精品解析：山东省泰安市岱岳区2025--2026学年上学期九年级期中考试数学试题

九年级数学练习题 一、选择题，每小题4分，共40分． 1. 在中，，，，则的值是（　　） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数的图象和点如图所示，点坐标为，则的值可能为（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 若∠A为锐角，且tanA＝，则cosA的值为（　　） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象与轴的交点个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 5. 若，，则二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 随增大而减小 B. 图像是中心对称图形不是轴对称图形 C. 的取值范围为全体实数 D. 函数的值不能为0 7. 如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（　　） A. 40海里 B. 60海里 C. 20海里 D. 40海里 8. 已知长方形的两条边长为、，面积是4，那么关于的函数的图像是（ ） A. B. C. D. 9. 某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的图像只经过三个象限，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题，每小题4分，共24分． 11. 计算：tan60°﹣sin60°＝_____． 12. 二次函数中x，y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 … 则该二次函数图象的对称轴为________． 13. 在同一直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象没有公共点，则______0． 14. 9月3日上午，北京天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，阅兵式上展示的机械狼是由四足机器狗加装上武器或侦察设备进化而成，相较于“机器狗”，“机器狼”在侦察能力，打击能力、保障处置等各方面都有提升．在正常状态下，机器狼的小腿和大腿有一定夹角（图1）、图2是机器狼正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狼正常状态下的离地高度可以看成两点间的距离，则机器狼在正常状态下的高度为______． 15. 如图，点、分别在函数，图象上，点、在轴上，若四边形为正方形，且点在第二象限，则点的坐标为______． 16. 如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是___________米． 三、解答题，8个小题，共86分． 17. 正比例函数的图像与反比例函数相交于两点，其中点的坐标为． （1）分别写这两个函数的表达式． （2）求不等式的解集． 18. 已知抛物线：． （1）求抛物线的对称轴； （2）当时，直接写出该抛物线关于轴对称的新抛物线的表达式； （3）若抛物线的顶点在轴上，求的值． 19. 某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数随时间（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． （1）求的值及曲线的函数表达式． （2）若一道数学难题，需要讲解18分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数不低于32，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 20. 根据题中所给的素材，完成下面的任务． 换房间的灯泡 素材1 房间内的灯泡到地面的距离为． 素材2 现有一架家用可调节式脚踏人字梯，其中踏板，地面都是水平的，梯子的侧面简化结构如图所示，左右支撑架长度相等，，设梯子一边与地面的夹角为，且可调节的范围为． 素材3 当时，电工站在梯子安全挡中最高一挡踏板上的最大触及高度为． 示意图 任务1 当时，求踏板离地面的高度．（精确到） 任务2 调节角度，试判断电工是否可以换下灯泡，并说明理由．（参考数据：，，，） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，且点的纵坐标为5．过点作轴交反比例函数的图象于点C，连接． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的面积． 22. 已知二次函数． （1）若二次函数的图像过点 ①求该抛物线的表达式，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出图像与坐标轴的交点坐标及该函数图象的顶点坐标； ②当时，求的取值范围； （2）若在时，二次函数有最小值，求的值． 23. 学习了锐角三角函数后，我们知道根据锐角三角函数定义及直角三角形的相关性质能求出、、角的三角函数值．数学探究课上，老师提出这样一个问题：能否通过构造几何图形求出角及角的正切值．卓越组和蛟龙组就两个角分别进行画图探究： （1）卓越组画了一个正方形，如图1，连接对角线，延长到E，使． 请根据作图方法画出图形，找到的角，并求它的正切值； （2）蛟龙组为了探究角的正切值，受到卓越组的启发画出了一个含角的直角三角形，如图2，求角正切值． 24. 新定义：我们把抛物线与称为“友好抛物线”，例如：抛物线的“友好抛物线”为． （1）抛物线的友好抛物线的表达式为______；“友好抛物线”的顶点坐标为______． （2）若抛物线和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，且抛物线上有且只有三个点到轴的距离为2，求抛物线的解析式． （3）已知抛物线（其中）经过其“友好抛物线”的顶点；求抛物线的对称轴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习题 一、选择题，每小题4分，共40分． 1. 在中，，，，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数解直角三角形，直接利用正弦函数的定义进行求解即可． 【详解】解：在中，，，， 则， 故选：D． 2. 已知反比例函数的图象和点如图所示，点坐标为，则的值可能为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，设点是反比例函数图象上的一点，根据点在点的上方，可得不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：设点是反比例函数图象上的一点， 由函数图象可知，点在点的上方， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 3. 若∠A为锐角，且tanA＝，则cosA的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊三角函数值可进行求解． 【详解】解：∵tanA＝， ∴∠A＝30°， 则cosA＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 4. 二次函数的图象与轴的交点个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与轴的交点个数的判断，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式，判断图象与轴的交点个数． 【详解】解：二次函数的图象与轴的交点即方程的根， 计算判别式， ， 无实数根， 二次函数的图象与轴没有交点， 故选：A． 5. 若，，则二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵，， ∴抛物线的开口向上，与轴交于负半轴， ∵二次函数的对称轴为y轴， ∴二次函数的图象大致是： ． 故选：A． 6. 关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 随增大而减小 B. 图像是中心对称图形不是轴对称图形 C. 的取值范围为全体实数 D. 函数的值不能为0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．根据反比例函数的图象及性质，逐一判断各选项是否正确． 【详解】函数 是反比例函数，比例系数 ， 选项A：函数图象在第一、三象限，在每个象限内随增大而减小，故该说法错误，不符合题意； 选项B：反比例函数图象关于原点对称（中心对称），也关于直线和对称（轴对称），故该说法错误，不符合题意； 选项 C：反比例函数中，分母不能为 0，则的取值范围是，并非全体实数，故该说法错误，不符合题意； 选项 D：当 时，无解，即函数值不能为，故该说法正确，符合题意； 故选：D． 7. 如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（　　） A. 40海里 B. 60海里 C. 20海里 D. 40海里 【答案】D 【解析】 【分析】证明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题； 【详解】在Rt△PAB中，∵∠APB=30°， ∴PB=2AB， 由题意BC=2AB， ∴PB=BC， ∴∠C=∠CPB， ∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°， ∴∠C=30°， ∴PC=2PA， ∵PA=AB•tan60°， ∴PC=2×20×=40（海里）， 故选D． 【点睛】考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是证明PB=BC，推出∠C=30°． 8. 已知长方形的两条边长为、，面积是4，那么关于的函数的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据长方形的面积公式得出，即，且，据此即可求解． 【详解】解：依题意，即，且， ∴关于的函数的图像是反比例函数图像，且图像在第一象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的性质和图像是解题的关键． 9. 某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：∵水面宽为， ∴的横坐标为 把代入 得： ∴ ∴此时拱顶到水面的距离为 故选：A． 10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的图像只经过三个象限，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 先求出抛物线的顶点坐标是，然后根据二次函数的图象只经过三个象限列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标是， ∵二次函数的图象只经过三个象限， ∴， 解得，， 故选：C． 二、填空题，每小题4分，共24分． 11. 计算：tan60°﹣sin60°＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：tan60°﹣sin60° ＝ ＝ ＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 12. 二次函数中x，y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 … 则该二次函数图象的对称轴为________． 【答案】直线 【解析】 【分析】找到表格中函数值相等的两个的值，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知：当和时，函数值相等，均为， ∴该二次函数图象的对称轴为直线：； 故答案为：直线． 【点睛】本题考查利用抛物线的对称性求二次函数的对称轴．解题的关键是找到函数值相等的两个点． 13. 在同一直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象没有公共点，则______0． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数与反比例函数图象以及系数的关系解答即可． 【详解】∵正比例函数的图象与反比例函数的图象没有公共点， ∴、异号， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 14. 9月3日上午，北京天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，阅兵式上展示的机械狼是由四足机器狗加装上武器或侦察设备进化而成，相较于“机器狗”，“机器狼”在侦察能力，打击能力、保障处置等各方面都有提升．在正常状态下，机器狼的小腿和大腿有一定夹角（图1）、图2是机器狼正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狼正常状态下的离地高度可以看成两点间的距离，则机器狼在正常状态下的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、含的直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，过点作于点，由，易得，，，由勾股定理可得，即可求出． 【详解】解，如图所示，连接，过点作于点， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，点、分别在函数，图象上，点、在轴上，若四边形为正方形，且点在第二象限，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与平面几何的综合，掌握反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键． 根据正方形和反比例函数图像上点的坐标特征，设A点坐标为，则D点坐标为，进而列出方程求解． 【详解】解： 设A点坐标为， 将代入得：，解得：， ∴点D坐标为， ∵四边形为正方形， ∴， ∴，解得：（舍去），， 经检验，是方程的解， ∴A点坐标为， 故答案为：． 16. 如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是___________米． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米， 设抛物线解析式为， 将点代入，得 解得 ∴抛物线解析式为： 令，则， 解得，（不合题意，舍去） ∴， ． 故答案为：20 三、解答题，8个小题，共86分． 17. 正比例函数的图像与反比例函数相交于两点，其中点的坐标为． （1）分别写这两个函数的表达式． （2）求不等式的解集． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的图象及性质，熟练掌握正比例函数和反比例函数的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式； （2）通过正比例函数和反比例函数图象的位置关系，找出正比例函数在反比例函数图象上方时对应的的取值范围． 【小问1详解】 把点代入，得， 解得， 把点代入，得， 解得， 则正比例函数表达式为，反比例函数表达式为． 【小问2详解】 正比例函数的图像与反比例函数相交于两点， 、两点关于原点对称， B点坐标为， 不等式的解集为：或． 18. 已知抛物线：． （1）求抛物线的对称轴； （2）当时，直接写出该抛物线关于轴对称的新抛物线的表达式； （3）若抛物线的顶点在轴上，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的解析式、对称轴、顶点坐标及关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将抛物线化为顶点式，即可求出对称轴； （2）根据关于轴对称，函数值互为相反数，即可求解； （3）将抛物线化为顶点式，由抛物线的顶点在轴上，即可求出的值． 【小问1详解】 解：， 抛物线的对称轴为； 【小问2详解】 解：当时，， 该抛物线关于轴对称的新抛物线的表达式， 则新抛物线的表达式为； 【小问3详解】 解：，抛物线的顶点在轴上， ， ． 19. 某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数随时间（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． （1）求的值及曲线的函数表达式． （2）若一道数学难题，需要讲解18分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数不低于32，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 【答案】（1）， （2） 能，理由如下： 当时，对于，解得：； 对于，解得：， ， ∴老师能在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题； 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）把代入函数解析式，求出的值，进而求出点坐标，待定系数法求出曲线的函数表达式即可； （2）求出时的自变量的值，求出两个自变量的差值与18进行比较即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， 设曲线的函数表达式为， 则：， ∴； 【小问2详解】 略 20. 根据题中所给的素材，完成下面的任务． 换房间的灯泡 素材1 房间内的灯泡到地面的距离为． 素材2 现有一架家用可调节式脚踏人字梯，其中踏板，地面都是水平的，梯子的侧面简化结构如图所示，左右支撑架长度相等，，设梯子一边与地面的夹角为，且可调节的范围为． 素材3 当时，电工站在梯子安全挡中最高一挡踏板上的最大触及高度为． 示意图 任务1 当时，求踏板离地面的高度．（精确到） 任务2 调节角度，试判断电工是否可以换下灯泡，并说明理由．（参考数据：，，，） 【答案】任务1：踏板离地面的高度约为 任务2：电工可以换下灯泡，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查利用锐角三角函数解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．任务1：在中，，，由即可求解；任务2：由题意可知：当时，最大， ，同时利用任务1中的结果即可得出结论． 【详解】解：任务1：在中，，， ， ， 答：踏板离地面的高度约为； 任务2：电工可以换下灯泡， 理由如下：由题意可知：当时，最大， 在中，， 则， ， 电工可以换下灯泡． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，且点的纵坐标为5．过点作轴交反比例函数的图象于点C，连接． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握其性质并能正确求出反比例函数的解析式是解决此题的关键． （1）先由一次函数的图象过点，且点的纵坐标为5，，将代入，求出的值，得到点的坐标，再将点坐标代入，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （2）先由一次函数的图象与轴交于点，求出点的坐标为，再将代入，求出的值，那么，过作于，则，然后根据，将数值代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象过点，且点的纵坐标为5， ∴，解方程得，， ∴点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，是3， ∵点在反比例函数的图象上， ∴当时，，解得， ， 如图，过作于，则， ． 22. 已知二次函数． （1）若二次函数的图像过点 ①求该抛物线的表达式，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出图像与坐标轴的交点坐标及该函数图象的顶点坐标； ②当时，求的取值范围； （2）若在时，二次函数有最小值，求的值． 【答案】（1）①，图像见详解，图像与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为，顶点坐标为；② （2）的值为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解及对给定区间最值问题的分析，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用分类讨论的思想解决区间最值是解题的关键． （1）①直接代入点即可；②根据图形即可求出的取值范围； （2）需结合开口方向及顶点位置，分两种情况分析最值． 【小问1详解】 解：①把代入， 得， 解得， 抛物线的表达式为； 图像如下， ， 图像与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为，顶点坐标为； ②当时，的最小值为， 当时，取最大值，此时， 则当时，； 【小问2详解】 解：二次函数， 对称轴为直线， ①当，抛物线开口向上， 时，取最小值， 即， 解得，； ②当，抛物线开口向下， 对称轴为直线， 在内，当时，取最小值， 即， 解得，， 综上所述，的值为或． 23. 学习了锐角三角函数后，我们知道根据锐角三角函数定义及直角三角形的相关性质能求出、、角的三角函数值．数学探究课上，老师提出这样一个问题：能否通过构造几何图形求出角及角的正切值．卓越组和蛟龙组就两个角分别进行画图探究： （1）卓越组画了一个正方形，如图1，连接对角线，延长到E，使． 请根据作图方法画出图形，找到的角，并求它的正切值； （2）蛟龙组为了探究角的正切值，受到卓越组的启发画出了一个含角的直角三角形，如图2，求角正切值． 【答案】（1）图见解析， （2） 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）设正方形的边长为a，则，由，易得， 在中，，， 即可求解； （2）在BC边上取一点D，使，由，易得,得,设， 则，，得， 在中，． 【小问1详解】 解：如图所示，， 设正方形的边长为a，则，． ， ， ， ， ． 在中，，， ． 【小问2详解】 如图，在BC边上取一点D，使， ， ， , , 设，，， 则， ， ， 在中，． 24. 新定义：我们把抛物线与称为“友好抛物线”，例如：抛物线的“友好抛物线”为． （1）抛物线的友好抛物线的表达式为______；“友好抛物线”的顶点坐标为______． （2）若抛物线和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，且抛物线上有且只有三个点到轴的距离为2，求抛物线的解析式． （3）已知抛物线（其中）经过其“友好抛物线”的顶点；求抛物线的对称轴． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的解析式、顶点坐标及对称轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由题意得，抛物线的友好抛物线为，将其化为顶点式，即可求出顶点坐标； （2）若抛物线和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，可得，再由抛物线上有且只有三个点到轴的距离为2，可知抛物线的顶点纵坐标是2，易得，据此即可求出解析式； （3）先求“友好抛物线”的顶点，再将其代入原抛物线解析式中，即可求出，据此可求出原抛物线的对称轴． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的友好抛物线为， ， “友好抛物线”的顶点坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意得，抛物线的“友好抛物线”解析式为， 抛物线和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同， ①， 抛物线上有且只有三个点到轴的距离为2， 抛物线的顶点纵坐标是2， ， 即②， 由①②可得， 抛物线的解析式为； 【小问3详解】 由题意得，抛物线的“友好抛物线”解析式为， “友好抛物线”的顶点为， 抛物线（其中）经过其“友好抛物线”的顶点， ， 整理化简得：，解得或， ， ， ， 对称轴为直线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $