精品解析：江苏省区无锡市大桥实验学校2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

江苏省区无锡市大桥实验学校2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为或，则的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列四个选项中，正确的是（ ） A. 若集合，集合， 则 B. 已知集合， 则满足的集合的个数有8个 C. 若，，则 D. 设，，则“且”的充要条件是“且” 10. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为4 B. 的最小值为9 C. 的最小值为10 D. 的最小值为128 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件： ①对任意的实数，都有； ②对任意的实数，都有；③． 则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 函数在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数的图象经过点，则__________． 13. 已知，则函数的解析式为________． 14. 若不等式对一切正数x，y恒成立，则实数t的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）当时，解不等式． （2）求函数在区间上的最大值． 17. 函数为定义在上的奇函数，已知当时， . （1）当时，求的解析式 ； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围. 18. 我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万美元，且当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元. （1）写出年利润(万美元)关于年产量(万部)的函数解析式： （2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润. 19. 设函数，，. （1）求函数的值域； （2）若对，，使得成立，求实数的取值范围； （3）对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且在区间上的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”.如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省区无锡市大桥实验学校2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用元素与集合、集合与集合的包含关系逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】因为，则，，，， 故C对，ABD均错. 故选：C. 2. 已知，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，， 若，则， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知的定义域，再根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可． 【详解】因为的定义域是， 所以要使得有意义， 需满足，解得． 则函数的定义域为是 故选：B 4. 不等式的解集为或，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式的解求得，进而求得的解集. 【详解】不等式的解集为或, 则，，所以， 解得（负根舍去），则. 所以不等式，即， 解得，即不等式的解集为. 故选：C 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数奇偶性及具体点函数值即可判断. 【详解】，定义域为， 故函数是偶函数， 排除选项A；又，排除C,D, 故选：B. 6. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，，解方程即可. 【详解】因①， 用代替①中的得：②， 则得：，解得. 故选：D. 7. 已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次分、和三种情况进行分析，当时通过函数的函数值情况得在上需恒成立，进而依据一元二次函数性质即可进一步求解，当时由函数和的函数值情况即可得解，当时由函数的函数值情况得在上需恒成立，再由一元二次函数性质即可求解. 【详解】当时，在上恒成立，在上恒成立，， 而，所以在上需恒成立， 又因为开口向上，所以或， 解得或，所以； 当时，，不恒成立，故不符合； 当时，在上恒成立，在上恒成立，， 而，所以在上需恒成立， 又因为开口向下，所以在上不恒成立，故不符合； 综上可得. 故选：B. 【点睛】思路点睛：依次分、和三种情况先分析函数的函数值情况，进而得出函数的情况是否满足要求或需满足情况的要求，再依据一元二次函数性质即可求解. 8. 已知，若方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】作出的图象，令，则结合图象将问题转化为方程有两个不同的实根，且，或方程有两个相等的根，从而可求出实数的取值范围. 【详解】， 当时，的对称轴为，则单调增区间为，减区间为， 当时，的对称轴为，则单调增区间为，减区间为， 的图象如图所示， 令，则可化为， 要使方程恰好有三个互不相等的实根， 则方程有两个不同的实根，且，或方程有两个相等的根， 令， 当时，，解得， 当时，，得， 综上，或， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是作出函数图象，结合图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列四个选项中，正确的是（ ） A. 若集合，集合， 则 B. 已知集合， 则满足的集合的个数有8个 C. 若，，则 D. 设，，则“且”的充要条件是“且” 【答案】AB 【解析】 【分析】对选项AB中，通过对集合的分析，再结合子集定义，即可判断；选项C中，将分式不等式转化为整式不等式分析；选项D中，利用充要条件的判断即可. 【详解】对于选项A：集合，集合，，A选项正确； 对于选项B：,,，集合的子集个数是个，选项B正确； 对于选项C：因为，所以， 所以，又因为，故两边同除以得，，故C错误； 对于选项D：当且时，，； 反之，当时，，但不满足且， 所以“且”是“且”的充分不必要条件，所以选项D错误. 故答案为：AB 10. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为4 B. 的最小值为9 C. 的最小值为10 D. 的最小值为128 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式求出，即可判断A、D；依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式判断B、C. 【详解】因为， 所以，解得（负值已舍去），所以， 当且仅当，即时，的最小值取到，故A错误； 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取到最小值为9，故B正确； ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C错误； 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：BD 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件： ①对任意的实数，都有； ②对任意的实数，都有；③． 则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 函数在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇函数性质，可判断A的正误；赋值计算，可判断B的正误；根据奇偶性的定义，可判断C的正误；根据单调性的定义，分析可判断D的正误. 【详解】选项A：因为函数是定义在上的奇函数，所以，故A正确； 选项B：令，则，故B正确； 选项C：设， 因为为奇函数，则，则， 所以， 所以为偶函数，故C错误； 选项D：设，则， 因为，所以， 所以， 所以函数在上单调递增，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数的图象经过点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】 设幂函数的解析式为，根据函数过点，求出，进而可求出结果. 【详解】由题意，设，因为幂函数的图像经过点， 所以，解得，因此，所以 故答案为：. 13. 已知，则函数的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式即可. 【详解】，令，则， 所以， 所以函数的解析式为. 故答案为：. 14. 若不等式对一切正数x，y恒成立，则实数t的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先对一切正数x，y恒成立，进一步恒成立且不妨让，从而只需求出的最大值即可. 【详解】不等式对一切正数x，y恒成立当且仅当不等式对一切正数x，y恒成立， 令，所以恒成立， 所以不妨让， 则 ，等号成立当且仅当， 综上所述，当时，有最大值1， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别求解集合A和当时的集合B，再根据并集的定义求出； （2）先根据是的必要不充分条件，得出是的真子集，再分和两种情况进行讨论，进而求出实数a的取值范围． 【小问1详解】 ， 当时，集合， 所以． 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集． 当时，，即， 即，解得或，此时满足是的真子集； 当时，，即， 即，解得， 设， 因为是的真子集，所以（且①②等号不同时成立）， 即（且①②等号不同时成立）， 因为当时，①②等号同时成立，此时，不合题意， 所以，解得， 又，所以． 综上，实数的取值范围为． 16. 已知函数． （1）当时，解不等式． （2）求函数在区间上的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后分情况讨论求解不等式； （2）先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，将函数写成分段函数的形式，然后分类讨论函数在给定区间上的单调性，进而求出最大值． 【小问1详解】 当时，解不等式，即， 当时，不等式变为，即，解得或， 结合前提，可得； 当时，不等式变为，得，解得或， 结合前提，可得． 综上，不等式的解集为． 【小问2详解】 已知， ， 函数与的对称轴均为. 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 所以； 当，即时， 在上单调递减，在，上单调递增， 且，， 因为，所以， 所以； 当，即时， 在，上单调递增， 所以； 当，即时， 在上单调递减，在，上单调递增， 且，， 所以； 当，即时， 在上单调递减，在，上单调递增， 且，， 所以； 当，即时， 在上单调递增，在上单调递减， 所以， 综上，. 17. 函数为定义在上的奇函数，已知当时， . （1）当时，求的解析式 ； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递增，证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案. （2）确定在上的单调递增，任取，，且，计算得到证明. （3）确定为上的增函数，变换得到，根据函数的单调性解不等式得到答案. 【小问1详解】 当时，，则， 因为函数为奇函数，所以， 即时，的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上的单调递增，且函数为上的奇函数， 故为上的增函数. 由，， 于是 ，所以， 解得，即. 18. 我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万美元，且当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元. （1）写出年利润(万美元)关于年产量(万部)的函数解析式： （2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润. 【答案】（1）；（2）32万部，最大值为6104万美元. 【解析】 【分析】 （1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得，然后由，将代入即可. （2）当时利用二次函数的性质求解；当时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论. 【详解】（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元. 所以， 解得， 当时， ， 当时， . 所以 （2）①当时， ，所以； ②当时， ，由于， 当且仅当，即时，取等号，所以此时的最大值为5760. 综合①②知，当，取得最大值为6104万美元. 【点睛】思路点睛：应用题的基本解题步骤： （1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； （2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； （3）解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围； （4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 19. 设函数，，. （1）求函数的值域； （2）若对，，使得成立，求实数的取值范围； （3）对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且在区间上的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”.如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法，借助二次函数求出值域. （2）根据给定条件，转化为求出函数在指定区间上的最小值即可. （3）求出函数的单调区间，再分类讨论并结合一元二次方程实根分布求解. 【小问1详解】 令，则，于是， 而函数在上单调递减，在上单调递增，，的值域为. 【小问2详解】 当时，，当时，设， 在上递增，则， 因对，，使得成立，可得， 故实数的取值范围是. 【小问3详解】 函数在上递减，在上递增， 设是一个优美区间，则或， 当时，有，则方程，即有两个不等的非负根， 设方程两根分别为，由，得， 又由，得，因此； 当时，有，则，两式相减得，因，则 于是，则方程，即有两个不等的非正根， 由，解得，又，可得，因此， 综上可得：实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数的值域，函数不等式恒成立和函数新定义问题，属于难题. (1)对于函数值域问题，换元法是常用技巧，将复杂函数转化为熟悉的二次函数，再利用二次函数性质求解. (2)解决函数不等式恒成立或存在性问题，关键是转化为函数最值比较问题. (3)对于函数 “优美区间” 这类新定义问题，先分析函数单调性，再根据定义建立方程或方程组，结合一元二次方程知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $