19.1平方根与立方根（基础篇）练习2025-2026学年沪教版（五四制） 数学八年级上册

19.1平方根与立方根 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、平方根 1. 平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。即如果x²=a，那么x叫做a的平方根。 2. 平方根的表示方法：正数a的平方根记为“±”，读作“正负根号a”，其中”表示a的正平方根（也叫算术平方根），-”表示a的负平方根。 3. 平方根的性质： · 正数有两个平方根，它们互为相反数； · 0的平方根是0； · 负数没有平方根。 4. 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。算术平方根记为”，且”≥0（a≥0）。 二、立方根 1. 立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。即如果x³=a，那么x叫做a的立方根。 2. 立方根的表示方法：数a的立方根记为“³””，读作“三次根号a”。 3. 立方根的性质： · 正数的立方根是正数； · 负数的立方根是负数； · 0的立方根是0。 4. 开方运算：求一个数的平方根的运算叫做开平方；求一个数的立方根的运算叫做开立方。开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算。 型 习 练 题 利用算数平方根的非负性解题 1．已知为实数，且，则的平方根是（    ） A． B．2 C． D． 2．化简：（    ） A． B． C． D．3 3．若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 4．已知，那么的值为（   ） A．1 B． C． D． 5．已知，则的算术平方根为（　　） A．1 B．3 C． D． 求平方根 6． 的平方根是（   ） A． B．2025 C． D． 7．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 8．下列说法不正确的是（    ） A． B．是9的一个平方根 C．0.4的算术平方根是0.2 D． 9．16的平方根是，用数学符号表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 10．的平方根是（   ） A． B．8 C． D． 求算数平方根的整数部分和小数部分 11．学习了开方运算，小明对进行了研究，想知道的小数部分为 ． 12．若的整数部分是，的整数部分是，则 ． 13．的整数部分是 ，小数部分是 ． 14．任何一个小数，都可以改写成它的整数部分与它的小数部分的和的形式．例如：．若设的纯小数部分为a，则 ． 15．设的整数部分是，小数部分是，则的值为 ． 利用平方根解方程 16．求下列各式中的： (1)； (2)． 17．求下列各式中的值： (1)． (2)； 18．求下列各式中的： (1) (2) 19．求下列式子的的值． (1)； (2)． 20．解方程： (1) (2) 平方根和立方根的综合 21．已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 22．已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 23．已知的一个平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 24．已知的算术平方根是，的立方根是，求的立方根． 25．已知的算术平方根是2，的立方根是，求的平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.1平方根与立方根 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、平方根 1. 平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。即如果x²=a，那么x叫做a的平方根。 2. 平方根的表示方法：正数a的平方根记为“±”，读作“正负根号a”，其中”表示a的正平方根（也叫算术平方根），-”表示a的负平方根。 3. 平方根的性质： · 正数有两个平方根，它们互为相反数； · 0的平方根是0； · 负数没有平方根。 4. 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。算术平方根记为”，且”≥0（a≥0）。 二、立方根 1. 立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。即如果x³=a，那么x叫做a的立方根。 2. 立方根的表示方法：数a的立方根记为“³””，读作“三次根号a”。 3. 立方根的性质： · 正数的立方根是正数； · 负数的立方根是负数； · 0的立方根是0。 4. 开方运算：求一个数的平方根的运算叫做开平方；求一个数的立方根的运算叫做开立方。开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算。 型 习 练 题 利用算数平方根的非负性解题 1．已知为实数，且，则的平方根是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质，掌握几个非负数的和为零，则每个非负数都为零是解题的关键． 根据非负数的性质，平方根和绝对值都非负，它们的和为零时，每个部分都必须为零，从而求出 x 和 y 的值． 【详解】∵ 且 ，且， ∴ 且 ， ∴且， ∴， ∴， ∴ 的平方根为． 故选：C． 2．化简：（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的性质，准确的计算是解决本题的关键． 根据算术平方根的性质，对于任意实数，有，据此求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 故选C． 3．若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，根据平方根和平方的和为零，则每个部分均为零，从而求出 和 的值，再代入计算即可． 【详解】解：因为，且 ，， 所以 且 ， ，即 ， ，即 ， ， ． 故选B． 4．已知，那么的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，代数式求值，解题的关键是熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性． 利用非负数的性质（算术平方根和绝对值均非负），它们的和为零则每个必须为零，从而求出x和y的值，再计算表达式． 【详解】解：∵且，且， ∴ 且， ∴ ，即， ，即， ∴， ∴ ， 故选：D． 5．已知，则的算术平方根为（　　） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性，利用平方项和算术平方根的非负性，令各项为零，求出a和b的值，再计算的算术平方根。 【详解】解：∵且，， ∴且， ∴，即，，即， ∴， ∴的算术平方根为， 故选：A． 求平方根 6． 的平方根是（   ） A． B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的关键．根据平方根、算术平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：C． 7．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的关键． 根据平方根，算术平方根的定义，正数的算术平方根是非负数，负数的平方根在实数范围内无意义，进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、无意义，故此选项不符合题意． 故选：C． 8．下列说法不正确的是（    ） A． B．是9的一个平方根 C．0.4的算术平方根是0.2 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念，掌握平方根、算术平方根和立方根的基本性质是解题关键；需根据定义逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】解：∵平方根、算术平方根和立方根的定义： 正数有两个平方根，互为相反数；算术平方根是非负的；负数没有平方根，但有立方根；立方根与被开方数同号； ∴A、，正确，不符合题意； B、是9的一个平方根，正确，不符合题意； C、0.4的算术平方根是，原说法错误，符合题意； D、，正确，不符合题意； 故选：C． 9．16的平方根是，用数学符号表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，16的平方根是，用数学符号表示，即可作答． 【详解】解：依题意，16的平方根是，用数学符号表示， 故选：D 10．的平方根是（   ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题的关键． 先计算的值，再求该值的平方根，注意平方根有正负两个值． 【详解】解：∵， ∴的平方根即8的平方根， ∴的平方根为， 故选：C． 求算数平方根的整数部分和小数部分 11．学习了开方运算，小明对进行了研究，想知道的小数部分为 ． 【答案】/ 【分析】该题考查了算术平方根小数部分的确定，估算的整数部分，由于，，且，因此的整数部分为3，小数部分为减去整数部分3． 【详解】解：∵，，且， ∴， 因此的整数部分为3， 小数部分为． 故答案为：． 12．若的整数部分是，的整数部分是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的估算，熟练掌握估算方法是解题的关键． 利用估算方法求出和的值后代入运算即可． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 13．的整数部分是 ，小数部分是 ． 【答案】 / 【分析】此题主要考查了估计无理数大小，得出无理数取值范围是解题的关键．利用无理数与整数关系分别得出各数的整数部分和小数部分即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，． 14．任何一个小数，都可以改写成它的整数部分与它的小数部分的和的形式．例如：．若设的纯小数部分为a，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的估算．估算出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为7，则小数部分为， 故答案为：. 15．设的整数部分是，小数部分是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．根据可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵的小数部分是， ∴， 故答案为：． 利用平方根解方程 16．求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义． （1）先移项，再利用平方根的定义解方程即可； （2）先系数化1，再由立方根的定义解方程． 【详解】（1）解： ； （2）解： 17．求下列各式中的值： (1)． (2)； 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查立方根及利用平方根解方程，熟练掌握立方根与平方根是解题的关键； （1）根据立方根可求解方程； （2）根据平方根可求解方程． 【详解】（1）解： ∵， ∴； （2）解： ∵， ∴， 解得：或． 18．求下列各式中的： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，也考查了利用平方根、立方根的定义解高次方程的能力．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．一个正数只有一个正的立方根． （1）首先移项，然后把方程两边同时开平方即可求解； （2）首先移项，然后把方程两边同时开立方即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ∴． 19．求下列式子的的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的求解，解决本题的关键是熟练掌握平方根与立方根的求解． （1）通过移项和开平方解一元二次方程； （2）利用立方根的性质直接求解即可． 【详解】（1）解：由，得， ∴， 即． （2）解：由， 又， 所以， 解得． 20．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义求解方程，注意计算的准确性即可； （1）由题意得，即可求解； （2）由题意得，即可求解； 【详解】（1）解：， ， 解得：； （2）解：， ， ， 解得：． 平方根和立方根的综合 21．已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得出，，计算得出答案即可； （2）将，的值代入求值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 即，， 解得，， 故，的值为，． （2）将，的值代入，得 ， ， 的平方根为． 22．已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ，， ， 即a，x的值分别为，25， 负数y的立方根与它本身相同， ． （2）解：当，时，， 的算术平方根为． 23．已知的一个平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是明确立方根、平方根、算术平方根的定义，根据的一个平方根是，可以得到的值，根据的立方根是，可以得到的值，从而可以求得的算术平方根． 【详解】解：∵的一个平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的算术平方根为， 即的算术平方根为． 24．已知的算术平方根是，的立方根是，求的立方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知一个数的算术平方根和立方根求这个数，准确利用算术平方根和立方根的性质计算是解题的关键．根据的算术平方根是可得，即可求出，根据的立方根是可得，即可求出，进而代入计算即可得解． 【详解】解：的算术平方根是2， ， ， 的立方根是， ， ， ， 的立方根是． 25．已知的算术平方根是2，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知一个数的算术平方根和立方根求这个数，准确利用算术平方根和立方根的性质计算是解题的关键． 根据的算术平方根是可得，即可求出，根据的立方根是可得，即可求出，代入计算即可得解． 【详解】解：的算术平方根是2， ， ， 的立方根是， ， ， ， 的平方根是． 学科网（北京）股份有限公司 $