22.1直角三角形（基础篇）讲义 2025-2026学年沪教版（五四制） 数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦直角三角形核心内容，系统梳理两锐角互余的角关系、斜边上的中线等于斜边一半的边性质、含30°角所对直角边是斜边一半的特殊性质，以及斜边直角边（HL）全等判定定理，构建从基础性质到应用判定的递进学习支架。 资料融入思维导图直观呈现知识关联，分模块练习题精准对应各知识点，含快艇航行等生活情境题。通过几何直观培养空间观念，分层设计助力教师因材施教，课后学生可针对性练习，强化推理意识与应用能力，有效弥补知识薄弱点。

22.1直角三角形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、直角三角形的两锐角互余 直角三角形的两个锐角之和等于90度，即如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余。反之，如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形。 二、直角三角形斜边上的中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。即如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，则CD=AD=BD=1/2AB。 三、含30度角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。即如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC=1/2AB。 四、直角三角形全等的判定（HL定理） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。即对于两个直角三角形，如果它们的斜边相等，且其中一条直角边也相等，那么这两个直角三角形全等。 型 习 练 题 直角三角形的两个锐角互余 1．如图，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，是高，若，则的长为（    ） A．16 B．14 C．10 D．12 3．如图，在中，，是高，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．6 D．12 4．如图，在中，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．如图，有两根长度相同的竹竿靠在一面竖直的墙两侧，已知左边竹竿端点与墙角的距离等于右边竹竿底部与墙角的距离，则（   ） A． B． C． D． 斜边的中线 6．一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图，已知，点为边的中点，则的长为（   ） A．4 B． C．8 D．9 7．如图，在中，，是边上一点，是的中点．若的垂直平分线经过点，，则为（   ） A． B． C． D． 8．如图，中，，点D为AB的中点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，分别是边上的高，M为的中点，，，则的周长是（　  　） A．10 B．12 C．14 D．16 10．串场河曾是盐城盐运要道，河畔有两条沿河步道、互相垂直，步道的中点与观景亭被河道隔开．若测得的长为，则、两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 含30度角的直角三角形 11．如图，在中，，，D为边上一点，连接，且，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 12．如图，一艘快艇从地出发，向正北方向航行5海里后到达地，然后右转继续航行到达地，若地在地北偏东方向上，，则的距离为（   ） A．8海里 B．海里 C．7海里 D．海里 13．如图所示，在中，，、是内两点，平分．，若，，则的长度是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 14．在中，，，若，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 15．如图，在等边三角形中，，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 全等的性质和HL综合 16．如图，在Rt中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为（　　） A．6 B．12 C．6或12 D．6或12或18或24 17．在和中，，高，则和的关系是（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．以上都不对 18．如图所示，在中，，点是内一点，连接，，且，过点作交的延长线于点，且，若，，则的长是（   ） A．7 B．4 C．3 D．2 19．如图所示，，，，，则（　　） A． B． C． D． 20．如图，，，、相交于点，图中相等的锐角有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.1直角三角形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、直角三角形的两锐角互余 直角三角形的两个锐角之和等于90度，即如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余。反之，如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形。 二、直角三角形斜边上的中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。即如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，则CD=AD=BD=1/2AB。 三、含30度角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。即如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC=1/2AB。 四、直角三角形全等的判定（HL定理） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。即对于两个直角三角形，如果它们的斜边相等，且其中一条直角边也相等，那么这两个直角三角形全等。 型 习 练 题 直角三角形的两个锐角互余 1．如图，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，对顶角相等，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据直角三角形两锐角互余得出，再根据，进而求解即可． 【详解】解：设交于点O，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，，，是高，若，则的长为（    ） A．16 B．14 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查含角的直角三角形，根据含角的直角三角形的性质求出、的长度，即可得出结果． 【详解】解：，，， ∴，， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，在中，，是高，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．6 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了角直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 根据直角三角形锐角互余得到，然后在中运用角直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵是高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 4．如图，在中，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，根据，得，因为即，进行作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 则， 故选：C 5．如图，有两根长度相同的竹竿靠在一面竖直的墙两侧，已知左边竹竿端点与墙角的距离等于右边竹竿底部与墙角的距离，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可知，、，，进而证得，根据全等三角形的性质证得，进而证得． 【详解】解：由题意得，、，， ， ， ， 故选：A． 斜边的中线 6．一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图，已知，点为边的中点，则的长为（   ） A．4 B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由图可知， 在中，，点D为边的中点， ， 故选：A． 7．如图，在中，，是边上一点，是的中点．若的垂直平分线经过点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握这些知识是解题的关键． 由的垂直平分线经过点得，由，是的中点得． 【详解】解：∵的垂直平分线经过点， ∴， ∵，是的中点， ∴， 故选：C． 8．如图，中，，点D为AB的中点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线可，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可得出结论． 【详解】 D为中点， ， ， ． 故选：A． 9．如图，在中，分别是边上的高，M为的中点，，，则的周长是（　  　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练运用该性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线的性质可得到、的长，即可求出的周长． 【详解】解：∵分别是边上的高，M为的中点， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴的周长=． 故选：A． 10．串场河曾是盐城盐运要道，河畔有两条沿河步道、互相垂直，步道的中点与观景亭被河道隔开．若测得的长为，则、两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作答即可． 【详解】解：∵河畔有两条沿河步道、互相垂直，点为步道的中点，的长为， ∴． 故选：C． 含30度角的直角三角形 11．如图，在中，，，D为边上一点，连接，且，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及含角的直角三角形的特征，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”性质是解题的关键． 过点A作于点E，在中，利用含角的直角三角形的性质可以求出，根据等腰三角形的性质可求出，即可得的长． 【详解】解：过点A作于点E， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 12．如图，一艘快艇从地出发，向正北方向航行5海里后到达地，然后右转继续航行到达地，若地在地北偏东方向上，，则的距离为（   ） A．8海里 B．海里 C．7海里 D．海里 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外角的性质，等角对等边，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，首先得出，得到，然后求出，，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接， 根据题意得，， ∴ ∴ ∴（海里） ∵ ∴ ∴海里 ∴（海里）． 故选：B． 13．如图所示，在中，，、是内两点，平分．，若，，则的长度是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出NM的长是解题的关键．延长交于M，延长交于N，根据等腰三角形的性质得出，进而得出为等边三角形，从而得出的长，即可求出答案． 【详解】解：延长交于M，延长交于N， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 14．在中，，，若，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质．根据直角三角形中，30度角所对的直角边长度等于斜边长度的一半，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴． 故选：D． 15．如图，在等边三角形中，，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形以及平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质．根据等边三角形以及平行线的性质可得，从而得到，再由含30度角的直角三角形的性质解答，即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 全等的性质和HL综合 16．如图，在Rt中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为（　　） A．6 B．12 C．6或12 D．6或12或18或24 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的综合应用，准确分析动点在运动过程中三角形的变化进行分类讨论是解题的关键． 分两种情况进行计算，一是，二是点与点重合，分别求解即可； 【详解】当时， 在与中， ， ； 当点运动到与点点重合时，， 在和中， ； 综上所述：长为或． 故选． 17．在和中，，高，则和的关系是（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，分图①②和图①③两种情况，利用可证明得到，再根据角之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，当和如图①②所示时， ∵分别是和的高， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 如图，当和如图①③所示时， 同理可证明， ∴， ∵， ∴； 综上所述，和的关系是相等或互补． 故选：C． 18．如图所示，在中，，点是内一点，连接，，且，过点作交的延长线于点，且，若，，则的长是（   ） A．7 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． 根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵于点E，于点D， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 19．如图所示，，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．先根据证明，得出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 20．如图，，，、相交于点，图中相等的锐角有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及对顶角、直角三角形两锐角关系，解题的关键是通过证明三角形全等得出角的关系． 先利用对顶角相等和直角三角形两锐角互余得出一组角相等，再通过“HL”证明两个直角三角形全等，进而得出其他角相等，统计相等锐角的对数． 【详解】解：图中相等的锐角有： 证明：根据对顶角相等，可得：； ， ， ， ； 在和中， ， ， ． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $