第八单元数学广角——数与形【从课本到奥数】-2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列（原卷版+解析版）人教版

学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 一宋·柳永《蝶恋花。伫倚危楼风细细》 第1页共7页 品学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋] 第八单元数学广角一数与形【从课本到奥数】 课本 源自课本，夯实基础 一、填空题。 1.++g++++=( 24816'3264 16 2.用小棒按照下面的方式摆图形，第( )个图形刚好用了61根小棒，第n个图形用了 )根小棒。 第1个 第2个 第3个 第4个 3.用火柴棒按下图方式搭三角形：搭5个三角形需要火柴棒( )根，23根小棒可以搭 )个三角形。 △△☑△△ ② ③ 4.照这样的规律，第6个图形有( )个涂色小正方形，第n个图形有( )个涂色 小正方形。 22-12=332-22=542-32=7 5.数形结合是数学上常用的思想方法。观察图中小正方形的数量，其中灰白相间的小正方形 的个数依次对应着奇数组成的算式中的每一个数。请你找出其中规律，用最简便的方法计算下 第2页共7页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 面的算式。 1+3=4=2×2 1+3+5=9=3×3 1+3+5+7=16=4×4 1+3+5+7+9=25=5×5 (1)1+3+5+7+9+..+19=( )=( )×( ) (2)1+3+5+7+9+..+99=( )=( )x( ) 二、选择题。 6.如图，每个小三角形的边长是1c,照这样的规律画下去，图⑧的周长是( )cm。 ① ② ③ A.20 B.16 C.10 D.8 7.如图，首先将平行四边形纸片剪成2个完全一样的等边三角形，然后将其中一个等边三角 形剪成4个完全相同的小等边三角形，再把小等边三角形剪成4个完全相同的等边三角形，如 此循环下去。剪4次后剪出( )个三角形。 A.11 B.13 C.15 D.17 8.用小棒按照如图方式摆图形，摆30个八边形需( )根小棒。 1个 2个 3个 A.211 B.212 C.240 D.210 9.如图，用同样的小棒摆正方形，照这样的摆法，摆第个图形需要小棒( )根。 第3页共7页 命学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 4根 7根 10根 13根 A.4n B.4+1 C.4n-1 D.3n+1 10.小明去文具店买东西，在路上遇到同学交谈了一会儿，然后去文具店买了一些学习用品后 回家，下面图( )能比较准确地反映了小明的上述活动。 路程 路程↑ A B 时间 时间 路程个 路程十 D 时间 时间 奥数 高于课本，培优提高 吕【奥数培优1】数形结合解决问题（一） 写出各多边形数的第七项： (1)三角形数136101521( ) (2)正方形数149162536( )。 (3)五边形数1512223551( )。 (4)六边形数1615284566( ) 即【对应练习】 1.下面的这个数字三角形是我国古代数学家杨辉首先发现的，被誉为杨辉三角”，你知道括 号内该填多少吗？ 第4页共7页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 10 10 5 1 20 6 1 72135 ()21 71 2.如图所示，古希腊数学家毕达哥拉斯发现数量为1,3,6,10，的石子，都可以排成三 角形，他把这样的数称为三角形数，你能找到规律，写出后面的3个三角形数吗？ 6 10 3.如图1所示，科技楼有4层，正面每层的三个圆形窗户从左往右表示一个三位数，这些三 位数是571、439、837、206，但是不知道这四个数和哪一层的窗户相对应，请你观察一下， 然后在图2中画出表示20459的五个窗户。 图1 图2 吕【奥数培优2】数形结合解决问题（二） 己知甲数的是甲、乙两数的和的}，那么，乙数是甲、乙两数和的几分之几？ 5 肥【对应练习】 1.有甲、乙两袋面粉，甲袋的」和乙袋的】一样多，那么两袋面粉哪袋比较多？ 第5页共7页 画学科网 Www.zX×k.com 让教与学更高效 2.已知甲数的4是甲、乙两数的和的，那么乙数是甲、乙两数和的几分之几？ 3.简便计算：2019×2018一2020×2017。 吕【奥数培优3】数形结合解决问题（三） 一组割草人去两块草地割草，大的一块比小的一块大1倍，上午全组人都在大的一块草地割 草，下午一半人留在大块草地上，到傍晚时把草割完，另一半人去割小块草地的草，到傍晚 时还剩下一块，这一块由1个人去割，再用一天时间恰好割完。这组割草人共有多少个？ 肥【对应练习】 1.墙角O点处有一木桩上拴着一只羊，如图所示，拴羊的绳子长4米，墙角两边的墙长2米， 这只羊能吃到草的面积最多是多少平方米？ 羊 2.数学家柳卡曾提出下面的著名问题：某轮船公司较长时间以来，每天中午有一只轮船从哈 佛开往纽约，并且在每一天中午同一时间有一只轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中所花的时间 来去都是七昼夜，问今天中午从哈佛开往纽约的轮船，在整个航运途中将会遇到几只同一公司 的轮船从对面开来？ 第6页共7页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.小明、大宝两名运动员在长是30米的游泳池里来回游泳，小明的速度是每秒1米，大宝的 速度是每秒60厘米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟，如果不计转向 时间，在这段时间内他们一共相遇了多少次？ 第7页共7页学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 一宋·柳永《蝶恋花。伫倚危楼风细细》 第1页共12页 品学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋 第八单元数学广角—数与形【从课本到奥数】 课本 源自课本，夯实基础 一、填空题。 1.++g++++=( 24816'3264 6 【答案】1 【分析】根据数形结合，半个圆加上剩余部分的一半、再加上一半的一半..最终恰好凑成 个完整圆，因此和为1。 【详解】 由分析得： 计片+量洁豆 2.用小棒按照下面的方式摆图形，第( )个图形刚好用了61根小棒，第n个图形用了 )根小棒。 e年年。e 第1个 第2个 第3个 第4个 【答案】 12 5n+1 【分析】观察图形可知，在1根小棒的基础上，每增加一个六边形，就增加5根小棒：第一个 图形用了1+5=6（根）小棒：第2个图形用了1+5×2=11（根）小棒：第3个图形用了1+ 5×3=16(根)小棒；第4个图形用了1+5×4=21（根）小棒..。由此可得：小棒的根数= 1+5×图形的序数。据此解答。 【详解】通过分析可得：小棒的根数=1+5×图形的序数 第2页共12页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (61-1)÷5 =60÷5 =12(个) 则第12个图形刚好用了61根小棒，第n个图形用了(5n+1)根小棒。 3.用火柴棒按下图方式搭三角形：搭5个三角形需要火柴棒( )根，23根小棒可以搭 )个三角形。 △△△△△ ② 【答案】 11 11 【分析】观察图形可知： 搭1个三角形要3根火柴棒，2×1+1=2+1=3（根）： 搭2个三角形要5根火柴棒，2×2+1=4+1=5（根）： 搭3个三角形要7根火柴棒，2×3+1=6+1=7（根）： 搭4个三角形要9根火柴棒，2×4+1=8+1=9（根）： 按此规律搭下去，搭n个三角形要2×n+1=(2n十1)根火柴棒；据此解答。 【详解】根据分析： 规律：搭n个三角形要(2n十1)根火柴棒。 当n=5时，2×5+1=10+1=11（根） 解：设23根小棒可以搭n个三角形。 2m+1=23 2n+1-1=23-1 2n=22 2n÷2=22÷2 n=11 搭5个三角形需要火柴棒11根，23根小棒可以搭11个三角形。 4.照这样的规律，第6个图形有( )个涂色小正方形，第n个图形有( )个涂色 小正方形。 第3页共12页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 22-12=332-22=542-32=7 【答案】 13 (n+1)2-n2 【分析】根据题中给的规律，第几个图形的涂色数量，就是两个相邻的数的平方相减即可：第 几个图形，第一个数就是几加1的平方，第二个数就是几的平方，即第个图形的涂色小正方 形的个数：(n+1)2-n,据此即可填空。 【详解】第6个图形： 72-62 =49-36 =13(个) 第6个图形有13个涂色小正方形，第n个图形有(n+1)2一个涂色小正方形。 5.数形结合是数学上常用的思想方法。观察图中小正方形的数量，其中灰白相间的小正方形 的个数依次对应着奇数组成的算式中的每一个数。请你找出其中规律，用最简便的方法计算下 面的算式。 1+3=4=2×2 1+3十5=9=3×3 1+3+5+7=16=4×4 1+3+5+7+9=25=5×5 (1)1+3+5+7+9+.+19=( )=( )x( ) (2)1+3+5+7+9+..+99=( )=( )x( ) 【答案】(1) 100 10 10 (2) 2500 50 50 【分析】观察图中小正方形的数量可以发现，1+3=2×2,1+3+5=3×3,1+3+5+9= 4×4,., 找到规律：从1开始的几个连续奇数相加，等于奇数的个数的平方，据此解答。 【详解】(1)1+3+5+7+9+..+19，一共有10个奇数相加。 第4页共12页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 10×10=100 1+3+5+7+9+..+19=100=10×10 (2)1+3+5+7+9+..+99,一共有50个奇数相加。 50×50=2500 1+3+5+7+9+..+99=2500=50×50 二、选择题。 6.如图，每个小三角形的边长是1c,照这样的规律画下去，图⑧的周长是( )c1m。 ① ② ③ A.20 B.16 C.10 D.8 【答案】C 【分析】根据图示，图形①有3条边长是1cm的边；图形②有4条边长是1cm的边；图形③ 有5条边长是1cm的边；..所以第n个图形有(n十2)条边长是lcm的边，据此解答即可。 【详解】8+2=10（厘米） 所以图⑧的周长是10厘米。 故答案为：C 【点睛】本题考查了数与形结合的规律知识，结合题意分析解答即可。 7.如图，首先将平行四边形纸片剪成2个完全一样的等边三角形，然后将其中一个等边三角 形剪成4个完全相同的小等边三角形，再把小等边三角形剪成4个完全相同的等边三角形，如 此循环下去。剪4次后剪出( )个三角形。 A.11 B.13 C.15 D.17 【答案】A 【分析】根据题意，下一次剪会在上一个等边三角形的基础上剪分开，所以： 第1次剪，分成2个完全相同的等边三角形，共(1+1)2个三角形： 第2次剪，将其中一个等边三角形分成4个完全相同的等边三角形，共(1+4)5个三角形： 第3次剪，将把小等边三角形分成4个完全相同的等边三角形，共(1+3十4)8个三角形： 第5页共12页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第4次剪，再将把小等边三角形分成4个完全相同的等边三角形，共(1+3+3+4)11个三 角形： 【详解】根据分析，第1次剪，共(1+1)2个三角形： 第2次剪，共(1+4)5个三角形 第3次剪，共(1+3+4)8个三角形： 第4次剪，共(1+3+3+4)11个三角形： 故答案为：A 【点睛】此题考查了数与形的知识，关键要有一定想象力与规律总结能力。 8.用小棒按照如图方式摆图形，摆30个八边形需( )根小棒。 1个 2个 3个 A.211 B.212 C.240 D.210 【答案】A 【分析】观察图形可知： 第1个八边形需小棒8根，8=7×1+1： 第2个八边形需小棒15根，15=7×2+1： 第3个八边形需小棒22根，22=7×3+1： 第n个八边形需小棒：(7n+1)根： 据此规律解答。 【详解】规律：摆n个八边形需小棒(7n+1)根： 当n=30时 7m+1 =7×30+1 =210+1 =211(根) 摆30个八边形需211根小棒。 故答案为：A 【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 第6页共12页 命学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 9.如图，用同样的小棒摆正方形，照这样的摆法，摆第个图形需要小棒( )根。 4根 7根 10根 13根 A.4n B.4n+1 C.4n-1 D.3n+1 【答案】D 【分析】观察图形可知：1个小正方形需要1+1×3根小棒，2个小正方形需要1+2×3根小棒， 3个小正方形需要1十3×3根小棒..， 由此找出规律解答即可。 【详解】因为1个小正方形需要1+1×3根小棒，2个小正方形需要1+2×3根小棒， 3个小正方形需要1+3×3根小棒...所以n个小正方形需要(3n+1)根小棒。 故答案为：D 【点睛】根据题干中特殊的例子，推理得出这组图形的一般规律，是解决此类问题的关键。 10.小明去文具店买东西，在路上遇到同学交谈了一会儿，然后去文具店买了一些学习用品后 回家，下面图( )能比较准确地反映了小明的上述活动。 路程1 路程↑ B. 时间 时间 路程1 路程↑ C D 时间 0 时间 【答案】A 【分析】根据题意可知，小明的活动分为： ①从家出发到与同学交谈前，这段时间离家的距离越来越远： ②在路上与同学交谈，这段时间离家的距离不变： ③交谈后到文具店，这段时间离家的距离越来越远； ④到文具店买学习用品，这段时间离家的距离不变： ⑤从文具店回家，这段时间离家的距离越来越近。 据此找出能比较准确地反映小明上述活动的折线统计图。 【详解】 第7页共12页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 路程1 小明所有的活动都表现出来了，符合题意： 0 时间 路程↑ 没有表现出途中与同学交谈的这段时间，不符合题意： 0 时间 路程1 没有表现出在文具店买学习用品的这段时间，不符合题意： 时间 路程个 D 在文具店买学习用品，这段时间离家的距离近，不符合题意。 0 时间 故答案为：A 【点睛】本题考查折线统计图，看懂图意，找出路程与时间的关系是解题的关键。 奥数 的 高于课本，培优提高 吕【奥数培优1】数形结合解决问题（一） 写出各多边形数的第七项。 (1)三角形数136101521( )。 (2)正方形数149162536( ) (3)五边形数1512223551( ) (4)六边形数1615284566 ( )。 解析： (1)三角形数依次加整数2,3,4,5，..， 第七项是28： (2)正方形数依次加整数3,5,7,9，.，第七项是49： (3)五边形数依次加整数4,7,10,13，.，第七项是70： (4)六边形数依次加整数5,9,13,17，，第七项是91。 第8页共12页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 1.下面的这个数字三角形是我国古代数学家杨辉首先发现的，被誉为杨辉三角”，你知道括 号内该填多少吗？ 20 21 35 21 解析： 每个数等于它“肩膀上的两个数之和.第一个括号中填5+10-15：第二个括号中填20+15=35。 2.如图所示，古希腊数学家毕达哥拉斯发现数量为1,3,6,10，.的石子，都可以排成三 角形，他把这样的数称为三角形数，你能找到规律，写出后面的3个三角形数吗？ ● ●●● 10 解析： 1+2+3+4+5=15: 1+2+3+4+5+6=21: 1+2+3+4+5+6+7=28。 3.如图1所示，科技楼有4层，正面每层的三个圆形窗户从左往右表示一个三位数，这些三 位数是571、439、837、206，但是不知道这四个数和哪一层的窗户相对应，请你观察一下， 然后在图2中画出表示20459的五个窗户。 第9页共12页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 解析：如图所示： ⊕D⊕ 图1 图2 吕【奥数培优2】数形结合解决问题（二） 己知甲数的3是甲、 乙两数的和的}， 那么，乙数是甲、乙两数和的几分之几？ 解析：号 即【对应练习】 1.有甲、乙两袋面粉，甲袋的二和乙袋的二一样多，那么两袋面粉哪袋比较多？ 0 解析：如图所示，乙袋比较多。 甲 乙 2.己知甲数的4是甲、乙两数的和的] 那么乙数是甲、乙两数和的几分之几？ 解析： 16 3.简便计算：2019×2018-2020×2017。 解析： 两个积相减，其中没有相同因数，但几个数都非常接近，我们可以借助示意图思考，要求两 个乘积的差就是求两个长方形的面积差，去掉公共部分的面积，剩下的两个小长方形的面积 第10页共12页 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 ——宋·柳永《蝶恋花·伫倚危楼风细细》 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第八单元数学广角——数与形【从课本到奥数】 一、填空题。 1．( )。 【答案】1 【分析】根据数形结合，半个圆加上剩余部分的一半、再加上一半的一半……最终恰好凑成一个完整圆，因此和为 1。 【详解】 由分析得： 2．用小棒按照下面的方式摆图形，第( )个图形刚好用了61根小棒，第n个图形用了( )根小棒。 【答案】 12 5n＋1 【分析】观察图形可知，在1根小棒的基础上，每增加一个六边形，就增加5根小棒：第一个图形用了1＋5＝6（根）小棒；第2个图形用了1＋5×2＝11（根）小棒；第3个图形用了1＋5×3＝16（根）小棒；第4个图形用了1＋5×4＝21（根）小棒……。由此可得：小棒的根数＝1＋5×图形的序数。据此解答。 【详解】通过分析可得：小棒的根数＝1＋5×图形的序数 （61－1）÷5 ＝60÷5 ＝12（个） 则第12个图形刚好用了61根小棒，第n个图形用了（5n＋1）根小棒。 3．用火柴棒按下图方式搭三角形：搭5个三角形需要火柴棒( )根，23根小棒可以搭( )个三角形。 【答案】 11 11 【分析】观察图形可知： 搭1个三角形要3根火柴棒，2×1＋1＝2＋1＝3（根）； 搭2个三角形要5根火柴棒，2×2＋1＝4＋1＝5（根）； 搭3个三角形要7根火柴棒，2×3＋1＝6＋1＝7（根）； 搭4个三角形要9根火柴棒，2×4＋1＝8＋1＝9（根）； …… 按此规律搭下去，搭n个三角形要2×n＋1＝（2n＋1）根火柴棒；据此解答。 【详解】根据分析： 规律：搭n个三角形要（2n＋1）根火柴棒。 当n＝5时，2×5＋1＝10＋1＝11（根） 解：设23根小棒可以搭n个三角形。 2n＋1＝23 2n＋1－1＝23－1 2n＝22 2n÷2＝22÷2 n＝11 搭5个三角形需要火柴棒11根，23根小棒可以搭11个三角形。 4．照这样的规律，第6个图形有( )个涂色小正方形，第个图形有( )个涂色小正方形。       【答案】 13 （n＋1）2－n2 【分析】根据题中给的规律，第几个图形的涂色数量，就是两个相邻的数的平方相减即可；第几个图形，第一个数就是几加1的平方，第二个数就是几的平方，即第n个图形的涂色小正方形的个数：（n＋1）2－n2，据此即可填空。 【详解】第6个图形： 72－62 ＝49－36 ＝13（个） 第6个图形有13个涂色小正方形，第n个图形有（n＋1）2－n2个涂色小正方形。 5．数形结合是数学上常用的思想方法。观察图中小正方形的数量，其中灰白相间的小正方形的个数依次对应着奇数组成的算式中的每一个数。请你找出其中规律，用最简便的方法计算下面的算式。 1＋3＝4＝2×2 1＋3＋5＝9＝3×3 1＋3＋5＋7＝16＝4×4 1＋3＋5＋7＋9＝25＝5×5 (1)1＋3＋5＋7＋9＋…＋19＝( )＝( )×( )。 (2)1＋3＋5＋7＋9＋…＋99＝( )＝( )×( )。 【答案】(1) 100 10 10 (2) 2500 50 50 【分析】观察图中小正方形的数量可以发现，1＋3＝2×2，1＋3＋5＝3×3，1＋3＋5＋9＝4×4，……，找到规律：从1开始的几个连续奇数相加，等于奇数的个数的平方，据此解答。 【详解】（1）1＋3＋5＋7＋9＋…＋19，一共有10个奇数相加。 10×10＝100 1＋3＋5＋7＋9＋…＋19＝100＝10×10 （2）1＋3＋5＋7＋9＋…＋99，一共有50个奇数相加。 50×50＝2500 1＋3＋5＋7＋9＋…＋99＝2500＝50×50 二、选择题。 6．如图，每个小三角形的边长是1cm，照这样的规律画下去，图⑧的周长是( )cm。 A．20 B．16 C．10 D．8 【答案】C 【分析】根据图示，图形①有3条边长是1cm的边；图形②有4条边长是1cm的边；图形③有5条边长是1cm的边；……所以第n个图形有（n＋2）条边长是1cm的边，据此解答即可。 【详解】8＋2＝10（厘米） 所以图⑧的周长是10厘米。 故答案为：C 【点睛】本题考查了数与形结合的规律知识，结合题意分析解答即可。 7．如图，首先将平行四边形纸片剪成2个完全一样的等边三角形，然后将其中一个等边三角形剪成4个完全相同的小等边三角形，再把小等边三角形剪成4个完全相同的等边三角形，如此循环下去。剪4次后剪出( )个三角形。 A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】A 【分析】根据题意，下一次剪会在上一个等边三角形的基础上剪分开，所以： 第1次剪，分成2个完全相同的等边三角形，共（1＋1）2个三角形； 第2次剪，将其中一个等边三角形分成4个完全相同的等边三角形，共（1＋4）5个三角形； 第3次剪，将把小等边三角形分成4个完全相同的等边三角形，共（1＋3＋4）8个三角形； 第4次剪，再将把小等边三角形分成4个完全相同的等边三角形，共（1＋3＋3＋4）11个三角形； 【详解】根据分析，第1次剪，共（1＋1）2个三角形； 第2次剪，共（1＋4）5个三角形； 第3次剪，共（1＋3＋4）8个三角形； 第4次剪，共（1＋3＋3＋4）11个三角形； 故答案为：A 【点睛】此题考查了数与形的知识，关键要有一定想象力与规律总结能力。 8．用小棒按照如图方式摆图形，摆30个八边形需( )根小棒。 A．211 B．212 C．240 D．210 【答案】A 【分析】观察图形可知： 第1个八边形需小棒8根，8＝7×1＋1； 第2个八边形需小棒15根，15＝7×2＋1； 第3个八边形需小棒22根，22＝7×3＋1； …… 第n个八边形需小棒：（7n＋1）根； 据此规律解答。 【详解】规律：摆n个八边形需小棒（7n＋1）根； 当n＝30时 7n＋1 ＝7×30＋1 ＝210＋1 ＝211（根） 摆30个八边形需211根小棒。 故答案为：A 【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 9．如图，用同样的小棒摆正方形，照这样的摆法，摆第n个图形需要小棒( )根。 A．4n B．4n＋1 C．4n－1 D．3n＋1 【答案】D 【分析】观察图形可知：1个小正方形需要1＋1×3根小棒，2个小正方形需要1＋2×3根小棒，3个小正方形需要1＋3×3根小棒……，由此找出规律解答即可。 【详解】因为1个小正方形需要1＋1×3根小棒，2个小正方形需要1＋2×3根小棒， 3个小正方形需要1＋3×3根小棒……所以n个小正方形需要（3n＋1）根小棒。 故答案为：D 【点睛】根据题干中特殊的例子，推理得出这组图形的一般规律，是解决此类问题的关键。 10．小明去文具店买东西，在路上遇到同学交谈了一会儿，然后去文具店买了一些学习用品后回家，下面图( )能比较准确地反映了小明的上述活动。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，小明的活动分为： ①从家出发到与同学交谈前，这段时间离家的距离越来越远； ②在路上与同学交谈，这段时间离家的距离不变； ③交谈后到文具店，这段时间离家的距离越来越远； ④到文具店买学习用品，这段时间离家的距离不变； ⑤从文具店回家，这段时间离家的距离越来越近。 据此找出能比较准确地反映小明上述活动的折线统计图。 【详解】 A．小明所有的活动都表现出来了，符合题意； B．没有表现出途中与同学交谈的这段时间，不符合题意； C．没有表现出在文具店买学习用品的这段时间，不符合题意； D．在文具店买学习用品，这段时间离家的距离近，不符合题意。 故答案为：A 【点睛】本题考查折线统计图，看懂图意，找出路程与时间的关系是解题的关键。 【奥数培优1】数形结合解决问题（一） 写出各多边形数的第七项。 (1)三角形数1 3 6 10 15 21 ( )。 (2)正方形数1 4 9 16 25 36 ( )。 (3)五边形数1 5 12 22 35 51 ( )。 (4)六边形数1 6 15 28 45 66 ( )。 解析： (1)三角形数依次加整数2，3，4，5，…，第七项是28； (2)正方形数依次加整数3，5，7，9，…，第七项是49； (3)五边形数依次加整数4，7，10，13，…，第七项是70； (4)六边形数依次加整数5，9，13，17，…，第七项是91。 【对应练习】 1. 下面的这个数字三角形是我国古代数学家杨辉首先发现的，被誉为“杨辉三角”，你知道括号内该填多少吗? 解析： 每个数等于它“肩膀”上的两个数之和.第一个括号中填5+10=15；第二个括号中填20+15=35。 2. 如图所示，古希腊数学家毕达哥拉斯发现数量为1，3，6，10，…的石子，都可以排成三角形，他把这样的数称为三角形数，你能找到规律，写出后面的3个三角形数吗? 解析： 1+2+3+4+5=15； 1+2+3+4+5+6=21； 1+2+3+4+5+6+7=28。 3. 如图1所示，科技楼有4层，正面每层的三个圆形窗户从左往右表示一个三位数，这些三位数是571、439、837、206，但是不知道这四个数和哪一层的窗户相对应，请你观察一下，然后在图2中画出表示“20459”的五个窗户。 解析：如图所示： 【奥数培优2】数形结合解决问题（二） 已知甲数的是甲、乙两数的和的，那么，乙数是甲、乙两数和的几分之几? 解析： 【对应练习】 1. 有甲、乙两袋面粉，甲袋的和乙袋的一样多，那么两袋面粉哪袋比较多? 解析：如图所示，乙袋比较多。 2. 已知甲数的是甲、乙两数的和的，那么乙数是甲、乙两数和的几分之几? 解析： 3. 简便计算：2019×2018－2020×2017。 解析： 两个积相减，其中没有相同因数，但几个数都非常接近，我们可以借助示意图思考，要求两个乘积的差就是求两个长方形的面积差，去掉公共部分的面积，剩下的两个小长方形的面积差就是原来两个长方形的面积差，所以， 2019×2018－2020×2017=2019×1－2017×1=2 【奥数培优3】数形结合解决问题（三） 一组割草人去两块草地割草，大的一块比小的一块大1倍，上午全组人都在大的一块草地割草，下午一半人留在大块草地上，到傍晚时把草割完，另一半人去割小块草地的草，到傍晚时还剩下一块，这一块由1个人去割，再用一天时间恰好割完。这组割草人共有多少个? 解析：8人。 【对应练习】 1. 墙角O点处有一木桩上拴着一只羊，如图所示，拴羊的绳子长4米，墙角两边的墙长2米，这只羊能吃到草的面积最多是多少平方米? 解析： 要求羊吃草的面积，不好直接用面积公式计算，怎么办?我们不妨画出示意图，看看羊吃草的范围是个什么形状的，如图所示，不难看出，羊吃草的面积由 三部分组成：一部分是半径为4米的圆的；另两部 分是半径为2米的圆的，这两部分合起来正好是半径为2米的半圆，所以，这只羊能吃到草的面积最多是3.14×4²÷4+3.14×2²÷2=12.56+6.28=18.84(平方米) 2. 数学家柳卡曾提出下面的著名问题：某轮船公司较长时间以来，每天中午有一只轮船从哈佛开往纽约，并且在每一天中午同一时间有一只轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，问今天中午从哈佛开往纽约的轮船，在整个航运途中将会遇到几只同一公司的轮船从对面开来? 解析：13只。 3. 小明、大宝两名运动员在长是30米的游泳池里来回游泳，小明的速度是每秒1米，大宝的速度是每秒60厘米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟，如果不计转向时间，在这段时间内他们一共相遇了多少次? 解析：10次 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 ——宋·柳永《蝶恋花·伫倚危楼风细细》 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第八单元数学广角——数与形【从课本到奥数】 一、填空题。 1．( )。 2．用小棒按照下面的方式摆图形，第( )个图形刚好用了61根小棒，第n个图形用了( )根小棒。 3．用火柴棒按下图方式搭三角形：搭5个三角形需要火柴棒( )根，23根小棒可以搭( )个三角形。 4．照这样的规律，第6个图形有( )个涂色小正方形，第个图形有( )个涂色小正方形。       5．数形结合是数学上常用的思想方法。观察图中小正方形的数量，其中灰白相间的小正方形的个数依次对应着奇数组成的算式中的每一个数。请你找出其中规律，用最简便的方法计算下面的算式。 1＋3＝4＝2×2 1＋3＋5＝9＝3×3 1＋3＋5＋7＝16＝4×4 1＋3＋5＋7＋9＝25＝5×5 (1)1＋3＋5＋7＋9＋…＋19＝( )＝( )×( )。 (2)1＋3＋5＋7＋9＋…＋99＝( )＝( )×( )。 二、选择题。 6．如图，每个小三角形的边长是1cm，照这样的规律画下去，图⑧的周长是( )cm。 A．20 B．16 C．10 D．8 7．如图，首先将平行四边形纸片剪成2个完全一样的等边三角形，然后将其中一个等边三角形剪成4个完全相同的小等边三角形，再把小等边三角形剪成4个完全相同的等边三角形，如此循环下去。剪4次后剪出( )个三角形。 A．11 B．13 C．15 D．17 8．用小棒按照如图方式摆图形，摆30个八边形需( )根小棒。 A．211 B．212 C．240 D．210 9．如图，用同样的小棒摆正方形，照这样的摆法，摆第n个图形需要小棒( )根。 A．4n B．4n＋1 C．4n－1 D．3n＋1 10．小明去文具店买东西，在路上遇到同学交谈了一会儿，然后去文具店买了一些学习用品后回家，下面图( )能比较准确地反映了小明的上述活动。 A． B． C． D． 【奥数培优1】数形结合解决问题（一） 写出各多边形数的第七项。 (1)三角形数1 3 6 10 15 21 ( )。 (2)正方形数1 4 9 16 25 36 ( )。 (3)五边形数1 5 12 22 35 51 ( )。 (4)六边形数1 6 15 28 45 66 ( )。 【对应练习】 1. 下面的这个数字三角形是我国古代数学家杨辉首先发现的，被誉为“杨辉三角”，你知道括号内该填多少吗? 2. 如图所示，古希腊数学家毕达哥拉斯发现数量为1，3，6，10，…的石子，都可以排成三角形，他把这样的数称为三角形数，你能找到规律，写出后面的3个三角形数吗? 3. 如图1所示，科技楼有4层，正面每层的三个圆形窗户从左往右表示一个三位数，这些三位数是571、439、837、206，但是不知道这四个数和哪一层的窗户相对应，请你观察一下，然后在图2中画出表示“20459”的五个窗户。 【奥数培优2】数形结合解决问题（二） 已知甲数的是甲、乙两数的和的，那么，乙数是甲、乙两数和的几分之几? 【对应练习】 1. 有甲、乙两袋面粉，甲袋的和乙袋的一样多，那么两袋面粉哪袋比较多? 2. 已知甲数的是甲、乙两数的和的，那么乙数是甲、乙两数和的几分之几? 3. 简便计算：2019×2018－2020×2017。 【奥数培优3】数形结合解决问题（三） 一组割草人去两块草地割草，大的一块比小的一块大1倍，上午全组人都在大的一块草地割草，下午一半人留在大块草地上，到傍晚时把草割完，另一半人去割小块草地的草，到傍晚时还剩下一块，这一块由1个人去割，再用一天时间恰好割完。这组割草人共有多少个? 【对应练习】 1. 墙角O点处有一木桩上拴着一只羊，如图所示，拴羊的绳子长4米，墙角两边的墙长2米，这只羊能吃到草的面积最多是多少平方米? 2. 数学家柳卡曾提出下面的著名问题：某轮船公司较长时间以来，每天中午有一只轮船从哈佛开往纽约，并且在每一天中午同一时间有一只轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，问今天中午从哈佛开往纽约的轮船，在整个航运途中将会遇到几只同一公司的轮船从对面开来? 3. 小明、大宝两名运动员在长是30米的游泳池里来回游泳，小明的速度是每秒1米，大宝的速度是每秒60厘米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟，如果不计转向时间，在这段时间内他们一共相遇了多少次? 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $