3.3 垂径定理 课件 2025-2026学年 北师大版九年级数学下册

数学北师大版 九年级下 3.3 垂径定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 在同圆或等圆中，圆心角、两条弧、两条弦之间的关系？ 复习导入 复习导入 如图 3-11，AB 是 ⊙O 的一条弦，作直径 CD，使CD⊥AB，垂足为 M． （1）图 3-11 是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 图 3-11 (1)是轴对称图形,对称轴是CD所在的直线. (2)AM=BM, ⌒ ⌒ AD=BD. ⌒ ⌒ AC=BC, 做一做 垂径定理 ③AM=BM, ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 条件 结论 ●O A B C D M└ 新知讲解 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 新知讲解 已知：如图 3-12，AB 是 ⊙O 的一条弦，CD 是 ⊙O 的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为 M． 求证：AM = BM， ， ． ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD 图 3-12 新知讲解 证明：连接 OA，OB，则 OA = OB． 在 Rt△OAM 和 Rt△OBM 中， ∵ OA = OB，OM = OM， ∴ Rt△OAM ≌ Rt△OBM． ∴ AM = BM． ∴ 点 A 和点 B 关于 CD 对称． ∵ ⊙O 关于直径 CD 对称， ∴ 当圆沿着直径 CD 对折时， 点 A 与点 B 重合， 重合， ⌒ ⌒ AC与BC ⌒ ⌒ AD与BD重合. ⌒ ⌒ ∴AC=BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 新知讲解 想一想 如图 3-13，AB 是 ⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD， 交 AB 于点 M． 图 3-13 （1）图 3-13 是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. (1)是轴对称图形,对称轴是CD所在的直线. (2)AM=BM, ⌒ ⌒ AD=BD. ⌒ ⌒ AC=BC, 新知讲解 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 新知讲解 例 如图3-14，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 ， 点 O 是 所在圆的圆心），其中 CD = 600 m，E 为 上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m．求这段弯路的半径． 图3-14 ⌒ CD ⌒ CD ⌒ CD 新知讲解 解：连接OC． 设弯路的半径为Rm，则OF=（R-90）m． ∵ OE⊥CD， ∴CF= CD = ×600 = 300（m）． 根据勾股定理，得 OC2 = CF2 + OF2, 即 R2 = 3002 +（R - 90）2． 解这个方程，得 R=545． 所以，这段弯路的半径为545 m． 新知讲解 1、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=16，BE=4，则⊙O的直径为( ) A. 8 B. 10 C. 15 D. 20 D 课堂练习 解：连接OC， ∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E， ∴CE=8， 设⊙O的半径为r，则OC=OB=r， ∵OC2=OE2+CE2，即r2=82+(r-4) 2 解得r=10， ∴⊙O的直径=2r=20， 故选：D． 课堂练习 2、往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为( ) A. 8cm B. 10cm C. 16cm D. 20cm C 课堂练习 解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示： ∵AB=48， ∴BD= AB= ×48=24cm， ∵⊙O的直径为52cm，∴OB=OC=26cm， 在Rt△OBD中，OD= cm， ∴CD=OC-OD=26-10=16(cm). 故选：C． 课堂练习 3、已知⊙O的半径为5，CD是⊙O的一条弦，E是CD的中点，过点E作直径AB，若CD=8，则BE的长是( )． A. 8 B. 2 C. 2或8 D. 3或7 C 课堂练习 解:连接OC， ∵E是CD的中点，直径AB过点E， ∴AB⊥CD，CE=CD=4， 在Rt△COE中， OE= =3， ∴BE=OB+OE=5+3=8 或BE=OB-OE=5-3=2. 故选：C． 课堂练习 4、如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是( ) A.3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5 C. 3<OM<5 D. 4<OM<5 B 课堂练习 解：∵⊙O的直径为10， ∴半径为5，∴OM的最大值为5． 如图，连接OA，作OM⊥AB于M． ∵OM⊥AB于M，∴AM=BM． ∵AB=6，∴AM=3，在Rt△AOM中， OM= ， 此时OM最短．所以OM长的取值范围是 4≤OM≤5．故选B． 课堂练习 5、数学兴趣小组活动时，小明将一块等腰直角三角板(其中斜边上带有刻度)的直角顶点C放在⊙O上的任意一点，转动三角板，使其一条直角边AC经过圆心O，此时小明发现三角板的斜边AB在⊙O上截得的线段(DE)长为2厘米，已知三角板的直角边长为7厘米，则⊙O的半径为( ) A. 3厘米 B. 20厘米 C. 10厘米 D. 2厘米 A 拓展提高 解：过O点作OM⊥AB， ∴ME=DM=1cm， 设MO=h，CO=DO=x， ∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC， ∴∠MAO=45°，∴AO= h ∵AO=7-x，∴ h=7-x， 在Rt△DMO中，h2=x2-1， ∴2x2-2=49-14x+x2，解得：x=-17(舍去)或x=3， 故选：A． 拓展提高 课堂总结 1、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理. 2、解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件. 课题：3.3 垂径定理   教师板演区   学生展示区 一、定理 二、例题 板书设计 $