（典型例题篇）第八单元数学广角——数与形【十三大考点】-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 第1页共21页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 第八单元数学广角一数与形【十三大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 第八单元数学广角——数与形 知专题内容 本专题以数形规律探究为主，其中包括数列、图形、数表、算式等不同形式的 规律探索。 ⊙评价体系 基础：★；迁移：★★：综合：★★★；多维度：★★★★：重难点：★★★★★ 白讲解建议 本专题作为分数乘法单元的地基内容，考查难度较小，题型多以填空、计算等 题型为主，建议作为本章基础内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 回考点数量 十三大考点 第二篇章 考点导航篇 原【考点一】三种数列规律探究… …4 俱【考点二】图开形规律探究其-：般规律5 月【考点三】图形规律探究其二：图形与算式的结合.6 原【考点四】图形规律探究其上：图形与数字含义… 8 原【考点五】图形规律探究其四：图形的运动变化… …9 冥【考点六】图形规律探究其五：图形的排列规律（周期规律） .10 冥【考点七】图形规律探究其六：复杂的图形规律探索 ..11 原【考点八】数表规律探究… .13 只【考点九】算式规律探究… ..14 只【考点十】利用数妍形结合解决复杂的计算问题… .15 第2页共21页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 冥【考点十一】构建面积模型理解通用计算公式…… .16 只【考点十二】使用观察分析法解决图象问题… .18 只【考点十三】在实验操作中的探究规律。 …19 第3页共21页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 原【考点一】三种数列规律探究 职方法点拨 数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律， 得出数变大或变小的 趋势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。 目考察形式 填空、选择 蜀动态评价 ★★ 吕【典型例题1】整数列规律探究 按规律填数：1,3,5,7，（ ),11,( 肥【对应练习1】 向日葵中心，种子的排列符合斐波那契数列，也就是1,2,3,5,8,13,21,34,55，( 肥【对应练习2】 找规律：1,3,2,6,4,9,8，( ),( ),15,32,18,. 肥【对应练习3】 将从1开始的自然数分组如下：(1)，(2,3,4)，(5,6,7,8,9)，(10,11,12， 13,14,15,16),按此规律第45组第72个数是( 吕【典型例题2】小数列规律探究 找规律，填数：0.012,0.06,0.3,1.5，( ),( 肥【对应练习1】 按规律填数。 (1)1.5,3.5,5.5,( ),9.5,( (2)0.4,0.8,1.6,( ),6.4,( 肥【对应练习2】 找规律填数： (1)6.25,2.5,1,( ),( ),0.064: (2)7,3.5,1.75,( ),( ),0.21875。 第4页共21页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习3】 找出规律，直接填写。 (1)1.5,3.5,5.5,( ),9.5,( ) (2)0.4,0.8,1.6,( ),6.4,( )。 (3)100,25,6.25,( ),( ) 吕【典型例题3】分数列规律探究 先找规律，再填数。 子( )6（ 9 ),.这组数据越来越接近( 肥【对应练习1】 按越律谊：号，片号( 肥【对应练习2】 根据规律填数。 ,分子8( 即【对应练习3】 根据这列数的规律填空：}，3，，三， 2’8’432( 原【考点二】图形规律探究其一：一般规律 实方法点拨 图形中的变化规律较为抽象，可以采用数形转换，将图形规律转化为数字规 律，运用数形结合的方法，可以找出图形和算式的规律，并借此解决数学问 题。 目考察形式 填空、选择 過动态评价 ★★★ 吕【典型例题】 按下图的规律摆下去。 品品 ●●● ●●●● (1) (2) (3) 第5页共21页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 第7幅图需要( )个点，第n幅图需要( )个点。 0【对应练习1】 根据下面的方式摆棋子，摆第5个图案需要( )枚棋子，摆第n个图案需要( 枚棋子。 88 888 8888 第1个 第2个 第3个 肥【对应练习2】 同学们用围棋子按照下面的规律摆图形，第5幅图用( )枚棋子，第n幅图用( ) 枚棋子。 ● ●● ● ● ● 第1幅图 第2幅图 第3幅图 即【对应练习3】 摆一摆，找规律。 如果照这样排列下去，第9个图形是( )形，第18个图形是( )形，摆第11个 图形需要用( )根小棒。由上图可看出，每多摆1个三角形就要增加( )根小棒， 则搭n个这样的三角形要( )根小棒。 原【考点三】图形规律探究其二：图形与算式的结合 买方法点拨 注意算式规律的变化，可先找出算式的规律，再通过图形的变化来验证算式 的变化。 目考察形式 填空、选择、计算 過动态评价 ★★★ 吕【典型例题】 先观察，再按规律填一填。 第6页共21页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 1=12 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=( )2 1+3+5+7+9+11+13=( )2 0【对应练习1】 照这样的规律接着画下去，第5个图形中有多少个o?第8个图形呢？ 8 32-1=8 42-22=12 52-32=16 肥【对应练习2】 按要求做一做。 1=121+2+1=221+2+3+2+1=32 (1)利用上面的规律直接写一写。 1+2+3+4+3+2+1=( )2 1+2+3+4+5+4+3+2+1=( )2 =72 (2)利用上面的规律算一算 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=( ) 1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=( 肥【对应练习3】 探索规律。 第7页共21页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ① ② ③ (1)观察上面的图，发现： 图①空白部分小正方形的个数是22一12=2+1 图②空白部分小正方形的个数是4-32=4+3 图③空白部分小正方形的个数是52一42=( )+( ) (2)像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：( )。 (3)运用规律计算。202-192+182-172+162-152+.+22-12。 具【考点四】图形规律探究其三：图形与数字含义 兵方法点拨 注意观察数字与图形的联系，找出图形与数字的相似点，再把图形转换为数 字。 目考察形式 填空、选择 過动态评价 ★★★ 吕【典型例题】 如图的每个图形都是由△、口、O中的两个组成的，观察各个图形，根据规律，画出表示57” 的图形是( ),表示76的图形的是( )。 55 56 75 即【对应练习】 根据下面给出的信息，231可以用( )表示。 第8页共21页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ☆=1 O△△☆☆☆ △=10 表示123 O=100 A.OO△△△☆B. OOO☆☆☆△ C.△△OOO☆D.☆☆OOO△ 只【考点五】图形规律探究其四：图形的运动变化 冥方法点拨 组合图形的运动变化，关键找到每个图形运动变化的规律。 目考察形式 填空、选择 過动态评价 ★★★ 二【典型例题】 观察下图中的规律，第四个图案右下角的图形应该是( )。 A.0 B.口 C.△ 肥【对应练习1】 按照这样的规律，第4个图形是：( ) B D 肥【对应练习2】 观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为( ) 第9页共21页 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A. B C. 肥【对应练习3】 观察下图，请选择最适合的一个填入问号处，能使之呈现出一定的规律性的是( ) ●● ●● ● ●●● ●●● ●●0 ●●● ●●● D 原【考点六】图形规律探究其五：图形的排列规律（周期规律） 职方法点拨 图形排列规律，关键在于找到图形排列的一个周期。 目考察形式 填空、选择 蜀动态评价 ★★★ 吕【典型例题】 ☆△△ooo☆△△ooo...照这样顺序依次摆下去，第100个图形是( ) 肥【对应练习1】 △△口☆★△△口☆★△△口☆★...左起第30个是( ):△是12个时，其它三种图形 (口☆★)一共是( )个。 0【对应练习2】 ▲▲△△▲△▲▲△△▲△▲▲△△▲...第25个三角形是( ),摆80个三角形，有 )个是白色的。 第10页共21页多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 第1页共43页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 第八单元数学广角一数与形【十三大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 第八单元数学广角——数与形 知专题内容 本专题以数形规律探究为主，其中包括数列、图形、数表、算式等不同形式的 规律探索。 ⊙评价体系 基础：★；迁移：★★：综合：★★★；多维度：★★★★：重难点：★★★★★ 白讲解建议 本专题作为分数乘法单元的地基内容，考查难度较小，题型多以填空、计算等 题型为主，建议作为本章基础内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 回考点数量 十三大考点 第二篇章 考点导航篇 原【考点一】三种数列规律探究… .4 俱【考点二】图开形规律探究其-：般规律9 月【考点三】图形规律探究其二：图形与算式的结合12 原【考点四】图形规律探究其三：图形与数字含义16 原【考点五】图形规律探究其四：图形的运动变化… ..17 冥【考点六】图形规律探究其五：图形的排列规律（周期规律） .19 冥【考点七】图形规律探究其六：复杂的图形规律探索 .21 原【考点八】数表规律探究… ..26 只【考点九】算式规律探究… ..29 只【考点十】利用数妍形结合解决复杂的计算问题…。 ....31 第2页共43页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 冥【考点十一】构建面积模型理解通用计算公式…… .33 只【考点十二】使用观察分析法解决图象问题… .37 只【考点十三】在实验操作中的探究规律。 .39 第3页共43页 学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 原【考点一】三种数列规律探究 职方法点拨 数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律， 得出数变大或变小的 趋势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。 目考察形式 填空、选择 蜀动态评价 ★★ 吕【典型例题1】整数列规律探究 按规律填数：1,3,5,7，( ),11,( ..0 【答案】 9 13 【分析】这组数的规律：3一1=2,5一3=2,7-5=2，发现后一个数比前一个数大2，据此 解答。 【详解】7+2=9 11+2=13 按规律填数：1,3,5,7,9,11,13。 0【对应练习1】 向日葵中心，种子的排列符合斐波那契数列，也就是1,2,3,5,8,13,21,34,55，( 【答案】89 【分析】观察这些数的排列规律：从第3个数起，每个数等于它前面两个数的和，据此解答。 【详解】1+2=3 2+3=5 3+5=8 5+8=13 8+13=21 13+21=34 21+34=55 34+55=89 因此向日葵中心，种子的排列符合斐波那契数列，也就是1,2,3,5,8,13,21,34,55， 第4页共43页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 89,.0 0【对应练习2】 找规律：1,3,2,6,4,9,8，( ),( ),15,32,18,.。 【答案】 12 16 【分析】通过观察可得：这列数可拆分为两组，第一组是奇数项的数：1,2,4,8，，规律 是后一个奇数项上的数都是前一个奇数项上的数的2倍；第二组是偶数项上的数：3,6,9， 规律是后一个偶数项上的数都比前一个偶数项上的数增加3。据此解答。 【详解】根据分析可得： 1,3,2,6,4,9,8,12,16,15,32,18,.。 肥【对应练习3】 将从1开始的自然数分组如下：(1)，(2,3,4)，(5,6,7,8,9)，（10,11,12， 13,14,15,16),按此规律第45组第72个数是( ) 【答案】2008 【分析】观察可知，第一组只有1个数，1=12，第二组的最后一个数是4,4=22，第三组的 最后一个数是9,9=32，由此可知，第几组的最后一个数就是几的平方，据此确定第44组的 最后一个数，用第44组的最后一个数加上72，就是第45组第72个数，据此分析。 【详解】442=44×44=1936 1936+72=2008 按此规律第45组第72个数是2008。 【点睛】本题关键是找出规律，先求出第44组的最后一个数，再求第45组第72个数比较简 单，而不是求出第45组的最后一个数，再求第45组第72个数。 吕【典型例惠2】小数列规律探究 找规律，填数：0.012,0.06,0.3,1.5，( 【答案】 7.5 37.5 【分析】观察已知的前4个数，发现规律：前一个数乘5等于后一个数，据此规律解答。 【详解】0.012×5=0.06 0.06×5=0.3 0.3×5=1.5 第5页共43页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 1.5×5=7.5 7.5×5=37.5 填数：0.012,0.06,0.3,1.5，(7.5)，(37.5)。 肥【对应练习1】 按规律填数。 (1)1.5,3.5,5.5,( ),9.5,( 。 (2)0.4,0.8,1.6,( ),6.4,( 【答案】(1) 7.5 11.5 (2) 3.2 12.8 【分析】(1)观察小数的排列规律，前一个小数+2=后一个小数，据此分析： (2)前一个小数×2=后一个小数，据此分析。 【详解】(1)5.5+2=7.5、9.5+2=11.5 1.5,3.5,5.5,7.5,9.5,11.5。 (2)1.6×2=3.2、6.4×2=12.8 0.4,0.8,1.6,3.2,6.4,12.8。 即【对应练习2】 找规律填数： (1)6.25,2.5,1,( ),( ),0.064; (2)7,3.5,1.75,( ),（ ),0.21875。 【答案】 0.4 0.16 0.875 0.4375 【分析】(1)6.25-2.5=2.5,2.5÷1=2.5，所以用前一个数除以2.5可以得到后一个数； (2)7÷3.5=2,3.5÷1.75=2,所以用前一个数除以2可以得到后一个数；据此解答。 【详解】根据分析： (1)1÷2.5=0.4,0.4÷2.5=0.16,0.16÷2.5=0.064,所以6.25,2.5,1,0.4,0.16,0.064： (2)1.75÷2=0.875,0.875÷2=0.4375,0.4375÷2=0.21875,所以7,3.5,1.75,0.875,0.4375， 0.21875。 即【对应练习3】 找出规律，直接填写。 第6页共43页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)1.5,3.5,5.5,( ),9.5,( )。 (2)0.4,0.8,1.6,( ),6.4,( )。 (3)100,25,6.25,( ),( 。 【答案】(1) 7.5 11.5 (2) 3.2 12.8 (3) 1.5625 0.390625 【分析】(1)3.5-1.5=2,5.5-3.5=2，即前一个数加上2，等于后一个数： (2)0.8÷0.4=2,1.6÷08=2,即前一个数乘2，等于后一个数； (3)100÷25=4,25÷6.25=4,即前一个数除以4，等于后一个数：据此解答。 【详解】(1)5.5+2=7.5 9.5+2=11.5 即1.5,3.5,5.5,7.5,9.5,11.5。 (2)1.6×2=3.2 6.4×2=12.8 即0.4,0.8,1.6,3.2,6.4,12.8。 (3)6.25÷4=1.5625 1.5625÷4=0.390625 即100,25,6.25,1.5625,0.390625。 吕【典型例题3】分数列规律探究 先找规律，再填数。 3,1,( 9 )16（ ),.这组数据越来越接近( 【答案】 3 27 0 4 64 【分析】由题意可知，×3=1,1×=，三x=9 3×4 4=4手年6，由此可知，前面的数乘就等于它 后面的数，据此规律写出这组数，再根据规律判断这组数据越来越接近多少；据此解答。 【详解】根据分析： 339327 1×4=416*4=64 所以这组数是，山，子。，，观察发现数字由假分数变为1，再变为真分数：所以这 3927 第7页共43页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 组数据越来越接近0。 0【对应练习1】 按规律填空：了，5,7( 13119 【答案】 【分析】根据题意，后面的分数的分子依次比前面分数的分子少2，后面的分数的分母依次比 前面分数的分母多2，据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 9-2_7 7+29 按规律填空：马，里，？，之5 3’5’7’9’11 0【对应练习2】 根据规律填数。 1员京京京( 【答案】 【分析】把1看成，可以发现，相邻的三个分数的前两个分数的分母的和等于第三个分数的 分母，这列分数的分子都是1，据此解答。 【详解】5+8=13 所以这列数是1，号子名日 即【对应练习3】 根据这列数的规律填空： 1315 2’8’4’32,( 【答案】日 【分析】观察已知的四个分数，第1个数、第3个数是·：第2个数、第4个数是、 发现：奇数项的分子都是1，分母从2开始依次乘2：偶数项的分子从3开始依次加2，分母 从8开始依次乘4；据此规律解答。 【详解】根据规律可得：第5个数是奇数项，分子是1，分母是4×2=8，即： 第8页共43页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 填空如下： 13151 28’432’8’。 原【考点二】图形规律探究其一：一般规律 冥方法点拨 图形中的变化规律较为抽象，可以采用数形转换，将图形规律转化为数字规 律，运用数形结合的方法，可以找出图形和算式的规律，并借此解决数学问 题。 目考察形式 填空、选择 蜀动态评价 ★★★ 吕【典型例题】 按下图的规律摆下去。 品品品 ●●4 ●●●● ●●●●● (1) (2) (3) 第7幅图需要( )个点，第n幅图需要( )个点。 【答案】 24 3+3m 【分析】第一幅图点的数量：3×2=6（个），第二幅图点的数量：3x3=9(个)，第三幅图点 的数量：3×4=12（个），， 第n幅图点的数量：3(n+1)个，据此解答即可。 【详解】第7幅图需要：3×(7+1)=3×8=24（个） 第n幅图需要：3(n+1)=3+3n(个) 所以第7幅图需要24个点，第n幅图需要(3+3n)个点。 肥【对应练习1】 根据下面的方式摆棋子，摆第5个图案需要( )枚棋子，摆第n个图案需要( 枚棋子。 88 888 8888 第1个 第2个 第3个 【答案】 17 3n+2 【分析】观察发现： 第9页共43页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第一个有5枚棋子。 第二个图案在原来的图案上增加了3个棋子，即5+3=8（枚） 第三个图案在原来的图案上又增加了3个棋子，即5+3×2=11（枚） 第四个图案在原来的图案上又增加了3个棋子，即5+3×3=14（枚） 第五个图案在原来的图案上又增加了3个棋子，即5+3×4=17（枚） 第n个图案在原来的图案上的棋子数就是在5个的棋子的基础上增加（一1）组3个的棋子。 最后将带有字母的式子化简得出最后的式子。 【详解】5+3×4 =5+12 =17(枚) 5+3(n-1) =5+3n-3 =3n+2 摆第5个图案需要17枚棋子，摆第n个图案需要(3n十2)枚棋子。 0【对应练习2】 同学们用围棋子按照下面的规律摆图形，第5幅图用( )枚棋子，第n幅图用( 枚棋子。 ● ● ● ● ● ● ● ● 第1幅图 第2幅图 第3幅图 【答案】 31 6n+1 【分析】观察发现，每增加一个图形，黑色的点就在外面多一圈，也是多6个。 第一幅图：7个 第二幅图：7+6=13（个） 第三幅图：7+6×2=19（个） 第n幅图：7+6(n一1) 第10页共43页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第八单元数学广角——数与形【十三大考点】 专题名称 第八单元数学广角——数与形 专题内容 本专题以数形规律探究为主，其中包括数列、图形、数表、算式等不同形式的规律探索。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题作为分数乘法单元的地基内容，考查难度较小，题型多以填空、计算等题型为主，建议作为本章基础内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 考点数量 十三大考点 【考点一】三种数列规律探究 4 【考点二】图形规律探究其一：一般规律 5 【考点三】图形规律探究其二：图形与算式的结合 6 【考点四】图形规律探究其三：图形与数字含义 8 【考点五】图形规律探究其四：图形的运动变化 9 【考点六】图形规律探究其五：图形的排列规律（周期规律） 10 【考点七】图形规律探究其六：复杂的图形规律探索 11 【考点八】数表规律探究 13 【考点九】算式规律探究 14 【考点十】利用数形结合解决复杂的计算问题 15 【考点十一】构建面积模型理解通用计算公式 16 【考点十二】使用观察分析法解决图象问题 18 【考点十三】在实验操作中的探究规律 19 【考点一】三种数列规律探究 方法点拨 数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律，得出数变大或变小的趋势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】整数列规律探究 按规律填数：1，3，5，7，( )，11，( )…。 【对应练习1】 向日葵中心，种子的排列符合斐波那契数列，也就是1，2，3，5，8，13，21，34，55，( )，…。 【对应练习2】 找规律：1，3，2，6，4，9，8，( )，( )，15，32，18，…。 【对应练习3】 将从1开始的自然数分组如下：（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），（10，11，12，13，14，15，16），按此规律第45组第72个数是( )。 【典型例题2】小数列规律探究 找规律，填数：0.012，0.06，0.3，1.5，( )，( )。 【对应练习1】 按规律填数。 (1)1.5，3.5，5.5，( )，9.5，( )。 (2)0.4，0.8，1.6，( )，6.4，( )。 【对应练习2】 找规律填数： （1）6.25，2.5，1，( )， ( )，0.064； （2）7，3.5，1.75，( )，( )，0.21875。 【对应练习3】 找出规律，直接填写。 (1)1.5，3.5，5.5，( )，9.5，( )。 (2)0.4，0.8，1.6，( )，6.4，( )。 (3)100，25，6.25，( )，( )。 【典型例题3】分数列规律探究 先找规律，再填数。 ，1，( )，，( )，…这组数据越来越接近( )。 【对应练习1】 按规律填空：，，，( )，。 【对应练习2】 根据规律填数。 1，，，，，( )… 【对应练习3】 根据这列数的规律填空：，，，，( )，…。 【考点二】图形规律探究其一：一般规律 方法点拨 图形中的变化规律较为抽象，可以采用数形转换，将图形规律转化为数字规律，运用数形结合的方法，可以找出图形和算式的规律，并借此解决数学问题。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 按下图的规律摆下去。 第7幅图需要( )个点，第n幅图需要( )个点。 【对应练习1】 根据下面的方式摆棋子，摆第5个图案需要( )枚棋子，摆第n个图案需要( )枚棋子。 【对应练习2】 同学们用围棋子按照下面的规律摆图形，第5幅图用( )枚棋子，第n幅图用( )枚棋子。 【对应练习3】 摆一摆，找规律。 如果照这样排列下去，第9个图形是( )形，第18个图形是( )形，摆第11个图形需要用( )根小棒。由上图可看出，每多摆1个三角形就要增加( )根小棒，则搭n个这样的三角形要( )根小棒。 【考点三】图形规律探究其二：图形与算式的结合 方法点拨 注意算式规律的变化，可先找出算式的规律，再通过图形的变化来验证算式的变化。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 先观察，再按规律填一填。 1＝12               1＋3＝22             1＋3＋5＝32 1＋3＋5＋7＝( )2 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝( )2 【对应练习1】 照这样的规律接着画下去，第5个图形中有多少个○？第8个图形呢？ 32－1＝8          42－22＝12       52－32＝16 【对应练习2】 按要求做一做。 1＝12       l＋2＋1＝22   1＋2＋3＋2＋1＝32 (1)利用上面的规律直接写一写。 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝( )2 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝( )2 ＝72 (2)利用上面的规律算一算。 1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝( ) 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝( ) 【对应练习3】 探索规律。 （1）观察上面的图，发现： 图①空白部分小正方形的个数是22－12＝2＋1 图②空白部分小正方形的个数是＝4＋3 图③空白部分小正方形的个数是52－42＝( )＋( ) （2）像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：( )。 （3）运用规律计算。202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12。 【考点四】图形规律探究其三：图形与数字含义 方法点拨 注意观察数字与图形的联系，找出图形与数字的相似点，再把图形转换为数字。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 如图的每个图形都是由△、□、〇中的两个组成的，观察各个图形，根据规律，画出表示“57”的图形是( )，表示“76”的图形的是( )。 【对应练习】 根据下面给出的信息，231可以用( )表示。 A． B． C． D． 【考点五】图形规律探究其四：图形的运动变化 方法点拨 组合图形的运动变化，关键找到每个图形运动变化的规律。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 观察下图中的规律，第四个图案右下角的图形应该是( )。 A．○ B．□ C．△ 【对应练习1】 ……按照这样的规律，第4个图形是：( )。 A．   B．   C．   D．   【对应练习2】 观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为( )。 A． B． C． 【对应练习3】 观察下图，请选择最适合的一个填入问号处，能使之呈现出一定的规律性的是( )。 A．   B．   C．   D．   【考点六】图形规律探究其五：图形的排列规律（周期规律） 方法点拨 图形排列规律，关键在于找到图形排列的一个周期。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 ☆△△○○○☆△△○○○……照这样顺序依次摆下去，第100个图形是( )。 【对应练习1】 △△□☆★△△□☆★△△□☆★……左起第30个是( )；△是12个时，其它三种图形（□☆★）一共是( )个。 【对应练习2】 ▲▲△△▲△▲▲△△▲△▲▲△△▲……第25个三角形是( )，摆80个三角形，有( )个是白色的。 【对应练习3】 △△□☆○△△□☆○△△□☆○……左起第30个是( )，当△至少有( )个时，其他三种图形一共是18个。 【考点七】图形规律探究其六：复杂的图形规律探索 方法点拨 图形中寻找规律，要把图形转变成数列或算式，再寻找之间的规律。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【典型例题】 下面都是由边长为1厘米的小正方形拼成的大正方形。 ①              ②                ③ （1）观察图形，完成表格。 图号 ① ② ③ ④ … 阴影部分边长（厘米） 1 2 3 … 最外圈正方形个数（个） 8 12 16 （2）以此类推，如果在图⑩的阴影部分内画一个最大的圆，这个圆的面积是多少？ 【对应练习1】 李乐用吸管和图钉做三角形图案。（如下图，点表示图钉，线段表示吸管） （1）请根据做三角形图案时，三角形与吸管、图钉的数量关系填写下表。 三角形个数 1 2 3 4 5 … 吸管的根数 3 5 7 9 ( ) … 图钉的数量 3 4 5 6 ( ) … （2）照这样做，用36个图钉时做成的图案中有( )个三角形，用了( )根吸管。 （3）三角形个数、吸管根数、图钉数量之间有什么关系？选择其中两个，试着写出它们的数量关系。 【对应练习2】 下面都是由边长为1厘米的小正方形拼成的大正方形。 …… （1）观察图形，完成表格。 图号 ① ② ③ ④ ⑤ 阴影部分边长（厘米） 1 2 周围正方形个数（个） 8 12 （2）以此类推，你知道图⑨中涂色部分的周围共有多少个小正方形吗？ 【对应练习3】 下面图形都是由边长0.5厘米的正方形拼成的。 （1）找规律画出图形⑤。 （2）根据前面的图形把表格补充完整。 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 面积/ 0.25 0.75 1.5 ( ) ( ) 周长/cm 2 4 6 ( ) ( ) 【考点八】数表规律探究 方法点拨 观察数表行列之间的变化，探索规律。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 找规律，写得数。 假设所有自然数如下图排列起来，35、48、78、2022应分别排在哪个字母下面？ A    B     C    D                   1    2     3    4                   8    7     6    5     9   10    11   12                 … 35在( )下面；48在( )下面；78在( )下面；2022在( )下面。 【对应练习1】 将自然数按下图的规律排列，则2011所在的位置是第( )行第( )列。 【对应练习2】 将正整数按照如图所示的规律排列下去，若用有序数对（m，n）表示第m排，从左往右数第n个数，如（3，2）表示整数5，则（16，8）表示的数是( )。 【对应练习3】 一个从1开始的自然数表如下，表中下一行数的个数是上一行数个数的2倍。那么第六行的最后一个数是( )。 第一行 1 第二行 2 3 第三行 4 5 6 7 …… …… 【考点九】算式规律探究 方法点拨 观察算式与结果之间的关系，探索规律。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题1】问题一 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝( )×( )＝( )。 【典型例题2】问题二 找规律，写得数。 1﹗＝1；2﹗＝2×1；3﹗＝3×2×1；4﹗＝4×3×2×1；…1﹗＋2﹗＋3﹗＋4﹗＋5﹗＋6﹗＋7﹗＋8﹗＋9﹗＋10﹗的和个位数字是( )。 【对应练习1】 先阅读，再答题。 因为1－＝－＝，所以＝1－； 因为－＝－＝，所以＝－； 因为－＝－＝，所以＝－… （1）根据以上材料，请写出：＝( ) （2）＋＋＋＋＋＋＋＋＝( ) 【对应练习2】 ＋＋＋＋＋1＋2＋4＋8＝( )。 【对应练习3】 ( )。 【考点十】利用数形结合解决复杂的计算问题 方法点拨 数形结合是一种重要的思想方法。运用数形结合，可以帮助我们理解计算方法，进行简便计算，也可以探索解题规律，帮助解决问题。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 观察下图，猜想算式1－－－－－…的结果会无限接近( )，在方框里写出你的思考过程。 【对应练习】 （1）如果下图表示1，请在正方形中用阴影表示。     （2）通过下图，你发现可以怎样非常简便计算的和？写出你的计算方法和结果。 （3）如果在图中继续你的操作，会发现…的和越来越接近于( )。 【考点十一】构建面积模型理解通用计算公式 方法点拨 复杂的计算公式需要数学结合，构建面积模型来理解。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 当当在计算“12＋1×3×2＋32、22＋2×5×2＋52、42＋4×6×2＋62 …”这样的算式时，她用“数形结合”的方法来探索：用算式中的数分别构造两个正方形和两个长方形。她发现“这四个图形的面积相加正好是大正方形的面积”（如图所示）。    由此得出： 图①：12＋1×3×2＋32＝42 图②：22＋2×5×2＋52＝72 图③：42＋4×6×2＋62＝102 （1）根据当当发现的规律填空： 32＋3×5×2＋52＝( )。 162＋16×19×2＋192＝( )。 （2）你能根据当当发现的规律，把如图这个正方形分成四块，并用算式表示出来吗？ ( )＝92 【对应练习】 阅读与解答。 图中阴影部分的面积是用大正方形的面积减小正方形的面积得到的，可以转化成长方形来计算。 （1）请阅读①后，将②③④中的算式补充完整。 ① （______＋_______）×（______－_______） ② ③ ______＝______＝27 ④ ______ （2）请运用上面的发现，计算圆环的面积。（写出计算过程） 【考点十二】使用观察分析法解决图象问题 方法点拨 解题关键在于理解折线统计图的横轴和纵轴表示的是什么，再根据图象的变化及对应的数据进行分析。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一辆小轿车加满油后，记录了小轿车行驶路程和对应的剩余油量；制作出图象。（如图） （1）行驶130千米时，油箱剩余油量是( )升。 （2）这辆车的耗油量是每千米多少升？ 【对应练习】 爸爸开车带明明去动物园，在去的路上，明明画出了汽车的速度随时间的变化情况，如图所示。 （1）汽车行驶了( )分钟，它行驶的最大速度是( )千米/时。 （2）出发后8分钟到10分钟这段时间可能出现什么情况？ （3）用自己的语言描述这辆车的行驶情况。 【考点十三】在实验操作中的探究规律 方法点拨 细读实验过程，理解实验与结果的联系，探索规律。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 操作与实验。 实验任务：用同一种球（如小皮球），从不同的高度释放来做反弹实验。 实验方法：选一块靠墙的平地，在墙上量出一个高度并做上标记，3次将同一个球从这个高度由静止释放，在墙上标出球的反弹高度，量出结果并记录下来。 实验报告单 实验目的： 实验分工： 实验过程： ( )球 第一次 第二次第 三次 下落高度/cm 100 120 150 反弹高度/cm 反弹高度是下落高度的几分之几 实验结论： 【对应练习1】 取一长90厘米宽8厘米的长方形纸条，把两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对的另一边连接，用固体胶粘起来。一只蚂蚁从某点沿着所标出的路线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离大约是多少厘米？    【对应练习2】 盒子里装有分别写着1，2，3，…，100的黄色卡片各一张。我们称如下操作为一次操作：从盒子里取出m（7≤m≤11）张卡片，算出这m张卡片上各数之和减去27的差，将差写在一张红色卡片上（不放回）。若干次操作后，盒子里的卡片全部被取出，若所有红色卡片上的数字之和为n，那么n的最大可能值减去最小可能值等于( )。 A．108 B．96 C．88 D．81 【对应练习3】 把编号1~13的13张卡片按编号从小到大的顺序叠成一摞，然后按如下步骤进行操作： 第一步：把这摞卡片按从上到下的顺序分成上（A）、中（B）、下（C）三摞，其中A摞4张，B摞4张，C摞5张； 第二步：把C摞最上面一张卡片拿出来，放在桌子上；然后把B摞最上面一张卡片拿出来，放在拿出来的第一张卡片上；接着把A摞最上面一张卡片拿出来，放在拿出来的第二张卡片上；……如此按C、B、A的顺序轮流拿卡片，直到将13张卡片重新叠成一摞。 完成以上两步是一次操作，第1次操作过程如下图： （1）第1次操作后，从上往下数第6张卡片上的编号是__________。（直接写出答案） （2）第2次操作后，从上往下数第6张卡片上的编号是__________。（直接写出答案） （3）第365次操作后，从上往下数第6张卡片上的编号是多少？（写出详细过程） 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第八单元数学广角——数与形【十三大考点】 专题名称 第八单元数学广角——数与形 专题内容 本专题以数形规律探究为主，其中包括数列、图形、数表、算式等不同形式的规律探索。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题作为分数乘法单元的地基内容，考查难度较小，题型多以填空、计算等题型为主，建议作为本章基础内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 考点数量 十三大考点 【考点一】三种数列规律探究 4 【考点二】图形规律探究其一：一般规律 9 【考点三】图形规律探究其二：图形与算式的结合 12 【考点四】图形规律探究其三：图形与数字含义 16 【考点五】图形规律探究其四：图形的运动变化 17 【考点六】图形规律探究其五：图形的排列规律（周期规律） 19 【考点七】图形规律探究其六：复杂的图形规律探索 21 【考点八】数表规律探究 26 【考点九】算式规律探究 29 【考点十】利用数形结合解决复杂的计算问题 31 【考点十一】构建面积模型理解通用计算公式 33 【考点十二】使用观察分析法解决图象问题 37 【考点十三】在实验操作中的探究规律 39 【考点一】三种数列规律探究 方法点拨 数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律，得出数变大或变小的趋势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】整数列规律探究 按规律填数：1，3，5，7，( )，11，( )…。 【答案】 9 13 【分析】这组数的规律：3－1＝2，5－3＝2，7－5＝2，发现后一个数比前一个数大2，据此解答。 【详解】7＋2＝9 11＋2＝13 按规律填数：1，3，5，7，9，11，13。 【对应练习1】 向日葵中心，种子的排列符合斐波那契数列，也就是1，2，3，5，8，13，21，34，55，( )，…。 【答案】89 【分析】观察这些数的排列规律：从第3个数起，每个数等于它前面两个数的和，据此解答。 【详解】1＋2＝3 2＋3＝5 3＋5＝8 5＋8＝13 8＋13＝21 13＋21＝34 21＋34＝55 34＋55＝89 因此向日葵中心，种子的排列符合斐波那契数列，也就是1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…。 【对应练习2】 找规律：1，3，2，6，4，9，8，( )，( )，15，32，18，…。 【答案】 12 16 【分析】通过观察可得：这列数可拆分为两组，第一组是奇数项的数：1，2，4，8，…，规律是后一个奇数项上的数都是前一个奇数项上的数的2倍；第二组是偶数项上的数：3，6，9，…，规律是后一个偶数项上的数都比前一个偶数项上的数增加3。据此解答。 【详解】根据分析可得： 1，3，2，6，4，9，8，12，16，15，32，18，…。 【对应练习3】 将从1开始的自然数分组如下：（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），（10，11，12，13，14，15，16），按此规律第45组第72个数是( )。 【答案】2008 【分析】观察可知，第一组只有1个数，1＝12，第二组的最后一个数是4，4＝22，第三组的最后一个数是9，9＝32，由此可知，第几组的最后一个数就是几的平方，据此确定第44组的最后一个数，用第44组的最后一个数加上72，就是第45组第72个数，据此分析。 【详解】442＝44×44＝1936 1936＋72＝2008 按此规律第45组第72个数是2008。 【点睛】本题关键是找出规律，先求出第44组的最后一个数，再求第45组第72个数比较简单，而不是求出第45组的最后一个数，再求第45组第72个数。 【典型例题2】小数列规律探究 找规律，填数：0.012，0.06，0.3，1.5，( )，( )。 【答案】 7.5 37.5 【分析】观察已知的前4个数，发现规律：前一个数乘5等于后一个数，据此规律解答。 【详解】0.012×5＝0.06 0.06×5＝0.3 0.3×5＝1.5 1.5×5＝7.5 7.5×5＝37.5 填数：0.012，0.06，0.3，1.5，（7.5），（37.5）。 【对应练习1】 按规律填数。 (1)1.5，3.5，5.5，( )，9.5，( )。 (2)0.4，0.8，1.6，( )，6.4，( )。 【答案】(1) 7.5 11.5 (2) 3.2 12.8 【分析】（1）观察小数的排列规律，前一个小数＋2＝后一个小数，据此分析； （2）前一个小数×2＝后一个小数，据此分析。 【详解】（1）5.5＋2＝7.5、9.5＋2＝11.5 1.5，3.5，5.5，7.5，9.5，11.5。 （2）1.6×2＝3.2、6.4×2＝12.8 0.4，0.8，1.6，3.2，6.4，12.8。 【对应练习2】 找规律填数： （1）6.25，2.5，1，( )， ( )，0.064； （2）7，3.5，1.75，( )，( )，0.21875。 【答案】 0.4 0.16 0.875 0.4375 【分析】（1）6.25÷2.5＝2.5，2.5÷1＝2.5，所以用前一个数除以2.5可以得到后一个数； （2）7÷3.5＝2，3.5÷1.75＝2，所以用前一个数除以2可以得到后一个数；据此解答。 【详解】根据分析： （1）1÷2.5＝0.4，0.4÷2.5＝0.16，0.16÷2.5＝0.064，所以6.25，2.5，1，0.4， 0.16，0.064； （2）1.75÷2＝0.875，0.875÷2＝0.4375，0.4375÷2＝0.21875，所以7，3.5，1.75，0.875，0.4375，0.21875。 【对应练习3】 找出规律，直接填写。 (1)1.5，3.5，5.5，( )，9.5，( )。 (2)0.4，0.8，1.6，( )，6.4，( )。 (3)100，25，6.25，( )，( )。 【答案】(1) 7.5 11.5 (2) 3.2 12.8 (3) 1.5625 0.390625 【分析】（1）3.5－1.5＝2，5.5－3.5＝2，即前一个数加上2，等于后一个数； （2）0.8÷0.4＝2，1.6÷0.8＝2，即前一个数乘2，等于后一个数； （3）100÷25＝4，25÷6.25＝4，即前一个数除以4，等于后一个数；据此解答。 【详解】（1）5.5＋2＝7.5 9.5＋2＝11.5 即1.5，3.5，5.5，7.5，9.5，11.5。 （2）1.6×2＝3.2 6.4×2＝12.8 即0.4，0.8，1.6，3.2，6.4，12.8。 （3）6.25÷4＝1.5625 1.5625÷4＝0.390625 即100，25，6.25，1.5625，0.390625。 【典型例题3】分数列规律探究 先找规律，再填数。 ，1，( )，，( )，…这组数据越来越接近( )。 【答案】 0 【分析】由题意可知，×＝1，1×＝，×＝…，由此可知，前面的数乘就等于它后面的数，据此规律写出这组数，再根据规律判断这组数据越来越接近多少；据此解答。 【详解】根据分析： 1×＝，×＝ 所以这组数是，1，，，…，观察发现数字由假分数变为1，再变为真分数，所以这组数据越来越接近0。 【对应练习1】 按规律填空：，，，( )，。 【答案】 【分析】根据题意，后面的分数的分子依次比前面分数的分子少2，后面的分数的分母依次比前面分数的分母多2，据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 按规律填空：，，，，。 【对应练习2】 根据规律填数。 1，，，，，( )… 【答案】 【分析】把1看成，可以发现，相邻的三个分数的前两个分数的分母的和等于第三个分数的分母，这列分数的分子都是1，据此解答。 【详解】5＋8＝13 所以这列数是1，，，，，… 【对应练习3】 根据这列数的规律填空：，，，，( )，…。 【答案】 【分析】观察已知的四个分数，第1个数、第3个数是，；第2个数、第4个数是、；发现：奇数项的分子都是1，分母从2开始依次乘2；偶数项的分子从3开始依次加2，分母从8开始依次乘4；据此规律解答。 【详解】根据规律可得：第5个数是奇数项，分子是1，分母是4×2＝8，即； 填空如下： ，，，，，…。 【考点二】图形规律探究其一：一般规律 方法点拨 图形中的变化规律较为抽象，可以采用数形转换，将图形规律转化为数字规律，运用数形结合的方法，可以找出图形和算式的规律，并借此解决数学问题。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 按下图的规律摆下去。 第7幅图需要( )个点，第n幅图需要( )个点。 【答案】 24 3＋3n 【分析】第一幅图点的数量：（个），第二幅图点的数量：（个），第三幅图点的数量：（个），……，第n幅图点的数量：个，据此解答即可。 【详解】第7幅图需要：（个） 第n幅图需要：（个） 所以第7幅图需要24个点，第n幅图需要（3＋3n）个点。 【对应练习1】 根据下面的方式摆棋子，摆第5个图案需要( )枚棋子，摆第n个图案需要( )枚棋子。 【答案】 17 3n＋2 【分析】观察发现： 第一个有5枚棋子。 第二个图案在原来的图案上增加了3个棋子，即5＋3＝8（枚） 第三个图案在原来的图案上又增加了3个棋子，即5＋3×2＝11（枚） 第四个图案在原来的图案上又增加了3个棋子，即5＋3×3＝14（枚） 第五个图案在原来的图案上又增加了3个棋子，即5＋3×4＝17（枚） …… 第n个图案在原来的图案上的棋子数就是在5个的棋子的基础上增加（n－1）组3个的棋子。最后将带有字母的式子化简得出最后的式子。 【详解】5＋3×4 ＝5＋12 ＝17（枚） 5＋3（n－1） ＝5＋3n－3 ＝3n＋2 摆第5个图案需要17枚棋子，摆第n个图案需要（3n＋2）枚棋子。 【对应练习2】 同学们用围棋子按照下面的规律摆图形，第5幅图用( )枚棋子，第n幅图用( )枚棋子。 【答案】 31 【分析】观察发现，每增加一个图形，黑色的点就在外面多一圈，也是多6个。 第一幅图：7个 第二幅图：7＋6＝13（个） 第三幅图：7＋6×2＝19（个） …… 第n幅图：7＋6（n－1） 据此规律解答。 【详解】7＋6×（5－1） ＝7＋6×4 ＝7＋24 ＝31（枚） 7＋6（n－1） ＝7＋6n－6 ＝6n＋1 第5幅图用31枚棋子，第n幅图用（6n＋1）枚。 【对应练习3】 摆一摆，找规律。 如果照这样排列下去，第9个图形是( )形，第18个图形是( )形，摆第11个图形需要用( )根小棒。由上图可看出，每多摆1个三角形就要增加( )根小棒，则搭n个这样的三角形要( )根小棒。 【答案】 梯 平行四边 23 2 2n＋1 【分析】图形按三角形、平行四边形、梯形、平行四边形、梯形……的顺序排列，发现规律：从第2个图形开始，偶数个图形是平行四边形，奇数个图形是梯形。 第1个图形用3根小棒，第2个图形用5根小棒，第3个图形用7根小棒，第4个图形用9根小棒……；发现规律：3＝1×2＋1，5＝2×2＋1，7＝3×2＋1，9＝4×2＋1……；发现：每增加一个三角形，小棒的数量增加2根，据此找到规律并解答。 【详解】9是奇数，所以第9个图形是梯形；18是偶数，所以第18个图形是平行四边形； 第1个图形用3根小棒，3＝1×2＋1； 第2个图形用5根小棒，5＝2×2＋1； 第3个图形用7根小棒，7＝3×2＋1； 第4个图形用9根小棒，9＝4×2＋1； …… 摆第11个图形需要用小棒： 11×2＋1 ＝22＋1 ＝23（根） 由上图可看出，每多摆1个三角形就要增加2根小棒； 规律：摆第n个图形需要用（2n＋1）根小棒。 填空如下： 如果照这样排列下去，第9个图形是（梯）形，第18个图形是（平行四边）形，摆第11个图形需要用（23）根小棒。由上图可看出，每多摆1个三角形就要增加（2）根小棒，则搭n个这样的三角形要（2n＋1）小棒。 【考点三】图形规律探究其二：图形与算式的结合 方法点拨 注意算式规律的变化，可先找出算式的规律，再通过图形的变化来验证算式的变化。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 先观察，再按规律填一填。 1＝12               1＋3＝22             1＋3＋5＝32 1＋3＋5＋7＝( )2 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝( )2 【答案】 4 7 【分析】结合图与算式，先找出算式与计算结果的规律，算式中加数的大小规律是：第一个加数是1，第二个加数是3，后面每个加数增加2，计算结果的规律是加数个数的平方。 【详解】通过观察图形及图形对应的算式可以发现：算式左边是从1开始连续奇数的和，算式右边数是左边有几个奇数，它们的和就是几的平方。 1＋3＋5＋7相加，有4个奇数，所以为4的平方，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13相加，有7个奇数，所以为7的平方。 综上所述：1＋3＋5＋7＝42 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72 【点睛】本题是探索算数规律的题目，关键是利用数形结合的思想寻找算式中的规律。 【对应练习1】 照这样的规律接着画下去，第5个图形中有多少个○？第8个图形呢？ 32－1＝8          42－22＝12       52－32＝16 【答案】24个；36个 【分析】如下图，第1个图中○和●一共有32个，●的个数有12个，○的个数有32－12＝8（个）；第2个图中○和●一共有42个，●的个数有22个，○的个数有42－22＝12（个）；第3个图中○和●一共有52个，●的个数有32个，○的个数有52－32＝16（个）；……由此发现规律：第n个图中○和●一共有（n＋2）2个，●的个数有n2个，○的个数有[（n＋2）2－n2]个。 【详解】（5＋2）2－52 ＝72－52 ＝49－25 ＝24（个） （8＋2）2－82 ＝102－82 ＝100－64 ＝36（个） 答：第5个图形中有24个○，第8个图形36个○。 【点睛】数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法，可以帮助理解计算方法，进行计算。 【对应练习2】 按要求做一做。 1＝12       l＋2＋1＝22   1＋2＋3＋2＋1＝32 (1)利用上面的规律直接写一写。 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝( )2 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝( )2 ＝72 (2)利用上面的规律算一算。 1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝( ) 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝( ) 【答案】(1) 4 5 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1 (2) 36 81 【分析】第一个图中小正方形个数是1；第二个图中从对角线的方向观察，小正方形个数是左下角1个、涂色的2个、右上角1个的和即1＋2＋1，其结果等于2的平方；同理第三个图中小正方形个数等于1＋2＋3＋2＋1的结果即3的平方，据此规律解答。 【详解】（1）根据分析： 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝（4）2 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝（5）2 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝72 （2）1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝62＝6×6＝（36） 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝92＝9×9＝（81） 【点睛】考查应用数形结合方法探求规律，本题规律是：算式左边的加数加起来，和就是正方形图中包含的小正方形个数。 【对应练习3】 探索规律。 （1）观察上面的图，发现： 图①空白部分小正方形的个数是22－12＝2＋1 图②空白部分小正方形的个数是＝4＋3 图③空白部分小正方形的个数是52－42＝( )＋( ) （2）像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：( )。 （3）运用规律计算。202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12。 【答案】（1）5；4 （2）72－62＝7＋6 （3）210 【分析】观察算式规律可得：相邻两个数的平方差等于这两个数的和，由此按规律解答即可。 【详解】（1）52－42＝5＋4 （2）72－62＝7＋6（答案不唯一） （3）202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12 ＝20＋19＋18＋17＋…＋3＋2＋1 ＝（20＋1）×20÷2 ＝21×20÷2 ＝420÷2 ＝210 【点睛】此题考查数与形结合的规律，进一步培养学生的观察能力和总结能力。 【考点四】图形规律探究其三：图形与数字含义 方法点拨 注意观察数字与图形的联系，找出图形与数字的相似点，再把图形转换为数字。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 如图的每个图形都是由△、□、〇中的两个组成的，观察各个图形，根据规律，画出表示“57”的图形是( )，表示“76”的图形的是( )。 解析： △代表5，○代表7，□代表6，表示57的图形是△○，表示76的图形是○□。 【对应练习】 根据下面给出的信息，231可以用( )表示。 A． B． C． D． 解析： 观察可知，○表示100，△表示10，☆表示1，231由2个百、3个十、1个一组成，据此用对应图形表示出各数位上的数即可。 2个百用○○表示，3个十用△△△表示，1个一用☆表示，231可以用○○△△△☆表示。 【考点五】图形规律探究其四：图形的运动变化 方法点拨 组合图形的运动变化，关键找到每个图形运动变化的规律。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 观察下图中的规律，第四个图案右下角的图形应该是( )。 A．○ B．□ C．△ 【答案】A 【分析】根据题意可知，三角形是按照左上→右上→右下→左下的规律，第四个图形三角形在左下；正方形是按照右上→右下→左下→左上的规律，第四个图形是在左上；长方形是按照右下→左下→左上→右上的规律，第四个图形在右上；圆是按照左下→左上→右上→右下的规律，第四个图形在右下，据此解答。 【详解】根据分析可知，观察下图中的规律，第四个图案右下角的图形应该是○。 故答案为：A 【点睛】找出每个图形运动的规律是解答本题的关键。 【对应练习1】 ……按照这样的规律，第4个图形是：( )。 A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】观察题意可知，每个圆被平均分成8格，黑色的小圆每次按顺时针跳2格，据此解答。 【详解】……按照这样的规律，第4个图形是：。 故答案为：A 【点睛】观察图形中的位置规律是解答本题的关键。 【对应练习2】 观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为( )。 A． B． C． 【答案】A 【分析】根据图示可知，每一行每一列都有一个长方形、一个三角形和一个圆形，依此可知，空格里少的是长方形。 【详解】由分析得：在空格内画上合适的图形应为。 故答案为：A 【点睛】本题考查图形的排列规律。 【对应练习3】 观察下图，请选择最适合的一个填入问号处，能使之呈现出一定的规律性的是( )。 A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】观察可知，方框中的圆点数量如，中间4圆点可以呈现出一定的规律性，再根据圆点的呈现方式进行选择。 【详解】如图，具有一定的规律性。 故答案为：C 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 【考点六】图形规律探究其五：图形的排列规律（周期规律） 方法点拨 图形排列规律，关键在于找到图形排列的一个周期。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 ☆△△○○○☆△△○○○……照这样顺序依次摆下去，第100个图形是( )。 【答案】○ 【分析】由题意可知，按照☆△△○○○为一个循环，用100除以循环周期6，计算出商和余数，余数是几就从左边第一个图形数几即可。 【详解】100÷6＝16（个）⋯⋯4（个） 则照这样顺序依次摆下去，第100个图形是○。 【点睛】本题考查了简单的周期现象，找出循环周期是几是解题的关键。 【对应练习1】 △△□☆★△△□☆★△△□☆★……左起第30个是( )；△是12个时，其它三种图形（□☆★）一共是( )个。 【答案】 ★ 15（答案不唯一） 【分析】把△△□☆★看作一个周期，每个周期中有5个图形，前30个图形刚好是6个周期，所以第30个图形就是周期中的最后一个图形；△为12个时，可以是5个周期多2个△，每个周期中□☆★有3个图形，最后乘5求出图形的总个数，据此解答。 【详解】分析可知，△△□☆★一共有5个图形。 30÷5＝6 所以，30个图形是6个周期，左起第30个是★。 每个周期中有2个△。 2×5＋2 ＝10＋2 ＝12（个） 每个周期中□☆★一共有3个图形。 3×5＝15（个） 所以，△是12个时，其它三种图形（□☆★）一共是15个。（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查周期问题，找出这组图形排列的周期是解答题目的关键。 【对应练习2】 ▲▲△△▲△▲▲△△▲△▲▲△△▲……第25个三角形是( )，摆80个三角形，有( )个是白色的。 【答案】 黑色的 39 【分析】从图中可以看到▲▲△△▲△这六个三角形为一个周期，因为25÷6＝4……1，所以第25个三角形是周期的第一个三角形，是黑色的；摆80个三角形，用80÷6＝13……2，得到循环了13个周期，还余下2个三角形，因为一个周期有3个白色的三角形，所以13个周期有（13×3）个三角形，又因为余下2个三角形就是周期的第一、二个三角形，都是黑色的，所80个三角形，有（13×3）个是白色的。 【详解】25÷6＝4（个）……1（个） 所以第25个三角形是黑色的。 80÷6＝13（个）……2（个） 13×3＝39（个） 所以摆80个三角形，有39个是白色的。 【点睛】此题考查到了找规律的问题，重点是要找到图形的循环周期。 【对应练习3】 △△□☆○△△□☆○△△□☆○……左起第30个是( )，当△至少有( )个时，其他三种图形一共是18个。 【答案】 ○ 12 【分析】根据题干可得这组图形的排列规律是：5个图形一个循环周期，分别按照：△△□☆○的顺序依次排列，由此只要计算得出第30个图形是第几个周期的第几个图形即可解决问题； 一个周期中有2个△，和另外三个图形，此题可以逆推：已知其他三种图形一共是18个，所以是经过了18÷3＝6个周期，由此即可求得△的个数。 【详解】30÷5＝6，所以第30个图形是第6周期的最后一个图形，与第一个周期的最后一个图形相同是○； 18÷3＝6，6×2＝12（个），则△是12个时，其他三种图形一共是18个。 【点睛】本题考查周期问题。根据题干得出这组图形的排列周期规律，是解决此类问题的关键。 【考点七】图形规律探究其六：复杂的图形规律探索 方法点拨 图形中寻找规律，要把图形转变成数列或算式，再寻找之间的规律。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【典型例题】 下面都是由边长为1厘米的小正方形拼成的大正方形。 ①              ②                ③ （1）观察图形，完成表格。 图号 ① ② ③ ④ … 阴影部分边长（厘米） 1 2 3 … 最外圈正方形个数（个） 8 12 16 （2）以此类推，如果在图⑩的阴影部分内画一个最大的圆，这个圆的面积是多少？ 【答案】（1）见详解；（2）78.5平方厘米 【分析】（1）观察题意可知，图①的最外圈正方形个数＝4×2，图②的最外圈正方形个数＝4×3，图③的最外圈正方形个数＝4×4，……，据此推出图n的最外圈正方形个数＝4×（n＋1），因为图号和对应的阴影部分边长的厘米数相等，所以图n的阴影部分的边长为n厘米，据此求出图④的最外圈正方形个数和图④的阴影部分边长。 （2）观察题意可知，图⑩的阴影部分边长为10厘米，要在这个正方形内画一个最大的圆，则圆的直径是10厘米，根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×（10÷2）2即可求出这个圆的面积。 【详解】（1）图①的最外圈正方形个数：8＝4×2 图②的最外圈正方形个数：12＝4×3 图③的最外圈正方形个数：16＝4×4 …… 图n的最外圈正方形个数：4×（n＋1）＝（4n＋4）个 因为图号和对应的阴影部分边长的厘米数相等， 所以图n的阴影部分的边长为n厘米， 当n＝4时， 4×4＋4 ＝16＋4 ＝20（个） 图④的阴影部分边长为4厘米，最外圈正方形个数为20个。 如下表： 图号 ① ② ③ ④ … 阴影部分边长（厘米） 1 2 3 4 … 最外圈正方形个数（个） 8 12 16 20 … （2）图⑩的阴影部分边长为10厘米， 3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 答：如果在图⑩的阴影部分内画一个最大的圆，这个圆的面积是78.5平方厘米。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。 【对应练习1】 李乐用吸管和图钉做三角形图案。（如下图，点表示图钉，线段表示吸管） （1）请根据做三角形图案时，三角形与吸管、图钉的数量关系填写下表。 三角形个数 1 2 3 4 5 … 吸管的根数 3 5 7 9 ( ) … 图钉的数量 3 4 5 6 ( ) … （2）照这样做，用36个图钉时做成的图案中有( )个三角形，用了( )根吸管。 （3）三角形个数、吸管根数、图钉数量之间有什么关系？选择其中两个，试着写出它们的数量关系。 【答案】（1）11；7 （2）34；69 （3）见详解 【分析】（1）观察表格中的数据，三角形个数分别是1、2、3、4、……，吸管的根数分别是3、5、7、9、……，图钉的数量分别是3、4、5、6、……；发现规律：三角形的个数每次增加1，则吸管的根数每次增加2，图钉的数量每次增加1；由此规律把表格补充完整。 （2）由上一题的规律推出用36个图钉时做成的图案中三角形的个数、吸管的根数。 （3）从表格中选择任意两组数据，找出三角形个数、吸管根数、图钉数量之间的关系。 【详解】（1）如下表： 三角形个数 1 2 3 4 5 … 吸管的根数 3 5 7 9 11 … 图钉的数量 3 4 5 6 7 … （2）用36个图钉时做成的图案中有34个三角形，用了69根吸管。 （3）选择表格中的第二组、第三组数据； 当三角形的个数为2时，吸管的根数为5，5＝2×2＋1；图钉的数量为4，4＝2＋2； 当三角形的个数为3时，吸管的根数为7，7＝2×3＋1；图钉的数量为5，5＝3＋2； 得出规律： 吸管的根数＝三角形个数×2＋1；图钉的数量＝三角形个数＋2。 【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 【对应练习2】 下面都是由边长为1厘米的小正方形拼成的大正方形。 …… （1）观察图形，完成表格。 图号 ① ② ③ ④ ⑤ 阴影部分边长（厘米） 1 2 周围正方形个数（个） 8 12 （2）以此类推，你知道图⑨中涂色部分的周围共有多少个小正方形吗？ 【答案】（1）3；4；5 16；20；24 （2）40个 【分析】通过观察图可知：阴影部分边长×4，可求出阴影部分四边的正方形个数，再加上4个角上的4个小正方形，就是周围正方形个数。 【详解】（1）观察图形，完成表格。 图号 ① ② ③ ④ ⑤ 阴影部分边长（厘米） 1 2 3 4 5 周围正方形个数（个） 8 12 16 20 24 （2）9×4＋4 ＝36＋4 ＝40（个） 以此类推，你知道图⑨中涂色部分的周围共有40个小正方形。 【点睛】通过观察图得出规律是解答此题的关键。 【对应练习3】 下面图形都是由边长0.5厘米的正方形拼成的。 （1）找规律画出图形⑤。 （2）根据前面的图形把表格补充完整。 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 面积/ 0.25 0.75 1.5 ( ) ( ) 周长/cm 2 4 6 ( ) ( ) 【答案】（1）见详解 （2）面积：2.5、3.75。 周长：8、10。 【分析】（1）观察图形可知，第一个图形有1列有1个正方形，第二个图形有2列，第2列有2个正方形，第三个图形有3列，第3列有3个正方形⋯⋯所以第五个图形有5列，第5列有5个正方形； （2）一个正方形的边长是0.5厘米，一个正方形的面积是0.5×0.5＝0.25平方厘米，然后用一个正方形的面积乘正方形的个数即可；通过平移可知求图形4和图形5的周长即求边长是0.5×4＝2厘米和0.5×5＝2.5厘米正方形的周长。 【详解】（1）图形⑤如图所示： （2）第④图形的面积为：0.5×0.5×10＝2.5（平方厘米） 周长是：0.5×4×4＝8（厘米） 第⑤图形的面积为： 0.5×0.5×15 ＝0.25×15 ＝3.75（平方厘米） 0.5×5×4 ＝2.5×4 ＝10（厘米） 【点睛】本题考查图形的周长和面积，明确面积和周长的定义是解题的关键。 【考点八】数表规律探究 方法点拨 观察数表行列之间的变化，探索规律。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 找规律，写得数。 假设所有自然数如下图排列起来，35、48、78、2022应分别排在哪个字母下面？ A    B     C    D                   1    2     3    4                   8    7     6    5     9   10    11   12                 … 35在( )下面；48在( )下面；78在( )下面；2022在( )下面。 解析： 35÷8＝4……3 由此可知35应排在字母C的下面。 48÷8＝6 由此可知48应排在字母A的下面。 78÷8＝9……6 由此可知78应排在字母C的下面。 2022÷8＝252……6 由此可知2022应排在字母C的下面。 【对应练习1】 将自然数按下图的规律排列，则2011所在的位置是第( )行第( )列。 解析： 观察不难发现，奇数列的第一行的数为所在列数的平方，然后向下每一行递减一个数至与列数相同的行止，偶数行的第一列的数是所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，根据此规律求出与2011最接近的平方数，然后找出所在的列数与行数即可。 观察发现，第一行的第1、3、5列的数分别为1、9、25，为所在列数的平方，然后向下每一行递减1至与列数相同的行止，第一列的第2、4、6行的数分别为4、16、36，为所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，因为452＝2025，2025－2011＋1＝15所以自然数2011在左起第45列，上起第15行。 【对应练习2】 将正整数按照如图所示的规律排列下去，若用有序数对（m，n）表示第m排，从左往右数第n个数，如（3，2）表示整数5，则（16，8）表示的数是( )。 解析： 观察可知，每行的数的个数与行数一样，（3，2），所有的数对（m，n），按此规律即可求解。 （16，8） 【对应练习3】 一个从1开始的自然数表如下，表中下一行数的个数是上一行数个数的2倍。那么第六行的最后一个数是( )。 第一行 1 第二行 2 3 第三行 4 5 6 7 …… …… 解析： 通过观察分析可知，表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍，所以第n行的数字的个数为个，又每一行中最后一个数为前边从第一行到这一行中所有字的个数，如第三行中最后一个数为7，则一至三行中共有7个数字，由此可知，到第n行中最后一个数字为1＋2＋4＋…＋。 ＝＝＝2×2×2×2×2＝32 1＋2＋4＋8＋16＋32＝63 【考点九】算式规律探究 方法点拨 观察算式与结果之间的关系，探索规律。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题1】问题一 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝( )×( )＝( )。 解析：9；9；81 【典型例题2】问题二 找规律，写得数。 1﹗＝1；2﹗＝2×1；3﹗＝3×2×1；4﹗＝4×3×2×1；…1﹗＋2﹗＋3﹗＋4﹗＋5﹗＋6﹗＋7﹗＋8﹗＋9﹗＋10﹗的和个位数字是( )。 解析： 观察算式可知，1﹗＝1，个位数字是1；2﹗＝2×1，个数数字是2；3﹗＝3×2×1，个位数字是6；4﹗＝4×3×2×1，个位数字是4；5﹗＝5×4×3×2×1，个位数字是0；6﹗＝6×5×4×3×2×1，个位数字是0；7﹗＝7×6×5×4×3×2×1，个位数字是0；8﹗＝8×7×6×5×4×3×2×1，个位数字是0；9﹗＝9×8×7×6×5×4×3×2×1，个位数字是0；10﹗＝10×9×8×7×6×5×4×3×2×1，个位数字是0，据此解答即可。 由分析可知： 1＋2＋6＋4＋0＋0＋0＋0＋0＋0 ＝3＋6＋4＋0＋0＋0＋0＋0＋0 ＝9＋4＋0＋0＋0＋0＋0＋0 ＝13 则个位数字是3。 【对应练习1】 先阅读，再答题。 因为1－＝－＝，所以＝1－； 因为－＝－＝，所以＝－； 因为－＝－＝，所以＝－… （1）根据以上材料，请写出：＝( ) （2）＋＋＋＋＋＋＋＋＝( ) 解析： （1）观察题目可知，总结出算式的规律：，（n为非0的自然数），据此解答。 （2）利用算式的规律，将算式变为1－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－，然后中间的数相互抵消，变为1－，最后计算出结果即可。 （1） ＝－ ＝ （2）＋＋＋＋＋＋＋＋ ＝1－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－ ＝1－ ＝ 【对应练习2】 ＋＋＋＋＋1＋2＋4＋8＝( )。 解析： 根据规律： 的和等于1减去最后一个分数，来计算；再计算1＋2＋4＋8；最后把两次计算的和加起来。 ＝＝ 1＋2＋4＋8＝15 ＝ 所以原式＝ 【对应练习3】 ( )。 解析： 从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方，括号里面一共有10个连续奇数，先求出括号里面式子的和，再求出和的平方，据此解答。 分析可知，，则＝＝10000。 【考点十】利用数形结合解决复杂的计算问题 方法点拨 数形结合是一种重要的思想方法。运用数形结合，可以帮助我们理解计算方法，进行简便计算，也可以探索解题规律，帮助解决问题。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 观察下图，猜想算式1－－－－－…的结果会无限接近( )，在方框里写出你的思考过程。 【答案】；减去的数无限接近，差就无限接近 【分析】根据减法性质，把原式化为：1－（＋＋＋＋…）；观察图形可知，＋＋＋…的和接近，＋＋＋＋…的和接近，所以1减去接近的数，差就越接近，据此解答。 【详解】1－－－－－…的结果会无限接近。 减去的数无限接近，差就无限接近。 【对应练习】 （1）如果下图表示1，请在正方形中用阴影表示。     （2）通过下图，你发现可以怎样非常简便计算的和？写出你的计算方法和结果。 （3）如果在图中继续你的操作，会发现…的和越来越接近于( )。 【答案】（1）见详解 （2）见详解； （3）1 【分析】（1）正方形表示“1”，先把正方形平均分成2份，一份是，剩下的也是；然后把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是；再把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是；最后把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是，据此在图中用阴影表示。 （2）计算，通过画图发现最后剩下的是，与算式中最后一个分数相同，那么用整个正方形“1”减去，即是阴影部分，也就是的和，这样计算更简便。 （3）如果在图中继续如上的操作，把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是…，会发现…的和越来越接近于整个正方形，即1。 【详解】（1）如图： （2）用1减去图形没有涂色部分的分数（与算式中最后一个分数相同），计算更简便。 计算过程如下： （3）如图： 如果在图中继续你的操作，会发现…的和越来越接近于1。 【点睛】通过画图，发现这组算式的规律，利用规律解答。 【考点十一】构建面积模型理解通用计算公式 方法点拨 复杂的计算公式需要数学结合，构建面积模型来理解。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 当当在计算“12＋1×3×2＋32、22＋2×5×2＋52、42＋4×6×2＋62 …”这样的算式时，她用“数形结合”的方法来探索：用算式中的数分别构造两个正方形和两个长方形。她发现“这四个图形的面积相加正好是大正方形的面积”（如图所示）。    由此得出： 图①：12＋1×3×2＋32＝42 图②：22＋2×5×2＋52＝72 图③：42＋4×6×2＋62＝102 （1）根据当当发现的规律填空： 32＋3×5×2＋52＝( )。 162＋16×19×2＋192＝( )。 （2）你能根据当当发现的规律，把如图这个正方形分成四块，并用算式表示出来吗？ ( )＝92 【答案】（1）82，352 （2）22＋2×7×2＋72 图见详解 【分析】根据题意，用算式中的数分别构造两个正方形和两个长方形。这四个图形的面积相加正好是大正方形的面积，由此可知： 图①：12＋1×3×2＋32＝（1＋3）2＝42 图②：22＋2×5×2＋52＝（2＋5）2＝72 图③：42＋4×6×2＋62＝（4＋6）2＝102 也就是说a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，据此规律解答即可。 【详解】（1）根据当当发现的规律填空： 32＋3×5×2＋52＝（3＋5）2＝82 162＋16×19×2＋192＝（16＋19）2＝352 （2）你能根据当当发现的规律，把如图这个正方形分成四块，用算式表示出来如下： 22＋2×7×2＋72＝92； 图如下：    【点睛】本题考查了数与形的组合知识，结合题意分析解答即可。 【对应练习】 阅读与解答。 图中阴影部分的面积是用大正方形的面积减小正方形的面积得到的，可以转化成长方形来计算。 （1）请阅读①后，将②③④中的算式补充完整。 ① （______＋_______）×（______－_______） ② ③ ______＝______＝27 ④ ______ （2）请运用上面的发现，计算圆环的面积。（写出计算过程） 【答案】（1）②6；4；6；4 ③；9×3 ④ （2）376.8 【分析】（1）观察图①，并结合图②、③、④的情况，第一步算式都是依据：阴影部分的面积＝用大正方形的面积－小正方形的面积，第二步算式：图形切拼转化成长方形来计算，图形规律特征是大小正方形边长的平方之差等于大小正方形边长的和与大小正方形边长的差相乘； （2）结合（1）可得规律：a2－b2＝（a＋b）（a－b），根据：环形的面积＝（R2－r2）×π，运用规律可知：（R2－r2）＝（R＋r）（R－r），再将数据代入计算即可； 【详解】（1）②62－42＝（6＋4）×（6－4）＝10×2＝20 ③62－32＝（6＋3）×（6－3）＝9×3＝27 ④a2－b2＝（a＋b）（a－b） （2）3.14×172－132×3.14 ＝（17＋13）×（17－13）×3.14 ＝30×4×3.14 ＝120×3.14 ＝376.8 【点睛】此题考查了规律的探索与圆环的面积计算，关键能够观察图形变化总结规律。 【考点十二】使用观察分析法解决图象问题 方法点拨 解题关键在于理解折线统计图的横轴和纵轴表示的是什么，再根据图象的变化及对应的数据进行分析。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一辆小轿车加满油后，记录了小轿车行驶路程和对应的剩余油量；制作出图象。（如图） （1）行驶130千米时，油箱剩余油量是( )升。 （2）这辆车的耗油量是每千米多少升？ 【答案】（1）21 （2）0.06升 【分析】（1）图象的横轴表示轿车行驶的千米数，纵轴表示剩余油量，找到汽车行驶130千米时在图像上的点，横向与纵轴交点就是剩余油量； （2）汽车行驶380千米，剩余油量6升，结合（1）可知行驶250千米，用掉15升油，据此用除法可求出行驶时每千米的耗油量。 【详解】（1）由图象可知：汽车行驶130千米，剩余油量21升； （2）（21－6）÷（380－130） ＝15÷250 ＝0.06（升） 答：这辆车的耗油量是每千米0.06升。 【对应练习】 爸爸开车带明明去动物园，在去的路上，明明画出了汽车的速度随时间的变化情况，如图所示。 （1）汽车行驶了( )分钟，它行驶的最大速度是( )千米/时。 （2）出发后8分钟到10分钟这段时间可能出现什么情况？ （3）用自己的语言描述这辆车的行驶情况。 【答案】（1）16；60 （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）从图中可知，0分钟出发，18分钟到达动物园，途中8～10分钟这段时间停车，所以汽车的行驶时间要用总时间减去停车的2分钟；折线的最高点表示汽车行驶的最大速度。 （2）图中8分钟到10分钟这段时间，路程为0，表示汽车停车，没有行驶，结合生活实际，得出可能出现的情况。 （3）结合图象，可以分时间段描述这辆车的行驶情况，合理即可。 【详解】（1）18－（10－8） ＝18－2 ＝16（分） 汽车行驶了16分钟，它行驶的最大速度是60千米/时。 （2）出发后8分钟到10分钟这段时间可能出现的情况：汽车加油或堵车等。（答案不唯一） （3）0～2分时汽车加速行驶，速度达到60千米/时，2～6分时匀速行驶，6～8分时减速行驶，直到停下，10分时又开始加速，12分时达到60千米/时的速度，12～16分匀速行驶，16～18分开始减速直到停下，到达目的地。（答案不唯一） 【考点十三】在实验操作中的探究规律 方法点拨 细读实验过程，理解实验与结果的联系，探索规律。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 操作与实验。 实验任务：用同一种球（如小皮球），从不同的高度释放来做反弹实验。 实验方法：选一块靠墙的平地，在墙上量出一个高度并做上标记，3次将同一个球从这个高度由静止释放，在墙上标出球的反弹高度，量出结果并记录下来。 实验报告单 实验目的： 实验分工： 实验过程： ( )球 第一次 第二次第 三次 下落高度/cm 100 120 150 反弹高度/cm 反弹高度是下落高度的几分之几 实验结论： 【答案】见详解 【分析】研究反弹高度与下落高度之间的关系，可以分小组进行反弹实验。选择不同的球，实验数据会有所不同，如选用足球，根据实验结果填表即可。将下落高度看作单位“1”，反弹高度÷下落高度＝反弹高度是下落高度的几分之几，根据实验结果可以得出结论同一种球从不同的高度落下，反弹高度也不同。 【详解】40÷100＝＝ 55÷120＝＝ 64÷150＝＝ 实验报告单 实验目的：反弹高度与下落高度有什么关系 实验分工：小明抛球，小亮测量，小红记录 实验过程： 足球 第一次 第二次第 三次 下落高度/cm 100 120 150 反弹高度/cm 40 55 64 反弹高度是下落高度的几分之几 实验结论：同一种球从不同的高度落下，反弹高度也不同。 （答案不唯一） 【对应练习1】 取一长90厘米宽8厘米的长方形纸条，把两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对的另一边连接，用固体胶粘起来。一只蚂蚁从某点沿着所标出的路线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离大约是多少厘米？    【答案】180厘米 【分析】根据图示可知，这是一个莫比乌斯带，其特点之一是蚂蚁可以不接触边缘而爬完纸条的两面一面长为90厘米，两面则是180厘米。 【详解】90×2＝180（厘米） 答：它爬行的距离大约是180厘米。 【点睛】根据图示可知，这张直条做成的是一个莫比乌斯带，所以这只蚂蚁爬行的距离大约是长方形纸条的两个长。据此解答 【对应练习2】 盒子里装有分别写着1，2，3，…，100的黄色卡片各一张。我们称如下操作为一次操作：从盒子里取出m（7≤m≤11）张卡片，算出这m张卡片上各数之和减去27的差，将差写在一张红色卡片上（不放回）。若干次操作后，盒子里的卡片全部被取出，若所有红色卡片上的数字之和为n，那么n的最大可能值减去最小可能值等于( )。 A．108 B．96 C．88 D．81 【答案】A 【分析】结果只跟操作的次数有关，每次最多取出11张，用100÷11求出100里面有几个11，除不尽，所以用商加上1即可求出操作最少的次数；每次最少取7张，用100÷7求出100里面有几个7，余2，最后一次可以取9张，所以100÷7的商是求出操作最多的次数；因为盒子里面的黄色卡片全部被取出，所以所有红色卡片上的数字之和＝所有黄色卡片的数字之和－27×操作的次数，所有黄色卡片的数字之和固定不变，所以n的最大可能值减去最小可能值＝27×操作最多的次数－27×操作最少的次数，据此解答。 【详解】100÷11＝9……1 操作最少：9＋1＝10（次） 100÷7＝14……2 操作最多14次； 27×14－27×10 ＝27×（14－10） ＝27×4 ＝108 n的最大可能值减去最小可能值等于108。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查了带余除法的灵活应用，通过每次能取最多和最少的数量，得出操作的最多和最少的次数，还要注意黄色卡片上的数字总和不变。 【对应练习3】 把编号1~13的13张卡片按编号从小到大的顺序叠成一摞，然后按如下步骤进行操作： 第一步：把这摞卡片按从上到下的顺序分成上（A）、中（B）、下（C）三摞，其中A摞4张，B摞4张，C摞5张； 第二步：把C摞最上面一张卡片拿出来，放在桌子上；然后把B摞最上面一张卡片拿出来，放在拿出来的第一张卡片上；接着把A摞最上面一张卡片拿出来，放在拿出来的第二张卡片上；……如此按C、B、A的顺序轮流拿卡片，直到将13张卡片重新叠成一摞。 完成以上两步是一次操作，第1次操作过程如下图： （1）第1次操作后，从上往下数第6张卡片上的编号是__________。（直接写出答案） （2）第2次操作后，从上往下数第6张卡片上的编号是__________。（直接写出答案） （3）第365次操作后，从上往下数第6张卡片上的编号是多少？（写出详细过程） 【答案】（1）7；（2）11；（3）9 【分析】（1）第一次操作： A段的书的编号（从上往下）分别是：1、2、3、4； B段的书的编号（从上往下）分别是：5、6、7、8； C段的书的编号（从上往下）分别是：9、10、11、12、13； 按照第二步的顺序（从上往下）：13、4、8、12、3、7、11、2、6、10、1、5、9，第6张是7。 （2）第二次操作： A段的书的编号（从上往下）分别是：13、4、8、12； B段的书的编号（从上往下）分别是：3、7、11、2； C段的书的编号（从上往下）分别是：6、10、1、5、9； 按照第二步的顺序（从上往下）：9、12、2、5、8、11、1、4、7、10、13、3、6，第6张是11。 （3）根据（1）和（2），继续往下，得出第三次操作的第6张是1，第四次操作的第6张是13，一直算到第7次后发现规律，列出如下的表格，得出是按照7、11、1、13、9、6这样的顺序循环排列的。 1次 2次 3次 4次 5次 6次 7次 … 7 11 1 13 9 6 7 … 将6个数看成一组，365次里面有60组这样循环，余5个数，则循环里面的第五个数就是第365次操作后从上往下数第6张卡片上的编号。 【详解】（1）第1次操作后，从上往下数第6张卡片上的编号是7。 （2）第2次操作后，从上往下数第6张卡片上的编号是11。 （3）365÷6＝60（组）……5（个） 答：第365次操作后，从上往下数第6张卡片上的编号是9。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $