精品解析：河南省新未来2025-2026学年高三上学期11月联合测评数学试题

2025—2026学年新未来大联考高三年级11月联合测评 数学试题 （试卷满分：150分考 试用时：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的非空真子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 2. 设，，则（ ） A. －1 B. C. D. 1 3. 设甲：；乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 4. 不等式的解集为（ ） A. {且} B. {或} C. D. 5. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. D. 6. 设等差数列的公差为，其前项和为，若存在唯一的最大值，则下列可能成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中，对应关系为从集合到集合的函数的是（ ） A. 为“乘以2”， B. 为“对应元素为4或5”， C. 为“求倒数”， D. 为“求平方根”， 10. 如图，在四面体中，为的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到直线的距离为 11. 已知函数的图象是由曲线上各点横坐标变为原来的后，向右平移个单位长度所得.记，则（ ） A. B. 曲线关于点中心对称 C. 若在区间上单调递减，则的取值范围是 D. 若在区间上有零点，则的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为__________. 13. 已知函数的定义域为，其图象关于对称，若当时，，则__________. 14. 在中，，且，则__________；若点满足，且在上的高为，则的面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：. 16. 如图，在的边和上，分别分布着一系列点和，使得，且所有梯形的面积均相等.设，其中的面积为. （1）求梯形的面积； （2）求数列的通项公式. 17. 记为数列的前项和，且，. （1）求； （2）证明：为等比数列； （3）求. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点. （1）求证：； （2）已知四点均在以为球心的球面上. ①求证：不与平面平行； ②若与平面所成角的正弦值为，求的长. 19. 设函数. （1）求证：函数不单调； （2）当时，求证：； （3）若的解集为，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年新未来大联考高三年级11月联合测评 数学试题 （试卷满分：150分考 试用时：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的非空真子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出集合中元素个数可得答案. 【详解】的解为为自然数集， 故中的元素个数为2，故其非空真子集个数为， 故选：B. 2. 设，，则（ ） A. －1 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，解得，所以 3. 设甲：；乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算性质可得乙：或，结合充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【详解】由，得，解得或， 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A 4. 不等式的解集为（ ） A. {且} B. {或} C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母中绝对值的性质进行分类讨论，然后分别求解不等式即可. 【详解】当时，， 不等式，，解得，取交集，得. 当时，， 不等式，，解得，取交集，得. 当时，分式无意义. 综上所述，不等式的解集为{或}. 故选：. 5. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据模长关系可得，结合数量积的坐标运算求解. 【详解】因为，， 则，解得或（舍去）， 即，所以. 故选：D. 6. 设等差数列的公差为，其前项和为，若存在唯一的最大值，则下列可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，可得出，再由，可得出，可求出的取值范围，然后逐项检验即可. 【详解】因为数列为等差数列，且其前项和为， 若存在唯一的最大值，则必有，， 根据题意可知，解得， 且，解得， 故，即，解得，故A不符合题意； 对于B选项，当时，，故B不符合题意； 对于C选项，当时，，故C符合题意； 对于D选项，当时，，故D不符合题意. 故选：C. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系式及和两角和与差的三角函数公式可得. 【详解】由，再由同角三角函数关系得，， 即，两边平方得， 令，则，解得或（舍去）， 所以， . 故选：A. 8. 在三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作，可证平面，由线面夹角可得，求相应长度即可得体积. 【详解】作，垂足为，连接， 因为平面，平面，则，， 且，平面，可知平面， 可知直线与平面所成的角为， 且，则， 又因为，则，， 且，可得， 所以三棱锥的体积为. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中，对应关系为从集合到集合的函数的是（ ） A. 为“乘以2”， B. 为“对应元素为4或5”， C. 为“求倒数”， D. 为“求平方根”， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的定义，结合选项依次判断即可. 【详解】A：若，则，符合题意，故A正确； B：因为，所以不符合题意，故B错误； C：若，则，所以符合题意，故C正确； D：若，则的平方根为，而，故D错误. 故选：AC 10. 如图，在四面体中，为的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到直线的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A直接用面面垂直的判定定理可得，对BCD则用空间向量分别计算点到面，点到线的距离及线面角可得. 【详解】设的中点为O，连接.因，所以. 又因，所以O为直角三角的外心，且， 所以，，得. 因，， ，平面， 所以平面，平面，所以平面平面，故A正确； 故以所在直线为轴，以过B点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，，. 设平面的法向量，， 由，得，令，，. 与同方向的单位法向量， 所以在单位法向量上的投影向量的模， 得点到平面的距离为，故B错误； 再由，直线与平面所成角的正弦值为 ，所以C正确； 再由，取与同向的单位向量， 所以点到直线的距离为，故D错误； 故选：AC. 11. 已知函数的图象是由曲线上各点横坐标变为原来的后，向右平移个单位长度所得.记，则（ ） A. B. 曲线关于点中心对称 C. 若在区间上单调递减，则的取值范围是 D. 若在区间上有零点，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数的平移伸缩规律分别求的即可判断项；求出的解析式，带入验证即可判断项；根据函数解析式，求得单调区间，结合的范围和子集关系求解即可判断项；根据函数解析式，求得的零点，结合的范围求解即可判断项. 【详解】根据题意得，所以，则， 又，所以，解得，所以，故正确； 因为，且， 所以曲线不关于点中心对称，故错误； ，令得， 所以的单调递减区间为， 则且， 所以解得，故正确； 令得，所以轴正半轴上从左往右的三个零点依次为，，， 由得，所以若在区间上有零点， 则或，解得或，故正确. 故选：. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出命题“ 恒成立”为真命题时 的取值范围，再取其补集即可得出结论. 【详解】设 :＂ ，不等式 恒成立＂，其等价于 恒成立， 若 为真命题，则 ，解得 ． 又 为假命题，故 的取值范围是命题 为真时的补集， 即 或 ． 故答案为：． 13. 已知函数的定义域为，其图象关于对称，若当时，，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】由函数的对称性得到，再由即可求解. 【详解】显然关于对称，故5， 于是， 故. 故答案为：8 14. 在中，，且，则__________；若点满足，且在上的高为，则的面积为__________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简得出，结合角的取值范围可得出角的值，进而可得出的值；分析可知为等边三角形，设其边长为，由得出，利用平面向量数量积的运算性质得出，结合三角形的面积公式可求出的值，由此可得出的面积. 【详解】因为，可得， 因为，则，所以，则，故， 所以为等边三角形，故，设其边长为， 因为，即，可得， 所以，故， 由题意可知，解得， 故. 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：. 【答案】（1） （2） 证明：注意到 时，  ， 故  ，故  单调递增；  时， 单调递减． 所以函数的最大值为. 故  ． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数 ，利用导数的几何意义即可求出切线方程； （2）判断函数的单调性，可得函数的最大值为，从而得证. 【小问1详解】 当 时， ， 函数求导得则 故曲线 在点 处的切线方程为 , 整理得 ． 【小问2详解】 略 16. 如图，在的边和上，分别分布着一系列点和，使得，且所有梯形的面积均相等.设，其中的面积为. （1）求梯形的面积； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，根据面积之比为相似比的平方可得出，进而可求得梯形的面积； （2）根据题意得出，解得，推导出数列为常数列，即可得出数列的通项公式. 【小问1详解】 由可得， 因为，，由面积之比为相似比的平方，得， 所以梯形的面积为. 【小问2详解】 因为，且所有梯形的面积都相等， 故，故， 可得且，故数列是每项均为的常数列， 故，可得. 17. 记为数列的前项和，且，. （1）求； （2）证明：为等比数列； （3）求. 【答案】（1） （2）由， 当时，， 两式相减，可得，即， 而，则，满足上式， 故是首项为，公比为的等比数列. （3） 【解析】 【分析】（1）令，结合和的关系求解即可； （2）根据和的关系结合题设证即可； （3）方法一：由（2）可得，进而结合分组求和法求和即可； 方法二：先由，得，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，进而求得. 【小问1详解】 令，得，而， 则，得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 方法一：由（2）可得，故， 故. 方法二：由，得， 而，故数列是首项为1，公比为的等比数列， 故，故. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点. （1）求证：； （2）已知四点均在以为球心的球面上. ①求证：不与平面平行； ②若与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】（1） 取中点，连接， 在直角梯形中， ， 故四边形为正方形，则， ∴，即， ∵平面，平面， ∴， ，平面，平面， ∴平面，平面， ∴. （2）①过作，∵平面， ∴平面， 由（1）可知，∴以为原点如图建立空间直角坐标系， 由（1）可知在直角中，为的外心， 故过的球的球心在直线上， 设，则，，∴， 设，则，即， 则，当时，方程无解， 故与平面不平行. ② 【解析】 【分析】取中点，在直角梯形中，证明，由线面垂直得到线线垂直，再得到线面垂直，然后得到线线垂直； （2）①过点作的平行，得到三条直线两两垂直，建立空间直角坐标系.然后证明球心在轴上，设和的坐标，得到点坐标，通过建立方程，假设平面，证明方程无解即可得到结论； ②写出平面的一个法向量，由线面角的正弦值建立方程，结合①中的方程，即可解得的值，即可求出的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②由①可知平面的一个法向量为， 设与平面的夹角为， 则， 即，即，又∵且 ∴，即，， 即 19. 设函数. （1）求证：函数不单调； （2）当时，求证：； （3）若的解集为，求实数的取值范围. 【答案】（1） 证明:由，得. 所以，. 由在上连续，且，由零点存在性定理，存在，使得. 所以在上有正有负，因此函数不单调. （2） 证明：当时，，，， 当时，，两者不同时为0，且，所以. 当时，令，得，即. 根据函数与函数的图象可知，在区间上有且仅有一个交点， 即存在唯一，使得，即. ,所以在处取得最大值. 又，. , 设，则在区间上单调递减， . ，即的最大值小于2，. （3）. 【解析】 【分析】（1）直接判断导数在定义域上有正有负即可； （2）运用导数求解函数的最大值，再判断最大值小于2可得； （3）构造函数，进而转化为同样等价于：对所有恒成立；对所有恒成立.再分别按恒成立问题解得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，即， 令，. 又因的解集为，所以不等式的解集为. 同样等价于：对所有恒成立；对所有恒成立. 由的图象是一条连续不断的曲线，. ，当时，， 所以，函数在上单调递减. 在区间上的最大值为. 在区间上恒成立，满足条件. 当时，要求，即， 设，则， 在区间上，，，在区间上单调递减. 又，所以在区间上先增后减， 即在区间上的最小值在或处取得. 在区间的最小值只能是0或. 要使在区间上恒成立，则. 综上所述，. 又，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $