专题03 数轴动点问题（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材沪科版

专题03 数轴动点问题 题型1 动点定值问题（常考点） 题型4 折线数轴动点问题（难点） 题型2 动点最值问题 题型5 变速动点问题（难点） 题型3 动点存在性问题 题型6 往返问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 动点定值问题（共3小题） 1．（24-25七上·安徽合肥五十中西校区·期末）如图所示，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中是最小的正整数，． (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数___________表示的点重合； (2)若点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． ①当点在点右侧时，___________，___________（用含的代数式表示）； ②小西同学发现：的值是个定值，求此时的值． 【答案】(1)3 (2)①；②的值为 【详解】（1）解：∵是最小的正整数，， ∴， 则， ， ∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴折叠点为， ∴与点重合的点表示的数为； （2）解：①由题意得，运动秒后点，点，点分别表示的数为， ∵点在点右侧， ， 故答案为：； ②∵， 当时， ， 的值是个定值， 的结果与t无关， ， ． 当时， ∵的值是一个定值， ∴的结果与无关， ， ， 综上所述，的值为． 2．（24-25七上·山东聊城高唐·期末）如图，在数轴上点表示有理数，点表示有理数，已知，互为相反数，且是多项式的二次项系数． (1)求，； (2)数轴上有两个动点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点在点处追上点，求点表示的有理数． (3)在（）的条件下，点相遇之前，是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)是定值， 【来源】山东省聊城市高唐县2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【分析】（）根据多项式的定义即可求出的值，再由相反数的定义即可求出的值； （）设运动了秒，点追上点，根据题意列出方程，然后求解即可； （）设运动时间为秒，则，由题知对应的数为，对应的数为，则，，然后代入即可求解． 本题考查了数轴，相反数，一元一次方程的应用，整式的加减，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：因为是多项式的二次项系数， 所以， 因为，互为相反数， 所以； （2）解：设运动了秒，点追上点，则， 解得  ，                               所以点表示的有理数为； （3）解：为定值，理由， 设运动时间为秒，则， 由题知对应的数为，对应的数为， 所以，， 所以， 所以为定值． 3．（24-25七上·四川自贡·期末）如图，点，在数轴表示的数分别为，，且，满足．    (1)___________，___________； (2)动点以的速度从点出发，动点以的速度从点出发，点，同时沿数轴向右匀速运动，设运动时间为． ①当时求的值； ②点在到达点之前是否存在常数，使为定值，若存在，请求出值，并求出此定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，8 (2)①或；②存在， 时， 为定值 【来源】四川省自贡市2024-2025学年七年级上学期期末检测数学题 【分析】本题考查了绝对值和平方式的非负性，数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据绝对值和平方式的非负性求解，即可解题； （2）①根据题意表示出点P在数轴上表示的数，点Q在数轴上表示的数，结合建立式子求解，即可解题； ②分别表示出，，进而得到，结合为定值求解，即可解题． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 解得，， 故答案为：，8． （2）解：由题意得，点P在数轴上表示的数为：， 点Q在数轴上表示的数为：， ①， 即或， 解得：或； ②存在． 点P在到达点B之前， ，， ， 当即时， 为定值． 题型二 动点定值问题（共3小题） 4．（24-25七上·福建三明永安·期末）若点，在数轴上分别表示有理数，，将，两点之间的距离表示为，则．例如：表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)若点，表示的数分别为，6，则的值为多少？ (2)如图，数轴上的点表示的是，点表示的是4，是数轴上任意一点，且点表示的是，求的最小值． (3)由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时的值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)8 (2)6 (3)当时，最小，最小值为7，理由见详解 【来源】福建省三明市永安市2024—2025学年上学期期末质量检测七年级数学试题 【分析】本题考查了数轴，绝对值，整式的混合运算，熟练掌握绝对值几何意义是关键． （1）根据绝对值几何意义计算即可； （2）根据题意得出，再根据其几何意义解答即可； （3）利用绝对值几何意义，分析出当时有最小值解答即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数分别为，则， 故答案为：8； （2）解：∵数轴上的点表示的是，点表示的是4，点表示的是， ∴， 表示数轴上有理数所对的点到和4所对的两点距离之和， ∴当时，有最小值， 此时最小值为； 即的最小值为6． （3）解：有最小值，理由如下： 若表示一个有理数，则有最小值， 表示到和1距离的和，若想和的值最小，则当表示的点是时，到三点的距离和最小， 当时，的最小值为7． 5．已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数，4． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A，B的距离相等的点的位置表示的有理数为______； (2)若有动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为秒．用含的式子分别表示P点到点A和点B的距离． (3)若，则x的取值范围是______； (4)若x表示一个有理数，求式子最大值． 【答案】(1)， (2)，当时，，当时， (3) (4) 【详解】（1）解：∵数轴上有A，B两个点，分别表示有理数，4， ∴数轴上点A到点B的距离为， ∴数轴上到点A，B的距离相等的点的位置表示的有理数为； （2）解：由题意可得，秒时，点表示的数为， ∴，， 当时，，当时，， 综上所述，，当时，，当时，； （3）解：∵表示数轴上与两点之间的距离，表示数轴上与之间的距离，且， ∴； （4）解：∵表示数轴上与两点之间的距离，表示数轴上与之间的距离， ∴根据几何意义分析可得，当时，有最小值为， ∴， ∴的最大值为． 6．（24-25七上·安徽亳州涡阳·期末）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 【答案】(1)6 (2)①；；②14 (3)的最小值为14，最大值为22 【详解】（1）解：点，之间的距离； （2）解：①点，之间的距离为，点，之间的距离为； 故答案为：；； ②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和， 当在数轴上表示的点在表示和（包括和的点之间时，取得最小值，最小值为14； （3）解：的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和， 当时，的值最小，最小值为14； 当时，的值最大，最大值为22； 的最小值为14，最大值为22． 题型三 动点存在性问题（共3小题） 7．（24-25七上·安徽淮南八公山·期末）如图，已知数轴上三点，，对应的数分别为，，，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)的长为________； (2)当点到点、点的距离相等时，求的值； (3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值是或 【来源】安徽省淮南市八公山区2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷 【分析】（）根据两点间距离公式计算即可； （）根据两点间距离公式列出方程即可求解； （）分点在点的左侧、点在点和点之间、点在点的右侧三种情况，根据两点间距离公式分别列出方程解答即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得； （3）解：存在，理由如下： ①当点在点的左侧时， 由题意得，． 解得； ②当点在点和点之间时，则， 方程无解，即点不可能在点和点之间； ③点在点的右侧时，， 解得； ∴的值是或． 8．（24-25七上·安徽巢湖·期末）如图，数轴上有，，三个点，点对应的数是，点，对应的数分别为，，且，满足． (1)直接写出_____，_____； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动；动点到达原点后立即向左运动（只改变方向，不改变速度大小），则经过多长时间动点与动点到原点的距离相等？ (3)若数轴上有两个动点，分别从，两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点速度为3个单位长度/秒，点速度为1个单位长度/秒，若运动时间为秒，运动过程中，记线段的中点为．是否存在的值，使得、、三点中的一点到余下两点的距离相等？若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)经过秒或秒动点与动点到原点的距离相等； (3)或． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴动点到达原点时，动点未到达原点． 设经过秒动点与动点到原点的距离相等， 动点到达原点前：，解得：； 动点到达原点后：，解得：； 即经过秒或秒动点与动点到原点的距离相等； （3）解：， 当为、中点时， ， 解得：； 当为、中点时， 解得：； 当为、中点时， ， 则， 此种情况不成立； 综上所述，或． 9．（24-25七上·广东梅州五华·期末）如图，已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，且满足． (1)求值：______，______； (2)若数轴上点C对应的数为8，求应将点C如何移动，可以使点C到点A、点B的距离相等？ (3)动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)应将向左平移个单位长度 (3)存在，或 【来源】广东省梅州市五华县2024-2025学年七年级上学期期末学习能力检测数学卷 【分析】本题考查了非负数的性质、一元一次方程的应用、数轴上的动点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据非负数的性质计算即可得解； （2）设移动后点表示的数为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解； （3）当运动时间为秒时，点表示的数为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，； （2）解：设移动后点表示的数为， 由题意可得：， 解得：， ∴， ∴应将向左平移个单位长度； （3）解：存在， 当运动时间为秒时，点表示的数为， 由题意可得：， 解得：或； 故存在某个时刻，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，的值为或． 题型四 折线数轴动点问题（共3小题） 10．（24-25七上·云南昆明西山·期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动．设运动的时间为t秒．问： (1)用含t的代数式表示A、P两点在数轴上相距的长度为______； C、Q两点在数轴上相距的长度为______； (2)、Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少？ (3)是否存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等？若存在，请计算t的取值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或， t (2)点M所对应的数是 (3)存在，或，见解析 【来源】云南省昆明市西山区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）分①当时，②当时，两种情况进行讨论； （2）设经过a秒，P、Q两点相遇，根据题意列出方程，求出a的值，即可得到点M所对应的数； （3）分三种情况进行讨论即可． 本题考查了一元一次方程，数轴，掌握一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：①当时，A、P两点在数轴上相距的长度为； ②当时，A、P两点在数轴上相距的长度为； C、Q两点在数轴上相距的长度为t； 故答案为：或；t； （2）解：设经过a秒，P、Q两点相遇， ， 解得：， 则点M所对应的数是：， 即点M所对应的数是； （3）解：存在，或，理由如下： ①当时， ， 解得：； ②当时， ， 解得：； ③当时， ， 该方程无解； 综上所述：或 11．（24-25七上·兰州分院中学·期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．探索“折线数轴”：素材1  如图，将一条数轴在原点O，点B，点C折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为44个单位长度，并表示为． 素材2  动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点P从点A运动至点B需要多少时间？ (2)探索2：动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； (3)探索3：动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 【答案】(1)秒 (2) (3)秒或秒 【来源】中国科学院兰州分院中学2024-2025学年第一学期七年级数学期末考试卷 【分析】本题考查一元一次方程的应用，列代数式，数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识． 探索1：根据时间路程速度，即可求解； 探索2：由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解； 探索3：分两种情况：①当在上时，②当在上时，根据线段的和差以及时间路程速度，即可求解． 【详解】（1）解：探索1：点表示，点表示， ，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒， 从点运动至点的时间为：（秒）； （2）解：探索2：的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒， ， 点表示， 表示的数为：； （3）解：探索3：设秒后， ，， 当在上和当在上，才满足， ①当在上时， ， ， ， ， ， ， （秒）； ②当在上时， ， ， ， ， （秒）． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 12．（24-25七上·广东广州外国语学校·期末）已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足，a，b互为相反数（如图1）．              图1                                           图2 (1)请求出a，b，c的值； (2)点P为一动点，其对应的数为x，若，求x的值： (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1)，， (2)或 (3)2秒或秒或11秒或17秒 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵a，b互为相反数， ∴； （2），， ∵， ∴， 解得：或； （3）当点在，点在上运动时，依题意得： ， 解得：， 当点、两点都在上运动时， 解得：， 当在上，在上运动时， ， 解得：； 当在上，在上运动时， ， 解得：； 即时，运动的时间为2秒或秒或11秒或17秒． 题型五 变速动点问题（共3小题） 13．（24-25七上·重庆铜梁巴川初中·期末）如图，点O是数轴的原点，数轴上的点A对应的数是，点B对应的数是．点C对应的数是8；数轴上有两个动点M，N，点M从点A出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向点C匀速运动，到达点C后立即返回，速度变为每秒3个单位沿数轴向点A匀速运动，点N从点B出发沿数轴以每秒1个单位的速度向点C匀速运动；点N与点M同时出发，设点M，N的运动时间为x秒，当秒时，点M，N同时停止运动． (1)求A，C两点之间的距离； (2)求M，N两点相遇时对应的x的值； (3)在全部运动过程中，当点M，N，O中的任意一点为另外两个点连接成的线段的中点时，直接写出所有满足条件的x的值． 【答案】(1)32 (2)或10 (3)4或或或 【来源】重庆市铜梁区巴川初级中学2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷数 【详解】（1）解：∵点A对应的数是，点对应的数是8， ∴， 即两点之间的距离为32； （2）解：（秒）． 当时，点M对应的数为，点N对应的数为， 根据题意得：，解得， 当时，点M对应的数为，点N对应的数为， 根据题意得：， 解得：， 即两点相遇时对应的的值为或10. （3）解：当点N在点O的左侧时，若点N是的中点（图1）， 则， 解得：； 当点N在点O的左侧时，若点M是的中点（图2）， 则， 解得：； 当点N在点O的左侧时，若点O是的中点（图3）， 则， 解得； 当点N在点O的右侧时，若点N是的中点（图4）， 则， 解得； 当点N在点O的右侧时，若点O是的中点（图5）， 则， 解得：，不符合题意舍去； 综上，的值为4或或或． 14．（24-25七上·黑龙江哈尔滨阿城·期末）已知，A、B两点在数轴上的位置如图所示，点A距原点20个单位长度，． (1)直接写出点A、点B表示的数； (2)点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设M的运动时间是t秒，请用含t的式子表示线段的长； (3)在（2）的条件下，点M出发2秒后，动点N从B出发沿数轴向点A运动，到点A后原路返回，并且点N出发3秒后速度变为每秒1个单位长度，当点N出发7秒时，，求点N刚出发时的速度是每秒多少个单位长度? 【答案】(1)点A表示的数是，点B表示的数是10 (2)当点M在线段上时，，当点M在线段的延长线上时， (3)点N刚出发时的速度是或或或个单位每秒 【来源】黑龙江省哈尔滨市阿城区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【详解】（1）解：∵点A距原点20个单位长度，， ∴由数轴可知点A表示的数是，点B表示的数是10． （2）解：根据题意知， 当点M在线段上时， 当点M在线段的延长线上时，， 综上，或； （3）解：当时，， 点M表示的数是，点N表示的数是4或， 设点N的速度为x个单位每秒， 当点N表示的数是4时，， 情况1，当点N返回前，， 解得； 情况2，当点N到A返回后，， 解得；； 当点N表示的数是时，， 情况1，当点N返回前，， 解得；； 情况2，当点N到A返回后，， 解得；； 综上，点N刚出发时的速度是个单位每秒或个单位每秒或个单位每秒或个单位每秒． 15．（24-25七上·安徽马鞍山成功学校·期末）如图，数轴上点为原点，点表示，点表示，点表示8．动点，同时出发，点从点出发，沿数轴正方向运动至点，出发时速度为每秒1个单位长度，到点后速度变为原来的2倍；点从点出发，沿数轴负方向运动至点，出发时速度为每秒2个单位长度，到点后速度变为原来的一半．设运动时间为秒． (1)点从点运动至点时，的值为___________秒； (2)当秒时，点在数轴上表示的数是___________；当点在线段上运动时，它在数轴上表示的数是___________；（用含的代数式表示，无需写出的取值范围） (3)当两点相遇时，相遇点所表示的数是___________； (4)当线段与的长度相等时，的值为___________． 【答案】(1) (2)， (3) (4)1或或14 【详解】（1）解：∵点从点出发，沿数轴正方向运动至点，出发时速度为每秒1个单位长度，到点后速度变为原来的2倍， ∴点从点出发，运动至点用时（秒），点到点后速度变为每秒2个单位长度， ∴点从点B运动至点用时（秒）， ∴点从点运动至点时，的值为秒． 故答案为：； （2）解：由（1）可知，点前7秒速度为每秒1个单位长度，之后速度为每秒2个单位长度， ∴当秒时，点在数轴上表示的数是； ∵点从点出发，沿数轴负方向运动至点，出发时速度为每秒2个单位长度，到点后速度变为原来的一半， ∴点从点出发，沿数轴负方向运动至点，用时（秒），速度变为每秒1个单位长度， ∴当点在线段上运动时，它在数轴上表示的数是． 故答案为：，； （3）解：∵点从点运动至点B需要秒，点从点运动至点需要秒， ∴两点在线段上相遇时， 此时点P表示的数是，点Q表示的数是， 当两点相遇时，，解得， ∴相遇点所表示的数是． 故答案为：； （4）解：当P在段上，Q在段上时：，解得：； 当P在段上，Q在段上时：，解得：； 当P在段上，Q在段上时：，解得：； 故答案为：1或或14． 题型六 往返问题（共3小题） 16．（24-25七上·云南曲靖·期末）如图所示，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b．    (1)化简：； (2)表示A点和B点之间的距离（即），已知a，b分别是方程和方程的解，求A，B两点之间的距离； (3)在（2）的条件下，若动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q到达点A后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点P到达点B时，P、Q两点运动随之停止．设运动时间为秒，则t为何值时，． 【答案】(1) (2)15 (3)或或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴，解得：； ∵， ∴，解得：； ∴； （3）解：当Q到达A时，；当P到达B时，， 当时，P对应的数为，Q对应的数为， 当时， ∴，即， ∴或，解得：或； 当时， P对应的数为，Q对应的数为， 当时， ∴，即：， ∴或，解得：或（其中不符合题意）， 综上：或或． 17．（24-25七上·安徽安庆桐城二中·期末）已知多项式的次数为a，常数项为b，a，b分别对应着数轴上的A、B两点． (1)______，______；并在数轴上画出A、B两点； (2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度单位的速度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍； (3)数轴上还有一点C的坐标为30，若点P和Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，点Q到达终点C停止．求点P和点Q运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为4． 【答案】(1)4，16，图见解析 (2)或秒 (3)或或或秒 【详解】（1）∵多项式2x3y﹣xy+16的次数为a，常数项为b， ∴a＝4，b＝16， 在数轴上画出A、B两点如下： （2）设运动t秒，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，根据题意得： 3t＝2×|4+3t﹣16|， 解得t＝ 或t＝8， 答：运动 秒或8秒，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍； （3）设运动x秒，P，Q两点之间的距离为4， ①点P追上Q之前，16+x﹣（4+3x）＝4，解得x＝4， ②点P追上Q，P还未到达C时，4+3x﹣（16+x）＝4，解得x＝8， ③P到达C后返回，还未与Q相遇时，，解得x＝9， ④P到达C后返回，与Q相遇后时，，解得x＝11， 综上所述，点P和点Q运动4秒或8秒或9秒或11秒时，P，Q两点之间的距离为4． 18．如图,已知数轴上点A表示的数为10，点B位于点A左侧，AB＝15．动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t秒． (1)当点P在A、B两点之间运动时， ①用含t的代数式表示PB的长度； ②若PB＝2PA，求点P所表示的数； (2)动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点Q到达点A后立即原速返回．若P，Q两点同时出发,其中一点运动到点B时，两点停止运动．求在这个运动过程中，P，Q两点相遇时t的值． 【答案】(1)①PB=15－2t；②5 (2)或5. 【详解】（1）解：①PB=15－2t．         ②PB=15－2t，PA=2t， ∵PB=2PA ∴15－2t=4t，    解得t=2.5， ∴10－2t =5， ∴点P表示的数为5． （2）（i）点Q由点B运动到点A的过程中， 点Q表示的数为－5＋5t，点P表示的数为10－2t， 相遇即两点所表示的数相同，则 －5＋5t=10－2t，解得t＝． （ii）P到达点A返回B的过程中， 点Q表示的数为：10－5（t－3）,点P表示的数为10－2t， 相遇即两点所表示的数相同，则 10－5(t－3)=10－2t， 解得t=5． 综上所述，P、Q两点相遇时，t 的值是或5． 【点睛】本题考查两点间的距离公式．在解决动点问题时，要注意分类讨论． $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03数轴动点问题 题型归纳·内容导航 题型1动点定值问题（常考点） 题型4折线数轴动点问题（难点） 题型2动点最值问题 题型5，变速动点问题（难点） 题型3动点存在性问题 题型6往返问题 题型通关·靶向提分 题型一动点定值问题（共3小题） 1.(24-25七上.安微合肥五十中西校区期末)如图所示，在数轴上点A表示数Q,点B表示数b,点C表 示数C,其中a=-5,b是最小的正整数，AB=3BC 4 B C (1)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数 表示的点重合； (2)若点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和3个单位长度的速度在数轴上同时向左运 动，设运动时间为t秒。 ①当点C在点B右侧时，AB= BC= (用含t的代数式表示)； ②小西同学发现：m·AB-2BC的值是个定值，求此时m的值. 2.(24-25七上山东聊城高唐期末)如图，在数轴上A点表示有理数a,B点表示有理数b,已知a,b互 为相反数，且a是多项式-5x2-6x-15的二次项系数. A O B (1)求a,b: (2)数轴上有两个动点P、9,动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时 动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P在点C处追上点Q,求点C表 示的有理数c. (3)在(2)的条件下，点P、Q相遇之前，4PQ+PA是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 3.(24-25七上·四川自贡·期末)如图，点A,B在数轴表示的数分别为a,b,且a,b满足 1/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a+24+(b-8)=0. A 0B 备用图 (1)a= b=」 (2)动点P以5cm/s的速度从点A出发，动点Q以2cs的速度从点B出发，点P,Q同时沿数轴向右匀速运 动，设运动时间为st>0). ①当PQ=6时求t的值； ②点P在到达点B之前是否存在常数m,使mBP+BQ为定值，若存在，请求出m值，并求出此定值；若不 存在，请说明理由。 题型二动点定值问题（共3小题） 4.(24-25七上福建三明永安期末)若点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,将A,B两点之间的距 离表示为AB,则AB=a-b.例如：5-3表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离 P B -3-2-10123456 (1)若点A,B表示的数分别为-2,6，则AB的值为多少？ (2)如图，数轴上的点A表示的是-2，点B表示的是4，P是数轴上任意一点，且点P表示的是x,求 PA+PB的最小值. 3)由以上的探索猜想，对于任意有理数x,x+6+x+3+x-1是否有最小值？如果有，求出最小值，并写 出此时x的值；如果没有，说明理由. 5.已知数轴上有A,B两个点，分别表示有理数-6,4. A -6 (1)数轴上点A到点B的距离为；数轴上到点A,B的距离相等的点的位置表示的有理数为： (2)若有动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为t秒.用含t的式子分别表示P 点到点A和点B的距离， (3)若x-3+x+5=8,则x的取值范围是一； (4)若x表示一个有理数，求式子8-2x-3-2x+5最大值. 6.(24-25七上.安微毫州涡阳·期末)【定义】数轴上表示数a,b的点A,B之间的距离ABa-b|. 2/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【应用】如图，在数轴上，点A表示的数为-8，点B表示的数为-2，点C表示的数为6，动点P表示的数 为x A B C -8-26 (1)求点A,B之间的距离： (2①点P,A之间的距离为一，点P,C之间的距离为一； (用含x的代数式表示) ②求|x+8|+|x-61的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出|x+8|+|x+2|+x-6 的最大值及最小值. 题型三动点左在性问题（共3小题） 7.(24-25七上·安微淮南八公山期末)如图，己知数轴上三点M,0,N对应的数分别为-1,0,3， 点P为数轴上任意一点，其对应的数为x. M O 5432十0124→ (1)MN的长为 (2)当点P到点M、点N的距离相等时，求x的值： (3)数轴上是否存在点P,使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，求出x的值；若不存在，请说明 理由 8.(24-25七上安徽巢湖期末)如图，数轴上有A,B,C三个点，点B对应的数是-4，点A,C对应的 数分别为a,c,且a,c满足a+12+(c-3)2=0. 0 0 (1)直接写出a=，c=； (2)若动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时动点Q从C点出发，以每秒1个单位 长度的速度向左运动；动点P到达原点后立即向左运动（只改变方向，不改变速度大小），则经过多长时间 动点P与动点Q到原点的距离相等？ (3)若数轴上有两个动点M,N分别从A,B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点M速度为3个单位 长度/秒，点N速度为1个单位长度/秒，若运动时间为1秒，运动过程中，记线段AM的中点为G,是否存 在1的值，使得G、M、N三点中的一点到余下两点的距离相等？若存在，请直接写出t的值，若不存在， 请说明理由， 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.(24-25七上广东梅州五华期末)如图，已知数轴上的点A对应的数是α，点B对应的数是b,且满足 (a+5)2+lb-1=0. A O B (1)求值：a=,b=一 (2)若数轴上点C对应的数为8，求应将点C如何移动，可以使点C到点A、点B的距离相等？ (3)动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t,恰 好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由. 题型四折线数轴动点问题（共3小题） 10.(24-25七上·云南昆明西山期末)如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴” 图中点A表示-10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P 从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴"的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一 半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P 到达B点时，点P、Q均停止运动.设运动的时间为t秒.问： B 10 18 A→P O -10 0 (1)用含t的代数式表示A、P两点在数轴上相距的长度为一；C、Q两点在数轴上相距的长度为】 (2)P、Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少？ (3)是否存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等？若存在，请计算t的取 值；若不存在，请说明理由。 11.(24-25七上兰州分院中学期末)七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折 线数轴”.探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点O,点B,点C折一下，得到一条“折线数轴”.图 中点A表示-8，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离"为 44个单位长度，并表示为AD=44. 素材2动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动.当运动到点0 与点B之间时速度变为初始速度的一半，当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍.经过点C 后立刻恢复初始速度 4/8 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 问题解决： 12 D -80 24 36 (1)探索1：动点P从点A运动至点B需要多少时间？ (2)探索2：动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； (3)探索3：动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足PB+PC=18时，求动点P运动的时间. 12.(24-25七上广东广州外国语学校期末)已知点A,B,C在数轴上对应的数分别是a,b,c,其中a, c满足(a+10+c-18=0,a,b互为相反数（如图1）. B ⊙ 图 0 6 1 图2 (1)请求出a,b,c的值； (2)点P为一动点，其对应的数为x,若PA=2PC,求x的值： (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A,C两点在“折线数轴”上的距 离为28个单位长度)，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴"的正方向运动，在 OB段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的 速度沿着数轴的负方向运动，在OB段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒， 请直接写出当t为何值时，P,O两点在“折线数轴”上的距离与Q,B两点在“折线数轴"的距离相等. 题型五变速动点问题（共3小题） 13.（24-25七上·重庆铜梁巴川初中.期末)如图，点O是数轴的原点，数轴上的点A对应的数是-24，点 B对应的数是-8.点C对应的数是8；数轴上有两个动点M,N,点M从点A出发，以每秒4个单位的速 度沿数轴向点C匀速运动，到达点C后立即返回，速度变为每秒3个单位沿数轴向点A匀速运动，点N从 点B出发沿数轴以每秒1个单位的速度向点C匀速运动；点N与点M同时出发，设点M,N的运动时间为 x秒，当x=10秒时，点M,N同时停止运动 A -24 (1)求A,C两点之间的距离AC; 5/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求M,N两点相遇时对应的x的值； (3)在全部运动过程中，当点M,N,O中的任意一点为另外两个点连接成的线段的中点时，直接写出所有满 足条件的x的值. 14.(24-25七上·黑龙江哈尔滨阿城期末)已知，A、B两点在数轴上的位置如图所示，点A距原点20个 单位长度，AB=30. A B 0 0 备用图 A 0 备用图 A 0 备用图 (1)直接写出点A、点B表示的数： (2)点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设M的运动时间是t秒，请用含 t的式子表示线段BM的长； (3)在(2)的条件下，点M出发2秒后，动点N从B出发沿数轴向点A运动，到点A后原路返回，并且点 N出发3秒后速度变为每秒1个单位长度，当点N出发7秒时，MN=6,求点N刚出发时的速度是每秒多 少个单位长度？ 15.(24-25七上安微马鞍山成功学校期末)如图，数轴上点0为原点，点A表示-15，点B表示-8，点 C表示8.动点P,Q同时出发，点P从点A出发，沿数轴正方向运动至点C,出发时速度为每秒1个单位 长度，到点B后速度变为原来的2倍；点Q从点C出发，沿数轴负方向运动至点A,出发时速度为每秒2 个单位长度，到点B后速度变为原来的一半.设运动时间为t秒(t≥0). A→P B 0 ← C -15 -8 0 P (1)点P从点A运动至点C时，t的值为 秒 (2)当t=10秒时，点P在数轴上表示的数是 当点Q在线段AB上运动时，它在数轴上表示的数 是」 ;(用含t的代数式表示，无需写出t的取值范围) (3)当P,Q两点相遇时，相遇点M所表示的数是 _； 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4)当线段PB与QO的长度相等时，t的值为】 题型六往返问题（共3小题） 16.(24-25七上，云南曲靖期末)如图所示，在数轴上点A表示的数为α，点B表示的数为b. B a b (1)化简：a+b+a-b-2a: (2)AB表示A点和B点之间的距离（即AB=a-b),已知a,b分别是方程3(a+7)=6和方程 5(b+1)-4b+7)=8的解，求A,B两点之间的距离AB; (3)在(2)的条件下，若动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q 从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q到达点A后立即返回，仍然以每秒2个 单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点P到达点B时，P、Q两点运动随之停止.设运动时间为(t>0 秒，则t为何值时，PQ=3, 17.(24-25七上安微安庆桐城二中期末)己知多项式2xy-xy+16的次数为a,常数项为b,a,b分别对 应着数轴上的A、B两点. 0 图1 0 图2 0 图3 (1)a=二，b=;并在数轴上画出A、B两点： (2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度单位的速度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到 点A的距离是点P到点B的距离的2倍； (3)数轴上还有一点C的坐标为30，若点P和Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1 个单位长度的速度向C点运动，P到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A,点Q到达终点 C停止.求点P和点Q运动多少秒时，P,Q两点之间的距离为4. 18.如图，已知数轴上点A表示的数为10，点B位于点A左侧，AB=15.动点P从点A出发，以每秒2个单 位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒. 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 0 (1)当点P在A、B两点之间运动时， ①用含t的代数式表示PB的长度； ②若PB=2PA,求点P所表示的数； (2)动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点Q到达点A后立即原速返回. 若P,Q两点同时出发，其中一点运动到点B时，两点停止运动.求在这个运动过程中，P,Q两点相遇时t 的值. 8/8