2026年中考数学一轮复习 专题三 二次根式 专项练习

专题三 二次根式 【题型一】二次根式的性质与化简 【例1】（2025春•汉阴县校级期末）若，则“□”处应填的数字为（　　） A．2 B．4 C．6 D．10 【分析】根据题意，得，利用恒等式的性质解答即可． 【解答】解：∵， ∴，则“□”处应填的数字为2， 故选：A． 【变式1】（2025春•紫阳县校级月考）计算（　　） A． B．2 C．﹣2 D． 【分析】根据二次根式和平方的运算，即可选出正确结果． 【解答】解：根据题意可知，原式． 故选：D． 【题型二】最简二次根式 【例1】（2024秋•商洛期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【解答】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（2025春•阜平县期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：A、是最简二次根式，本选项符合题意； B、2，不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、4，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】（2024秋•永寿县校级月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的判定条件逐项判断即可． 【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、中含有分数，故不是最简二次根式，不符合题意； C、3中含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 【题型三】分母有理化 【例1】（2025秋•碑林区校级模考）已知a1，b，则a与b的关系是（　　） A．ab＝1 B．a+b＝0 C．ab＝﹣1 D．a＝b 【分析】先化简b再找关系即可． 【解答】解：b1， ∵a1， ∴a＝b， 故选：D． 【例2】（2025•志丹县模考）下列式子是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用最简二次根式的定义对各选项进行判断． 【解答】解：A、是最简二次根式，A选项符合题意； B、，所以B选项不合题意； C、，所以C选项不合题意； D、，所以D选项不合题意； 故选：A． 【变式1】（2025•汉中模考）的相反数是　﹣2（）　 ；倒数是　　 ；绝对值是　2（）　 ． 【分析】根据相反数、倒数、绝对值的概念列出算式，再进行分母有理化即可得． 【解答】解：的相反数是2（）， 倒数为， 绝对值为2（）， 故答案为：﹣2（），，2（）． 【变式2】（2025•渭城区校级月考）分母有理化：　　 ． 【分析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．据此作答． 【解答】解：． 故答案为：． 【题型四】同类二次根式 【例1】（2025•西安校级模拟）已知，与是同类二次根式的是　　 ． 【分析】先化简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【解答】解：，， 与是同类二次根式的是， 故答案为：． 【变式1】（2025春•安定区期中）如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则a+b＝　2　 ． 【分析】根据题意可得最简二次根式和是同类二次根式，根据被开方数相同即可得出答案． 【解答】解：∵最简二次根式和是可以合并的二次根式， ∴3b＝2b﹣a+2， ∴a+b＝2． 故答案为：2． 【变式2】（2025春•志丹县期中）如果最简二次根式与二次根式可以合并，那么x的值为　5　 ． 【分析】由最简二次根式与二次根式可以合并，且2，知x﹣2＝3，据此可得答案． 【解答】解：∵最简二次根式与二次根式可以合并，且2， ∴x﹣2＝3， 解得x＝5， 故答案为：5． 【题型五】二次根式的混合运算 【例1】（2025•永寿县一模）计算：． 【分析】先计算平方、算术平方根，然后再依据实数的运算法则进行计算即可． 【解答】解： ＝﹣1+4÷2+4 ＝﹣1+2+4 ＝5． 【例2】（2025•新城区校级三模）计算：． 【分析】原式先计算平方和负整数指数幂，再计算乘法，最后进行加减运算即可． 【解答】解： ＝5+21+9﹣（﹣3）×（﹣5） ． 【变式1】（2025春•渭城区校级月考）（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）先化简，同时去括号，然后合并同类项即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可； （3）先化简，将除法转化为乘法，再约分即可． 【解答】解：（1） ＝242 2； （2） ＝4﹣2﹣3+21 ＝﹣2+2； （3） ＝4 ＝3 ． 【变式2】（2025春•洛川县期末）计算：． 【分析】利用二次根式的性质及乘法法则计算后再算加减即可． 【解答】解：原式＝33 ＝36 ＝﹣2． 【变式3】（2025春•商南县期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）利用完全平方公式、平方差公式和二次根式的性质进行计算即可； （2）先把含有分母的二次根式分母有理化，再利用乘法分配律和二次根式的乘法法则计算，然后把二次根式化成最简二次根式，最后合并即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝4． 【课后练习】 1．（2025春•洛川县期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，据此进行判断即可． 【解答】解：3，则A不符合题意， 是最简二次根式，则B符合题意， ，则C不符合题意， ，则D不符合题意， 故选：B． 2．（2023春•陇县期中）化简： （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． 【分析】（1）利用二次根式的性质化简； （2）利用二次根式的性质化简； （3）利用二次根式的性质化简； （4）利用二次根式的性质化简； （5）利用分母有理化的方法化简． 【解答】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 3．（2023•灞桥区校级三模）计算：． 【分析】根据二次根式的乘法运算、绝对值的性质以及乘方运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式1+1 ＝2． 4．（2017秋•雁塔区校级月考）计算 （1）|3|﹣（）﹣2+（2）0． （2）． 【分析】（1）根据绝对值的意义、负整数指数幂的意义以及零指数幂分别进行计算即可得出答案； （2）先把分母有理化，再把根式化简，最后合并即可． 【解答】解：（1））|3|﹣（）﹣2+（2）0 ＝34+1﹣2 ＝﹣3； （2）4266． 5．（2019春•商州区期中）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如： ①；②1等运算都是分母有理化．根据上述材料， （1）化简： （2）计算：． 【分析】（1）原式分母有理化，计算即可得到结果； （2）原式各自分母有理化化简后，合并即可得到结果． 【解答】解：（1）原式； （2）原式11． 6．（2025春•山阳县期末）已知最简二次根式与可以合并，则x的值是　3　 ． 【分析】根据二次根式可以合并的条件进行计算即可． 【解答】解：由条件可知3x﹣4＝5， 解得x＝3， 故答案为：3． 7．（2025春•耀州区校级月考）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的减法运算对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断． 【解答】解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意； B． 2，所以B选项符合题意； C． ，所以C选项不符合题意； D． 2，所以D选项不符合题意． 故选：B． 8．（2025春•汉阴县校级期末）计算下列各小题． （1）； （2）． 【分析】（1）先运乘方和乘法，再化简，最后运算减法，即可作答． （2）先运算乘法，再根据二次根式的性质进行化简，最后运算加减法，即可作答． 【解答】解：（1）原式 ＝3﹣6 ＝﹣3； （2）原式 ． 9．（2025春•耀州区校级月考）计算：． 【分析】先算除法，乘方，再算加减即可． 【解答】解： ＝（25）（3+1﹣2） ＝254﹣2 5+4﹣2 ＝21+2 ＝﹣1． 10．（2024秋•永寿县校级期末）计算：． 【分析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可． 【解答】解：原式4 ＝23+4 ＝63． 11．（2025春•紫阳县校级月考）计算：． 【分析】根据二次根式的除法法则，二次根式的乘法法则，二次根式的性质，以及合并同类二次根式法则计算即可． 【解答】解： ． 12．（2025春•韩城市期末）计算：． 【分析】先算乘除，再算加减即可． 【解答】解：原式＝5﹣2﹣32． 13．（2025春•山阳县期末）计算：． 【分析】根据二次根式的除法法则和平方差公式求解即可． 【解答】解：原式 ． 14．（2025•西安开学）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先根据负整数指数幂，二次根式的性质化简，再进行加减运算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ＝3﹣44﹣（） ＝3﹣44﹣3+2 ． 15．（2025•旬邑县校级模拟）计算：． 【分析】先进行乘方运算，再根据二次根式的乘法法则和负整数指数幂的意义计算，然后合并即可． 【解答】解：原式＝﹣14 ＝﹣14 ＝3． 16．（2020秋•蓝田县期末）． 【分析】先根据二次根式的乘法法则算乘法，化成最简二次根式，再合并即可． 【解答】解：原式23 ＝363 ＝﹣6 17．（2024春•潼关县期末）计算：． 【分析】先化简，然后计算加减法即可． 【解答】解： ． 18．（2025春•洛川县期末）计算：． 【分析】利用平方差及完全平方公式计算后再算加减即可． 【解答】解：原式＝3﹣2﹣（5﹣21） ＝3﹣2﹣5+21 ＝25． 19．（2025春•澄城县期末）计算：． 【分析】先算乘除，化为最简二次根式，再合并即可． 【解答】解：原式 ． 20．（2025春•延长县期末）计算：． 【分析】先去括号和绝对值，然后计算加减法即可． 【解答】解：原式 ＝2． 21．（2025春•志丹县期末）计算：3． 【分析】先化简各二次根式，再按顺序进行加减运算即可． 【解答】解：原式0． 22．（2025春•志丹县期末）计算：． 【分析】先进行乘除运算，化简二次根式，再进行合并即可． 【解答】解： ＝﹣3． 23．（2025春•紫阳县期末）计算：（）． 【分析】先逆用乘法法则，把写成进行约分，再根据单项式乘多项式法则计算乘法，然后把二次根式化简，最后合并即可． 【解答】解：原式 ． 24．（2025•雁塔区四模）计算：|﹣5|． 【分析】先算负整数指数幂、去绝对值，再算乘法，然后算加减． 【解答】解：|﹣5| ＝4+16﹣5 ＝15． 25．（2014春•旬阳县期末）（1）； （2）（1）2﹣2． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先根据完全平方公式和二次根式的乘除法则运算得到原式＝2+21，然后化简后合并即可． 【解答】解：（1）原式＝340； （2）原式＝2+21 ＝3+23 ＝3． 26．（2025•金台区模拟）计算：． 【分析】先根据负整数指数幂、零指数幂的意义和二次根式的乘法法则运算，然后合并即可． 【解答】解：原式＝251 ＝25+31 ＝26+3． 27．（2025•陈仓区二模）计算：． 【分析】先算绝对值，负整数指数幂，二次根式，然后算乘除，最后算加减即可． 【解答】解： ＝2+（﹣3） ＝﹣1． 28．（2023秋•秦都区校级月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）利用二次根式的混合运算法则即可求解； （2）利用二次根式的混合运算法则即可求解； 【解答】解：（1）原式 ． （2）原式 ＝6． 29．（2020秋•新城区校级期中）计算：． 【分析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可． 【解答】解：原式2 ＝2﹣32 ＝2． 30．（2025春•临潼区期末）计算：． 【分析】先把除法运算化为乘法运算，然后利用二次根式的除法法则运算，最后化简后合并即可． 【解答】解：原式＝（4）2 4+2 4+2 ＝34． 31．（2025•安定区三模）计算：． 【分析】先计算二次根式的除法运算，再化简二次根式为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【解答】解： ． 32．（2022秋•长安区校级期末）计算：． 【分析】先计算乘法，并化简绝对值和二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解答】解： ＝﹣2（1）+3 ＝﹣21+3 ＝1． 33．（2025春•阎良区期末）计算：． 【分析】先算完全平方公式，再算加减即可． 【解答】解：原式＝（2）2+（）2+44 ＝12+6+124 ＝18+8． 34．（2025春•雁塔区校级期末）计算： （1）； （2）a2（m﹣n）+9b2（n﹣m）． 【分析】（1）先根据负整数指数幂的意义、二次根式的乘法法则运算，再进行乘方运算，然后去绝对值后进行有理数的加减运算； （2）根据单项式乘多项式的乘法法则运算即可． 【解答】解：（1）原式＝5|﹣8| ＝5﹣6﹣8 ＝﹣9； （2）原式＝ma2﹣na2+9nb2﹣9mb2． 35．（2023秋•汉台区期末）计算：． 【分析】先根据平方差公式、二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，然后合并即可． 【解答】解：原式＝4﹣31 ＝1﹣31 ＝﹣2． 36．（2025•临渭区模拟）计算：． 【分析】先算绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，再算加减即可． 【解答】解： 3﹣2 ＝3． 37．（2025•榆阳区校级三模）计算：． 【分析】根据，再计算即可． 【解答】解： ＝2+4﹣2 ＝4． 38．（2025•雁塔区校级模拟）计算：． 【分析】先算除法，绝对值，负整数指数幂，再算加减即可． 【解答】解：原式（3﹣2）+5 3+25 ＝32． 39．（2025•陈仓区校级模拟）计算：． 【分析】先根、据平方差公式计算、将有理数除法转化为乘法、计算出负整数指数幂，再算乘法，然后算加减法即可， 【解答】解： ＝5﹣9+69 ＝5﹣9+8+9 ＝13． 40．（2025春•耀州区校级月考）计算：． 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的除法法则和二次根式的性质计算，然后去绝对值后合并即可． 【解答】解：原式＝223﹣32 3﹣32 ＝﹣31． 41．（2024秋•府谷县期末）计算：． 【分析】先根据完全平方公式和二次根式的性质计算，然后合并即可． 【解答】解：原式＝7﹣21﹣7+23 ＝﹣2． 42．（2025•雁塔区校级模拟）计算：． 【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式（﹣2）+3 ＝42． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三 二次根式 【题型一】二次根式的性质与化简 【例1】（2025春•汉阴县校级期末）若，则“□”处应填的数字为（　　） A．2 B．4 C．6 D．10 【分析】根据题意，得，利用恒等式的性质解答即可． 【解答】解：∵， ∴，则“□”处应填的数字为2， 故选：A． 【变式1】（2025春•紫阳县校级月考）计算（　　） A． B．2 C．﹣2 D． 【题型二】最简二次根式 【例1】（2024秋•商洛期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【解答】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（2025春•阜平县期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024秋•永寿县校级月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【题型三】分母有理化 【例1】（2025秋•碑林区校级模考）已知a1，b，则a与b的关系是（　　） A．ab＝1 B．a+b＝0 C．ab＝﹣1 D．a＝b 【分析】先化简b再找关系即可． 【解答】解：b1， ∵a1， ∴a＝b， 故选：D． 【例2】（2025•志丹县模考）下列式子是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用最简二次根式的定义对各选项进行判断． 【解答】解：A、是最简二次根式，A选项符合题意； B、，所以B选项不合题意； C、，所以C选项不合题意； D、，所以D选项不合题意； 故选：A． 【变式1】（2025•汉中模考）的相反数是　 　 ；倒数是　 　 ；绝对值是　 　 ． 【变式2】（2025•渭城区校级月考）分母有理化：　 　 ． 【题型四】同类二次根式 【例1】（2025•西安校级模拟）已知，与是同类二次根式的是　 　 ． 【分析】先化简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【解答】解：，， 与是同类二次根式的是， 故答案为：． 【变式1】（2025春•安定区期中）如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则a+b＝ 　 ． 【变式2】（2025春•志丹县期中）如果最简二次根式与二次根式可以合并，那么x的值为　 　 ． 【题型五】二次根式的混合运算 【例1】（2025•永寿县一模）计算：． 【分析】先计算平方、算术平方根，然后再依据实数的运算法则进行计算即可． 【解答】解： ＝﹣1+4÷2+4 ＝﹣1+2+4 ＝5． 【例2】（2025•新城区校级三模）计算：． 【分析】原式先计算平方和负整数指数幂，再计算乘法，最后进行加减运算即可． 【解答】解： ＝5+21+9﹣（﹣3）×（﹣5） ． 【变式1】（2025春•渭城区校级月考）（1）； （2）； （3）． 【变式2】（2025春•洛川县期末）计算：． 【变式3】（2025春•商南县期末）计算： （1）； （2）． 【课后练习】 1．（2025春•洛川县期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023春•陇县期中）化简： （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． 3．（2023•灞桥区校级三模）计算：． 4．（2017秋•雁塔区校级月考）计算 （1）|3|﹣（）﹣2+（2）0． （2）． 5．（2019春•商州区期中）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如： ①；②1等运算都是分母有理化．根据上述材料， （1）化简： （2）计算：． 6．（2025春•山阳县期末）已知最简二次根式与可以合并，则x的值是　 　 ． 7．（2025春•耀州区校级月考）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2025春•汉阴县校级期末）计算下列各小题． （1）； （2）． 9．（2025春•耀州区校级月考）计算：． 10．（2024秋•永寿县校级期末）计算：． 11．（2025春•紫阳县校级月考）计算：． 12．（2025春•韩城市期末）计算：． 13．（2025春•山阳县期末）计算：． 14．（2025•西安开学）计算： （1）； （2）． 15．（2025•旬邑县校级模拟）计算：． 16．（2020秋•蓝田县期末）． 17．（2024春•潼关县期末）计算：． 18．（2025春•洛川县期末）计算：． 19．（2025春•澄城县期末）计算：． 20．（2025春•延长县期末）计算：． 21．（2025春•志丹县期末）计算：3． 22．（2025春•志丹县期末）计算：． 23．（2025春•紫阳县期末）计算：（）． 24．（2025•雁塔区四模）计算：|﹣5|． 25．（2014春•旬阳县期末）（1）； （2）（1）2﹣2． 26．（2025•金台区模拟）计算：． 27．（2025•陈仓区二模）计算：． 28．（2023秋•秦都区校级月考）计算： （1）； （2）． 29．（2020秋•新城区校级期中）计算：． 30．（2025春•临潼区期末）计算：． 31．（2025•安定区三模）计算：． 32．（2022秋•长安区校级期末）计算：． 33．（2025春•阎良区期末）计算：． 34．（2025春•雁塔区校级期末）计算： （1）； （2）a2（m﹣n）+9b2（n﹣m）． 35．（2023秋•汉台区期末）计算：． 36．（2025•临渭区模拟）计算：． 37．（2025•榆阳区校级三模）计算：． 38．（2025•雁塔区校级模拟）计算：． 39．（2025•陈仓区校级模拟）计算：． 40．（2025春•耀州区校级月考）计算：． 41．（2024秋•府谷县期末）计算：． 42．（2025•雁塔区校级模拟）计算：． 学科网（北京）股份有限公司 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