精品解析：安徽省亳州市利辛县利辛部分学校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

霍山部分学校联考2025-2026学年上学期九年级期中试卷 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于抛物线，下列描述错误的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 对称轴为直线 C. y有最小值1 D. 当时，y随x的增大而增大 3. 在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于x的方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有实数根 4. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销量的减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少10件，则写出利润y与单价x之间的函数关系式（ ） A. B. C. D. 5. 如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，若图中，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 加工爆米花时，爆开且不糊粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据、根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A. 3.50分钟 B. 3.75分钟 C. 4.00分钟 D. 4.25分钟 7. 若，则k的值为（ ） A B. 1 C. D. 或 8. 四边形的两条对角线相交于点，下列条件中，不一定能推得与相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，E是对角线上一点，连接，作交边于点F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④的实数其中正确的结论有______． 12. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 13. 矩形中，，、分别为、的中点，如果矩形与矩形相似，那么它们相似比的比值为_______． 14. 如图，，，直线、、相交于点，且，若的周长为15，则的周长为_____． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 若函数是二次函数． （1）求的值． （2）当时，求的值． 16. 已知抛物线经过点和． （1）求，的值； （2）判断点是否在这个抛物线上，并说明理由． 17. 如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． （1）无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． （2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 18. 已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求点，，的坐标； （2）设点是抛物线在第四象限部分上的动点，连接、、、，如图，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点的坐标； 19. 在平面直角坐标系中，抛物线（）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若当时，函数图象的最高点为P，点P的纵坐标为24，求二次函数的表达式； （3）若直线与抛物线其中一个交点的横坐标为2，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，且点M在点N的下方．当线段的长度随m的增大而减少时，求m的取值范围． 20. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且B点的纵坐标是，求： （1）反比例函数的解析式： （2）面积． 21. 如图所示，在中，，，，由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为，连接．设运动时间为，解答下列问题： （1）面积可能是为吗？为什么？ （2）在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，与相似？并说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为； （2）在（）的条件下， ①点的对应点的坐标为_____，点的对应点的坐标为_____； ②边上任意一点对应点的坐标为_____． 23. 如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB． （1）填空：∠BAD与∠ACB数量关系为 ； （2）求的值； （3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=，求PC的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 霍山部分学校联考2025-2026学年上学期九年级期中试卷 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一般地，我们把形如（其中是、、为常数）函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项，根据二次函数的定义逐项判断即可． 本题考查了二次函数的定义，理解并掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】A．，是一次函数，故该选项不符合题意； B．，是一次函数，故该选项不符合题意； C．，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意； D．，是二次函数，故该选项符合题意． 故选：D． 2. 对于抛物线，下列描述错误的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 对称轴为直线 C. y有最小值1 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案． 【详解】解：对于， ∵，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线的开口向下，y有最大值为，当时，y随x的增大而增大，则当时，y随x的增大而增大， 观察四个选项，A、B、D均正确，C错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于x的方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．由题意可把方程看作是二次函数与直线的交点问题，根据图象可得答案． 【详解】二次函数与直线的交点即为方程的解， 根据图象可知：二次函数与直线有两个交点， 方程的根的情况为：有两个不相等的实数根， 故选：C． 4. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销量的减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少10件，则写出利润y与单价x之间的函数关系式（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．单价为x元，单价提高了元．原来每月能售出400件，每涨价1元，月销售量就减少10件．涨元，那么月销售量就减少件，再根据利润每件利润数量即可求得解析式． 【详解】解：根据题意得： 利润y与单价x之间函数关系式为：． 故选：B． 5. 如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，若图中，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质及反比例函数系数的几何意义，求得是解题的关键．先根据和均为正三角形可知，故可得出，所以，故，过点作于点，由反比例函数系数的几何意义即可得出结论． 【详解】解：如图： 和均为正三角形， ， ， ， ， 过点作于点，则， 点在反比例函数的图象上， ， ， 故选：A． 6. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据、根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A. 3.50分钟 B. 3.75分钟 C. 4.00分钟 D. 4.25分钟 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意知，函数经过点，，， 则， 解得：， ， 最佳加工时间为3.75分钟， 故选：B． 7. 若，则k的值为（ ） A. B. 1 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例，解题的关键是掌握比例的性质． 由题设条件可得三个方程，通过联立方程并分情况讨论a + b + c是否为0，得出k的可能值． 【详解】 将三式相加，得： 情况1：若，两边约去，得： 情况2：若，则，代入第一个方程得： 若，则， 同理，代入其他方程可得 此时分母（因），故成立， 综上，的值为或， 故选：D． 8. 四边形的两条对角线相交于点，下列条件中，不一定能推得与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故选项A不符合题意； B.∵，， ∴，故选项B不符合题意； C. ∵，， ∴，故选项C不符合题意； D. 条件，，无法证明，故选项D符合题意． 故选：D． 9. 如图，在菱形中，，E是对角线上一点，连接，作交边于点F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，由菱形的性质推出，，判定，是等边三角形，得到，，求出，而，得到，即可证明，推出，令，则，得出，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴的周长：的周长， ∵的周长为8， ∴的周长为20， 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④的实数其中正确的结论有______． 【答案】②④ 【解析】 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：， ， ， ，故此选项错误； ②由对称知，当时，函数值大于0，即，故此选项正确； ③当时，；当时，， ，即， ，故此选项错误； ④当时，y的值最大．此时，， 而当时，， ∴， 故，即，故此选项正确．故②④正确． 故答案为：②④． 12. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即： 解得： 故答案为：． 13. 矩形中，，、分别为、的中点，如果矩形与矩形相似，那么它们相似比的比值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．设，，由E、F分别为、中点，可得矩形的边长，通过建立比例关系求解相似比． 【详解】解：如图，设，， ∵E、F分别为、的中点， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 14. 如图，，，直线、、相交于点，且，若的周长为15，则的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形性质，根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的周长为x， ∵， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴的周长为． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 若函数是二次函数． （1）求的值． （2）当时，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）根据二次函数的定义解答即可求解； （）把代入（）中所得的函数解析式计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，求函数值，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，，且， 解得； 【小问2详解】 解：把代入得，， ∴当时，． 16. 已知抛物线经过点和． （1）求，的值； （2）判断点是否在这个抛物线上，并说明理由． 【答案】（1） （2）点不在这个抛物线上，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式， 对于（1），将点代入关系式得出二元一次方程组，求出解； 对于（2），将点的坐标代入关系式即可判断． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的关系式为， 当时，， ∴抛物线经过点， 则点不在该抛物线上． 17. 如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． （1）无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． （2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据图形即可求解； （2）求解方程即可． 【小问1详解】 由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为 故答案为：， 【小问2详解】 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） ∴剪去的正方形边长为 18. 已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求点，，的坐标； （2）设点是抛物线在第四象限部分上的动点，连接、、、，如图，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点的坐标； 【答案】（1），，； （2）点D坐标为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）令可求得点C坐标，令可求得点A、B坐标； （2）设，根据坐标与图形性质和三角形的面积公式可得，利用二次函数的性质可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 令，由解得，， ∴，，； 【小问2详解】 解：设， 由（1）知，，， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值． 此时，， ∴点D坐标为． 19. 在平面直角坐标系中，抛物线（）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若当时，函数图象的最高点为P，点P的纵坐标为24，求二次函数的表达式； （3）若直线与抛物线其中一个交点的横坐标为2，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，且点M在点N的下方．当线段的长度随m的增大而减少时，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）根据对称轴的公式，进行计算即可； （2）根据对称轴是直线，得出时取得最大值，将代入二次函数中，求出，即可得出答案； （3）先求出，得出二次函数解析式为，求出直线与二次函数的两个交点的横坐标为，根据点在点的下方，得出的取值范围是．表示出．根据二次函数的性质，结合线段的长度随的增大而减小，得出的取值范围是，从而得出m的取值范围即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：，抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数值最大， ∴ 将代入二次函数中， 得， 解得， 二次函数表达式为． 【小问3详解】 解：把代入中，得， 将代入中， 得， 解得， ， 令， 解得， 点在点的下方， 的取值范围是． 点的坐标可分别表示为，， ． ，对称轴为直线， 当线段的长度随的增大而减小时，的取值范围是． 综上所述，的取值范围是． 20. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且B点的纵坐标是，求： （1）反比例函数的解析式： （2）面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数解析式的求法，以及一次函数的应用． （1）先根据一次函数求出点B的坐标，再代入，求出k的值即可； （2）联立方程组，点A的坐标，设直线与y轴交于点C，并求出点C的坐标，再由三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 在一次函数中，令，可得，解得， ∴， 把代入反比例函数，可得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 联立方程组，解得， ∴， 设直线解析式为，则 解得 ∴ ∴令直线与轴交于点C， 当时，， ∴ ． 21. 如图所示，在中，，，，由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为，连接．设运动时间为，解答下列问题： （1）面积可能为吗？为什么？ （2）在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，与相似？并说明理由． 【答案】（1）不可能，理由见解析 （2）存在，时间t为或秒时，使得与相似 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理． （1）作于点H，先根据勾股定理求出的长，再根据，可得，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当时，②当时，结合相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：不可能； 如图，作于点H， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∵， ∴面积不可能是为； 【小问2详解】 解：理由如下∶ ①当时，则， ∴， 解得∶． ②当时，则， ∴， 解得； 答∶存在，时间t为或秒时，使得与相似． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为； （2）在（）的条件下， ①点的对应点的坐标为_____，点的对应点的坐标为_____； ②边上任意一点的对应点的坐标为_____． 【答案】（1）画图见解析 （2）①，；② 【解析】 【分析】（）根据位似图形的性质画图即可； （）①根据（）所画图象解答即可；②根据①中对应点的坐标变化解答即可； 本题考查了画位似图形，坐标与图形，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：①由图可得，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为， 故答案为：，； ②由①可得，边上任意一点的对应点的坐标为， 故答案为：． 23. 如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB． （1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为 ； （2）求的值； （3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=，求PC的长． 【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2）；（3）1 【解析】 【分析】（1）在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°； （2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出，可得，可得4y2+2xy-x2=0，即，求出的值即可解决问题； （3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得，可得，即，由此即可解决问题； 【详解】解：（1）如图1中， 在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°， 又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB， ∴∠BAD+∠ACB=180°， 故答案为：∠BAD+∠ACB=180°． （2）如图1中，作DE∥AB交AC于E． ∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE， ∵OB=OD，∴△OAB≌△OED， ∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y， ∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°， ∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC， ∴，∴ ， ∴4y2+2xy﹣x2=0，∴， ∴（负根已经舍弃），∴ ． （3）如图2中，作DE∥AB交AC于E． 由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′， ∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°， ∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C， ∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC， ∴△PA′D∽△PBC， ∴， ∴，即 ∴PC=1． 【点睛】本题考查几何变换综合题、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构造方程解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $