图像关于直线y=x 对称 （9）y=f(x)与图像若有公共点，并非一定在y=x上，例如：f(x)=与有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x对称 3、求反函数的步骤 （1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由y=(x)解出； （3）改写：在中，将x,y互换得到； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。 题型一： 函数的定义域问题 1．（2023上·上海·高一专题练习）与为同一函数的是（ ） A． B． C． D． 2．（2023下·上海杨浦·高一上海市控江中学校考开学考试）函数的定义域是 . 题型二： 函数的值域问题 1．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）函数的值域为 ． 2．（2023上·高一课时练习）函数的值域是 ． 3．（2023上·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）已知定义域为R的函数，，若对任意，均有，则称是S关联． (1)判断函数是否是关联，并说明理由： (2)若是关联，当时，，解不等式：； (3)判断“是关联”是“是关联”的什么条件?试证明你的结论． 题型三： 函数的单调性与单调区间问题 1．（2023上·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）已知函数（为常数）．若在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ． 2．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）函数的增区间为 ． 3．（2023上·上海·高一复旦附中校考期中）已知，若实数a、b、c、d满足，则的取值范围为 . 题型四： 函数模型的建立 1．（2023上·上海·高一华师大二附中校考期中）如图，现要将矩形花坛扩建为更大的矩形花坛，使得点在对角线上．已知长3米，长2米．    (1)设长米，试用表示矩形的面积； (2)求矩形的面积的最小值，并指出取到最小值时的长度． 2．（2023上·上海徐汇·高一统考期末）高铁体现了中国装备制造业的水平，是一张亮丽的名片．已知甲、乙两个城市相距，假设高铁列车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过．高铁列车每小时运输成本（元）由可变部分和固定部分组成，可变部分每小时运输成本与速度x（）的平方成正比（其中比例系数为），固定部分每小时运输成本为10125元． (1)写出全程运输成本y（元）关于速度x（）的函数表达式，并指出函数的定义域； (2)当高铁列车时速大约为多少（）时，全程运输成本（元）最小． 3．（2023上·上海松江·高一校考期末）甲、乙两地相距800km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过，若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成：可变成本是速度的平方的倍，固定成本为元. (1)将全程运输成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？并求出全程运输成本的最小值. 题型五： 函数的零点 1．（2023上·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上不一定有零点 B．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值 C．没有达到精确度，应该接着计算 D．没有达到精确度，应该接着计算 2．（2023上·上海·高一上海市市西中学校考期中）（1）利用定义证明：函数在上单调递增. （2）求方程的实数解（精确到0.1）. 3．（2023上·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）已知函数（，常数）. (1)求函数的零点； (2)根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)若函数在上单调递减，求实数的取值范围，证明函数在上有且仅有1个零点. 4．（2023上·上海闵行·高一闵行中学校联考阶段练习）已知函数． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 5．（2023上·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点. (1)若且，证明：函数必有局部对称点； (2)若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围； (3)若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围. 题型六：函数性质的简单综合 1．（2023上·上海徐汇·高一统考期末）已知函数是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）若定义在区间上的函数满足：存在常数，使得对任意的，都有成立，则称为一个有界变差函数，并将满足条件的的最小值称为的全变差. (1)判断函数，和（为有理数集）是否为有界变差函数；（无需说明理由） (2)求函数的全变差； (3)证明：函数是上的有界变差函数. 题型七：反函数 1．（2023上·上海·高一复旦附中校考期中）已知存在函数和使得函数的定义域为，且表达式为，则的表达式不可能为（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·上海·高一上海市宜川中学校考期中）若函数的值域是，则此函数的定义域为 ． 题型八: 函数图象的变换 1．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）为了得到函数的图象，可以把函数的图象右移 个单位. 2．（2023上·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）将函数的图象向左平移 个单位可得到函数的图象. 3．（2023上·上海·高一校考期中）给出下列4个结论， ①函数与函数的定义域相同； ②函数（为常数）图像可由的图像平移得到； ③函数的图像关于原点成中心对称且的图像关于轴对称； ④若幂函数的图像关于原点成中心对称，则是定义域上的严格增函数，则以上结论中正确结论为 ．（填序号） 4．（2023上·上海静安·高一校考期末）已知函数． (1)请说明该函数图象是由函数的图象经过怎样的平移得到的； (2)已知函数的一个零点为3，求函数的另一个零点． 5．（2023上·上海静安·高一上海市市西中学校考期中）已知幂函数满足：①在区间上是严格增函数；②函数图像关于原点对称. (1)求同时满足①②的幂函数的表达式. (2)在（1）条件下，图像先向左平移了2个单位，再向上平移了1个单位，恰好和函数的图像重合，求函数的表达式. 一、填空题 1．（2023上·上海奉贤·高一校考期末）已知关于x的等式恒成立，则 ． 2．（2023上·上海·高一复旦附中校考期中）已知，若实数a、b、c、d满足，则的取值范围为 . 二、单选题 3．（2023上·上海·高一上海市市西中学校考期中）设，若有且仅有三个解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（2023上·上海·高一复旦附中校考期中）已知存在函数和使得函数的定义域为，且表达式为，则的表达式不可能为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 5．（2023上·上海奉贤·高一校考期末）如果函数满足：对于任意，均有（m为正整数）成立，则称函数在D上具有“m级”性质． (1)分别判断函数，，是否在R上具有“1级”性质，并说明理由； (2)设函数在R具有“m级”性质，对任意的实数a，证明函数具有“m级”性质； (3)若函数在区间以及区间（）上都具有“1级”性质，求证：该函数在区间上具有“1级”性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$