第八单元数学广角——数与形思维培优卷【从课本到奥数】-2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列（A3+A4+解析卷）人教版

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 保密★启用前 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第八单元数学广角——数与形思维培优卷【从课本到奥数】 考试时间：90分钟；试卷总分：100分；测试日期：2025年12月 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：第八单元。 评卷人 得分 一、用心思考，正确填写。（每空3分，共33分） 1．（本题3分）、、、、、六人赛棋，采用单循环制。现在知道、、、、五人已经分别赛过5盘、4盘、3盘、2盘、1盘。问：这时已赛过( )盘。 2．（本题3分）有一串数、、、、、、、、、、、、、、、、…，这串数从左开始数，第( )个数是。 3．（本题3分）如果n是一个自然数，那么n的“双阶乘”记为n！！，其表示从2到n的所有偶数的积，例如：3！！＝2.4！！＝2×4.9！！＝2×4×6×8，那么2！！＋3！！＋4！！＋……2024！！的末尾数字为( )。 4．（本题3分）例如：a1表示12的个位数字，即：； a2表示22的个位数字，即：； a3表示32的个位数字，即a3＝9； a4表示42的个位数字，即：； 则( )。 5．（本题3分）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案中有两个正方形，第2个图案中有4个正方形，…，依此规律，第10个图案中有( )个正方形。 6．（本题6分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为三角形数，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”。从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。如果把“正方形数”64写成两个相邻的“三角形数”之和，这两个“三角形数”分别是( )和( )。 7．（本题6分）如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形（第2幅），画3个正方形能得到8个直角三角形（第3幅），画n个正方形能得到( )个直角三角形。若大正方形的边长为8厘米，那么第4幅图中圆的面积为( )平方厘米。 第1幅            第2幅          第3幅         第4幅 8．（本题6分）明明是个善于观察，乐于思考的好孩子，他通过数形结合（如图），发现了“求两个连续自然数平方差”的规律。 请你根据明明发现的规律，直接写出下面算式的结果： ( )            ( ) 评卷人 得分 二、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题3分，共24分） 9．（本题3分）把同样的小棒按下面的方式摆放，第9个图形需要( )根小棒。 A．24 B．27 C．30 D．38 10．（本题3分）按下图的规律铺地砖，第n个图形中的白色地砖有( )块。 A．6n B．6n－2 C．4n＋2 D．6（n－2） 11．（本题3分）观察下面的图形，想一想，第5个图形有( )个黑点。 A．45 B．46 C．47 D．48 12．（本题3分）将同样大小的棋子按下图所示的方式摆放，则接下来的第20个图形需要摆( )个棋子。 7                  13           21            31 A．463 B．191 C．441 D．420 13．（本题3分）正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得到53个正方形，需要操作的次数是( )。 A．12 B．13 C．14 D．15 14．（本题3分）如图是用同样长的小棒摆成的（每边用1根小棒）。照这种规律继续摆下去，摆成图5要用( )根小棒。 A．26 B．43 C．55 D．64 15．（本题3分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是( )。 0 4 2 6 4 8 6 2 8 4 22 6 44 m A．38 B．52 C．66 D．74 16．（本题3分）有三个正整数，如果其中两个数的平方的和等于第三个数的平方，那么这三个数就是勾股数，例如：3、4、5这三个数，因为32＝9，42＝16，52＝25，可以计算得出32＋42＝52，所以3、4、5是勾股数。运用上述信息进行判断，下列选项中是勾股数的是( )。 A．1、2、3 B．6、8、10 C．3、5、7 D．2、2、4 评卷人 得分 三、一丝不苟，细心计算。（共8分） 17．（本题8分）观察下列等式：第一个等式：； 第二个等式： 第三个等式： 第四个等式： 请回答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：　 　； （2）用含n的代数式表示第n个等式：　 （n为正整数）； （3）求的值。 评卷人 得分 四、手脑并用，实践操作。（共8分） 18．（本题8分）1个变4个，4个变13个、按同样的方法，下次应该变成多少个三角形？请在下边的图上画出来。 评卷人 得分 五、走进生活，解决问题。（共27分） 19．（本题6分）我们把“个相同的数相乘”记为，例如。 (1)请计算：________，__________。 (2)观察下列等式： 由以上规律，我们可以猜： _______。 (3)计算：。 20．（本题7分）请你根据下面图形与数的规律完成下列各题： （1）接着画一画，填一填。 （2）如果不画，这样排列下去，第10个图的数是（    ），第n个图的数是（    ）（用含n的式子表示）。 21．（本题7分）材料：数形结合是一种重要的数学思想方法。在我国，“数形结合”最早出现在数学家华罗庚撰写的科普读物《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的一首词中：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。 （1）如下图，你能利用数形结合的知识发现（a＋b）（a－b）与a2－b2之间的关系吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。 （2） 观察上面的点阵图规律，请问第（5）个有（    ）个点，第（7）个有（    ）个点。 那么：第（n）个点阵图有多少个点？请根据数与形结合的规律，分析和归纳，并表达你总结的方法。 22．（本题7分）同学们，“观察—猜想—验证—应用”是我们常用的数学探究方法。在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙想出了两种不同的方法（如图）。 这两种方法都是求的阴影部分的面积， 因此52－32＝（5－3）×（5＋3）。 仔细观察这个等式，想一想：是不是 任意两个数都具有这样的特征呢？ （1）请举2个例子验证： ①102－62＝（      ）×（      ）     ②                                         （2）如果用a和b表示两个数（且a＞b），这样的规律可以表示为： a2－b2＝（      ）×（      ） （3）根据以上结论计算：[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]＝（      ） 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 保密★启用前 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第八单元数学广角——数与形思维培优卷【从课本到奥数】 考试时间：90分钟；试卷总分：100分；测试日期：2025年12月 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：第八单元。 评卷人 得分 一、用心思考，正确填写。（每空3分，共33分） 1．（本题3分）、、、、、六人赛棋，采用单循环制。现在知道、、、、五人已经分别赛过5盘、4盘、3盘、2盘、1盘。问：这时已赛过( )盘。 【答案】3 【分析】单循环赛是每两个人之间都要比赛一场，所以每个人最多比赛5盘（因为有6个人，除去自己，要和另外5个人比赛）。 A已经赛过5盘，这说明A和B、C、D、E、F都比赛过了。 E只赛过1盘，而A已经和所有人都比赛过了，所以E这1盘只能是和A比赛的，E没有和B、C、D、F比赛过。 B赛过4盘，因为E没有和B比赛过，所以B是和A、C、D、F比赛的。 D赛过2盘，由前面的分析可知，D是和A、B比赛的，D没有和C、F比赛过。 C赛过3盘，因为E没有和C比赛过，D也没有和C比赛过，所以C是和A、B、F比赛的。 F和A、B、C比赛过，所以F已赛过3盘。 【详解】每个人最多比赛5盘。 A已经赛过5盘，A和B、C、D、E、F都比赛过了。 E只赛过1盘，所以E这1盘只能是和A比赛的，E没有和B、C、D、F比赛。 B赛过4盘，B是和A、C、D、F比赛。 D赛过2盘，D是和A、B比赛的，没有和C、F比赛。 C赛过3盘，C是和A、B、F比赛的。 F和A、B、C比赛过。 所以F已赛过3盘。 【点睛】本题根据每个人最多只能比赛5盘作为突破口，进行逐个推理，找出进行比赛的次数。 2．（本题3分）有一串数、、、、、、、、、、、、、、、、…，这串数从左开始数，第 个数是。 【答案】111 【分析】观察这串数，分母是1的有1个，1＝1×2－1；分母是2的有3个，3＝2×2－1；分母是3的有5个，5＝3×2－1；分母是4的有7个，7＝4×2－1……同分母分数的个数＝分母是几就用几×2－1；分子从1先递增到与分母相同，再递减到1。据此先计算分母1到10的分数总个数，再加上分母11的分数中的位置即可。 【详解】分母是1的分数：1个； 分母是2的分数：3个； 分母是3的分数：5个； 分母是4的分数：7个； 分母是5的分数：5×2－1 ＝10－1 ＝9（个） 分母是6的分数：6×2－1 ＝12－1 ＝11（个） 分母是7的分数：7×2－1 ＝14－1 ＝13（个） 分母是8的分数：8×2－1 ＝16－1 ＝15（个） 分母是9的分数：9×2－1 ＝18－1 ＝17（个） 分母是10的分数：10×2－1 ＝20－1 ＝19（个） 1＋3＋5＋7＋……＋17＋19 ＝（1＋19）×10÷2 ＝20×10÷2 ＝100（个） 100＋11＝111（个） 第111个数是。 【点睛】关键是看懂这一列数的排列规律，先求出分母1到10的分数总个数。 3．（本题3分）如果n是一个自然数，那么n的“双阶乘”记为n！！，其表示从2到n的所有偶数的积，例如：3！！＝2.4！！＝2×4.9！！＝2×4×6×8，那么2！！＋3！！＋4！！＋……2024！！的末尾数字为 。 【答案】 4 【分析】根据“双阶乘”的定义，从开始，后面的的计算都需要乘10，所以末尾数字均为0，因此的尾数与的尾数相同，这里只需要计算的尾数即可。 【详解】； ； ； ； ； ； ； ； ； 因此的尾数为4。 【点睛】分析“双阶乘”的末尾数字的规律，根据题中给出的运算的规律，可以分析“末尾数字为0”的临界条件，分段计算末尾数字并计算末尾数字之和就可以高效解决。 4．（本题3分）例如：a1表示12的个位数字，即：； a2表示22的个位数字，即：； a3表示32的个位数字，即a3＝9； a4表示42的个位数字，即：； 则( )。 【答案】9059 【分析】平方数的个位数字具有周期性，每10个连续整数的平方个位数字之和为45。从到共有2013个数，其中201个完整周期，余下3个数。先计算201个周期之和，再计算余下3个数的平方个位数字之和，最后相加。 【详解】平方数的个位数字取决于原数的个位数字。 0到9的平方个位数字依次为：0、1、4、9、6、5、6、9、4、1。 其和为 从到，总共有2013个数。 ，即201个完整周期，余下、、。 201个完整周期之和为：。 计算余下3个数的平方个位数字： ，个位数字为1，12的个位数字为1； ，个位数字为2，22的个位数字为4； ，个位数字为3，32的个位数字为9； 余下3个数之和为：。 因此，总和为：。 【点睛】解决此类“循环规律”问题，关键是先确定周期长度与周期内和，再通过“”得到组数与余数，最终结合周期和与余数项计算结果。 5．（本题3分）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案中有两个正方形，第2个图案中有4个正方形，…，依此规律，第10个图案中有( )个正方形。 【答案】56 【分析】第1个图案中有2个正方形，第2个图案中有（1＋2＋1）个正方形，第3个图案中有（1＋2＋3＋1）个正方形，…，依此规律，第n个图案中有（1＋2＋3＋…＋n＋1）个正方形。即1＋2＋3＋…＋n＋1＝n×（1＋n）÷2＋1。 【详解】由分析可知，第n个图案中有：n×（1＋n）÷2＋1个正方形。 当n＝10时， 10×（1＋10）÷2＋1 ＝10×11÷2＋1 ＝110÷2＋1 ＝55＋1 ＝56（个） 所以第10个图案中有56个正方形。 【点睛】此题主要考查了图形的变化，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再利用规律解答。 6．（本题6分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为三角形数，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”。从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。如果把“正方形数”64写成两个相邻的“三角形数”之和，这两个“三角形数”分别是( )和( )。 【答案】 28 36 【分析】观察图形可知： 第1个正方形数是4（4＝2×2），4＝1＋3，其中第一个加数是1，第二个加数是3＝1＋2； 第2个正方形数是9（9＝3×3），9＝3＋6，其中第一个加数是3＝1＋2，第二个加数是6＝1＋2＋3； 第3个正方形数是16（16＝4×4），16＝6＋10，其中第一个加数是6＝1＋2＋3，第二个加数是10＝1＋2＋3＋4； …… 发现规律：如果正方形数＝n×n，则这个正方形数＝（1＋2＋3＋…＋n－1）＋（1＋2＋3＋…＋n），据此规律解答。 【详解】64＝8×8 1＋2＋3＋…＋6＋7 ＝（1＋7）×7÷2 ＝8×7÷2 ＝28 1＋2＋3＋…＋7＋8 ＝（1＋8）×8÷2 ＝9×8÷2 ＝36 所以，64＝28＋36。 这两个“三角形数”分别是（28）和（36）。 【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形和数据中找到规律，并按规律解题。 7．（本题6分）如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形（第2幅），画3个正方形能得到8个直角三角形（第3幅），画n个正方形能得到 个直角三角形。若大正方形的边长为8厘米，那么第4幅图中圆的面积为 平方厘米。 第1幅            第2幅          第3幅         第4幅 【答案】 4n－4 6.28 【分析】由图可知，第1幅图形有1个正方形，0个直角三角形； 第2幅图形有2个正方形，有（4×1）个直角三角形； 第3幅图形有3个正方形，有（4×2）个直角三角形； 第4幅图形有4个正方形，有（4×3）个直角三角形 …… 以此类推，每增加一个正方形就增加4个直角三角形，那么第n个图形有n个正方形，4（n－1）个直角三角形。 从图中可知：大正方形的面积是小正方形面积的2倍。据此可知：最大正方形的面积是最小正方形面积的2×2×2＝8倍。最大正方形的面积是8×8＝64平方厘米，最小正方形的面积就是64÷8＝8平方厘米。又知：最小正方形的边长＝圆的直径，那么最小正方形的面积＝8＝（2r）2＝（2r）×（2r）＝4r2，r2＝8÷4＝2。因此第4幅图中圆的面积为2×3.14＝6.28平方厘米。 【详解】由分析可得： 画n个正方形能得到（4n－4）个直角三角形。 8×8÷（2×2×2） ＝8×8÷8 ＝8（平方厘米） 8＝（2r）2 ＝（2r）×（2r） ＝4r2 8÷4×3.14＝6.28（平方厘米） 画n个正方形能得到12个直角三角形。若大正方形的边长为8厘米，那么第4幅图中圆的面积为6.28平方厘米。 【点睛】找出正方形个数和直角三角形个数的变化规律是解答题目的关键。 8．（本题6分）明明是个善于观察，乐于思考的好孩子，他通过数形结合（如图），发现了“求两个连续自然数平方差”的规律。 请你根据明明发现的规律，直接写出下面算式的结果： ( )            ( ) 【答案】 11 4047 【分析】由图可知：每个图形阴影部分的面积＝大正方形面积－空白部分正方形面积。假设大正方形边长为a（a为整数），空白正方形边长则为（a－1），阴影部分面积S＝a2－（a－1）2，即两个相邻自然数的平方差； 由算式可知：两个相邻自然数的平方差其结果为两个相邻自然数的和，据此解答。 【详解】结合图和算式： …… 综上可知：a2－（a－1）2＝a＋（a－1）。 所以，6＋5＝11； 2024＋2023＝4047。 【点睛】解答此题的关键是要将图形与算式相结合，算式含有两个数的平方，所以利用图形中面积关系来找到图形与算式的联系，平方差的计算结合根据多个算式的规律来总结。 评卷人 得分 二、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题3分，共24分） 9．（本题3分）把同样的小棒按下面的方式摆放，第9个图形需要（    ）根小棒。 A．24 B．27 C．30 D．38 【答案】C 【分析】通过观察图形发现规律：摆1个三角形需要3根，每增加1个正方形增加3根。第1个图形需要3＋3＝3×2＝6（根），第2个图形需要3＋3＋3＝3×3＝9（根），第3个图形需要3＋3＋3＋3＝3×4＝12（根），……第n个图形需要3（n＋1）根。 【详解】3×（9＋1） ＝3×10 ＝30（根） 所以第9个图形需要30根。 故答案为：C 【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。 10．（本题3分）按下图的规律铺地砖，第n个图形中的白色地砖有（    ）块。 A．6n B．6n－2 C．4n＋2 D．6（n－2） 【答案】C 【分析】第一幅图有1个黑色地砖，白色地砖数量：4＋2＝6（块） 第二幅图有2个黑色地砖，白色地砖数量：2×4＋2＝10（块） 第三幅图有3个黑色地砖，白色地砖数量：3×4＋2＝14（块） …… 由此可以理解为：每个图案中有1个黑色地砖就搭配4个白色地砖，额外再加上2块白色地砖，就是这个图案的地砖数量。 【详解】据分析可知： 按图中的规律铺地砖，第n个图形中有n块黑色地砖，白色地砖有（n×4＋2）块。 故答案为：C 【点睛】本题考查学生的逻辑推理能力，找到白色地砖与黑色地砖的数量关系是解题的关键。 11．（本题3分）观察下面的图形，想一想，第5个图形有（    ）个黑点。 A．45 B．46 C．47 D．48 【答案】A 【分析】第1个图形有5个黑点；可以分成2部分：上部分是1个黑点，下部分是4个黑点；上部分可以写成：2×1－1；下部分可以写成：（1＋1）2；合起来是：2×1－1＋（1＋1）2； 第2个图形有12个黑点；可以分成2部分：上部分是3个黑点，下部分是9个黑点；上部分可以写成：2×2－1；下部分可以写成：（2＋1）2；合起来是：2×2－1＋（2＋1）2； 第3个图形有21个黑点；可以分成2部分：上部分是5个黑点，上部分可以写成：2×3－1；下部分是16个黑点，可以写成：（3＋1）2；合起来是：2×3－1＋（3＋1）2 …… 由此可知，第5个图形上部分黑点个数是：2×5－1个；下部分个数：（5＋1）2，合起来是：2×5－1＋（5＋1）2。据此解答。 【详解】根据分析可知，第5个图形小黑点的个数是： 2×5－1＋（5＋1）2 ＝10－1＋62 ＝9＋36 ＝45（个） 第5个图形有45个黑点。 故答案为：A 【点睛】解答部分的关键是把这个图形分成2部分，再找出上部分规律和下部分规则，再合起来解答。 12．（本题3分）将同样大小的棋子按下图所示的方式摆放，则接下来的第20个图形需要摆（    ）个棋子。 7                  13           21            31 A．463 B．191 C．441 D．420 【答案】A 【分析】根据图示可知： 第1幅图棋子个数：22＋3＝4＋3＝7个； 第2幅图棋子个数：32＋4＝9＋4＝13个； 第3幅图棋子个数：42＋5＝16＋5＝21个； 第4幅图棋子个数：52＋6＝25＋6＝31个； 第n幅图棋子个数：（n＋1）2＋（n＋2），据此解答。 【详解】由分析可得：第n幅图棋子个数：（n＋1）2＋（n＋2）。 当n＝20时， （20＋1）2＋（20＋2） ＝441＋22 ＝463（个） 第20个图形需要摆463个棋子。 故答案为：A 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 13．（本题3分）正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得到53个正方形，需要操作的次数是（    ）。 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】由题意可知，第1次：分别连接各边中点如图2，得到4＋1＝5个正方形； 第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2＋1＝9个正方形…… 以此类推，根据以上操作，则第n次得到4n＋1个正方形，由此规律代入求得答案即可。 【详解】第1次：得到4×1＋1＝5（个）正方形； 第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2＋1＝9（个）正方形…… 设第n次得到53个正方形。 4n＋1＝53， 解：4n＋1－1＝53－1 4n＝52 4n÷4＝52÷4 n＝13 故答案为：B 【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键。 14．（本题3分）如图是用同样长的小棒摆成的（每边用1根小棒）。照这种规律继续摆下去，摆成图5要用（    ）根小棒。 A．26 B．43 C．55 D．64 【答案】D 【分析】根据图形先画出第5个图形，再数一下小棒即可求解。 【详解】图5为： 摆成图5要用64根小棒。 故答案为：D。 【点睛】本题考查了数与形结合的规律，主要培养学生的观察能力和总结能力。 15．（本题3分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（    ）。 0 4 2 6 4 8 6 2 8 4 22 6 44 m A．38 B．52 C．66 D．74 【答案】D 【分析】分析前三个正方形可知，规律为右上和左下两个数的积减去左上等于右下的数，每个正方形中左下角的数比左上角的数大2，右上角的数比左上角的数大4，因此可知第四个图空白分别是左下8，右上是10。 【详解】由题意知：空白部分左下是8，右上是10。 故答案为：D 【点睛】本题主要考查找规律，要求学生通过观察分析归纳发现其中的规律并且应用发现的规律解决问题，解决本题的难点是在于找出空白格的数。 16．（本题3分）有三个正整数，如果其中两个数的平方的和等于第三个数的平方，那么这三个数就是勾股数，例如：3、4、5这三个数，因为32＝9，42＝16，52＝25，可以计算得出32＋42＝52，所以3、4、5是勾股数。运用上述信息进行判断，下列选项中是勾股数的是（    ）。 A．1、2、3 B．6、8、10 C．3、5、7 D．2、2、4 【答案】B 【分析】是勾股数的3个数其中任意两数之和大于3个数。于是就排除了A和D，只在B和C中找，据此解答即可。 【详解】根据其中任意两数之和大于第3个数，只计算B和C项； 62＋82＝102＝100 所以62＋82＝102，6，8，10是平方数。 32＋52＝34，72＝49，34≠49，所以3，5，7不是平方数。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查了学生对数大小的感知能力，以及计算能力。 评卷人 得分 三、一丝不苟，细心计算。（共8分） 17．（本题8分）观察下列等式：第一个等式：； 第二个等式： 第三个等式： 第四个等式： 请回答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：　 　； （2）用含n的代数式表示第n个等式：　 （n为正整数）； （3）求的值。 【答案】（1）​​​​​​​ （2） （3） 【分析】（1）（2）通过观察可知，第一个等号后面的式子规律是分子不变，分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号2倍加1；第二个等号后面的式子则是乘以第一个奇数分数减第二个奇数分数，根据规律列式即可解得。 （3）将具体各项根据分数列项公式，括号外提取，将括号内依次相消进行计算即可解得。​​​​​​​ 【详解】（1）通过观察可知，第一个等号后面的分子为1， 分母为序号的2倍减1乘以序号2倍加1， 第二个等号后面为乘以第一个奇数分数减第二个奇数分数， 故。 （2）通过（1）的规律可知， （n为正整数）。 ​​​​（3）由题， 【点睛】本题的难点在于通过观察等式规律写出新的等式，再通过提取公因数将复杂的等式进行化简即可解得。 评卷人 得分 四、手脑并用，实践操作。（共8分） 18．（本题8分）1个变4个，4个变13个、按同样的方法，下次应该变成多少个三角形？请在下边的图上画出来。 【答案】 【分析】图中的每个三角形都是等边三角形，第二幅图是把第一幅图等分成4块；第三幅图是把第二幅图除中间一个等分成4块，那么照此规律，第四幅图，也要把第三幅图每个三角形进行四等分，但中间的三角形不变。 【详解】如图： 答：下次应该变成40个三角形。 【点睛】从一个变成4个，相当于是增加了3个，1、4、13、40……每次增加的个数分别是3、9、27、81……，依次乘3。 评卷人 得分 五、走进生活，解决问题。（共27分） 19．（本题6分）我们把“个相同的数相乘”记为，例如。 (1)请计算：________，__________。 (2)观察下列等式： 由以上规律，我们可以猜： _______。 (3)计算：。 【答案】（1）64；625 （2） （3） 【分析】（1）根据“个相同的数相乘”记为，将写成6个2相乘，写成4个5相乘，计算即可； （2）观察 …… 可知算式左边为乘到1的连续次方数减1的和，结果为（）； （3）利用（2）的规律，符合的形式，其中＝3，n＝2011，根据结论，可得（3－1）（）＝，根据等式的性质2，两边同时÷（3－1），计算即可。 【详解】（1）2×2×2×2×2×2＝64，5×5×5×5＝625。 （2） （3）根据分析，可得： （3－1）（）＝ 解：（3－1）（）÷（3－1）＝（）÷（3－1） ＝ 【点睛】关键是理解“个相同的数相乘”记为，总结出第（2）题的规律，根据总结出的规律，运用等式的性质，求出第（3）题的结果。 20．（本题7分）请你根据下面图形与数的规律完成下列各题： （1）接着画一画，填一填。 （2）如果不画，这样排列下去，第10个图的数是（    ），第n个图的数是（    ）（用含n的式子表示）。 【答案】（1）15；21；28；（2）55； 【分析】（1）通过观察，第1个图中有1个点，第2个图中有（1＋2）个点，第3个图中有（1＋2＋3）个点，第4个图中有（1＋2＋3＋4）个点，第几个图形的点数和等于前一个图形的点数和加几。 （2）通过（1）类推，第n个图中有（1＋2＋3＋…＋n）个点，然后通过首尾相加进行化简即可。 【详解】（1）第5个图形：10＋5＝15（个） 第6个图形：15＋6＝21（个） 第7个图形：21＋7＝28（个） （2）第n个图的数： 1＋2＋3＋…＋n ＝（1＋n）×n÷2 ＝（n＋n2）÷2 ＝ 当n＝10时， ＝ ＝ ＝ ＝55 第10个图的数是55；第n个图的数是。 