20.1二次根式及其性质（基础篇）练习2025-2026学年沪教版（五四制） 数学八年级上册

20.1二次根式及其性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、二次根式的概念 一般地，形如的代数式叫做二次根式。其中，“”称为二次根号，根号下的数(a)叫做被开方数。 理解要点： 1. 二次根式的定义是形式上的定义，必须含有二次根号“”。 2. 被开方数(a)可以是数，也可以是代数式，但(a)的值必须满足，这是二次根式有意义的前提条件。如果(a<0)，那么在实数范围内无意义。 3. 二次根式本身表示一个非负数，即。它的算术平方根的意义是一致的，例如表示4的算术平方根，结果是2。 二、二次根式的基本性质 二次根式有以下几个基本且重要的性质： 性质1：其中 · 语言描述：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数本身。 · 理解与应用： · 此性质表明，对一个非负数先开平方（取算术平方根）再平方，结果回到原数。 · 例如：，，其中，即。 · 反过来，若已知，且，则可得出。 性质2： · 语言描述：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 · 理解与应用： · 此性质是针对“一个数先平方，再开平方（取算术平方根）”的运算。由于平方运算的结果总是非负的，所以总有意义。 · 因为开平方（算术平方根）的结果是非负的，所以的结果必须是非负的，这就是为什么要等于(|a|)。 · 当(a)是非负数时，；当(a)是负数时，（因为此时(-a)是正数）。 · 例如： · · · ，当时，等于(x-3)；当(x<3)时，等于(3 - x)。 型 习 练 题 二次根式的识别和求值 1．下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 二次根式有意义的条件 6．若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若，都是实数且，则的平方根是（    ） A．4 B． C．6 D． 8．要使二次根式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．下列式子中无意义的是（ ） A． B． C． D． 10．当是怎样的实数时，二次根式有意义（   ） A． B． C． D． 利用二次根式的性质化简 11．已知在数轴上的位置如图：化简的结果为（    ） A．c B． C． D． 12．下列运算结果等于的是（　　） A． B． C． D． 13．化简的结果是（   ） A． B．3 C． D．9 14．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C．1 D． 15．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：（    ） A．2a B．0 C． D．2b 最简二次根式的判断 16．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 17．二次根式，，，中，其中是最简二次根式的有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 18．下列结论中，正确的是（　　） A．25的平方根是 B．是最简二次根式 C．9的立方根是3 D． 19．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 20．下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 已知最简二次根式求参数 21．若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．7 B．21 C．5 D．6 22．若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 二、填空题 23．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ． 24．若和都是最简二次根式，则 ， ． 三、解答题 25．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.1二次根式及其性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、二次根式的概念 一般地，形如的代数式叫做二次根式。其中，“”称为二次根号，根号下的数(a)叫做被开方数。 理解要点： 1. 二次根式的定义是形式上的定义，必须含有二次根号“”。 2. 被开方数(a)可以是数，也可以是代数式，但(a)的值必须满足，这是二次根式有意义的前提条件。如果(a<0)，那么在实数范围内无意义。 3. 二次根式本身表示一个非负数，即。它的算术平方根的意义是一致的，例如表示4的算术平方根，结果是2。 二、二次根式的基本性质 二次根式有以下几个基本且重要的性质： 性质1：其中 · 语言描述：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数本身。 · 理解与应用： · 此性质表明，对一个非负数先开平方（取算术平方根）再平方，结果回到原数。 · 例如：，，其中，即。 · 反过来，若已知，且，则可得出。 性质2： · 语言描述：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 · 理解与应用： · 此性质是针对“一个数先平方，再开平方（取算术平方根）”的运算。由于平方运算的结果总是非负的，所以总有意义。 · 因为开平方（算术平方根）的结果是非负的，所以的结果必须是非负的，这就是为什么要等于(|a|)。 · 当(a)是非负数时，；当(a)是负数时，（因为此时(-a)是正数）。 · 例如： · · · ，当时，等于(x-3)；当(x<3)时，等于(3 - x)。 型 习 练 题 二次根式的识别和求值 1．下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的识别，二次根式有意义的条件，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据二次根式的定义，需满足被开方数非负且根指数为2．选项A被开方数为负，选项B根指数不为2，选项D在给定条件下被开方数为负，只有选项C的被开方数恒为正，符合定义． 【详解】解：二次根式定义为()，且根指数为2． ，被开方数，故A不符合； ，根指数为3，故B不符合； ， ∵， ∴，且根指数为2，故C符合； 且，则，被开方数小于0，故D不符合． 故选：C． 2．下列各式不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的定义是解题关键． 根据二次根式的概念，形如的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、是二次根式，不合题意； B、中，故不是二次根式，符合题意； C、，则是二次根式，不合题意； D、是二次根式，不合题意； 故选：B． 3．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 4．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 5．计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算的值即可． 【详解】解：， 故选：C． 二次根式有意义的条件 6．若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数非负，且分母不为零．本题需满足分式非负且分母不为零，结合分子为正，可得分母必须为正．由此可解． 【详解】解：∵ 二次根式 有意义， ∴ 被开方数且分母， ∵ 分子， ∴ 分母， ∴ ． 故选：C． 7．若，都是实数且，则的平方根是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数必须非负，从而确定 x的值，再求y的值，计算后求其平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是； 故选D． 8．要使二次根式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数非负． 【详解】解：∵ 有意义， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 9．下列式子中无意义的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式，掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 二次根式的被开方数必须为非负数，否则无意义，通过计算各选项中被开方数的值，判断是否满足条件． 【详解】对于选项A：，被开方数为，无意义． 对于选项B：被开方数为，有意义． 对于选项C：，被开方数为，有意义． 对于选项D：，被开方数为，有意义． 故选：A． 10．当是怎样的实数时，二次根式有意义（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是依据二次根式被开方数为非负数列出不等式求解． 根据二次根式有意义的条件，列出被开方数的不等式，解不等式得到的取值范围，进而判断选项． 【详解】解：二次根式有意义的条件是被开方数， 解得 故选：C． 利用二次根式的性质化简 11．已知在数轴上的位置如图：化简的结果为（    ） A．c B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的非负性，二次根式的非负性． 由数轴可知：且，据此即可求解． 【详解】解：由数轴可知：且， ∴， ∴ ． 故选：A． 12．下列运算结果等于的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查平方根，立方根，算术平方根，掌握相关知识是解决问题的关键．计算每个选项的运算结果，逐项判断即可． 【分析】解： A：，故本选项符合题意； B：，故本选项不符合题意； C：，故本选项不符合题意； D：，故本选项不符合题意． 故选：A． 13．化简的结果是（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质，准确计算是解题的关键． 根据算术平方根的定义，，因此先计算平方，再取非负平方根． 【详解】； 故选． 14．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴和实数，绝对值的性质，二次根式的性质， 根据数轴可知，进而得，再将原式化为，然后去绝对值即可． 【详解】解：根据数轴可知， ∴， ∴． 故选：C． 15．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：（    ） A．2a B．0 C． D．2b 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根．由数轴得，，再利用算术平方根的性质化简式子即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴， ∴ ； 故选：C． 最简二次根式的判断 16．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式． 根据最简二次根式的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解： A. 被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B. 被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C. 是最简二次根式，符合题意； D. ，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 17．二次根式，，，中，其中是最简二次根式的有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 判断每个二次根式是否满足最简二次根式的条件：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断即可． 【详解】解：对于：被开方数可因式分解为，但无完全平方因式，故为最简二次根式； 对于：被开方数含（因），可化为，故不是最简二次根式； 对于：被开方数，分母4是平方数，可化为，故不是最简二次根式； 对于：被开方数为分式，含分母，故不是最简二次根式； 综上，只有1个是最简二次根式， 故选：B． 18．下列结论中，正确的是（　　） A．25的平方根是 B．是最简二次根式 C．9的立方根是3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平方根，立方根，算术平方根的含义，最简二次根式的含义，根据平方根、最简二次根式、立方根和算术平方根的定义逐一判断各选项. 【详解】解：∵ 25的平方根是，故A正确； ∵ ，不是最简二次根式，故B错误； ∵ 9的立方根是，而，故C错误； ∵ 表示算术平方根，结果为2，而非，故D错误. ∴故选：A 19．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，符合题意； D、是最简二次根式，不符合题意； 故选C． 20．下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式需满足的两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义，逐一分析每个选项的被开方数是否含分母、是否含能开得尽方的因数或因式，从而判断是否为最简二次根式． 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，可化简为； B、，被开方数不含分母，且，没有能开得尽方的因数，的次数为1，所以是最简二次根式； C、，被开方数中，含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，可化简为； D、，被开方数含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，可化简为． 故选：B． 已知最简二次根式求参数 21．若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．7 B．21 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的概念及可合并二次根式的条件，解题的关键是明确可合并的二次根式需满足被开方数相同，且均为最简二次根式，需先将非最简二次根式化为最简形式再分析． 先将化为最简二次根式，得到其被开方数；因是最简二次根式且能与合并，故两者被开方数相同，由此确定m的值． 【详解】解：，其被开方数为2． ∵最简二次根式与可以合并， ∴，则 故选：C． 22．若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． 二、填空题 23．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 【详解】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 24．若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 三、解答题 25．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $