专题02 绝对值相关压轴题分类训练（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材沪科版

专题02 绝对值相关压轴题分类训练 题型1 利用绝对值非负性求值（常考点） 题型6 绝对值的化简 题型2 绝对值的最值问题 题型7 已知绝对值求代数式的值（重点） 题型3 利用数轴去绝对值（常考点） 题型8 绝对值几何意义相关最值问题（难点） 题型4 含绝对值的方程 题型9 绝对值几何意义相关综合问题（难点） 题型5 绝对值相关综合问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用绝对值非负性求值（共3小题） 1．（24-25七上·广东江门新会葵城中学·期末）若，则 ， ． 【答案】 2 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2，． 2．（24-25七上·山东济南莱芜和庄镇中学·期末）若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七上·江苏·期末）若与互为相反数，则 ． 【答案】2 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：2． 题型二 绝对值的最值问题（共3小题） 4．代数式的最小值等于 ． 【答案】 【详解】解：∵ ， ∴的最小值为． 故答案为：． 5．式子的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ， ∴式子的最小值是， 故答案为：． 6．当 时，有最大值，最大值为 ． 【答案】 1 10 【详解】由，则， 所以， 故当时，有最大值，最大值为10． 故答案为：1，10． 题型三 利用数轴去绝对值（共3小题） 7．（24-25七上·江苏·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，则的化简结果为 ． 【答案】 【详解】解：由数轴可得， ，， ∴ ∴ , ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，去括号和合并同类项有关知识，是一道综合性强的题目． 8．（24-25七上·安徽宣城·期末）已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简后得 ． 【答案】 【来源】安徽省宣城市2024-2025学年七年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子的符号，化简绝对值，根据数轴确定的符号是解题的关键．首先根据数轴确定的符号，再化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知，，， 则， ∴ ， 故答案为：． 9．（24-25七上·安徽合肥瑶海区·期末）a、b在数轴上的对应点如图所示，则 ． 【答案】/ 【来源】安徽省合肥市瑶海区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，减法运算的含义，合并同类项，根据数轴的知识点以及绝对值的性质进行解题即可． 【详解】解：由数轴可知， ， ∴，， ∴． 故答案为：． 题型四 含绝对值的方程（共3小题） 10．（24-25七上·福建莆田荔城·期末）若，则的值等于（   ） A．28或 B．或32 C．28或32 D．或 【答案】A 【来源】福建省莆田市荔城区2024-2025学年七年级上学期期末试卷数学试题 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，解一元一次方程，根据绝对值的定义得到或，据此解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或， 故选：A． 11．已知，则的值可能是（  ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵， ∴或， 故选：C． 12．若，则 ． 【答案】或 【详解】解：因为， 所以， 解得：或， 故答案为：或． 题型五 绝对值相关综合问题（共3小题） 13．（24-25七上·山西晋中榆次一中·期末）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】C 【来源】山西省晋中市榆次第一中学校2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘除法符号问题，根据，分三种情况分别求得的值，即可判断①；根据，可得，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值进而判断②，根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可判断③，根据，可得，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，分类讨论化简绝对值，根据③的方法即可判断④和⑤． 【详解】解：①∵， 当同号时，即或，时， 或， 当异号，即，或，， ∴或 ∴当时，的值为或；故①正确； 当时，即， ∴a、b异号，即，或，， ∴或； ∴当时，的值为；故②正确； ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴． ∴的值为．故③不正确； ∵，则 ∴， ∴a、b、c中有3个负数或一负两正， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有一负两正时，； ∴的值为或；故④正确； ∵， ∴a、b、c中一负两正或一正两负， 当a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴ 当a、b、c中一正两负， 不妨设, ∴ ∴的所有可能的值为，故⑤正确， 故正确的有①②④⑤， 故选：C． 14．（24-25·福建泉州科技中学·期末）如图，数轴上顺次有A、B、D、E、P、C六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点A、B、C对应的数分别为a、b、c，下列说法：①若，则D是原点；②若，则原点在B、D之间；③若，则；④若原点在D、E之间，则，其中正确的结论有（    ）    A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【来源】福建省泉州科技中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试题 【分析】设相邻两点之间的距离为x，则，，①原式变形可得，①正确；②由数轴知，，，若，则原点在B、A之间；故②错误；③若，则，③正确；④若原点在D、E之间，则，可得，，可判断.即取值不一定小于0，故④错误； 【详解】解：设相邻两点之间的距离为x，则，， ①若，则， ∴，即点D是原点，①正确； ②若，由数轴知，， ∴，， 若，则原点在B、A之间；故②错误； ③若，则，， ∴，故③正确； ④若原点在D、E之间，则， ， ∴. ∴ ∴.可知取值不一定小于0， ∴不一定成立，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查数轴比较实数大小，数轴表示数，绝对值的化简，不等式的性质，运用数形结合思想是解题的关键． 15．（24-25七上·重庆实验外国语·期末）下列说法正确的有（    ） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：①由可得，中有一个或三个值为负数， 当，时， 当时， 故①正确； ②由和得中有一个值为负数， ∴，， ∴， 故②错误； ③当时，，， 则，此时最大值为7，最小值为 当时，， 则 故③正确； ④由可得或 当时，与矛盾，舍去； 当时，，且 解得或 则， 故④正确； ⑤由题意可得异号， 当，时，，， 由可得，即符合题意，此时 则 当，时，， 由可得，即，与矛盾，舍去， 综上 故⑤正确； 正确的个数为4 故选：C 题型六 绝对值的化简（共3小题） 16．（24-25七上·北京五十中·期末）若，那么 ． 【答案】 【来源】北京市第五十中学2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了绝对值的意义，由，可得：①，，②，；分别计算即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴有两种情况：①，，②，； ①当，时，； ②当，时，； 综上所述，的值为：． 故答案为：． 17．（24-25七上·山东临沂河东区·期末）若且，则值为 ． 【答案】1或 【来源】山东省临沂市河东区2024--2025学年上学期七年级数学期末试卷 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数的加法和除法，应用“分类讨论”的数学思想是关键．根据且可知a，b，c为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论代数式的可能的取值，再求所有可能的值即可． 【详解】由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正． 当a，b，c为两正一负时， 当a，b，c为两负一正时，， 故答案为：1或 18．（24-25七上·湖南岳阳·期末）若有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则 ． 【答案】 【来源】湖南省岳阳市2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查数轴与有理数，化简绝对值，有理数的运算，根据点在数轴上的位置，判断数的符号，化简绝对值后，进行计算即可． 【详解】解：由图可知：， ∴原式； 故答案为：． 题型七 已知绝对值求代数式的值（共3小题） 19．（24-25七上·安徽池州贵池区·期末）已知，，且，则的值等于 ． 【答案】 【来源】安徽省池州市贵池区2022-2023学年七年级上学期期末质量检测 【分析】根据绝对值的性质可得，再由，可得到或，再代入，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴或， 当时，； 当时，； 综上所述，的值等于． 故答案为： 【点睛】本题考查了绝对值的性质以及有理数的加法，求代数式的值，能正确得出相应字母的值是解本题的关键． 20．已知，且，则 【答案】或 【详解】， ， 又， 或， 或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查绝对值的性质，能够根据条件正确判断出、、的值是解题的关键． 21．（24-25七上·上海浦东上南南校&傅雷中学·期末）已知，，，则 ． 【答案】5或1/1或5 【详解】解：， ∴ ． ∴ ． 又，， ，． 当，则，此时． 当，则，此时． 综上：或1． 故答案为：5或1 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 题型八 绝对值几何意义相关最值问题（共3小题） 22．（24-25七上·江苏宜兴树人中学·期末）已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为 ． 【答案】2024 【详解】∵表示数轴上点x到点a和点b的距离的和，且， ∴当时，这个距离和最小， ∴， ∴． 故答案为：2024． 23．（24-25七上·四川巴中·期末）一般地，数轴上数a和数b两点之间的距离用来表示．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ． 【答案】 或 【来源】四川省巴中市2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，根据绝对值的意义解答①，由表示到的距离与到的距离的和，可知，当，距离之和最小，据此即可解答②，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵表示到的距离与到的距离的和， ∴当，距离之和最小，最小值为， 故答案为：或，． 24．（24-25·四川宜宾龙文学校·期末模拟联考）m是常数，若式子的最小值是7，则m的值为 ． 【答案】或8 【来源】2024年秋四川省宜宾市龙文学校期末模拟联考 数学试题 【分析】本题考查绝对值意义，解一元一次方程的应用，理解绝对值的几何意义，掌握解一元一次方程的步骤，利用分类讨论思想解题是关键．分三种情况，结合绝对值的意义化简求解． 【详解】∵可以看作数轴上表示x的点距离表示的点的距离之和，且的最小值是7， ①当时，即，则时，原式有最小值，此时，解得： ②当时，即，则时，原式有最小值，此时，故不合题意； ③当时，即，则时，原式有最小值，此时，解得：； 综上，m的值为或8， 故答案为：或8． 题型九 绝对值几何意义相关综合问题（共3小题） 25．（24-25七上·四川乐山马边彝族自治县·期末）阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1) (2)或；； (3)、、、、 【来源】四川省乐山市马边彝族自治县2024—2025学年七年级上学期期末调研检测 数学试卷 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，即可得到结论； （2）根据数轴上与表示的点相距个单位的点表示的数为或，数轴上与表示的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可得到结论； （3）根据表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和，即可得到使得成立的所有符合条件的整数为，，，，； 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ． 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：或； ， ， 解得：； 故答案为：或；；． （3）∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 这样的整数有、、、、 26．（24-25七上·内蒙古包头昆都仑区·期末）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示5与的两点之间的距离是______；数轴上表示x与2的两点之间的距离是______； (2)若，求m的值； (3)若，写出整数n的值； (4)若代数式的最小值是4，请直接写出a的值． 【答案】(1)7， (2)或 (3) (4)或 【来源】内蒙古包头市昆都仑区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值方程，熟练掌握数轴上两点距离及绝对值方程是解题的关键； （1）根据数轴上两点距离可直接进行求解； （2）根据绝对值几何意义即可得出结论； （3）根据绝对值几何意义得出n的取舍范围，进而得出结果； （4）由（3）及绝对值的几何意义可进行求解 【详解】（1）解：数轴上表示5与的两点之间的距离是；数轴上表示x与2的两点之间的距离是， 故答案为：7；； （2）解： ， ∴或， ∴或； （3）解：由可知：数轴上表示n的数与2和的距离为5， ∴当时，则有，不符合题意； 当时，则有，符合题意； 当时，则有，不符合题意； ∴整数的n的值为； （4）解：由（3）及绝对值的几何意义可知：的最小值是4，即当x在1和之间时，且1和的距离为4，即， ∴或， ∴或． 27．（24-25七上·云南保山腾冲·期末）阅读材料解决问题． 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了这样的规律：若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点间的距离（或）． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为-4，点表示的数为6，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：①、两点间的距离______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为______，点表示的数为______； (2)求当为何值时，； (3)若点表示的数记为，是否存在一个值使代数式的值最小，若存在请直接写出的值和的最小值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)①10；②； (2)或 (3)当时的值最小，最小值为10 【来源】云南省保山市腾冲市2024-2025学年上学期期末教育教学质量监测七年级数学试卷 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数轴、两点间的距离、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用方程和数形结合的思想解答． （1）①根据点表示的数为，点表示的数为6，即可得到、两点间的距离；②依据点，的运动速度以及方向，即可得到结论； （2）根据，可以求得相应的的值； （3）根据题意可知表示p的点到，，三个点距离的和，当点与重合时最小． 【详解】（1）①A、B两点间的距离； ②用含t的代数式表示：秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 故答案为：①10；②，； （2）秒后，点表示的数，点表示的数为， ， 又， ， 解得：或， 当或时，； （3）存在一个，使代数式的值最小， ∵ ∴表示p的点到，，三个点距离的和， ∴当点与重合时， 当时的值最小，最小值为10． $专题02 绝对值相关压轴题分类训练 题型1 利用绝对值非负性求值（常考点） 题型6 绝对值的化简 题型2 绝对值的最值问题 题型7 已知绝对值求代数式的值（重点） 题型3 利用数轴去绝对值（常考点） 题型8 绝对值几何意义相关最值问题（难点） 题型4 含绝对值的方程 题型9 绝对值几何意义相关综合问题（难点） 题型5 绝对值相关综合问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用绝对值非负性求值（共3小题） 1．（24-25七上·广东江门新会葵城中学·期末）若，则 ， ． 2．（24-25七上·山东济南莱芜和庄镇中学·期末）若，则 ． 3．（24-25七上·江苏·期末）若与互为相反数，则 ． 题型二 绝对值的最值问题（共3小题） 4．代数式的最小值等于 ． 5．式子的最小值是 ． 6．当 时，有最大值，最大值为 ． 题型三 利用数轴去绝对值（共3小题） 7．（24-25七上·江苏·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，则的化简结果为 ． 8．（24-25七上·安徽宣城·期末）已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简后得 ． 9．（24-25七上·安徽合肥瑶海区·期末）a、b在数轴上的对应点如图所示，则 ． 题型四 含绝对值的方程（共3小题） 10．（24-25七上·福建莆田荔城·期末）若，则的值等于（   ） A．28或 B．或32 C．28或32 D．或 11．已知，则的值可能是（  ） A． B． C．或 D．无法确定 12．若，则 ． 题型五 绝对值相关综合问题（共3小题） 13．（24-25七上·山西晋中榆次一中·期末）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 14．（24-25·福建泉州科技中学·期末）如图，数轴上顺次有A、B、D、E、P、C六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点A、B、C对应的数分别为a、b、c，下列说法：①若，则D是原点；②若，则原点在B、D之间；③若，则；④若原点在D、E之间，则，其中正确的结论有（    ）    A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④ 15．（24-25七上·重庆实验外国语·期末）下列说法正确的有（    ） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型六 绝对值的化简（共3小题） 16．（24-25七上·北京五十中·期末）若，那么 ． 17．（24-25七上·山东临沂河东区·期末）若且，则值为 ． 18．（24-25七上·湖南岳阳·期末）若有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则 ． 题型七 已知绝对值求代数式的值（共3小题） 19．（24-25七上·安徽池州贵池区·期末）已知，，且，则的值等于 ． 20．已知，且，则 21．（24-25七上·上海浦东上南南校&傅雷中学·期末）已知，，，则 ． 题型八 绝对值几何意义相关最值问题（共3小题） 22．（24-25七上·江苏宜兴树人中学·期末）已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为 ． 23．（24-25七上·四川巴中·期末）一般地，数轴上数a和数b两点之间的距离用来表示．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ． 24．（24-25·四川宜宾龙文学校·期末模拟联考）m是常数，若式子的最小值是7，则m的值为 ． 题型九 绝对值几何意义相关综合问题（共3小题） 25．（24-25七上·四川乐山马边彝族自治县·期末）阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 26．（24-25七上·内蒙古包头昆都仑区·期末）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示5与的两点之间的距离是______；数轴上表示x与2的两点之间的距离是______； (2)若，求m的值； (3)若，写出整数n的值； (4)若代数式的最小值是4，请直接写出a的值． 27．（24-25七上·云南保山腾冲·期末）阅读材料解决问题． 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了这样的规律：若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点间的距离（或）． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为-4，点表示的数为6，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：①、两点间的距离______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为______，点表示的数为______； (2)求当为何值时，； (3)若点表示的数记为，是否存在一个值使代数式的值最小，若存在请直接写出的值和的最小值；若不存在请说明理由． $