2.2 二次函数的图象与性质（2）课件 2025-2026学年 北师大版九年级数学下册

2.2 二次函数的图象与性质（2） 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=x2 y= -x2 （0，0） （0，0） y轴 y轴 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外) 向上 向下 当x=0时,最小值为0. 当x=0时,最大值为0. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 复习导入 下面接着讨论形如 y =ax2 ，y =ax2+c 的二次函数的图象和性质．画二次函数 y=2x2的图象． （1）完成下表： x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y … … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 新知讲解 （2）在图 2-4 中画出 y =2x2 的图象． x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 10 11 图2-4 新知讲解 （3）二次函数y=2x2的图象是什么形状？它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 10 11 新知讲解 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 10 11 二次函数y=2x2的图象形状与y=x2一样， 仍是抛物线. 二次项系数a>0，开口都向上; 对称轴都是y轴; 增减性也相同. 顶点都是 原点(0,0). 只是开口 大小不同. 新知讲解 在图2-4中画出y= x2的图象，观察它与 y=x2，y=2x2的图象有什么相同和不同? x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 10 11 想一想 图2-4 新知讲解 相同点： (1)开口都向上; (2)顶点是原点而且是抛物线的最低点; (3)对称轴是y轴. 不同点： a 越大，抛物线的开口越小． x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 10 11 新知讲解 做一做 画二次函数 y = 2x2+1的图象，你是怎样画的？与同伴进行交流． x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... 2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 新知讲解 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 10 11 y=2x2+1 y=2x2 1、函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。 2、函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。 新知讲解 议一议 二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？ 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 新知讲解 二次函数y=2x2+1的图象形状与y=2x2一样，仍是抛物线. x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 10 11 二次项系数a>0, 开口都向上; 对称轴都是y轴; 增减性也相同. 函数y=2x2顶点(0,0). 函数y=2x2+1顶点(0,1). y=2x2+1 y=2x2 新知讲解 新知讲解 二次函数y=2x2-1的图象呢？ 二次函数 y=2x2，y=2x2+1，y =2x2-1 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同． 将二次函数y=2x2的图象向上平移1个单位，就得到函数 y =2x2+1 的图象； 将二次函数 y=2x2的图象向下平移1个单位，就得到函数y=2x2-1的图象． 小结：二次函数上下平移的口决：上加下减 y = x2 y = x2 ＋1 y = x2 －1 向上平移1个单位 向下平移1个单位 1、当m=______时，抛物线开口向下， 对称轴是______，在对称轴左侧，y随x的增大而______； 在对称轴右侧，y随x的增大而______． －2 y轴 增大 减小 解析：m2＋m=2 ,且m+1≠0得m=-2。 课堂练习 2、若y=ax2+b的图象的形状与二次函数y=2x2的图象的形状完全相同，且经过点A（－4，－10），求这个二次函数的解析式为______________________________． y=2x2－42，y=－2x2+20 解析：形状完全相同，|a|=2 ，a=-2或2。 当a=-2，y=-2x2代入A点坐标，得b=20。 当a=2,y=2x2 代入A点坐标，得b=-20。 课堂练习 3、抛物线y=－6x2可以看作是由抛物线y=－6x2+5按下列何种变换得到（ ） A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位 C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位 B 课堂练习 课堂练习 解析：上加下减，由由抛物线y=－6x2+5 向下平移5个单位，得y=－6x2 。 4、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为 ( ) B 课堂练习 课堂练习 解：一次函数和二次函数经过（0，c）， 由题意c＞0，当a＜0，二次函数开口向下， 一次函数经过一二四象限。 5、廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为 ，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF．（精确到1米） 拓展提高 解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”， 可知y=8， 把y=8代入 得： x= ， ∴由两点间距离公式可求出EF= ≈18（米）． 拓展提高 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 a>0 a<0 y=ax2 y=ax2+c 向上 向上 向下 向下 y轴 y轴 （0，0） （0，c） 课堂总结 y=ax2 c>0 c<0 下移 上移 y=ax2+c 顶点y轴上: (0,c) 课堂总结 课题：2.3 二次函数的图象与性质（2）   教师板演区   学生展示区 一、y=ax2+c的图象与性质 二、例题 板书设计 $