13.3 分式方程(基础篇) 讲义 2025-2026学年沪教版(五四制)数学七年级上册
2025-12-01
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普通
资源信息
| 学段 | 初中 |
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 初中数学沪教版(五四制)七年级上册 |
| 年级 | 七年级 |
| 章节 | 13.3 分式方程 |
| 类型 | 教案-讲义 |
| 知识点 | - |
| 使用场景 | 同步教学-新授课 |
| 学年 | 2025-2026 |
| 地区(省份) | 全国 |
| 地区(市) | - |
| 地区(区县) | - |
| 文件格式 | ZIP |
| 文件大小 | 2.06 MB |
| 发布时间 | 2025-12-01 |
| 更新时间 | 2025-12-01 |
| 作者 | xkw_082921324 |
| 品牌系列 | - |
| 审核时间 | 2025-12-01 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/55217057.html |
| 价格 | 1.00储值(1储值=1元) |
| 来源 | 学科网 |
|---|
摘要:
本讲义聚焦分式方程核心知识点,系统梳理分式方程的概念(定义及与整式方程的区别)、解法(去分母化整式、求解、检验三步)、应用题步骤(审题至作答六环节)及行程等四类常见等量关系,形成从基础到应用的完整知识链,含思维导图辅助梳理,为中等生构建从概念理解到实际应用的学习支架。
资料特色为分层提分与素养融合,针对30-70分学生设计,练习题从定义辨析到实际应用逐步进阶。应用题结合《鹊华秋色图》装裱、口罩生产等真实情境,培养用数学眼光观察现实世界的能力。解法强调检验步骤渗透推理意识,规范列方程步骤引导用数学语言表达问题。课中助教师分层教学,课后供学生针对性练习,有效弥补知识盲点。
内容正文:
13.3分式方程
(30分提至70分使用)
义
览
概
讲
课
索
探
新
分式方程的概念
1. 定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2. 与整式方程的区别:整式方程的分母中不含有未知数,而分式方程的分母中必须含有未知数。
分式方程的解法
1. 去分母化整式方程
· 在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,约去分母,将分式方程转化为整式方程。
· 注意:最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积,若分母为多项式,需先因式分解。
2. 解整式方程
· 按照整式方程(如一元一次方程)的解法求出未知数的值。
3. 检验
· 把整式方程的解代入最简公分母,若最简公分母的值不为0,则是原分式方程的解;若最简公分母的值为0,则是增根,原分式方程无解。
· 强调:解分式方程必须检验,增根是使分母为0的未知数的值,不是原方程的解。
列分式方程解应用题的步骤
1. 审题:理解题意,找出题目中的等量关系。
2. 设未知数:根据题意设出适当的未知数(一般求什么设什么)。
3. 列方程:根据等量关系,用含未知数的代数式表示相关量,列出分式方程。
4. 解方程:按照分式方程的解法求出未知数的值。
5. 检验:
· 检验所求的解是否为原分式方程的解;
· 检验解是否符合实际问题的意义(如人数、长度等不能为负数或分数)。
6. 作答:写出答案,回答问题。
常见等量关系类型
1. 行程问题:路程=速度×时间(如相遇、追及、行船问题等,注意顺水/逆水速度与静水速度、水流速度的关系)。
2. 工程问题:工作总量=工作效率×工作时间(常将工作总量设为1)。
3. 利润问题:利润=售价-成本,利润率=利润/成本×100%。
4. 比例问题:根据题目中的比例关系列方程(如浓度配比、零件分配等)。
型
习
练
题
分式方程的定义
1.下列关于x的方程中,不是分式方程的是( )
A. B. C. D.
2.下列方程是分式方程的是( )
A. B.
C. D.关于的方程
3.在下列方程中,关于的分式方程的个数有( )
①;②;③;④;⑤;⑥.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4.下列方程是分式方程的是( )
A. B. C. D.
5.下列各式中是关于x的分式方程的是( )
A. B. C. D.
根据分式方程解得情况求值
6.若关于的方程的解是1,则的值为( )
A.1 B. C.2 D.
7.已知关于的分式方程的解为,则的值为( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
8.关于的方程的解为,则的值是( )
A. B. C. D.
9.若是方程的根,则m的值为( ).
A.1 B. C.3 D.
10.已知关于的分式方程的解是,则的值为( )
A.2 B.1 C. D.
列分式方程
11.《鹊华秋色图》是画家赵孟的作品,如图是它的局部画面,装裱前是一个长为,宽为的矩形,装裱后,整幅图画宽与长的比是,且四周边框的宽度相等,则边框的宽度应是多少?设边框的宽度为,下列符合题意的方程是( )
A. B.
C. D.
12.某生态示范园计划种植一批梨树,原计划总产量30万千克,为了满足市场需求.现决定改良梨树品种,改良后平均每亩产量是原来的1.5倍,总产量比原计划增加了6万千克,种植亩数减少了10亩,则原来平均每亩产量是多少万千克?设原来平均每亩产量为万千克,根据题意,列方程为( )
A. B.
C. D.
13.体育长跑测试,小红跑完800米和小明跑完1000米恰好用时相等,已知小红比小明每分钟少跑50米,若设小红每分钟跑x米,则根据题意下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
14.为缓解城市地面交通压力,提高人们出行的效率,某地准备扩建一条地铁路线,现要对沿线的地下管道进行改迁,为尽量减少施工对周边居民生活造成的影响,实际施工时,每天比原计划多改迁,结果提前10天完成改迁任务.设实际每天改迁管道,则可列方程为( )
A. B.
C. D.
15.甲、乙二人做某种机械零件,已知甲每小时比乙少做10个,甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等,设乙每小时做x个零件,下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
分式方程与实际问题
16.小明乘出租车去体育场,有两条路线可供选择:路线一的全程是20千米,但交通比较拥堵;路线二的全程是27千米,平均车速比走路线一的平均车速能提高,因此比走路线一少用10分钟到达.求路线一的平均车速.
17.在改进生产工艺后,某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产480台机器所需时间与原计划生产330台机器所需时间相同,则现在平均每天生产多少台机器?
18.为培养学生的动手能力,某校组织开展了手工制作比赛,甲、乙两名同学同时参加手工纸花制作比赛,已知甲每小时比乙每小时少制作20朵,甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同,求乙每小时制作多少朵纸花?
19.新冠疫情期间戴口罩是有效减少人和人传播的一种方式.为了防控疫情的需要,我国自主研发高速口罩生产设备.某工厂现在一台机器日产口罩量比原来日产口罩量多100万片,现在生产30000万片所用的时间与原来生产10000万片的时间相同,求原来一台机器日产口罩多少万片?
20.七(3)班开展“诵读经典,点亮人生”读书活动,小智和小慧读了同一本480页的名著.根据下面两个人的对话,求小慧每天读这本名著的页数.
小智:我每天读的页数是你每天读的页数的倍.
小慧:我读完这本书比你多用了4天.
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13.3分式方程
(30分提至70分使用)
义
览
概
讲
课
索
探
新
分式方程的概念
1. 定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2. 与整式方程的区别:整式方程的分母中不含有未知数,而分式方程的分母中必须含有未知数。
分式方程的解法
1. 去分母化整式方程
· 在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,约去分母,将分式方程转化为整式方程。
· 注意:最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积,若分母为多项式,需先因式分解。
2. 解整式方程
· 按照整式方程(如一元一次方程)的解法求出未知数的值。
3. 检验
· 把整式方程的解代入最简公分母,若最简公分母的值不为0,则是原分式方程的解;若最简公分母的值为0,则是增根,原分式方程无解。
· 强调:解分式方程必须检验,增根是使分母为0的未知数的值,不是原方程的解。
列分式方程解应用题的步骤
1. 审题:理解题意,找出题目中的等量关系。
2. 设未知数:根据题意设出适当的未知数(一般求什么设什么)。
3. 列方程:根据等量关系,用含未知数的代数式表示相关量,列出分式方程。
4. 解方程:按照分式方程的解法求出未知数的值。
5. 检验:
· 检验所求的解是否为原分式方程的解;
· 检验解是否符合实际问题的意义(如人数、长度等不能为负数或分数)。
6. 作答:写出答案,回答问题。
常见等量关系类型
1. 行程问题:路程=速度×时间(如相遇、追及、行船问题等,注意顺水/逆水速度与静水速度、水流速度的关系)。
2. 工程问题:工作总量=工作效率×工作时间(常将工作总量设为1)。
3. 利润问题:利润=售价-成本,利润率=利润/成本×100%。
4. 比例问题:根据题目中的比例关系列方程(如浓度配比、零件分配等)。
型
习
练
题
分式方程的定义
1.下列关于x的方程中,不是分式方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题考查分式方程的判断,熟练掌握分式方程的概念是解题的关键.
根据分母含有未知数的方程是分式方程,依次对各选项进行分析判断.
【详解】解:A、是分式方程,故本选项不符合题意;
B、不是分式方程,故本选项符合题意;
C、是分式方程,故本选项不符合题意;
D、是分式方程,故本选项不符合题意;
故选:B
2.下列方程是分式方程的是( )
A. B.
C. D.关于的方程
【答案】B
【分析】本题考查了分式方程的定义,熟练掌握分式方程的定义是解题的关键;
根据分式方程的定义逐项判断即可.
【详解】A、是一元一次方程,不是分式方程,故本选项不符合题意;
B、是分式方程,故本选项符合题意;
C、的分母含未知数,但不是整式,不是分式方程,故本选项不符合题意;
D、关于的方程分母不含未知数,不是分式方程,故本选项不符合题意;
故选:B.
3.在下列方程中,关于的分式方程的个数有( )
①;②;③;④;⑤;⑥.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的定义.判断一个方程是否为分式方程,主要是依据分式方程的定义,也就是看分母中是否含有未知数(注意:仅仅是字母不行,必须是表示未知数的字母).根据分式方程的定义:分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断.
【详解】解:①、⑤不是等式,故不符合题意;
②,⑥,是数字不是未知数,是一元一次方程,故不符合题意;
③,④是分式方程,故符合题意;
故选:A.
4.下列方程是分式方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查分式方程的定义,熟练掌握其定义是解题的关键.分母中含有未知数的方程叫做分式方程,据此进行判断即可.
【详解】解:A.选项中的方程,分母不含未知数,不符合题意,
B.选项中的方程,分母不含未知数,不符合题意,
C.选项中的方程符合分式方程的定义,符合题意,
D.选项是代数式,不是等式,不符合题意,
故选:C.
5.下列各式中是关于x的分式方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题考查的是分式方程的定义,分式方程的定义:①形如的式子;②其中,均为整式,且中含有字母.根据分式方程的定义,即可得出答案.
【详解】解:A. ,B. ,C. 都是整式方程,故不符合题意;
D. 是分式方程,故该选项正确,符合题意;
故选:D.
根据分式方程解得情况求值
6.若关于的方程的解是1,则的值为( )
A.1 B. C.2 D.
【答案】B
【分析】本题考查分式方程的解,准确的计算是解决本题的关键.
将方程的解代入原方程,求解m的值.
【详解】解:∵是方程的解,
∴
,
,
解得.
故m的值为,
故选B.
7.已知关于的分式方程的解为,则的值为( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次方程等知识点,掌握分式方程的解是使分式方程成立的未知数的值是解题的关键.
将代入得到关于a的方程求解即可.
【详解】解:将代入可得:,
解得:.
故选:A.
8.关于的方程的解为,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题考查了分式方程的解和解分式方程,因为方程的解为,可得关于的分式方程,解方程可得:,经检验可知是分式方程的解,所以的值为.
【详解】解:方程的解为,
,
去分母得:,
解得:,
检验:当时,,
的值为.
故选:B.
9.若是方程的根,则m的值为( ).
A.1 B. C.3 D.
【答案】B
【分析】本题考查了分式方程的解,熟练掌握分式方程的解的定义是解题关键.将代入分式方程,解方程即可得.
【详解】解:∵是方程的根,
∴,
解得,
故选:B.
10.已知关于的分式方程的解是,则的值为( )
A.2 B.1 C. D.
【答案】C
【分析】本题考查了方程的解的定义,解一元一次方程,解题关键是把求未知系数的问题转化为方程求解的问题.把解代入分式方程转化为关于的一元一次方程求解即可,同时注意分式方程分母不为零的条件.
【详解】解:将代入方程,得:
整理,得:,解得:,
检验:当时,分母,
故.
故选:C.
列分式方程
11.《鹊华秋色图》是画家赵孟的作品,如图是它的局部画面,装裱前是一个长为,宽为的矩形,装裱后,整幅图画宽与长的比是,且四周边框的宽度相等,则边框的宽度应是多少?设边框的宽度为,下列符合题意的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】本题考查了列分式方程,根据装裱前是一个长为,宽为的矩形,装裱后,整幅图画宽与长的比是,以及设边框的宽度为,列式得,即可作答.
【详解】解:∵装裱前是一个长为,宽为的矩形,装裱后,整幅图画宽与长的比是,以及设边框的宽度为,
∴,
故选:D.
12.某生态示范园计划种植一批梨树,原计划总产量30万千克,为了满足市场需求.现决定改良梨树品种,改良后平均每亩产量是原来的1.5倍,总产量比原计划增加了6万千克,种植亩数减少了10亩,则原来平均每亩产量是多少万千克?设原来平均每亩产量为万千克,根据题意,列方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】本题考查分式方程的应用,关键抓住亩数减少的等量关系列方程.
根据题意,改良后总产量为万千克,原计划种植亩数为,改良后种植亩数为,亩数减少10亩,故得方程.
【详解】解:设原来平均每亩产量为x万千克,则改良后平均每亩产量为万千克.
∵原计划总产量30万千克,
∴原计划种植亩数为亩;
∵改良后总产量增加6万千克,
∴改良后总产量为36万千克,
∴改良后种植亩数为亩;
∵种植亩数减少了10亩,
∴.
故选:B.
13.体育长跑测试,小红跑完800米和小明跑完1000米恰好用时相等,已知小红比小明每分钟少跑50米,若设小红每分钟跑x米,则根据题意下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查分式方程的实际应用.根据小红和小明用时相等的条件,利用速度与时间的关系列出方程.
【详解】解:设小红每分钟跑米,则小明每分钟跑米,
∵ 小红跑800米用时为,小明跑1000米用时为,且用时相等,
∴ ,
故选:C.
14.为缓解城市地面交通压力,提高人们出行的效率,某地准备扩建一条地铁路线,现要对沿线的地下管道进行改迁,为尽量减少施工对周边居民生活造成的影响,实际施工时,每天比原计划多改迁,结果提前10天完成改迁任务.设实际每天改迁管道,则可列方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】本题考查根据实际问题列分式方程,根据实际比原计划每天多改迁,提前10天完成,列出原计划天数与实际天数的差为10的方程.
【详解】解:设实际每天改迁管道,
由题意,得.
故选:A.
15.甲、乙二人做某种机械零件,已知甲每小时比乙少做10个,甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等,设乙每小时做x个零件,下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查根据实际问题列分式方程,根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等,列出方程即可.
【详解】解:设乙每小时做x个零件,则甲每小时做个零件,由题意,得;
故选C.
分式方程与实际问题
16.小明乘出租车去体育场,有两条路线可供选择:路线一的全程是20千米,但交通比较拥堵;路线二的全程是27千米,平均车速比走路线一的平均车速能提高,因此比走路线一少用10分钟到达.求路线一的平均车速.
【答案】千米/小时
【分析】本题考查了分式方程的应用,根据路线二的全程是27千米,平均车速比走路线一的平均车速能提高,得路线二的平均车速为千米/小时,又因为路线二比走路线一少用10分钟到达,进行列式计算,即可作答.
【详解】解:设路线一的平均车速为千米/小时,
则路线二的平均车速为千米/小时,
依题意,,
∴,
∴,
解得,
经检验:当时,,
故是原分式方程的解.
∴路线一的平均车速是千米/小时
17.在改进生产工艺后,某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产480台机器所需时间与原计划生产330台机器所需时间相同,则现在平均每天生产多少台机器?
【答案】现在平均每天生产160台机器
【分析】本题考查分式方程的实际应用,设现在平均每天生产台机器,根据现在生产480台机器所需时间与原计划生产330台机器所需时间相同,列出分式方程进行求解即可.
【详解】解:设现在平均每天生产台机器,由题意,得:
,
解得;
经检验,是原方程的解,且符合题意;
答:现在平均每天生产160台机器.
18.为培养学生的动手能力,某校组织开展了手工制作比赛,甲、乙两名同学同时参加手工纸花制作比赛,已知甲每小时比乙每小时少制作20朵,甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同,求乙每小时制作多少朵纸花?
【答案】乙每小时制作80朵纸花
【分析】本题主要考查了,列分式方程解应用题,解题关键点:找出相等关系,列方程.设乙每小时制作x朵纸花,则甲每小时制作朵纸花,根据“甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同”得:,解分式方程可得.
【详解】解:设乙每小时制作x朵纸花,依题意得:
,
解得:,
经检验,是原方程的解,且符合题意.
答:乙每小时制作80朵纸花.
19.新冠疫情期间戴口罩是有效减少人和人传播的一种方式.为了防控疫情的需要,我国自主研发高速口罩生产设备.某工厂现在一台机器日产口罩量比原来日产口罩量多100万片,现在生产30000万片所用的时间与原来生产10000万片的时间相同,求原来一台机器日产口罩多少万片?
【答案】50万片
【分析】本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.
设原来一台机器日产口罩x万片,根据题意列出分式方程求解即可.
【详解】解:设原来一台机器日产口罩x万片,
根据题意,得
解得
经检验:原分式方程的解.
答:原来一台机器日产口罩50万片.
20.七(3)班开展“诵读经典,点亮人生”读书活动,小智和小慧读了同一本480页的名著.根据下面两个人的对话,求小慧每天读这本名著的页数.
小智:我每天读的页数是你每天读的页数的倍.
小慧:我读完这本书比你多用了4天.
【答案】小慧每天读这本名著20页
【分析】本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确建立方程是解题关键.设小慧每天读这本名著页,则小智每天读这本名著页,根据小慧读完这本书比小智多用了4天列方程,解方程求出的值,再进行检验即可得.
【详解】解:设小慧每天读这本名著页,则小智每天读这本名著页,
由题意得:,
解得,
经检验,是所列分式方程的解,
答:小慧每天读这本名著20页.
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