21．（本题7分）材料：数形结合是一种重要的数学思想方法。在我国，“数形结合”最早出现在数学家华罗庚撰写的科普读物《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的一首词中：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。 （1）如下图，你能利用数形结合的知识发现（a＋b）（a－b）与a2－b2之间的关系吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。 （2） 观察上面的点阵图规律，请问第（5）个有（    ）个点，第（7）个有（    ）个点。 那么：第（n）个点阵图有多少个点？请根据数与形结合的规律，分析和归纳，并表达你总结的方法。 【答案】（1）相等；过程见详解 （2）18；24；（3n＋3）个；过程见详解 【分析】 （1）利用长方形和正方形面积公式，长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，如图，红色长方形的长（a＋b），宽（a－b），面积（a＋b）（a－b）；，边长a的正方形面积－边长b的正方形面积＝ a2－b2，只要说明两个黄色部分的面积相等即可发现（a＋b）（a－b）与a2－b2是相等的。 （2）观察可知，点的个数＝第几个图形就用几×3＋3，据此分析。 【详解】 （1）如图，①＋②是个长方形，长（a＋b），宽（a－b），面积：（a＋b）（a－b）；①＋③的面积：a2－b2。长方形②的长＝（a－b），宽＝b，面积：（a－b）b；长方形③的长＝（a－b），宽＝b，面积：（a－b）b，即②＝③，所以①＋②＝①＋③，即（a＋b）（a－b）＝a2－b2。 （2）如图将最左侧3个点圈起来，右边斜着每列3个点，第几个图形就有斜着几列。 第（1）个点阵图：1×3＋3＝3＋3＝6（个） 第（2）个点阵图：2×3＋3＝6＋3＝9（个） 第（3）个点阵图：3×3＋3＝9＋3＝12（个） 第（4）个点阵图：4×3＋3＝12＋3＝15（个） 第（5）个点阵图：5×3＋3＝15＋3＝18（个） 第（6）个点阵图：6×3＋3＝18＋3＝21（个） 第（7）个点阵图：7×3＋3＝21＋3＝24（个） …… 第（n）个点阵图：n×3＋3＝（3n＋3）个 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 22．（本题7分）同学们，“观察—猜想—验证—应用”是我们常用的数学探究方法。在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙想出了两种不同的方法（如图）。 这两种方法都是求的阴影部分的面积， 因此52－32＝（5－3）×（5＋3）。 仔细观察这个等式，想一想：是不是 任意两个数都具有这样的特征呢？ （1）请举2个例子验证： ①102－62＝（      ）×（      ）     ②                                         （2）如果用a和b表示两个数（且a＞b），这样的规律可以表示为： a2－b2＝（      ）×（      ） （3）根据以上结论计算：[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]＝（      ） 【答案】（1）①（10－6）×（10＋6） ②0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5） （2）（a－b）×（a＋b） （3） 【分析】已知在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，求剩余部分的面积（阴影部分的面积）； 方法1：阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，则阴影部分的面积列式为52－32； 方法2：把阴影部分转化成一个长（5＋3）厘米，宽（5－3）厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，则阴影部分的面积列式为（5－3）×（5＋3）； 由此得出52－32＝（5－3）×（5＋3）； 发现规律：两个数的平方差等于这两个数的差与这两个数的和的乘积，据此规律解答。 【详解】（1）①102－62＝100－36＝64 （10－6）×（10＋6）＝4×16＝64 所以，102－62＝（10－6）×（10＋6） ②0.82－0.52＝0.64－0.25＝0.39 （0.8－0.5）×（0.8＋0.5）＝0.3×1.3＝0.39 所以，0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5） （答案不唯一） （2）a2－b2＝（a－b）×（a＋b） （3）[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2] ＝（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋） ＝××××× ＝ 【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 保密★启用前 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第八单元数学广角——数与形思维培优卷【从课本到奥数】 考试时间：90分钟；试卷总分：100分；测试日期：2025年12月 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：第八单元。 评卷人 得分 一、用心思考，正确填写。（每空3分，共33分） 1．（本题3分）、、、、、六人赛棋，采用单循环制。现在知道、、、、五人已经分别赛过5盘、4盘、3盘、2盘、1盘。问：这时已赛过( )盘。 2．（本题3分）有一串数、、、、、、、、、、、、、、、、…，这串数从左开始数，第( )个数是。 3．（本题3分）如果n是一个自然数，那么n的“双阶乘”记为n！！，其表示从2到n的所有偶数的积，例如：3！！＝2.4！！＝2×4.9！！＝2×4×6×8，那么2！！＋3！！＋4！！＋……2024！！的末尾数字为( )。 4．（本题3分）例如：a1表示12的个位数字，即：； a2表示22的个位数字，即：； a3表示32的个位数字，即a3＝9； a4表示42的个位数字，即：； 则( )。 5．（本题3分）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案中有两个正方形，第2个图案中有4个正方形，…，依此规律，第10个图案中有( )个正方形。 6．（本题6分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为三角形数，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”。从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。如果把“正方形数”64写成两个相邻的“三角形数”之和，这两个“三角形数”分别是( )和( )。 7．（本题6分）如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形（第2幅），画3个正方形能得到8个直角三角形（第3幅），画n个正方形能得到( )个直角三角形。若大正方形的边长为8厘米，那么第4幅图中圆的面积为( )平方厘米。 第1幅            第2幅          第3幅         第4幅 8．（本题6分）明明是个善于观察，乐于思考的好孩子，他通过数形结合（如图），发现了“求两个连续自然数平方差”的规律。 请你根据明明发现的规律，直接写出下面算式的结果： ( )            ( ) 评卷人 得分 二、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题3分，共24分） 9．（本题3分）把同样的小棒按下面的方式摆放，第9个图形需要( )根小棒。 A．24 B．27 C．30 D．38 10．（本题3分）按下图的规律铺地砖，第n个图形中的白色地砖有( )块。 A．6n B．6n－2 C．4n＋2 D．6（n－2） 11．（本题3分）观察下面的图形，想一想，第5个图形有( )个黑点。 A．45 B．46 C．47 D．48 12．（本题3分）将同样大小的棋子按下图所示的方式摆放，则接下来的第20个图形需要摆( )个棋子。 7                  13           21            31 A．463 B．191 C．441 D．420 13．（本题3分）正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得到53个正方形，需要操作的次数是( )。 A．12 B．13 C．14 D．15 14．（本题3分）如图是用同样长的小棒摆成的（每边用1根小棒）。照这种规律继续摆下去，摆成图5要用( )根小棒。 A．26 B．43 C．55 D．64 15．（本题3分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是( )。 0 4 2 6 4 8 6 2 8 4 22 6 44 m A．38 B．52 C．66 D．74 16．（本题3分）有三个正整数，如果其中两个数的平方的和等于第三个数的平方，那么这三个数就是勾股数，例如：3、4、5这三个数，因为32＝9，42＝16，52＝25，可以计算得出32＋42＝52，所以3、4、5是勾股数。运用上述信息进行判断，下列选项中是勾股数的是( )。 A．1、2、3 B．6、8、10 C．3、5、7 D．2、2、4 评卷人 得分 三、一丝不苟，细心计算。（共8分） 17．（本题8分）观察下列等式：第一个等式：； 第二个等式： 第三个等式： 第四个等式： 请回答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：　 　； （2）用含n的代数式表示第n个等式：　 （n为正整数）； （3）求的值。 评卷人 得分 四、手脑并用，实践操作。（共8分） 18．（本题8分）1个变4个，4个变13个、按同样的方法，下次应该变成多少个三角形？请在下边的图上画出来。 评卷人 得分 五、走进生活，解决问题。（共27分） 19．（本题6分）我们把“个相同的数相乘”记为，例如。 (1)请计算：________，__________。 (2)观察下列等式： 由以上规律，我们可以猜： _______。 (3)计算：。 20．（本题7分）请你根据下面图形与数的规律完成下列各题： （1）接着画一画，填一填。 （2）如果不画，这样排列下去，第10个图的数是（    ），第n个图的数是（    ）（用含n的式子表示）。 21．（本题7分）材料：数形结合是一种重要的数学思想方法。在我国，“数形结合”最早出现在数学家华罗庚撰写的科普读物《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的一首词中：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。 （1）如下图，你能利用数形结合的知识发现（a＋b）（a－b）与a2－b2之间的关系吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。 （2） 观察上面的点阵图规律，请问第（5）个有（    ）个点，第（7）个有（    ）个点。 那么：第（n）个点阵图有多少个点？请根据数与形结合的规律，分析和归纳，并表达你总结的方法。 22．（本题7分）同学们，“观察—猜想—验证—应用”是我们常用的数学探究方法。在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙想出了两种不同的方法（如图）。 这两种方法都是求的阴影部分的面积， 因此52－32＝（5－3）×（5＋3）。 仔细观察这个等式，想一想：是不是 任意两个数都具有这样的特征呢？ （1）请举2个例子验证： ①102－62＝（      ）×（      ）     ②                                         （2）如果用a和b表示两个数（且a＞b），这样的规律可以表示为： a2－b2＝（      ）×（      ） （3）根据以上结论计算：[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]＝（      ） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $: : 保密★启用前 : : 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 .: 第八单元数学广角数与形思维培优卷【从课本到奥数】 考试时间：90分钟；试卷总分：100分；测试日期：2025年12月 ·: 题号 四 五 总分 .: 得分 : ·: 注意事项： 1.答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2. 请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 .: ·: 3. 测试范围：第八单元。 评卷人 得分 用心思考，正确填写。（每空3分，共33分） ·: : 1. (本题3分)A、 B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制。现在知道A、B、C、 : D、E五人已经分别赛过5盘、4盘、3盘、2盘、1盘。问：这时F已赛过( )盘。 : 【答案】3 : 【分析】单循环赛是每两个人之间都要比赛一场，所以每个人最多比赛5盘（因为有6个人， 照 蝶 除去自己，要和另外5个人比赛)。 A己经赛过5盘，这说明A和B、C、D、E、F都比赛过了。 ·: E只赛过1盘，而A己经和所有人都比赛过了，所以E这1盘只能是和A比赛的，E没有 ·: 和B、C、D、F比赛过。 B赛过4盘，因为E没有和B比赛过，所以B是和A、C、D、F比赛的。 : : D赛过2盘，由前面的分析可知，D是和A、B比赛的，D没有和C、F比赛过。 : C赛过3盘，因为E没有和C比赛过，D也没有和C比赛过，所以C是和A、B、F比赛的。 K F和A、B、C比赛过，所以F己赛过3盘。 【详解】每个人最多比赛5盘。 : : A已经赛过5盘，A和B、C、D、E、F都比赛过了。 : ·: ·: E只赛过1盘，所以E这1盘只能是和A比赛的，E没有和B、C、D、F比赛。 O B赛过4盘，B是和A、C、D、F比赛。 : 试卷第1页，共21页 : : : . D赛过2盘，D是和A、B比赛的，没有和C、F比赛。 C赛过3盘，C是和A、B、F比赛的。 F和A、B、C比赛过。 所以F已赛过3盘。 【点睛】本题根据每个人最多只能比赛5盘作为突破口，进行逐个推理，找出F进行比赛 的次数。 : 子、…这串数从左开始数，第 一个数是品 1 【答案】111 【分析】观察这串数，分母是1的有1个，1=1×2-1：分母是2的有3个，3=2×2一1： 分母是3的有5个，5=3×2-1：分母是4的有7个，7=4×2一1.同分母分数的个数= ... 分母是几就用几×2一1；分子从1先递增到与分母相同，再递减到1。据此先计算分母1到 10的分数总个数，再加上分母11的分数中的位置即可 【详解】分母是1的分数：1个： 分母是2的分数：3个： . . 分母是3的分数：5个： .… 分母是4的分数：7个： 分母是5的分数：5×2一1 蜗 . .. =10-1 =9(个) 分母是6的分数：6×2-1 =12-1 =11(个) 分母是7的分数：7×2一1 =14-1 =13(个) 区… 分母是8的分数：8×2-1 =16-1 =15(个) 试卷第2页，共21页 : : : 0 . 分母是9的分数：9×2一1 : =18-1 : =17(个) : 分母是10的分数： 10×2-1 .: =20-1 =19(个) : 1+3+5+7+...+17+19 0 =(1+19)×10÷2 =20×10÷2 =100(个) 100+11=111(个) 不 小 第1个数是品 【点睛】关键是看懂这一列数的排列规律，先求出分母1到10的分数总个数。 ·: 3.(本题3分)如果n是一个自然数，那么n的双阶乘”记为n!!,其表示从2到n的所有 偶数的积，例如：3！=2.4！=2×4.9！=2×4×6×8，那么2！+3！十4！！+...…2024！日 : 的末尾数字为 【答案】 蜘 【分析】根据“双阶乘的定义，从10！开始，后面的的计算都需要乘10，所以末尾数字 均为0，因此2！+3++2024！的尾数与2+3+…+101！的尾数相同，这里只需要计算 2+3!++10!的尾数即可。 【详解】2l=2: 21+31!=2+2=4: 21+31+4!=2+2+2×4=12; 21+31+4+5=2+2+2×4+2×4=12+8=20: 21l+31+4l+51+61!=2+2+2×4+2×4+2×4×6=20+48=68; 21l+3!+4+51+61+71=2+2+2×4+2x4+2×4×6+2×4×6=68+48=116; : ·: 2+31+4+5+61+71!=2+2+2×4+2×4+2×4×6+2×4×6+2×4×6×8=116+384=500: : 21l+31+4+51+61+7II=2+2+2×4+2x4+2×4×6+2×4×6+2×4×6×8+2×4×6×8=500+384=884 O .: 试卷第3页，共21页 : : 21+3+4!+5+6+71l=2+2+2×4+2×4+2×4×6+2×4×6+2×4×6×8+2×4×6×8+2×4×6×8×10F884+38 因此2+3！+…+2024！的尾数为4。 【点睛】分析“双阶乘'的末尾数字的规律，根据题中给出的运算的规律，可以分析“末尾数 字为0”的临界条件，分段计算末尾数字并计算末尾数字之和就可以高效解决。 4.(本题3分)例如：a1表示12的个位数字，即：a1; a2表示22的个位数字，即：a2=4: a3表示32的个位数字，即a3=9: a4表示42的个位数字，即：a4=6: 则a1十a2十a,十a4+..十a2o1十a2o12十a2o13=( 尽 【答案】9059 【分析】平方数的个位数字具有周期性，每10个连续整数的平方个位数字之和为45。从n=1 到n=2013共有2013个数，其中201个完整周期，余下3个数。先计算201个周期之和， 再计算余下3个数的平方个位数字之和，最后相加。 【详解】平方数的个位数字取决于原数的个位数字。 0到9的平方个位数字依次为：0、1、4、9、6、5、6、9、4、1。 其和为0+1+4+9+6+5+6+9+4+1=45 柴 从n=1到n=2013,总共有2013个数。 ... 2013÷10=201-3,即201个完整周期，余下n=2011、n=2012、n=2013。 .: 201个完整周期之和为：201×45=9045。 计算余下3个数的平方个位数字： n=2011,个位数字为1,12的个位数字为1： n=2012,个位数字为2,22的个位数字为4： n=2013,个位数字为3,32的个位数字为9： : 余下3个数之和为：1+4+9=14。 因此，总和为：9045+14=9059。 【点睛】解决此类“循环规律”问题，关键是先确定周期长度与周期内和，再通过 “总项数÷周期长度得到组数与余数，最终结合周期和与余数项计算结果。 试卷第4页，共21页 .. : : :: : 5.(本题3分)如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案中 ·: . : 有两个正方形，第2个图案中有4个正方形，，依此规律，第10个图案中有( ) : .… 个正方形。 : .: : ·: : : : : 第1个 第2个 第3个 第4个 【答案】56 : 【分析】第1个图案中有2个正方形，第2个图案中有(1十2十1)个正方形，第3个图案 ·: 中有(1十2十3+1)个正方形，..，依此规律，第n个图案中有(1+2+3+.十n十1)个 : 正方形。即1十2+3+..十n十1=n×(1十n)÷2+1。 【详解】由分析可知，第n个图案中有：n×(1十n)÷2+1个正方形。 当n=10时， 10×(1+10)÷2+1 O =10×11÷2+1 : =110÷2+1 =55+1 ·: =56(个) 蝶 所以第10个图案中有56个正方形。 【点睛】此题主要考查了图形的变化，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳 .… 总结出规律，再利用规律解答。 : 6.(本题6分)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21.这样的数称为三角 O ·: 形数，而把1、4、9、16、25、36.这样的数称为正方形数”。从下图中可以发现，任何一 : 个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数'之和。如果把“正方形数”64写成两 : 个相邻的三角形数”之和，这两个“三角形数”分别是( )和( )。 ● ● ● ● : ●● ●●● : .… 4=1+3 9=3+6 16=6+10 0 【答案】 28 36 : 试卷第5页，共21页 : : .. 【分析】观察图形可知： 第1个正方形数是4(4=2×2)，4=1十3，其中第一个加数是1，第二个加数是3=1十2： 第2个正方形数是9(9=3×3)，9=3+6，其中第一个加数是3=1+2，第二个加数是6=1 +2+3: 的 斯 第3个正方形数是16(16=4×4)，16=6十10，其中第一个加数是6=1十2十3，第二个加 数是10=1十2+3+4： 发现规律：如果正方形数=n×n,则这个正方形数=(1十2十3+..十n一1)十(1十2十3+ 十n),据此规律解答。 ... 【详解】64=8×8 1+2+3+..+6+7 =(1+7)×7÷2 . =8×7-2 .: =28 .: 1+2+3+..+7+8 =(1+8)×8÷2 .: =9×8÷2 ..… =36 所以，64=28+36。 蜗 蜗 这两个“三角形数分别是(28)和(36)。 .. 【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形和数据中找到规律，并按规律解题。 7.(本题6分)如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形（第2幅），画3个正方形能 得到8个直角三角形（第3幅），画n个正方形能得到 个直角三角形。若大正方 形的边长为8厘米，那么第4幅图中圆的面积为 平方厘米。 ○父@ ●。0●●0 第1幅 第2幅 第3幅 第4幅 【答案】 4n-4 6.28 O 试卷第6页，共21页 : : : . 【分析】由图可知，第1幅图形有1个正方形，0个直角三角形： : : 第2幅图形有2个正方形，有(4×1)个直角三角形： : : 第3幅图形有3个正方形，有(4×2)个直角三角形； : 第4幅图形有4个正方形，有(4×3)个直角三角形 .: : 以此类推，每增加一个正方形就增加4个直角三角形，那么第n个图形有n个正方形，4(n : 一1)个直角三角形。 、图中可知：大正方形的面积是小正方形面积的2倍。据此可知： 最大 : 正方形的面积是最小正方形面积的2×2×2=8倍。最大正方形的面积是8×8=64平方厘米， 人 最小正方形的面积就是64÷8=8平方厘米。又知：最小正方形的边长=圆的直径，那么最小 正方形的面积=8=(2r)2=(2r)×（2r)=4r2,r2=8÷4=2。因此第4幅图中圆的面积为 : ·: 2×3.14=6.28平方厘米。 【详解】由分析可得： O 画n个正方形能得到(4n一4)个直角三角形。 8×8÷(2×2×2) =8×8:8 照 蜘 =8(平方厘米) 8=(2r)2 =(2r)×（2r) =4r2 8÷4×3.14=6.28(平方厘米) 画n个正方形能得到12个直角三角形。若大正方形的边长为8厘米，那么第4幅图中圆的 : 面积为6.28平方厘米。 【点睛】找出正方形个数和直角三角形个数的变化规律是解答题目的关键。 女 8.(本题6分)明明是个善于观察，乐于思考的好孩子，他通过数形结合（如图），发现了“求 : : 两个连续自然数平方差的规律。 试卷第7页，共21页 : 22-12=2+1 32-22=3+2 42-32=4+3 52-42=5+4 请你根据明明发现的规律，直接写出下面算式的结果： : 62-52=( ) 20242-20232=( ) 【答案】 11 4047 【分析】由图可知：每个图形阴影部分的面积=大正方形面积一空白部分正方形面积。假设 大正方形边长为a(a为整数)，空白正方形边长则为(a一1)，阴影部分面积S=a2一(a一1) 2,即两个相邻自然数的平方差： 由算式可知：两个相邻自然数的平方差其结果为两个相邻自然数的和，据此解答。 【详解】结合图和算式： 22-12=2+1 ... 32-22=3+2 42-32=4+3 : 52-42=5+4 . .… .. 综上可知：a2-(a-1)2=a十(a-1)。 所以，62-52=6+5=11： 蜗 蜗 20242-20232=2024+2023=4047。 .. 【点睛】解答此题的关键是要将图形与算式相结合，算式含有两个数的平方，所以利用图形 中面积关系来找到图形与算式的联系，平方差的计算结合根据多个算式的规律来总结。 评卷人 得分 二、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题 3分，共24分) 9.(本题3分)把同样的小棒按下面的方式摆放，第9个图形需要()根小棒。 ①D (② A.24 B.27 C.30 D.38 .. 【答案】C 【分析】通过观察图形发现规律：摆1个三角形需要3根，每增加1个正方形增加3根。第 O O 试卷第8页，共21页 : : : 1个图形需要3十3=3×2=6（根），第2个图形需要3十3十3=3×3=9（根），第3个图形需 ·: . : .… 要3十3十3+3=3×4=12（根），..第n个图形需要3(n十1)根。 : .… 【详解】3×(9+1) : =3×10 =30(根) .· 所以第9个图形需要30根。 : : : : 故答案为：C 【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。 10.(本题3分)按下图的规律铺地砖，第n个图形中的白色地砖有()块。 不 A.6n B 6n一2 C.4n+2 D.6(n-2) ·: .: 【答案】C 【分析】第一幅图有1个黑色地砖，白色地砖数量：4十2=6（块） 第二幅图有2个黑色地砖，白色地砖数量：2×4十2=10（块） : : 第三幅图有3个黑色地砖，白色地砖数量：3×4十2=14（块） : 蝌 蝶 由此可以理解为：每个图案中有1个黑色地砖就搭配4个白色地砖，额外再加上2块白色地 砖，就是这个图案的地砖数量。 【详解】据分析可知： : : 按图中的规律铺地砖，第n个图形中有n块黑色地砖，白色地砖有(n×4十2)块。 故答案为：C : 【点睛】本题考查学生的逻辑推理能力，找到白色地砖与黑色地砖的数量关系是解题的关键。 : 11.(本题3分)观察下面的图形，想一想，第5个图形有()个黑点。 : 试卷第9页，共21页 : A.45 B.46 C.47 D.48 【答案】A 【分析】第1个图形有5个黑点：可以分成2部分：上部分是1个黑点，下部分是4个黑点： 上部分可以写成：2×1-1：下部分可以写成：(1+1)2；合起来是：2×1-1+(1+1)2： 第2个图形有12个黑点：可以分成2部分：上部分是3个黑点，下部分是9个黑点：上部 分可以写成：2×2-1；下部分可以写成：（2十1)2：合起来是：2×2-1十(2+1)2： 第3个图形有21个黑点：可以分成2部分：上部分是5个黑点，上部分可以写成：2×3-1： 下部分是16个黑点，可以写成：(3+1)2；合起来是：2×3-1+(3+1)2 由此可知，第5个图形上部分黑点个数是：2×5一1个；下部分个数：(5十1)2，合起来是： 2×5一1+(5+1)2。据此解答。 【详解】根据分析可知，第5个图形小黑点的个数是： ... ... 2×5-1+(5+1)2 =10-1+63 =9+36 =45(个) . 第5个图形有45个黑点。 .. 故答案为：A : 【点睛】解答部分的关键是把这个图形分成2部分，再找出上部分规律和下部分规则，再合 柴 柴 起来解答。 12.(本题3分)将同样大小的棋子按下图所示的方式摆放，则接下来的第20个图形需要摆 .: ()个棋子。 Q 88 888 8888 > 13 21 31 A.463 B.191 C.441 D.420 .: 【答案】A .. 【分析】根据图示可知： 第1幅图棋子个数：22+3=4十3=7个； 试卷第10页，共21页保密大启用前 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋J 第八单元数学广角一数与形思维培优卷【从课本到奥数】 第1个 第2个 第3个 第4个 考试时间：90分钟：试卷总分：100分：测试日期：2025年12月 6. (本题6分)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21.这样的数称为三角形 题号 一 二 三 四 五 总分 数，而把1、4、9、16、25、36.这样的数称为“正方形数”。从下图中可以发现，任何一个大于 得分 1的正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数之和.如果把“正方形数64写成两个相邻的 注意事项： 角形数之和，这两个“三角形数”分别是( )和( 1.答您前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2.请将答案正确填写在答避区域，注意书写工整，格式正确，卷而整洁。 3.测试范围：第八单元。 4=1+3 9=3+6 16=6+10 评卷人 得分 7.(本题6分)如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形（第2幅），画3个正方形能得 用心思考，正确填写。（每空3分，共33分） 到8个直角三角形（第3幅），画n个正方形能得到( )个直角三角形。若大正方形的边 1.(本题3分)A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制。现在知道A、B、C、D、B 长为8厘米，那么第4幅图中圆的面积为( )平方厘米。 五人已经分别赛过5盘、4盘、3盘、2盘、1盘。问：这时F已赛过( )盘. 2.(本题3分)有-串数台子子子片子子子子 这串数从左开始数，第( )个数是品 3.(本题3分)如果n是一个自然数，那么n的“双阶乘记为n!!,其表示从2到n的所有 第1幅 第2幅 第3幅 第4幅 偶数的积，例如：3！1=2.4！！=2×4.9！【=2×4×6×8，那么2！1十3！！十4！！+，.，.2024！1 8.(本题6分)明明是个善于观察，乐于思考的好孩子，他通过数形结合（如图），发现了“求 的末尾数字为( 两个连续自然数平方差的规律 4.(本题3分)例如：a1表示2的个位数字，即：al: a表示22的个位数字，即：a,4: a表示32的个位数字，即a=9: a:表示42的个位数字，即：=6： 22-12=2+1 3-22=3+2 42-32=4+3 5-42=5+4 请你根据明明发现的规律，直接写出下面算式的结果： 则a,十a,十a,十a,+十am1十h,tau=( 62-52=( 20242-20232=( 5,(本题3分)如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案中有 评卷人 得分 二、 反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题3分，共24 两个正方形，第2个图案中有4个正方形，.，依此规律，第10个图案中有( )个正方 分) 形。 9. (本题3分)把同样的小棒按下面的方式摆放，第9个图形需要( )根小棒。 第1页共8页 第2页共8页 <■■ <■■■ ② ③ A.24 B.27 C.30 D.38 图1 图2 图3 10.(本题3分)按下图的规律铺地砖，第n个图形中的白色地砖有( )块。 A.26 B.43 C.55 D.64 388888 15.(本题3分)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是 A.6n B.6n-2 C.4n+2 D.6(n-2) 0 2 6 6 1山.（本题3分）观察下面的图形，想一想，第5个图形有( )个黑点。 2 8 4 22 6 44 么 A.38 B.52 C.66 D.74 16,(本题3分)有三个正整数，如果其中两个数的平方的和等于第三个数的平方，那么这三 个数就是勾股数，例如：3、4、5这三个数，因为32=9,42=16,52=25，可以计算得出32+ 4?=5子，所以3、4、5是勾股数。运用上述信息进行判断，下列选项中是勾股数的是( ) A.45 B.46 C.47 D.48 A.1、2、3 B.6、8、10 C.3、5、7 D,2、2、4 12.(本题3分)将同样大小的棋子按下图所示的方式摆放，则接下来的第20个图形需要摆 评卷人得分 三、一丝不荷，细心计算。（共8分） ( )个棋子。 0 17(本题8分)观察下列等式：第一个等式：4☆-》别 88 第二个等式：&点得引 13 21 第三个等式：4女传引 A.463 B.191 C.441 D.420 第四个等式a。传司 13.(本题3分)正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形： 请回答下列问题： 第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，，以此类推，根 据以上操作，若要得到53个正方形，需要操作的次数是( 人 (1)按以上规律列出第5个等式：4”一： (2)用含n的代数式表示第n个等式：a,=一(n为正整数)： (3)求4+a+g+a,++gm的值。 图I 图2 图3 A.12 B.13 C.14 D.15 14.(本题3分)如图是用同样长的小棒摆成的（每边用1根小棒）。照这种规律继续摆下去， 摆成图5要用( )根小棒。 0 第3页共8页 0 第4页共8页 0 评卷人得分 20.(本题7分)请你根据下面图形与数的规律完成下列各题： 0 四、手脑并用，实践操作。（共8分） (1)接若画一画，填一填。 18.(本题8分)1个变4个，4个变13个、按同样的方法，下次应该变成多少个三角形？请 在下边的图上画出来。 0●●0●●000 3 6 10 (2)如果不画，这样排列下去，第10个图的数是()，第n个图的数是()（用含n的 式子表示)。 评卷人得分 五、走进生活，解决问题。（共27分） 21.(本题7分)材料：数形结合是一种重要的数学思想方法。在我因，“数形结合最早出现在 19。(本题6分)我们把n个相同的数a相乘记为a,例如2=2x2x2=8。 数学家华罗庚撰写的科普读物《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的一首词中：数与形，本是 (1)请计算：2“= 相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万 5 (2)观察下列等式： 事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首词形象、生动、深刻地指明了数 (x-1)x(x+1)=x2-1 形结合的价值，也揭示了“数形结合”的本质。 (x-1)×(x2+x+1)=x2-1 (1)如下图，你能利用数形结合的知识发现(a+b)(a一b)与a2-b2之间的关系吗？利用你 所学的面积计算的知识，探索一下。 (x-10×(x3+x2+x+1)=x-1 b 由以上规律，我们可以猜： (x-1)×(x+x4++x+1)= (3)计算：31+30++3+1。 kb ●● (2)。。。。。。0.0。。 (1) (2) (3) 观察上面的点阵图规律，请问第(5)个有()个点，第(7)个有()个点。 那么：第()个点阵图有多少个点？请根据数与形结合的规律，分析和归纳，并表达你总结的 方法。 第5页共8页 第6页共8页 22.(本题7分)同学们，“观察一猜想一验证一应用是我们常用的数学探究方法。在边长为5 厘米的正方形纸片上剪去个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙想出 了两种不同的方法（如图）。 方法1： 方法2： S=3-3 。=3-》,(5+3 这两种方法都是求的阴影部分的面积， 因此53-32=(5-3)×(5+3)。 仔细观察这个等式，想一想：是不是 任意两个数都具有这样的特征呢？ : (1)请举2个例子验证： ①102-62=()×()② (2)如果用a和b表示两个数（且a>b),这样的规律可以表示为： a2-b2=()×(） (3)根据以上结论计算：-()1-(*1-()=（) 第7页共8页 第8页共8页: : 保密★启用前 : : 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 .: : 第八单元数学广角数与形思维培优卷【从课本到奥数】 考试时间：90分钟；试卷总分：100分；测试日期：2025年12月 ·: 题号 四 五 总分 .: 得分 : ·: 注意事项： 1.答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2. 请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 .: ·: 3. 测试范围：第八单元。 尽 评卷人 得分 用心思考，正确填写。（每空3分，共33分） ·: : 1. (本题3分) A、 B、 C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制。现在知道A、 : ·: B、 C、D、 E五人已经分别赛过5盘、4盘、3盘、2盘、1盘。问：这时F已 赛过( )盘。 ·: 2(本题3分)有一申数好、、分、、、号异 1 23211234 4、 4 蝶 、, 这串数从左开始数，第( )个数是 19 3.(本题3分)如果n是一个自然数，那么n的双阶乘记为n!,其表示从2 : : 到n的所有偶数的积，例如：3！=2.4！=2×4.9！=2×4×6×8，那么2！！+3！日 十4！！+...2024！的末尾数字为( )。 4.（本题3分)例如：a1表示12的个位数字，即：a=1: a2表示22的个位数字，即：a2=4: a3表示32的个位数字，即a3=9: 女 a4表示42的个位数字，即：a,-6; : 则a1十a2十a3十a4+..十a2oo1+a2o2十a2o3=（ ) ·: .: 5.(本题3分)如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第 O 1个图案中有两个正方形，第2个图案中有4个正方形，..，依此规律，第10 .: 试卷第1页，共8页 : ·: : 个图案中有( )个正方形。 .: . 舒 第1个 第2个 第3个 第4个 6.(本题6分)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21.…这样的 数称为三角形数，而把1、4、9、16、25、36.这样的数称为正方形数”。从下 图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数都可以看作两个相邻的三角形数” 之和。如果把正方形数64写成两个相邻的三角形数”之和，这两个三角形数” 1 分别是( )和( ) ● ●/● ● ● ● ●● ●●●● 4=1+3 9=3+6 16=6+10 : 7.（本题6分)如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形（第2幅)，画3 个正方形能得到8个直角三角形（第3幅），画n个正方形能得到( )个 直角三角形。若大正方形的边长为8厘米，那么第4幅图中圆的面积为( .· 平方厘米。 柴 柴 .: ●●0●●。 ... ... .. 第1幅 第2幅 第3幅 第4幅 8.（本题6分)明明是个善于观察，乐于思考的好孩子，他通过数形结合（如图）， 发现了“求两个连续自然数平方差的规律。 区 女 . .. 22-12=2+1 32-22=3+2 42-32=4+3 52-42=5+4 .. 请你根据明明发现的规律，直接写出下面算式的结果： .: 试卷第2页，共8页 .. .. .: : 0 62-52=( 20242-20232=( : : : : 评卷人 得分 二、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题 : 3分，共24分) 舒 9. (本题3分) 把同样的小棒按下面的方式摆放，第9个图形需要( )根 .: : 小棒。 ·: ·: A.24 B.27 C.30 D.38 10.(本题3分) 按下图的规律铺地砖，第n个图形中的白色地砖有( : 块。 : : : A.61n B.6n-2 C.4n+2 D.6(n-2) : 11. (本题3分)观察下面的图形，想一想，第5个图形有( )个黑点。 : : : 柴 蜘 A.45 B.46 C.47 D.48 : : 12.(本题3分)将同样大小的棋子按下图所示的方式摆放，则接下来的第20 : 个图形需要摆( )个棋子。 : : : 88 888 8888 .… 7 13 21 31 . A.463 B.191 C.441 D.420 : 13.(本题3分)正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2， : ·: 得到5个正方形：第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到 : 试卷第3页，共8页 : :: 9个正方形，..， 以此类推，根据以上操作，若要得到53个正方形，需要操 作的次数是( 图 图2 图3 A.12 B.13 C.14 D.15 14.(本题3分)如图是用同样长的小棒摆成的（每边用1根小棒）。照这种规律 继续摆下去，摆成图5要用( )根小棒。 图1 图2 图3 A.26 B.43 C.55 D.64 ... 15.（本题3分)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规 律，m的值是( ) 0 4 2 6 4 8 6 2 8 4 22 6 44 m .· A.38 B.52 C.66 ... D.74 16.(本题3分)有三个正整数，如果其中两个数的平方的和等于第三个数的平 蜗 蜗 方，那么这三个数就是勾股数，例如：3、4、5这三个数，因为32=9,42=16， 52=25,可以计算得出32+42=52，所以3、4、5是勾股数。运用上述信息进行 判断，下列选项中是勾股数的是( ) A.1、2、3 B.6、8、10 C.3、5、7 D.2、2、4 评卷人 得分 三、一丝不苟，细心计算。（共8分) 17.(本题8分)观察下列等式：第-个等式：4=六3宁[1》月 第二个等式：4-g服引》 3×5235 .. 第三个等式：西证》 O 试卷第4页，共8页 : : : : :: .: ·: .: 第四个等式：4=g仔) : .· 请回答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：a,=_: 舒 对 (2)用含n的代数式表示第n个等式：a.=一 (n为正整数)： (3)求4+42+4+4+…+4o的值。 : : 评卷人 得分 四、手脑并用，实践操作。（共8分） 18.(本题8分)1个变4个，4个变13个、按同样的方法，下次应该变成多少 ·: : 个三角形？请在下边的图上画出来。 ·: : 评卷人 得分 : 五、走进生活，解决问题。（共27分） 0 19.（本题6分)我们把n个相同的数a相乘记为a,例如23=2×2×2=8。 : .: (1)请计算：26= 54 .: (2)观察下列等式： (x-1)×(x+1)=x2-1 守 (x-1)×(x2+x+1)=x3-1 : : (x-1)×(x3+x2+x+1)=x4-1 O 由以上规律，我们可以猜： .: 试卷第5页，共8页 .: .: .· (x-1)×（x+x++x+1)= (3)计算：32011+32010++3+1。 .: 舒 . ... .: .. 尽 20.(本题7分)请你根据下面图形与数的规律完成下列各题： (1)接着画一画，填一填。 : .·.· .· 00 .· 13 6 10 .· (2)如果不画，这样排列下去，第10个图的数是()，第n个图的数是() (用含n的式子表示)。 蜗 蜗 1 .· . . .… .. :区 女 .· .. .· 试卷第6页，共8页 .: : :: .: 21.（本题7分)材料：数形结合是一种重要的数学思想方法。在我国，“数形结 ·: .: : 合”最早出现在数学家华罗庚撰写的科普读物《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》 的一首词中：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数 舒 时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远 联系，切莫分离！”这首词形象、生动、深刻地指明了数形结合的价值，也揭 : 示了数形结合的本质。 : ·: : : (1)如下图，你能利用数形结合的知识发现(a+b)(a一b)与a2一b2之间的关 系吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。 : … ←b ● ●● ●● ●● ●●● ●●●● : (2) ●●● ●●●● ●●●●● (1) (2) (3) .: 观察上面的点阵图规律，请问第(5)个有()个点，第(7)个有()个点 : 蜗 那么：第()个点阵图有多少个点？请根据数与形结合的规律，分析和归纳， 并表达你总结的方法。 : : : : 试卷第7页，共8页 22.（本题7分)同学们，“观察一猜想一验证一应用”是我们常用的数学探究方 法。在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求 剩余部分的面积呢？妙妙想出了两种不同的方法（如图）。 方法1： 方法2： 3 舒 郑 3 5-3 ... 5 S52-3 (5-3)×(5十3) 这两种方法都是求的阴影部分的面积， 因此52-32=(5-3)×(5+3)。 .: 仔细观察这个等式，想一想：是不是 任意两个数都具有这样的特征呢？ . .. (1)请举2个例子验证： ①102-62=（)×() ② (2)如果用a和b表示两个数（且a>b),这样的规律可以表示为： a2-b2=()×() .· .· (3)根据以上结论计算：[1-()[1-(3)x[1-()]=() 柴 ... .… .: :: .: 试卷第8页，共8页