13.3 分式方程（基础篇） 讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）数学七年级上册

本讲义聚焦分式方程核心知识点，系统梳理分式方程的概念（定义及与整式方程的区别）、解法（去分母化整式、求解、检验三步）、应用题步骤（审题至作答六环节）及行程等四类常见等量关系，形成从基础到应用的完整知识链，含思维导图辅助梳理，为中等生构建从概念理解到实际应用的学习支架。 资料特色为分层提分与素养融合，针对30-70分学生设计，练习题从定义辨析到实际应用逐步进阶。应用题结合《鹊华秋色图》装裱、口罩生产等真实情境，培养用数学眼光观察现实世界的能力。解法强调检验步骤渗透推理意识，规范列方程步骤引导用数学语言表达问题。课中助教师分层教学，课后供学生针对性练习，有效弥补知识盲点。

13.3分式方程 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 分式方程的概念 1. 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 与整式方程的区别：整式方程的分母中不含有未知数，而分式方程的分母中必须含有未知数。 分式方程的解法 1. 去分母化整式方程 · 在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，约去分母，将分式方程转化为整式方程。 · 注意：最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积，若分母为多项式，需先因式分解。 2. 解整式方程 · 按照整式方程（如一元一次方程）的解法求出未知数的值。 3. 检验 · 把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则是原分式方程的解；若最简公分母的值为0，则是增根，原分式方程无解。 · 强调：解分式方程必须检验，增根是使分母为0的未知数的值，不是原方程的解。 列分式方程解应用题的步骤 1. 审题：理解题意，找出题目中的等量关系。 2. 设未知数：根据题意设出适当的未知数（一般求什么设什么）。 3. 列方程：根据等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，列出分式方程。 4. 解方程：按照分式方程的解法求出未知数的值。 5. 检验： · 检验所求的解是否为原分式方程的解； · 检验解是否符合实际问题的意义（如人数、长度等不能为负数或分数）。 6. 作答：写出答案，回答问题。 常见等量关系类型 1. 行程问题：路程=速度×时间（如相遇、追及、行船问题等，注意顺水/逆水速度与静水速度、水流速度的关系）。 2. 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间（常将工作总量设为1）。 3. 利润问题：利润=售价-成本，利润率=利润/成本×100%。 4. 比例问题：根据题目中的比例关系列方程（如浓度配比、零件分配等）。 型 习 练 题 分式方程的定义 1．下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D．关于的方程 3．在下列方程中，关于的分式方程的个数有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各式中是关于x的分式方程的是（    ） A． B． C． D． 根据分式方程解得情况求值 6．若关于的方程的解是1，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 7．已知关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 8．关于的方程的解为，则的值是（   ） A． B． C． D． 9．若是方程的根，则m的值为（    ）． A．1 B． C．3 D． 10．已知关于的分式方程的解是，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 列分式方程 11．《鹊华秋色图》是画家赵孟的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，下列符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 12．某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求．现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 13．体育长跑测试，小红跑完800米和小明跑完1000米恰好用时相等，已知小红比小明每分钟少跑50米，若设小红每分钟跑x米，则根据题意下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 14．为缓解城市地面交通压力，提高人们出行的效率，某地准备扩建一条地铁路线，现要对沿线的地下管道进行改迁，为尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天比原计划多改迁，结果提前10天完成改迁任务．设实际每天改迁管道，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 15．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做10个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设乙每小时做x个零件，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 分式方程与实际问题 16．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．求路线一的平均车速． 17．在改进生产工艺后，某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产480台机器所需时间与原计划生产330台机器所需时间相同，则现在平均每天生产多少台机器？ 18．为培养学生的动手能力，某校组织开展了手工制作比赛，甲、乙两名同学同时参加手工纸花制作比赛，已知甲每小时比乙每小时少制作20朵，甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同，求乙每小时制作多少朵纸花？ 19．新冠疫情期间戴口罩是有效减少人和人传播的一种方式．为了防控疫情的需要，我国自主研发高速口罩生产设备．某工厂现在一台机器日产口罩量比原来日产口罩量多100万片，现在生产30000万片所用的时间与原来生产10000万片的时间相同，求原来一台机器日产口罩多少万片？ 20．七（3）班开展“诵读经典，点亮人生”读书活动，小智和小慧读了同一本480页的名著．根据下面两个人的对话，求小慧每天读这本名著的页数． 小智：我每天读的页数是你每天读的页数的倍． 小慧：我读完这本书比你多用了4天． 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3分式方程 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 分式方程的概念 1. 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 与整式方程的区别：整式方程的分母中不含有未知数，而分式方程的分母中必须含有未知数。 分式方程的解法 1. 去分母化整式方程 · 在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，约去分母，将分式方程转化为整式方程。 · 注意：最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积，若分母为多项式，需先因式分解。 2. 解整式方程 · 按照整式方程（如一元一次方程）的解法求出未知数的值。 3. 检验 · 把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则是原分式方程的解；若最简公分母的值为0，则是增根，原分式方程无解。 · 强调：解分式方程必须检验，增根是使分母为0的未知数的值，不是原方程的解。 列分式方程解应用题的步骤 1. 审题：理解题意，找出题目中的等量关系。 2. 设未知数：根据题意设出适当的未知数（一般求什么设什么）。 3. 列方程：根据等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，列出分式方程。 4. 解方程：按照分式方程的解法求出未知数的值。 5. 检验： · 检验所求的解是否为原分式方程的解； · 检验解是否符合实际问题的意义（如人数、长度等不能为负数或分数）。 6. 作答：写出答案，回答问题。 常见等量关系类型 1. 行程问题：路程=速度×时间（如相遇、追及、行船问题等，注意顺水/逆水速度与静水速度、水流速度的关系）。 2. 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间（常将工作总量设为1）。 3. 利润问题：利润=售价-成本，利润率=利润/成本×100%。 4. 比例问题：根据题目中的比例关系列方程（如浓度配比、零件分配等）。 型 习 练 题 分式方程的定义 1．下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念是解题的关键． 根据分母含有未知数的方程是分式方程，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意； B、不是分式方程，故本选项符合题意； C、是分式方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D．关于的方程 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键； 根据分式方程的定义逐项判断即可． 【详解】A、是一元一次方程，不是分式方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，故本选项符合题意； C、的分母含未知数，但不是整式，不是分式方程，故本选项不符合题意； D、关于的方程分母不含未知数，不是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．在下列方程中，关于的分式方程的个数有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：①、⑤不是等式，故不符合题意； ②，⑥，是数字不是未知数，是一元一次方程，故不符合题意； ③，④是分式方程，故符合题意； 故选：A． 4．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．选项中的方程，分母不含未知数，不符合题意， B．选项中的方程，分母不含未知数，不符合题意， C．选项中的方程符合分式方程的定义，符合题意， D．选项是代数式，不是等式，不符合题意， 故选：C． 5．下列各式中是关于x的分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的定义，分式方程的定义：①形如的式子；②其中，均为整式，且中含有字母.根据分式方程的定义，即可得出答案. 【详解】解：A. ，B. ，C. 都是整式方程，故不符合题意； D. 是分式方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 根据分式方程解得情况求值 6．若关于的方程的解是1，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的解，准确的计算是解决本题的关键． 将方程的解代入原方程，求解m的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ ， ， 解得． 故m的值为， 故选B． 7．已知关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握分式方程的解是使分式方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：将代入可得：， 解得：． 故选：A． 8．关于的方程的解为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解和解分式方程，因为方程的解为，可得关于的分式方程，解方程可得：，经检验可知是分式方程的解，所以的值为． 【详解】解：方程的解为， ， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 的值为． 故选：B． 9．若是方程的根，则m的值为（    ）． A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解题关键．将代入分式方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 解得， 故选：B． 10．已知关于的分式方程的解是，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解的定义，解一元一次方程，解题关键是把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．把解代入分式方程转化为关于的一元一次方程求解即可，同时注意分式方程分母不为零的条件． 【详解】解：将代入方程，得： 整理，得：，解得：， 检验：当时，分母， 故． 故选：C． 列分式方程 11．《鹊华秋色图》是画家赵孟的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，下列符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列分式方程，根据装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，以及设边框的宽度为，列式得，即可作答． 【详解】解：∵装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，以及设边框的宽度为， ∴， 故选：D． 12．某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求．现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，关键抓住亩数减少的等量关系列方程． 根据题意，改良后总产量为万千克，原计划种植亩数为，改良后种植亩数为，亩数减少10亩，故得方程． 【详解】解：设原来平均每亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为万千克． ∵原计划总产量30万千克， ∴原计划种植亩数为亩； ∵改良后总产量增加6万千克， ∴改良后总产量为36万千克， ∴改良后种植亩数为亩； ∵种植亩数减少了10亩， ∴． 故选：B． 13．体育长跑测试，小红跑完800米和小明跑完1000米恰好用时相等，已知小红比小明每分钟少跑50米，若设小红每分钟跑x米，则根据题意下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的实际应用．根据小红和小明用时相等的条件，利用速度与时间的关系列出方程． 【详解】解：设小红每分钟跑米，则小明每分钟跑米， ∵ 小红跑800米用时为，小明跑1000米用时为，且用时相等， ∴ ， 故选：C． 14．为缓解城市地面交通压力，提高人们出行的效率，某地准备扩建一条地铁路线，现要对沿线的地下管道进行改迁，为尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天比原计划多改迁，结果提前10天完成改迁任务．设实际每天改迁管道，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据实际比原计划每天多改迁，提前10天完成，列出原计划天数与实际天数的差为10的方程． 【详解】解：设实际每天改迁管道， 由题意，得． 故选：A． 15．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做10个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设乙每小时做x个零件，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，列出方程即可． 【详解】解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做个零件，由题意，得； 故选C． 分式方程与实际问题 16．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．求路线一的平均车速． 【答案】千米/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，得路线二的平均车速为千米/小时，又因为路线二比走路线一少用10分钟到达，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设路线一的平均车速为千米/小时， 则路线二的平均车速为千米/小时， 依题意，， ∴， ∴， 解得， 经检验：当时，， 故是原分式方程的解． ∴路线一的平均车速是千米/小时 17．在改进生产工艺后，某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产480台机器所需时间与原计划生产330台机器所需时间相同，则现在平均每天生产多少台机器？ 【答案】现在平均每天生产160台机器 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设现在平均每天生产台机器，根据现在生产480台机器所需时间与原计划生产330台机器所需时间相同，列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：设现在平均每天生产台机器，由题意，得： ， 解得； 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：现在平均每天生产160台机器． 18．为培养学生的动手能力，某校组织开展了手工制作比赛，甲、乙两名同学同时参加手工纸花制作比赛，已知甲每小时比乙每小时少制作20朵，甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同，求乙每小时制作多少朵纸花？ 【答案】乙每小时制作80朵纸花 【分析】本题主要考查了，列分式方程解应用题，解题关键点：找出相等关系，列方程．设乙每小时制作x朵纸花，则甲每小时制作朵纸花，根据“甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同”得：，解分式方程可得. 【详解】解：设乙每小时制作x朵纸花，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：乙每小时制作80朵纸花． 19．新冠疫情期间戴口罩是有效减少人和人传播的一种方式．为了防控疫情的需要，我国自主研发高速口罩生产设备．某工厂现在一台机器日产口罩量比原来日产口罩量多100万片，现在生产30000万片所用的时间与原来生产10000万片的时间相同，求原来一台机器日产口罩多少万片？ 【答案】50万片 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设原来一台机器日产口罩x万片，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设原来一台机器日产口罩x万片， 根据题意，得 解得 经检验：原分式方程的解． 答：原来一台机器日产口罩50万片． 20．七（3）班开展“诵读经典，点亮人生”读书活动，小智和小慧读了同一本480页的名著．根据下面两个人的对话，求小慧每天读这本名著的页数． 小智：我每天读的页数是你每天读的页数的倍． 小慧：我读完这本书比你多用了4天． 【答案】小慧每天读这本名著20页 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设小慧每天读这本名著页，则小智每天读这本名著页，根据小慧读完这本书比小智多用了4天列方程，解方程求出的值，再进行检验即可得． 【详解】解：设小慧每天读这本名著页，则小智每天读这本名著页， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 答：小慧每天读这本名著20页． 学科网（北京）股份有限公司 $