第八单元第2课时练习：数与形（二）-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 第八单元第2课时练习：数与形（二） 昆日期： 日用时： 贝评价： A组 基础达标题 一、填空题。 1.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些性质直观地从图形 中体现出来，是一种数与形的结合，如图，第4行第2个数是3，第7行第4个数是( )。 2.观察下列等式：31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187，，根据 上述算式中的规律，你认为32-2的末位数字是( ) 3.我国著名数学家华罗庚曾说过：数形结合百般好，隔裂分家万事非。”如图：在一个边长 为1的正方形纸板上，依次贴上面积为令的矩形彩色纸片，请你用数形结合的思想， 依都数形变化的瓶体，计案：台片记立 1 8 4 4.有许多等式： 2+4+6=1+3+5+3: 8+10+12+14=7+9+11+13+4: 16+18+20+22+24=15+17+19+21+23+5; 第1页共4页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 那么第10个等式的和是( 二、选择题。 5.填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是( 。 0 2 6 4 8 6 2 8 4 26 6 52 m A.38 B.74 C.86 D.52 6.名著《庄子天下篇》中有一句名言“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，第一天截取它的一 半，以后每天截取剩下部分的一半，第三天截取的长度是最初木棒总长度的( )。 A. B.日 c日 D. 7.小雨遇到一道数图形的问题，她想到老师教的“化繁为简的思想，就画表格从简单问题开 始研究（如下表)。按照规律，序号是( )的图形中一共有48个三角形。 序号 1 2 3 图形 三角形的 (1+2+ (1+2+ (1+2+ 1+2+3 个数 3)×2 3)×3 3)×4 A.12 B.8 C.5 D.6 B组 能力提升题 三、计算题。 8,已知5号引片店》分，按这样的规律，请计第：3+7g++ 19×21° 第2页共4页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 四、解答题。 9.填一填，并探索规律。 14 12 111 18 248 6 13 111 十十 1 3612 1,11 十一十 4816 6 (1)观察上面的图形和式子，你有什么发现？你能用字母表示你的发现吗？ (2) 你能应用你发现的规律计算+。+”吗？ 91836 10.观察下面各式： (1)1×3=22-1, 2×4=32-1, 3×5=42-1, 4×6=( ) 10×12=( ) (2)将你猜到的规律用只含有一个字母的式子表示出来。 第3页共4页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 C组 思维实践题 疗五、数学活动：“思维与拓展”。 11.现将连续自然数1至2009按下图中的方式排列成一个长方形队列，用正方形方框可以任 意框出这个队列中的16个数，如图所示。 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 3 24 25 26 27 28 19961997 19981999 20002001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 (1)设任意一个这样的正方形框中的最小数为，请求出这16个数的和。（用n的代数式表 示) (2)在图中，要使一个正方形框出的16个数之和分别等于832、2000、2010是否可能？若不 可能，请说明理由：若可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数。 第4页共4页 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第八单元第2课时练习：数与形（二） 一、填空题。 1．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些性质直观地从图形中体现出来，是一种数与形的结合，如图，第4行第2个数是3，第7行第4个数是( )。 2．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是( )。 3．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”如图：在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为的矩形彩色纸片，请你用“数形结合”的思想，依据数形变化的规律，计算：。 4．有许多等式： ； ； ； … 那么第10个等式的和是( )。 二、选择题。 5．填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是( )。 A．38 B．74 C．86 D．52 6．名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，第三天截取的长度是最初木棒总长度的( )。 A． B． C． D． 7．小雨遇到一道数图形的问题，她想到老师教的“化繁为简”的思想，就画表格从简单问题开始研究（如下表）。按照规律，序号是( )的图形中一共有48个三角形。 序号 1 2 3 4 … 图形 … 三角形的个数 1＋2＋3 （1＋2＋3）×2 （1＋2＋3）×3 （1＋2＋3）×4 … A．12 B．8 C．5 D．6 三、计算题。 8．已知，，按这样的规律，请计算：。 四、解答题。 9．填一填，并探索规律。      （1）观察上面的图形和式子，你有什么发现？你能用字母表示你的发现吗？ （2）你能应用你发现的规律计算“”吗？ 10．观察下面各式： （1）1×3＝22－1， 2×4＝32－1， 3×5＝42－1， 4×6＝( ) …… 10×12＝( ) （2）将你猜到的规律用只含有一个字母的式子表示出来。 五、数学活动：“思维与拓展”。 11．现将连续自然数1至2009按下图中的方式排列成一个长方形队列，用正方形方框可以任意框出这个队列中的16个数，如图所示。 （1）设任意一个这样的正方形框中的最小数为n，请求出这16个数的和。（用n的代数式表示） （2）在图中，要使一个正方形框出的16个数之和分别等于832、2000、2010是否可能？若不可能，请说明理由；若可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 第八单元第2课时练习：数与形（二） 昆日期： 日用时： 贝评价： A组 基础达标题 一、填空题。 1.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些性质直观地从图形 中体现出来，是一种数与形的结合，如图，第4行第2个数是3，第7行第4个数是( ）。 【答案】20 【分析】通过观察杨辉三角图可知：从第一行开始，每一行的两端都是1，其余的数是上一行 相邻两个数的和，据此补全杨辉三角第7行的数字，再找到第7行第4个数。据此解答即可。 【详解】 6 15 20 15 6 如图所示，第7行第4个数是20。 2.观察下列等式：31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187，，根据 上述算式中的规律，你认为322-2的末位数字是( )。 【答案】1 【分析】观察给出的等式：31=3，末位数字是3；32=9，末位数字是9：33=27，末位数字是 7;34=81,末位数字是1；35=243，末位数字是3；36=729，末位数字是9：37=2187，末位 数字是7：.，可以发现3”的末位数字是以3、9、7、1这4个数字为一个周期循环出现的。 用2025除以循环周期4，可得：2025÷4=506..1，其中余数为1。这说明32025的末位数字 第1页共10页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 是循环周期中的第1个数字，即3，因为32025的末位数字是3，所以32025一2的末位数字为3 -2=1。 【详解】3"的末位数字是以3、9、7、1这4个数字为一个周期循环出现。 对于32025：2025÷4=506...1 32025的末位数字是循环周期中的第1个数字为3。 3-2=1 所以32025-2的末位数字为1。 3.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”如图：在一个边长 为1的正方形纸板上，依次贴上面积为日的矩形彩色纸片，诗你用数形结合的思想， 1+1+1+1+1=（) 依据数形变化的规律，计算：+4+。162() 2 4 …… 【答案】 .32 【分析】因为正方形的边长是1，所以正方形的面积也是1，正方形的面积减去未贴彩色纸片 的面积就是己贴彩色纸片的面积。 ++++=1- 【详解】2+48163213232· 4.有许多等式： 2+4+6=1+3+5+3: 810+12+14=7+9+11+13+4: 16+18+20+22+2415+17+19+21+23+5: 那么第10个等式的和是( 【答案】1668 【分析】分析等式的规律，第n个等式左边有+2个连续偶数，确定第10个等式左边的第一 第2页共10页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 个数，第1个等式左边的第一个数为1×(1+3)-2=2，第2个等式左边的第一个数为2×(2+3)-2=8， 第3个等式左边的第一个数为3×(3+3)-2=16，那么第n个等式左边的第一个数为n×(n+3)-2; 右侧有n+3项，其中前n+2项为连续奇数，右侧第一个数为nx(n+3)-3,最后一个数为 n+2(n+2)(m2+4n-1)。 【详解】第10个等式等号左边的第一个数字是： 10×(10+3)-2 =10x13-2 =128 所以第10个等式是： 128+130+132+134+136+138+140+142+144+146+148+150=127+129+131+133+135+137+139+141+143+145+14 所以第10个等式的结果是： 128+130+132+134+136+138+140+142+144+146+148+150 =(128+150)+(130+148)+(132+146)+(134+144)+(136+142)+(138+140) =278+278+278+278+278+278 =278x6 =1668 【点睛】本题考查的对于等式的规律的探索，分析等式两边的规律进而求和。 二、选择题。 5.填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是( 0 4 8 2 8 4 26 6 52 m A.38 B.74 C.86 D.52 【答案】C 【分析】观察左上角的数：依次是0,2,4,6，每次增加2。观察右上角的数：依次是4,6， 8,每次增加2。观察左下角的数：依次是2,4,6，每次增加2。 右下角的数与其他三个数的关系，第一个正方形：0,4,2,8,4×2十0=8。第二个正方形：2， 第3页共10页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 6,4,26,6×4+2=26。第三个正方形：4,8,6,52,8×6+4=52。右下角的数等于右上角 的数乘左下角的数再加上左上角的数。据此计算第四个正方形的数字。 【详解】由分析可知，右上角的数每次增加2；左下角的数每次增加2：右下角的数等于右上 角的数乘左下角的数再加上左上角的数。 8+2=10 6+2=8 10×8+6 =80+6 =86 所以m的值是86。 故答案为：C 6.名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，第一天截取它的一 半，以后每天截取剩下部分的一半，第三天截取的长度是最初木棒总长度的( )。 A. c. D.32 1 【答案】B 【分析】把一尺长的木棒看作单位1”，第一天截取它的一半，即截取了，还剩下1一；第 二天截取的一半，即×号=，还剩下一：第三天取（兮一）的一半，即（号一） 【详解】(1-)×号 =x对 =对 (号-)×对 = 第4页共10页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 所以第三天截取的长度是最初木棒总长度的令。 故答案为：B 7.小雨遇到一道数图形的问题，她想到老师教的“化繁为简的思想，就画表格从简单问题开 始研究（如下表）。按照规律，序号是( )的图形中一共有48个三角形。 序号 图形 三角形的 (1+2+ (1+2+ (1+2+ 1+2+3 个数 3)×2 3)×3 3)×4 A.12 B.8 C.5 D.6 【答案】B 【分析】序号1三角形的个数是(1+2+3)×1，序号2三角形的个数是(1+2+3)×2，序 号3三角形的个数是(1+2+3)×3，序号4三角形的个数是(1+2+3)×4...序号n三角 形的个数是(1+2+3)×n,由此可知，当有48个三角形时，(1+2+3)×n=48,求出n的 结果即可解答。 【详解】由题意可知：序号n三角形的个数是(1十2+3)×n (1+2+3)×n=48 解：6n=48 6n÷6=48÷6 n=8 所以序号是8的图形中一共有48个三角形。 故答案为：B B组 能力提升题 三、计算题。 8已知57-》片，这样的规律，请计算：3+女7g 1,1,1 1 19×219 【答案】月 【分扩】已知点-目行得引行可以发现提律：对于0习 1 (n为正整数)， 第5页共10页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 可转化为片2片即0可转化为9》行 11）.1 则原式变为 兮3+号好+6分 然后利用乘法分配律计算即可。 792 【详解15d7gga 1 店传》传品州 1111,1111,1111 325252727292 + t19*221*: 3。+i92 11）1 =355779 11）1 =3212 1111 32212 11 642 71 -4242 =为 所以 11+1L+ 11 3x55x77x9 19×217 四、解答题。 9.填一填，并探索规律。 1-4 12 1,1,1 18 248 名 1,1,1 3 3612 8 1,1,1 4 4816 16 (1)观察上面的图形和式子，你有什么发现？你能用字母表示你的发现吗？ (2)你能应用你发现的规律计算++吗？ 91836 第6页共10页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】：7：16 77 (1)发现见详解 2G 【分析】观察算式与图形之间的联系，寻找出算式中各个分数的分子、分母之间的共同点和相 互之间的关系，以及得数与加数之间的关系，从而归纳出规律，最后应用规律解决问题。 【群解1日日g8 1,1,1.4,2,17 361212121212 1,1,14,2,17 4+81616+161616 (1)发现：后一个分数是前一个分数的一半，且每个分数的分子都是1，这样的3个分数相 加的和等于最后一个分数乘。用字好表示想律是：日品右幻，其中为非专自然数。 (2) 1.117 g+18+3636 10.观察下面各式： (1)1×3=22-1, 2×4=32-1, 3×5=42-1, 4×6=( 10×12=( (2)将你猜到的规律用只含有一个字母的式子表示出来。 【答案】(1)52-1；112-1 (2)这个式子是：(n-1)×(n+1)=-1 【分析】(1)给出的等式左边为差为2的两个数相乘，等式右边为左侧两个数的一半的平方 再减1，则46-（生9-1,1012=02°1，整理即可得出结果： (2)根据所列出的算式，总结可知等式左侧为两个乘数n-1与n+1的乘积，等式右侧为左侧两 个乘数和的一半的平方减1。 【详解】（1)4×6=52-1： 第7页共10页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 10×12=112-1: (2)这个式子是：(n-1)x(n+1)= n+1+n-1 2 -1=-1 C组 思维实践题 五、数学活动：“思维与拓展”。 11.现将连续自然数1至2009按下图中的方式排列成一个长方形队列，用正方形方框可以任 意框出这个队列中的16个数，如图所示。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 19961997 1998 19992000 20012002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 (1)设任意一个这样的正方形框中的最小数为n,请求出这16个数的和。（用n的代数式表 示) (2)在图中，要使一个正方形框出的16个数之和分别等于832、2000、2010是否可能？若不 可能，请说明理由：若可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数。 【答案】(1)16m+192 (2)832是正方形框内16个数的和，这16个数中的最小数是40，最大数是64。 2000是正方形框内16个数的和，这16个数中的最小数是113，最大数是137。 由于n应为自然数，2010不可能是正方形框内16个数的和。 【分析】(1)正方形框中的16个数构成一个4×4的矩阵，横向的数从左向右依次加1，纵向 的数从上向下依次加7，据此找出框中16个数的和与最小数n的关系： (2)框中最小数是n,最大数是框中第四列第四行位置上的数，是n十3+7×3=n十24，通过 给定的和值，反向求解出n的值，根据n是自然数的特征判断和的可能值，求出16个数中的 最小数和最大数。 【详解】(1)假设左上角的数为，那么框中的16个数依次为 n n+1 n+2 n+3 n+7 n+8 n+9 1n+10 第8页共10页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 n+14 n+15 n+16 n+17 n+21 n+22 n+23 n+24 [n+(n+1)+(n+2)+(n+3)]+[(n+7)+(n+8)+(n+9)+(n+10)]+[(n +14)+(n+15)+(n+16)+(n+17)]+[(n+21)+(n+22)+(n+23)+(n+ 24)] =[n+(n+1)+(n+2)+(n+3)]+[n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+7×4]+[m+ (n+1)+(n+2)+(n+3)+14×4]+[n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+21×4] =(4n+6)+[(4n+6)+28]+[(4n+6)+56]+[(4n+6)+84] =16n+192 故16个数的和是16m+192。 (2)16n+192=832 16m+192-192=832-192 16n=640 16n÷16=640÷16 n=40 n+24=40+24=64 所以832是正方形框内16个数的和，这16个数中的最小数是40，最大数是64。 16n+192=2000 16m+192-192=2000-192 16n=1808 16n÷16=1808÷16 n=113 n+24=113+24=137 所以2000是正方形框内16个数的和，这16个数中的最小数是113，最大数是137。 16n+192=2010 16m+192-192=2010-192 16n=1818 16n÷16=1818÷16 n=113.625 第9页共10页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 由于n应为自然数，所以2010不可能是正方形框内16个数的和。 【点睛】本题考查观察数阵数字排列规律，用含有字母的代数式表示框内16个数的和：并通 过列方程求解n,判断能否框出满足条件的16个数。 第10页共10页 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第八单元第2课时练习：数与形（二） 一、填空题。 1．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些性质直观地从图形中体现出来，是一种数与形的结合，如图，第4行第2个数是3，第7行第4个数是( )。 【答案】20 【分析】通过观察杨辉三角图可知：从第一行开始，每一行的两端都是1，其余的数是上一行相邻两个数的和，据此补全杨辉三角第7行的数字，再找到第7行第4个数。据此解答即可。 【详解】 如图所示，第7行第4个数是20。 2．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是( )。 【答案】1 【分析】观察给出的等式：31＝3，末位数字是3；32＝9，末位数字是9；33＝27，末位数字是7；34＝81，末位数字是1；35＝243，末位数字是3；36＝729，末位数字是9；37＝2187，末位数字是7；…，可以发现3n的末位数字是以3、9、7、1这4个数字为一个周期循环出现的。用2025除以循环周期4，可得：2025÷4＝506……1，其中余数为1。这说明32025的末位数字是循环周期中的第1个数字，即3，因为32025的末位数字是3，所以32025－2的末位数字为3－2＝1。 【详解】3n的末位数字是以3、9、7、1这4个数字为一个周期循环出现。 对于32025：2025÷4＝506……1 32025的末位数字是循环周期中的第1个数字为3。 3－2＝1 所以32025－2的末位数字为1。 3．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”如图：在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为的矩形彩色纸片，请你用“数形结合”的思想，依据数形变化的规律，计算：。 【答案】 【分析】因为正方形的边长是1，所以正方形的面积也是1，正方形的面积减去未贴彩色纸片的面积就是已贴彩色纸片的面积。 【详解】。 4．有许多等式： ； ； ； … 那么第10个等式的和是( )。 【答案】1668 【分析】分析等式的规律，第个等式左边有个连续偶数，确定第10个等式左边的第一个数，第1个等式左边的第一个数为，第2个等式左边的第一个数为，第3个等式左边的第一个数为，那么第个等式左边的第一个数为；右侧有项，其中前项为连续奇数，右侧第一个数为，最后一个数为。 【详解】第10个等式等号左边的第一个数字是： 所以第10个等式是： 所以第10个等式的结果是： 【点睛】本题考查的对于等式的规律的探索，分析等式两边的规律进而求和。 二、选择题。 5．填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是( )。 A．38 B．74 C．86 D．52 【答案】C 【分析】观察左上角的数：依次是0，2，4，6，每次增加2。观察右上角的数：依次是4，6，8，每次增加2。观察左下角的数：依次是2，4，6，每次增加2。 右下角的数与其他三个数的关系，第一个正方形：0，4，2，8，4×2＋0＝8。第二个正方形：2，6，4，26，6×4＋2＝26。第三个正方形：4，8，6，52，8×6＋4＝52。右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。据此计算第四个正方形的数字。 【详解】由分析可知，右上角的数每次增加2；左下角的数每次增加2；右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。 8＋2＝10 6＋2＝8 10×8＋6 ＝80＋6 ＝86 所以的值是86。 故答案为：C 6．名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，第三天截取的长度是最初木棒总长度的( )。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把一尺长的木棒看作单位“1”，第一天截取它的一半，即截取了，还剩下1－；第二天截取的一半，即×＝，还剩下－；第三天取（－）的一半，即（－）×。 【详解】（1－）× ＝× ＝ （－）× ＝（－）× ＝× ＝ 所以第三天截取的长度是最初木棒总长度的。 故答案为：B 7．小雨遇到一道数图形的问题，她想到老师教的“化繁为简”的思想，就画表格从简单问题开始研究（如下表）。按照规律，序号是( )的图形中一共有48个三角形。 序号 1 2 3 4 … 图形 … 三角形的个数 1＋2＋3 （1＋2＋3）×2 （1＋2＋3）×3 （1＋2＋3）×4 … A．12 B．8 C．5 D．6 【答案】B 【分析】序号1三角形的个数是（1＋2＋3）×1，序号2三角形的个数是（1＋2＋3）×2，序号3三角形的个数是（1＋2＋3）×3，序号4三角形的个数是（1＋2＋3）×4……序号n三角形的个数是（1＋2＋3）×n，由此可知，当有48个三角形时，（1＋2＋3）×n＝48，求出n的结果即可解答。 【详解】由题意可知：序号n三角形的个数是（1＋2＋3）×n （1＋2＋3）×n＝48 解：6n＝48 6n÷6＝48÷6 n＝8 所以序号是8的图形中一共有48个三角形。 故答案为：B 三、计算题。 8．已知，，按这样的规律，请计算：。 【答案】 【分析】已知，，可以发现规律：对于（n为正整数），可转化为。即可转化为，则原式变为。然后利用乘法分配律计算即可。 【详解】 ＝ 所以。 四、解答题。 9．填一填，并探索规律。      （1）观察上面的图形和式子，你有什么发现？你能用字母表示你的发现吗？ （2）你能应用你发现的规律计算“”吗？ 【答案】；；； （1）发现见详解 （2） 【分析】观察算式与图形之间的联系，寻找出算式中各个分数的分子、分母之间的共同点和相互之间的关系，以及得数与加数之间的关系，从而归纳出规律，最后应用规律解决问题。 【详解】     （1）发现：后一个分数是前一个分数的一半，且每个分数的分子都是1，这样的3个分数相加的和等于最后一个分数乘7。用字母表示规律是：，其中n为非零自然数。 （2） 10．观察下面各式： （1）1×3＝22－1， 2×4＝32－1， 3×5＝42－1， 4×6＝( ) …… 10×12＝( ) （2）将你猜到的规律用只含有一个字母的式子表示出来。 【答案】（1）； （2）这个式子是： 【分析】（1）给出的等式左边为差为2的两个数相乘，等式右边为左侧两个数的一半的平方再减1，则，，整理即可得出结果； （2）根据所列出的算式，总结可知等式左侧为两个乘数与的乘积，等式右侧为左侧两个乘数和的一半的平方减1。 【详解】（1）； ； （2）这个式子是： 五、数学活动：“思维与拓展”。 11．现将连续自然数1至2009按下图中的方式排列成一个长方形队列，用正方形方框可以任意框出这个队列中的16个数，如图所示。 （1）设任意一个这样的正方形框中的最小数为n，请求出这16个数的和。（用n的代数式表示） （2）在图中，要使一个正方形框出的16个数之和分别等于832、2000、2010是否可能？若不可能，请说明理由；若可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数。 【答案】（1）16n＋192 （2）832是正方形框内16个数的和，这16个数中的最小数是40，最大数是64。 2000是正方形框内16个数的和，这16个数中的最小数是113，最大数是137。 由于n应为自然数，2010不可能是正方形框内16个数的和。 【分析】（1）正方形框中的16个数构成一个4×4的矩阵，横向的数从左向右依次加1，纵向的数从上向下依次加7，据此找出框中16个数的和与最小数n的关系； （2）框中最小数是n，最大数是框中第四列第四行位置上的数，是n＋3＋7×3＝n＋24，通过给定的和值，反向求解出n的值，根据n是自然数的特征判断和的可能值，求出16个数中的最小数和最大数。 【详解】（1）假设左上角的数为n，那么框中的16个数依次为 n n＋1 n＋2 n＋3 n＋7   n＋8 n＋9 n＋10 n＋14 n＋15   n＋16 n＋17 n＋21 n＋22   n＋23 n＋24 [n＋（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）]＋[（n＋7）＋（n＋8）＋（n＋9）＋（n＋10）]＋[（n＋14）＋（n＋15）＋（n＋16）＋（n＋17）]＋[（n＋21）＋（n＋22）＋（n＋23）＋（n＋24）] ＝[n＋（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）]＋[n＋（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）＋7×4] ＋[n＋（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）＋14×4] ＋[n＋（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）＋21×4] ＝（4n＋6）＋[（4n＋6）＋28]＋[（4n＋6）＋56]＋[（4n＋6）＋84] ＝16n＋192 故16个数的和是16n＋192。 （2）16n＋192＝832 16n＋192－192＝832－192 16n＝640 16n÷16＝640÷16 n＝40 n＋24＝40＋24＝64 所以832是正方形框内16个数的和，这16个数中的最小数是40，最大数是64。 16n＋192＝2000 16n＋192－192＝2000－192 16n＝1808 16n÷16＝1808÷16 n＝113 n＋24＝113＋24＝137 所以2000是正方形框内16个数的和，这16个数中的最小数是113，最大数是137。 16n＋192＝2010 16n＋192－192＝2010－192 16n＝1818 16n÷16＝1818÷16 n＝113.625 由于n应为自然数，所以2010不可能是正方形框内16个数的和。 【点睛】本题考查观察数阵数字排列规律，用含有字母的代数式表示框内16个数的和；并通过列方程求解n，判断能否框出满足条件的16个数。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $