由直线与圆的位置求参数问题、最值问题与定点问题 专项训练-2026届高三数学一轮复习

由直线与圆的位置求参数问题、最值问题与定点问题专项训练 由直线与圆的位置求参数问题、最值问题与定点问题专项训练 考点目录 由直线与圆的位置求参数问题 由直线与圆的位置求最值问题 由直线与圆的位置求定点问题 考点一 由直线与圆的位置求参数问题 例1．（25-26高二上·广西钦州·期中）若直线l：与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，直线l的方程可化为， 所以直线l恒过定点， ，可化为（）其表示以为圆心，半径为2的圆上半部分， 如图，当l与该曲线相切时，点到直线的距离，解得. 设，则. 由图可得，若要使直线l与曲线有两个交点，则. 故选：C.    例2．（25-26高二上·山东泰安·期中）若直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，且， 故曲线为圆的右半圆， 作出直线与曲线的图象如下图所示：    当直线即与曲线相切且切点在第四象限时，， 且有，解得， 当直线过点时，直线与曲线有两个公共点，此时； 当直线过点时，直线与曲线只有一个公共点，此时， 结合图形可知，若时，直线与曲线只有一个公共点. 故选：A. 例3．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆，直线，若圆C上有四个点到直线l的距离为2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知圆的圆心为，半径， 因为圆C上有四个点到直线l的距离为2， 则圆心到直线的距离为， 又圆心到直线的距离， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A 例4．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）若直线与圆有公共点，则的一个取值是 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】直线恒过定点， 圆的圆心为，半径， 显然点在圆外，直线与圆有公共点， 则圆心到直线的距离， 化简得，解得. 又，则或1或2. 即的一个取值是. 故答案为：（填或填也正确） 例5．（25-26高二上·上海·月考）在平面直角坐标系中，“直线，与曲线相切”的充要条件是 . 【答案】 【详解】由曲线，可得， 表示以原点为圆心，半径为的右半圆， 是倾斜角为的直线与曲线相切， 则圆心到直线的距离等于半径，即， 所以，结合图象可得. 故答案为：. 变式1．（25-26高二上·广西来宾·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线为过点的动直线， 曲线，即为半圆， 圆心为，半径为1，设半圆最下方的点为，如图，    当直线与半圆相切时，有，解得； 当直线过点时，有，即； 因为直线与半圆有两个不同的交点，所以， 则的取值范围是. 故选：B 变式2．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知直线和圆，若直线与圆相切，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】圆，则圆心为，半径为， 因为直线即和圆相切， 所以，平方得，解得或. 故选：C 变式3．（25-26高二上·四川遂宁·期中）若方程有两个不同的解，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由得， 表示圆心为，半径为的圆在轴下方的部分， 表示过点，且斜率存在的直线， 过点与的直线的斜率为， 由图可知，要使方程有两个不同的解， 则的取值范围是. 故答案为： 变式4．（25-26高二上·河北唐山·期中）若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为. 圆心到直线的距离. 设与直线距离为1的两条平行线为， 由，得或. 则圆心到的距离为，到的距离为. 因为圆上到直线距离为1的点有且仅有2个， 所以圆与这两条平行线一个相交、一个相离，即. 故答案为：    考点二 由直线与圆的位置求最值问题 例1．（25-26高二上·天津南开·开学考试）已知，以下结论正确的有（    ） ① ②的最大值为26 ③的最大值是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】由， 因为可看成圆上的动点与定点的斜率， 再结合图形可得： 设过点的切线， 由相切可得：，解得：或， 所以由图可得斜率范围，即，故①正确； 因为，所以， 而，所以，故②正确； 因为，所以， 而可看成圆上的动点与两定点的距离之差， 如图： 由，当且仅当三点共线且在延长线上时取等号， 所以的最大值是,故③正确； 故选：D 例2．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知实数x，y满足，则的最大值是（   ） A． B．4 C． D．7 【答案】A 【详解】令，则， 由， 得， 整理得，， 因为存在实数满足等式， 所以， 解得， 则的最大值为. 故选：A. 例3．（25-26高二上·广东·期中·多选）已知圆，直线与C交于A，B两点，点M为弦AB的中点，，则（    ） A．弦长没有最小值 B．有最大值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为 【答案】CD 【详解】对于A，由圆，可得圆心为，半径为 又由直线，可得，可得过定点，则点在圆内部， 根据圆的性质，可得当直线，弦取得最小值，所以A不正确； 对于B，因为是弦的中点，连接，可得， 设，可得，整理得， 即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 因为，可得点在圆外， 所以的最大值为，所以B不正确； 对于C，由， 要使得的面积最大，只需点到直线的距离最大即可， 又由的方程为，即，则圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为， 所以的面积最大值为，所以C正确； 对于D，设，且， 可得，所以， 因为动点的轨迹方程为， 设，可得， 则直线与圆必有公共点， 可得，即，解得， 所以得最大值为，所以D正确. 故选：CD.    例4．（25-26高二上·福建莆田·期中·多选）已知圆和直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．截圆所得弦长的最大值为2 C．截圆所得弦长取最小值时 D．上动点到的距离的最大值为 【答案】AC 【详解】对于A，直线即， 令，解得，所以直线过定点，故A正确； 对于B，直线截圆所得弦长最大值为直径的长，即最大值为，故B错误； 对于C，因为，所以定点在圆内，即直线与圆相交， 设点，由圆的几何性质，当直线与垂直时，弦长最小， 所以，即，所以，故C正确； 对于D，由圆的几何性质，当时，到的距离最大， 所以，故D错误. 故选：AC. 例5．（25-26高二上·重庆黔江·期中）若点是圆上一动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】点为圆上的点，如图所示，设直线与圆相切， 则圆心到直线的距离为，即：， 据此可得：，又，所以， ． 故答案为：． 例6．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知实数x，y满足，则的最大值为 . 【答案】 【详解】方程化为，表示以点为圆心，3为半径的圆， 设，即，依题意，直线与圆有公共点， 因此，解得， 所以的最大值为. 故答案为： 例7．（25-26高二上·江西南昌·期中）（1）已知动直线：，圆C：，求直线与圆C相交的最短弦长 （2）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上，是圆C上任意一点，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为，所以， 令，解得，，则直线必过， 而，则直线与圆C相交，圆心， 由圆的性质得当且仅当时，直线与圆相交的弦长最短， 由两点间距离公式得连线长度为， 由圆的弦长公式得所求最短弦长为. （2）法一：设圆心的坐标为，因为圆心在直线上， 所以.①，因为A，B是圆上两点，所以. 根据两点间距离公式，有， 即.②由①②可得，， 所以圆心的坐标是. 圆的半径， 所以所求圆的标准方程是， ， ，当且仅当时取等， ，即， ， 的取值范围是. 法二：设线段的中点为，由A，B两点的坐标为，， 可得点的坐标为，直线的斜率为， 因此，线段的垂直平分线的方程是， 即.由垂径定理可知，圆心也在线段的垂直平分线上， 所以它的坐标是方程组的解，解得. 所以圆心的坐标是，圆的半径， 所以所求圆的标准方程是， 设，则直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离， 即，， 的取值范围是. 变式1．（25-26高二上·云南普洱·期中）设，，直线经过圆C：的圆心，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【详解】由可得圆心坐标， 由题意，即， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为4， 故选：A 变式2．（25-26高二上·甘肃定西·期中）若实数满足等式，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则，即， 又表示以为圆心，半径的圆， 依题意可得，解得，所以的最大值为. 故选：D 变式3．（25-26高二上·江苏无锡·期中·多选）已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是9 B．的最大值是9 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】AC 【详解】曲线的方程可化为， 令，其几何意义是圆上的点到原点的距离的平方， 圆心到原点的距离为， 圆上的点到原点的最大距离为圆心到原点的距离加上半径，即， 的最大值为，正确. 设，其几何意义是圆上的点与点连线的斜率， 则可化为，即， 直线与圆有公共点，圆心到直线的距离小于半径， 即，化简得，解得， 的最大值为，错误. 设，则，其几何意义是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时的截距取得最值， 圆心到直线的距离，即， 解得或， 的最大值是，正确. 设，即，其几何意义是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时取得最值， 圆心到直线的距离，即， 解得或， 的最小值是，错误. 故选：. 变式4．（25-26高二上·浙江杭州·期中·多选）在平面直角坐标系中，已知，直线，动点满足，则（    ） A．原点O到直线的距离的最大值为12 B．面积的最大值为8 C．点到距离的最大值为17 D．的最大值为 【答案】ABC 【详解】设，由，得， 即，则点的轨迹是圆，且圆心为，半径. 对于A，由于恒过定点，而原点O和之间的距离为12， 当直线与过点O和的直线垂直时， 原点O到直线的距离最大，最大值为12，故A正确； 对于B，在圆上运动，其圆心在轴上， 则面积的最大值为，故B正确； 对于C，由于恒过定点，和之间的距离为13， 当直线与过点和的直线垂直时， 点到直线的距离最大，最大距离为，故C正确； 对于D，当直线与圆C相切时，最大，此时， 易知，，则，故D错误． 故选：ABC.    变式5．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）如果实数x、y满足，那么的最大值是 ． 【答案】/0.5 【详解】令，则，则表示过点的直线的斜率， 又由配方得， 则的最大值即圆上动点与点连线的斜率的最大值， 由圆心到直线的距离为： ，解得， 故所求最大值为. 故答案为：. 变式6．（25-26高二上·四川成都·期中）动直线：与动直线：相交于点，则的最小值为 . 【答案】1 【详解】由题意可知，动直线：经过定点， 动直线：经过定点， 因为两直线，始终垂直，点是两条直线的交点， 所以有， 所以点的轨迹方程是， 所以点的轨迹为：以为圆心，半径为的圆去掉点. 如图， 因为，故只需求的最小值， 所以，所求可以看成点与点连线的斜率， 求出过点与圆相切的切线斜率即可， 设切线为，即. 根据相切的条件构造方程，即，解得. 所以的最小值为， 所以最小值为. 故答案为：1 变式7．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知实数满足，求以下各式的最小值. (1)； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2) (3)9 【详解】（1）方程表示以为圆心，的圆，表示点与的连线的斜率， 设过点的直线的斜率为， 则，即， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以 的最小值为； （2）令，即， 则圆心到直线的距离，解得，即， 故的最小值为； （3）=，表示圆上的点到的距离的平方，令圆上的点到的距离， 因为，所以，即， 所以， 故 的最小值为9； 考点三 由直线与圆的位置求定点问题 例1．（25-26高二上·天津南开·期中）已知点，，动点满足. (1)求点的轨迹的方程； (2)过直线上一点作的切线，切点分别为，，求证：直线过定点； (3)过坐标原点作两条互相垂直的直线分别交曲线于点，和，，求的最大值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）设，由得，， 化简得，， 所以点的轨迹的方程为． （2）由（1）知，点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆． 设的坐标为，则． 由平面几何知识知，， 所以以为圆心，为半径的圆为， 即， 与的方程相减得，即为直线的方程． 又，所以直线的方程化为． 则有，解得，则直线恒过定点． （3）当直线与直线垂直时，此时， 当直线过圆心时，此时， 则根据弦长的连续性可知． 当直线的斜率不存在或为0时，． 当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为，则的方程为． 联立得，， 设，则， 则 用替换得． 所以． 设，则，且， 其图象为一段圆弧．当时， 令，即直线， 作出图形，由图可知，当直线过时，有最大值为． 例2．（25-26高二上·上海奉贤·期中）已知圆，直线的方程，点是直线上一动点，过点作圆的切线、，切点分别为、． (1)当的横坐标为时，求的大小； (2)求证：经过、、三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标； (3)求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点、 (3)证明见解析，定点为 【详解】（1）将代入方程可得，即点， 圆的圆心为，半径为， 由平面内两点间的距离公式可得， 因为直线切圆于点，则， 因为，且为锐角，故，故. （2）设，因为，所以圆的一条直径为，且点， 圆的半径为， 故圆的方程为， 即， 由，解得或， 所以圆经过定点和.    （3）因为， 所以以点为圆心，半径为的圆的方程为， 即，    直线可视为圆与圆公共弦所在的直线， 将圆的方程与圆的方程作差， 可得直线的方程为， 由得，故直线过定点. 例3．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知圆的圆心在轴上，且经过，两点. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于，两点，且，求的斜率. (3)若为直线上的一个动点，过作圆的切线，切点为，，判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)直线经过定点. 【详解】（1）法一：设圆， 由题意得，得， 所以圆的标准方程为； 法二：设，，得的中点坐标为，， 则的中垂线方程为， 令，得，则圆的圆心为，半径为2， 故圆的标准方程为； （2）法一：当的斜率为0时，，不符合题意， 当的斜率不为0时，设，，， 由，得，易得，， ，得， 故的斜率为； 法二：作，垂足为，设， 由题意得 （注意还有对称的情况） ， 因为，， 所以，得， 故的斜率为 法三：当的斜率不存在时，，不符合题意， 当的斜率存在时，设，，，示意图同法一， 由，得，易得，， ，得. 故的斜率为. （3）直线经过定点，理由如下： 设，，， 则，，. 易得，得， 则， 所以，得， 同理得，所以直线的方程为. 由，得，所以直线经过定点. 例4．（25-26高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)设直线交圆于P，Q两点，若直线的斜率之积为3，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设， 因为圆C经过点，所以圆C的半径， 因为圆C和直线相切，所以圆C的半径， 所以. 化简，得，解得. 所以，半径. 所以圆C的方程为. （2）若直线的斜率不存在，则可设， 所以， 消去得，再代入不存在， 所以直线的斜率存在. 设直线的方程， 所以， 整理得， ① 直线方程与圆C方程联立，， 消去y得， 所以代入 ① 得， 由于，整理得，即， 所以直线l的方程为，即， 令，解得， 所以直线l过一个定点，该定点坐标为. 变式1．（25-26高二上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，已知圆：，，是圆上的动点，且，的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)设点是直线：上的动点，，是的轨迹的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值； (3)若垂直于轴的直线过点且与的轨迹交于点，，点为直线上的动点，直线，与的轨迹的另一个交点分别为，，（与不重合），求证：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）已知圆的方程为 ，将其转化为圆的标准方程： . 所以圆心，半径. 因为是的中点，可知 . 已知，则 . 在中，根据勾股定理. 设点，根据两点间的距离公式 ， 两边平方可得 . 所以点的轨迹方程为 . （2）因为，是圆的切线，所以，. 又因为 ， 所以四边形的面积， 根据勾股定理 ， 所以. 点是直线上的动点， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离 ， 即.当取最小值时， . 所以四边形面积的最小值为 . （3）    由题意可知：直线，由，解得或， 不妨令， 先证明如下问题：若点为直线上的动点，直线（其中）与圆的另一个交点分别为，（与不重合），求证：直线过定点．    因为， 可知，即，可得， 又因为， 可得， 则，即， 整理可得， 若直线的斜率存在，设为， 联立方程，消去y可得， 则，且， 则，整理可得，解得或， 若，则直线：过定点； 若，则直线：过定点，又与不重合，不合题意； 所以直线过定点； 若直线的斜率不存在，则，可得， 即，解得或（舍去）， 此时直线过点，符合题意； 且在圆内部，直线与圆必相交， 综上所述：直线过定点. 将上述问题图象，整体向右平移1个单位，再向上平移个单位，即可得到本题的问题， 结合图形平移可知：直线过定点. 变式2．（25-26高二上·江西·期中）已知点，的坐标分别为和，动点满足到点的距离是它到点的距离的2倍，动点的轨迹为曲线，曲线与轴的交点分别为，点．点是直线上的一个动点，直线，分别与曲线相交于，两点（均与，不重合）． (1)若是等腰三角形，求点的坐标； (2)①设直线，的斜率为，求的值； ②求证：直线过定点，并求出定点坐标； (3)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)或． (2)①；②证明见解析，定点． (3) 【详解】（1）设点，由，得， 整理得曲线的轨迹方程为，由对称性不妨令， 设点，若是等腰三角形，则，解得， 所以点的坐标为或. （2）①由（1）知，， 则直线的斜率，直线的斜率，有， 又直线，的斜率为，所以； ②因为，则直线的斜率，即， 设直线，代入得：， 设，则，， 因为， 整理得， 则，而，解得， 所以直线恒过定点； （3）由（2）得，， 则， 令，则， 而，则当时，取得最大值，即取得最大值，此时， 所以当直线方程为时，四边形面积的最大值为. 变式3．（25-26高二上·海南·期中）已知圆C：的半径为2． (1)求实数m的值． (2)过直线l：上的动点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B． （ⅰ）当点P的坐标为时，求这两条切线的方程； （ⅱ）证明的外接圆过定点，并求出所有定点的坐标． 【答案】(1) (2)（ⅰ）和；（ⅱ）证明见解析，，． 【详解】（1）圆C的方程化为标准方程得， 因为圆C的半径为2，所以，得． （2）（ⅰ）由（1）知圆心为，设过点P的切线为， 当的斜率不存在时，方程为，符合题意． 当的斜率存在时，设方程为，即， 利用点到直线的距离公式可得，解得， 所以的方程为，即． 综上，这两条切线的方程分别为和． （ⅱ）因为PA，PB与圆C相切，所以，， 所以P，A，B，C四点都在以PC为直径的圆上， 即的外接圆必过的一个定点为． 设，则PC的中点为，， 以PC为直径的圆的方程为， 整理可得， 由  解得或 所以的外接圆过定点，． 变式4．（25-26高二上·重庆·月考）已知圆关于直线对称，直线，点P在上运动．直线PA、PB分别与圆C相切于点A、B． (1)求圆C的方程； (2)证明：直线AB恒过定点； (3)过点的直线与圆C交于M、N两点（点M在直线上方）．在上是否存在定点Q使直线MQ、NQ的斜率之积为1？若存在，请求出Q的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【详解】（1）∵圆C关于直线对称， ∴圆心在直线上， ∴，解得， ∴圆的方程为：； （2）直线PA、PB分别与圆C相切于点A、B，故， 由平面几何可知P、A、C、B四点共圆，且PC为圆的直径， 设P、A、C、B所在圆为圆E，设，设圆E上任一点， 则， ∴圆， 与圆C：联立得， ∴得：，， ∴AB过定点． （3）存在点，理由如下： 假设存在Q，使得MQ、NQ斜率之积为1． 设，，， 当MN斜率存在时，设，则，， 联立与得， 则， ∴， 变形得到， 即， 化简得 ∵上述对恒成立， ∴，故，∴， 当MN斜率不存在时，中，令得， 可知，， 由得，， 所以满足题意． 综上，存在点使MQ、NQ斜率之积为1． 2 学科网（北京）股份有限公司 $由直线与圆的位置求参数问题、最值问题与定点问题专项训练 由直线与圆的位置求参数问题、最值问题与定点问题专项训练 考点目录 由直线与圆的位置求参数问题 由直线与圆的位置求最值问题 由直线与圆的位置求定点问题 考点一 由直线与圆的位置求参数问题 例1．（25-26高二上·广西钦州·期中）若直线l：与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·山东泰安·期中）若直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆，直线，若圆C上有四个点到直线l的距离为2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）若直线与圆有公共点，则的一个取值是 . 例5．（25-26高二上·上海·月考）在平面直角坐标系中，“直线，与曲线相切”的充要条件是 . 变式1．（25-26高二上·广西来宾·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知直线和圆，若直线与圆相切，则（   ） A． B． C．或 D．或 变式3．（25-26高二上·四川遂宁·期中）若方程有两个不同的解，则的取值范围为 ． 变式4．（25-26高二上·河北唐山·期中）若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为 考点二 由直线与圆的位置求最值问题 例1．（25-26高二上·天津南开·开学考试）已知，以下结论正确的有（    ） ① ②的最大值为26 ③的最大值是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例2．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知实数x，y满足，则的最大值是（   ） A． B．4 C． D．7 例3．（25-26高二上·广东·期中·多选）已知圆，直线与C交于A，B两点，点M为弦AB的中点，，则（    ） A．弦长没有最小值 B．有最大值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为 例4．（25-26高二上·福建莆田·期中·多选）已知圆和直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．截圆所得弦长的最大值为2 C．截圆所得弦长取最小值时 D．上动点到的距离的最大值为 例5．（25-26高二上·重庆黔江·期中）若点是圆上一动点，则的取值范围是 ． 例6．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知实数x，y满足，则的最大值为 . 例7．（25-26高二上·江西南昌·期中）（1）已知动直线：，圆C：，求直线与圆C相交的最短弦长 （2）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上，是圆C上任意一点，求的取值范围. 变式1．（25-26高二上·云南普洱·期中）设，，直线经过圆C：的圆心，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 变式2．（25-26高二上·甘肃定西·期中）若实数满足等式，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·江苏无锡·期中·多选）已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是9 B．的最大值是9 C．的最大值是 D．的最小值是 变式4．（25-26高二上·浙江杭州·期中·多选）在平面直角坐标系中，已知，直线，动点满足，则（    ） A．原点O到直线的距离的最大值为12 B．面积的最大值为8 C．点到距离的最大值为17 D．的最大值为 变式5．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）如果实数x、y满足，那么的最大值是 ． 变式6．（25-26高二上·四川成都·期中）动直线：与动直线：相交于点，则的最小值为 . 变式7．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知实数满足，求以下各式的最小值. (1)； (2) ； (3) ． 考点三 由直线与圆的位置求定点问题 例1．（25-26高二上·天津南开·期中）已知点，，动点满足. (1)求点的轨迹的方程； (2)过直线上一点作的切线，切点分别为，，求证：直线过定点； (3)过坐标原点作两条互相垂直的直线分别交曲线于点，和，，求的最大值. 例2．（25-26高二上·上海奉贤·期中）已知圆，直线的方程，点是直线上一动点，过点作圆的切线、，切点分别为、． (1)当的横坐标为时，求的大小； (2)求证：经过、、三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标； (3)求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标． 例3．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知圆的圆心在轴上，且经过，两点. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于，两点，且，求的斜率. (3)若为直线上的一个动点，过作圆的切线，切点为，，判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由. 例4．（25-26高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)设直线交圆于P，Q两点，若直线的斜率之积为3，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标. 变式1．（25-26高二上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，已知圆：，，是圆上的动点，且，的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)设点是直线：上的动点，，是的轨迹的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值； (3)若垂直于轴的直线过点且与的轨迹交于点，，点为直线上的动点，直线，与的轨迹的另一个交点分别为，，（与不重合），求证：直线过定点. 变式2．（25-26高二上·江西·期中）已知点，的坐标分别为和，动点满足到点的距离是它到点的距离的2倍，动点的轨迹为曲线，曲线与轴的交点分别为，点．点是直线上的一个动点，直线，分别与曲线相交于，两点（均与，不重合）． (1)若是等腰三角形，求点的坐标； (2)①设直线，的斜率为，求的值； ②求证：直线过定点，并求出定点坐标； (3)求四边形面积的最大值． 变式3．（25-26高二上·海南·期中）已知圆C：的半径为2． (1)求实数m的值． (2)过直线l：上的动点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B． （ⅰ）当点P的坐标为时，求这两条切线的方程； （ⅱ）证明的外接圆过定点，并求出所有定点的坐标． 变式4．（25-26高二上·重庆·月考）已知圆关于直线对称，直线，点P在上运动．直线PA、PB分别与圆C相切于点A、B． (1)求圆C的方程； (2)证明：直线AB恒过定点； (3)过点的直线与圆C交于M、N两点（点M在直线上方）．在上是否存在定点Q使直线MQ、NQ的斜率之积为1？若存在，请求出Q的坐标．若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $