21.1一元二次方程的概念（基础篇）讲义 2025-2026学年沪教版（五四制） 数学八年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念这一核心知识点，系统梳理从定义（只含一个未知数且最高次数为2的整式方程）到一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）的知识脉络，并通过思维导图构建概念框架，辅以定义判断、化成一般式、参数求解及方程的解等分层练习，形成递进式学习支架。 资料特色在于针对基础薄弱学生设计，通过列表法解方程（如第16-17题）培养几何直观，化一般式题目（如第6-10题）提升运算能力，渗透抽象能力与应用意识。课中助力教师分层教学，课后学生可通过分类练习查漏补缺，有效实现从基础巩固到能力提升的过渡。

21.1一元二次方程的概念 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是ax² + bx + c = 0（a、b、c是常数，a ≠ 0）。其中ax²叫做二次项，a是二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项。 型 习 练 题 一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程不是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．现有方程：①，②下列说法正确的是（    ） A．①和②都是一元二次方程 B．①和②都不是一元二次方程 C．只有①是一元二次方程 D．只有②是一元二次方程 4．下列方程中是关于x的一元二次方程的为（   ） A． B． C． D． 5．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 化成一元二次方程的一般式 6．将一元二次方程化为一般形式后，一次项系数是（   ） A．2 B． C．3 D． 7．将一元二次方程化成一般形式，可得（    ） A． B． C． D． 8．把一元二次方程化为一般形式，则的值分别是（   ） A．2，6，1 B． C． D． 9．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为（    ） A．2 B． C． D．1 10．将一元二次方程化成一般式后，若二次项系数是5，则一次项系数和常数项分别是（　　） A．4， B．， C．，1 D．4，1 由一元二次方程的定义求参数 11．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值不可以为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 12．关于x的一元二次方程，则处可能是（    ） A． B． C． D． 13．关于的一元二次方程，二次项系数与一次项系数之和为3，则（    ） A． B．1 C．7 D．任意实数 14．已知是关于的一元二次方程，则满足（　　） A． B． C． D．或 15．方程是关于x的一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 一元二次方方程的解 16．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 17．下表是某同学求代数式的值的情况，根据表中的数据，可知方程的根是（    ）． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C．， D．， 18．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（） A． B．4 C．2 D． 19．若关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值为（   ） A．4 B． C．0 D．1 20．已知为一元二次方程的根，则的值为（    ） A． B． C．0 D．4048 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.1一元二次方程的概念 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是ax² + bx + c = 0（a、b、c是常数，a ≠ 0）。其中ax²叫做二次项，a是二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项。 型 习 练 题 一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数x和y，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程的未知数最高次数为3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、方程不是整式方程（分母含未知数），且化简后为，次数为3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、方程，只含未知数x，最高次数为2，且为整式方程，符合定义，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 2．下列方程不是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断各选项是否为整式方程且最高次数是否为． 【详解】解：∵ 一元二次方程必须是整式方程，且未知数的最高次数为2； A、，是整式方程，最高次数，是一元二次方程，不符合题意； B、，展开并化简得，是整式方程，最高次数，是一元二次方程，不符合题意； C、，分母含有未知数，不是整式方程，符合题意； D、，展开并化简得，是整式方程，最高次数，是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 3．现有方程：①，②下列说法正确的是（    ） A．①和②都是一元二次方程 B．①和②都不是一元二次方程 C．只有①是一元二次方程 D．只有②是一元二次方程 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，进行判断，即可作答． 【详解】解：∵方程①： 中只含一个未知数x，且x的最高次数为2， ∴ ①是一元二次方程。 ∵方程②：中含有两个未知数x和y， ∴ ②不是一元二次方程 因此，只有①是一元二次方程， 故选：C 4．下列方程中是关于x的一元二次方程的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键， 根据一元二次方程的定义分析各选项是否符合条件即可得到答案． 【详解】解：A：中，若，则不是二次方程，故此项错误； B：中含有两个未知数x和y，不是一元方程，故此项错误； C：含有分式，不是整式方程，故此项错误； D：可化为，是一元二次方程，此项正确； 故选：D． 5．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，整理得，是一元二次方程，符合题意； B、是二元一次方程，不符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、是一元一次方程，不符合题意； 故选A． 化成一元二次方程的一般式 6．将一元二次方程化为一般形式后，一次项系数是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的定义，各项系数的知识是关键． 先将方程化为一般形式，再识别一次项系数． 【详解】解：∵ 原方程：， 移项得：， ∴ 一次项系数为， 故选：D． 7．将一元二次方程化成一般形式，可得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了化为一元二次方程的一般式．将方程展开并移项，化为一元二次方程的一般形式，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 即， 故选：C． 8．把一元二次方程化为一般形式，则的值分别是（   ） A．2，6，1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式． 将方程化为一般形式，通过展开和移项确定系数． 【详解】解：， ， ， ， 故，，． 故选：C． 9．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的各项系数的确定方法是解题的关键． 将方程化为一般形式 后，一次项系数即为，据此即可解答． 【详解】解：一元二次方程化为一般式为，即一次项系数为． 故选C． 10．将一元二次方程化成一般式后，若二次项系数是5，则一次项系数和常数项分别是（　　） A．4， B．， C．，1 D．4，1 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此解答即可． 【详解】解：化成一元二次方程一般形式是， 它的一次项系数是，常数项是． 故选：B． 由一元二次方程的定义求参数 11．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值不可以为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程方程的定义．根据一元二次方程的二次项系数不为0求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，则， 故选：B． 12．关于x的一元二次方程，则处可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义 方程是关于的一元二次方程，因此必须为的二次项，且系数不为零． 【详解】解：∵一元二次方程的标准形式为（）， ∴必须为的二次项，且系数不为零． 只有D符合要求． 故选：D． 13．关于的一元二次方程，二次项系数与一次项系数之和为3，则（    ） A． B．1 C．7 D．任意实数 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键． 根据题意，一元二次方程的二次项系数与一次项系数之和为3，直接列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 二次项系数为7，一次项系数为m， ∵二次项系数与一次项系数之和为3， ∴， ∴ 故选：A． 14．已知是关于的一元二次方程，则满足（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，x的最高次数为2且二次项系数不为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 15．方程是关于x的一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 一元二次方方程的解 16．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查列表法求一元二次方程的解，将方程变形为 ，从表格中找出使该式值为6的x值，即为方程的解． 【详解】解：∵ 可化为 ， 由表可知，当 或 时，， ∴ 方程的解为 或 ． 故选：D． 17．下表是某同学求代数式的值的情况，根据表中的数据，可知方程的根是（    ）． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，直接找出使代数式的值等于2的值，这些值即为方程的根． 【详解】由表格可知，当时，；当时，． ∴方程的根是， ． 故选：D． 18．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 将代入方程得到关于a的方程求解即可． 【详解】∵是方程的根， ∴将代入得，即，解得：． 故选B． 19．若关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值为（   ） A．4 B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查已知一元二次方程的根求参数，将根代入方程，求解m的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴代入方程得：， 即， ∴， ∴． 故选：D． 20．已知为一元二次方程的根，则的值为（    ） A． B． C．0 D．4048 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根；利用一元二次方程根的定义，将所求表达式变形后代入已知条件求解． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即 ∴. 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $