精品解析：甘肃省兰州新区某校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试卷

绝密★启用前 贺阳教育兰州校区2025-2026学年第一学期高二期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号、座位号等信息 2.请将答案正确填写在答题纸上 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知直线经过点，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 直线：与：的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若三点在同一条直线上，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 直线必过定点（ ） A. B. C. D. 5. 记为等比数列的前项和．若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在下列四个命题中，正确的有（ ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 D. 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 10. 数列的前n项和为，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 11. 已知直线，，则（ ） A. 当时，直线的一个方向向量为 B. 若与相互平行，则或 C. 若，则 D. 若不经过第二象限，则 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.） 12. 点到直线的距离是______. 13. 数列满足（为正整数），且与的等差中项是5，则首项______ 14. 已知数列满足，则数列的通项公式为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： （1）经过点，平行于直线； （2）倾斜角是，截距是4； （3）经过点，点； （4）经过点，且在两坐标轴上截距的和为5． 16. 计算： （1）已知直线的倾斜角为，求的方向向量和法向量； （2）已知直线经过点和，求直线的方向向量和法向量． 17. 已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列 （1）求数列通项公式 （2）设，求数列的前项和 18. 已知数列的前n项和为. （1）求的值； （2）求的通项公式； （3）设，是数列的前n项和，求. 19. 设直线的方程为. （1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若不经过第二象限，求实数的取值范围； （3）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，O为坐标原点，记的面积为S，求S的最小值及S最小时直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 贺阳教育兰州校区2025-2026学年第一学期高二期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号、座位号等信息 2.请将答案正确填写在答题纸上 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知直线经过点，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率公式即可求解； 【详解】由， 可得：， 故选：C 2. 直线：与：的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立两直线方程，求出交点坐标. 【详解】联立方程组解得， 故与的交点坐标为. 故选：A 3. 若三点在同一条直线上，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由三点共线得到，再由两点表示出直线的斜率求解即可； 【详解】由题意可得，即，解得. 故选：C. 4. 直线必过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线分离参数为，令，可得定点. 【详解】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B 5. 记为等比数列的前项和．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，再利用等比数列的求和公式可求出的值. 【详解】设等比数列的公比为，由得，可得， 所以，， 所以，. 故选：C. 6. 直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的斜率和纵截距的正负进行判断． 【详解】对B，斜率为正，在轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错. 当时， 和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足. 故选：D 7. 已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正切的和角公式与直线方程的点斜式求解即可 【详解】设直线的倾斜角为，则， 又直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线， 所以直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 故直线的方程是，即， 故选：D． 8. 已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线与直线的斜率，再结合直线与线段相交的条件，确定直线斜率的取值范围. 【详解】已知，，根据过两点直线斜率公式，可得： 已知，，同理可得： 当直线绕点从位置旋转到与轴重合时，斜率的范围是； 当直线绕点从与轴重合旋转到位置时，斜率的范围是. 所以直线斜率的取值范围是. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在下列四个命题中，正确的有（ ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 D. 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 【答案】BC 【解析】 【分析】由直线倾斜角与斜率的关系逐项判断即可； 【详解】对于A，与轴平行的直线没有斜率，故A错误； 对于B，由直线倾斜角的取值范围可知直线的倾斜角的取值范围是，故B正确； 对于C，由题意可得直线的倾斜角的正切值为1，所以直线的倾斜角为，故C正确； 对于D，若直线的倾斜角为，则直线无斜率，故D错误； 故选：BC. 10. 数列的前n项和为，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】CD 【解析】 【分析】根据即可判断A；由等差数列通项公式求得，即可判断B；令求解即可判断C；根据等差数列的函数特性即可判断D． 【详解】对于A，由得，，所以是递减数列，故A错误； 对于B，由得，数列是等差数列， 所以， 所以，故B错误； 对于C，令，即，解得，故C正确； 对于D，，对称轴为， 所以当或4时，取得最大值，故D正确； 故选：CD． 11. 已知直线，，则（ ） A. 当时，直线的一个方向向量为 B. 若与相互平行，则或 C. 若，则 D. 若不经过第二象限，则 【答案】CD 【解析】 【分析】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将直线方程化简可得，结合一次函数的性质即可判断D. 【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为， ，A错误； 对B，若与相互平行，则，解得或， 当时，与重合，B错误； 对C，若，则，解得，故C正确； 对D，若不经过第二象限，，即， 则，解得，D正确. 故选：CD 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.） 12. 点到直线的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】到直线的距离为， 故答案为： 13. 数列满足（为正整数），且与的等差中项是5，则首项______ 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解． 【详解】数列满足为正整数），则数列为等比数列， 不妨设其公比为，则， 因为与的等差中项是5， 所以，即，解得． 故答案为：1． 14. 已知数列满足，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得. 【详解】数列中，，，显然， 则有，即，而， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： （1）经过点，平行于直线； （2）倾斜角是，截距是4； （3）经过点，点； （4）经过点，且在两坐标轴上截距的和为5． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由直线平行可知斜率相等，结合点坐标写出直线点斜式方程，化为一般式 ； （2）截距为分为在轴上截距为和在轴上的截距为，根据条件写出直线方程； （3）写出直线的两点式方程，化为一般式； （4）分析直线在轴、轴上的截距，写出直线的截距式方程，化为一般式. 【小问1详解】 由题可知，所求直线斜率为3，故方程为，整理得. 【小问2详解】 由直线倾斜角是得直线斜率为， 当直线在上截距是4，即过点时，直线方程为，整理得， 当直线在上截距是4时，直线方程为，整理得， 综上得，直线方程为. 【小问3详解】 由条件得直线的两点式方程为：，整理得. 【小问4详解】 由题意得，直线在轴上的截距为，故在轴上的截距为， 所以直线的截距式方程为，整理得. 16. 计算： （1）已知直线的倾斜角为，求的方向向量和法向量； （2）已知直线经过点和，求直线的方向向量和法向量． 【答案】（1）方向向量为，法向量为 （2）方向向量为，法向量为 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出直线的方向向量与法向量； （2）分析可知，直线的一个方向向量为，由此可得出直线的方向向量与法向量. 【小问1详解】 先证明结论：若直线的一个方向向量为，其中，则直线的一个法向量可为. 因为直线的一个方向向量为，其中，，则， 所以，直线的一个法向量可为. 本题中，因为直线的倾斜角为，则该直线的斜率为， 故直线的一个方向向量为，则直线的方向向量为， 直线的法向量为. 【小问2详解】 因为直线经过点和，则直线的一个方向向量为， 所以，直线的方向向量为，法向量为. 17. 已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列 （1）求数列通项公式 （2）设，求数列的前项和 【答案】（1）或； （2）当时，；当时，. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式结合等比数列的性质即可得解； （2）由分组求和法结合等差、等比数列的前n项和公式即可得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意，得，解得或， 所以或； （2）当时，， 此时； 当时，， 此时. 综上：当时，；当时，. 18. 已知数列的前n项和为. （1）求的值； （2）求的通项公式； （3）设，是数列的前n项和，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，分别令求解； （2）当时，由求解； （3）利用裂项相消法求解. 【小问1详解】 因为数列的前n项和为， 所以； 【小问2详解】 当时，， 又适合上式，所以； 【小问3详解】 由（2）知：， 所以， . 19. 设直线的方程为. （1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若不经过第二象限，求实数的取值范围； （3）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，O为坐标原点，记的面积为S，求S的最小值及S最小时直线的方程. 【答案】（1）或. （2） （3）最小值是6， 【解析】 【分析】（1）根据截距的定义分类讨论计算即可； （2）利用直线的性质列出参数a的范围计算即可； （3）直接计算A、B的坐标，含参表示三角形面积，根据基本不等式计算最值即可. 【小问1详解】 当直线l过原点时满足条件，此时，即，则直线l的方程为； 当直线l不过原点时，由直线l在两坐标轴上的截距相等可知其斜率为， 故，即，可得直线l的方程为. 综上所述，直线l的方程为或； 【小问2详解】 ∵l不经过第二象限，∴. 解得. ∴实数a的取值范围是. 【小问3详解】 对于方程， 令，解得，由题知，解得； 令，解得，由题知，解得或. 综上可得. ∴ ， 当且仅当，即时取等号, ∴的面积S的最小值是6，此时直线l的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $