山东省枣庄市薛城区2025-2026学年高二上学期期中数学试题

高二数学试题参考答案 2025.11 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1~8 CBCD ACDB 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.BC 10.AC 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.1413.214.√5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题共13分) 解：(1)连接ON,MN=ON-OM, =OA=d,2分 oN-0丽+丽-0丽+c-0丽+(oco丽)0co丽五+： 则=0N-o7=-a+五+2c 2 3 3 .6分 (2)由(1)可得N=-1a+1方+2 a+二b+ 23 3 =a2++42-1a-6-2ac+4c C+。bC,...8分 93 9 因为O-ABC是正四面体，OA=4,故a,b,c夹角均为60°， 所以a2=i=c2=16,a-b=ac=i-c=8, NP=1164076 12分 999 所以N=2 3 L,即MN的长为2 13分 3 第1页共8页 16.(本小题共15分) 解：(1)将ar+2y-a-2=0化为斜战式方程得y=-+a+2 2 2 因为直线1与直线m:2x-y=0垂直，所以-a×2=-1且a+2≠0，…2分 2 解得a=1; 直线1的斜截式方程为y=-x+3 22 …4分 (2)当直线1过坐标原点时，-a-2=0, 解得a=一2，此时直线1的方程为x-y=0,此时满足条件；.5分 当直线1不过坐标原点时，则a≠0且a≠-2， 故令x=0得y=a叶2，令y=0得x=a+2 2 a .7分 因为直线在x轴上截距是y轴上截距的2倍，所以a+2三 2×Q+2 …8分 a 2 解得a=1,此时直线1方程为x+2y-3=0. 综上，直线1的方程为X-y=0或x十2y-3=010分 (3)由ax+2y-a-2=0得a(x-1)+2(y-1)=0 令x-1=0,得2(y-1)=0,解得y=1, .直线1过定点P1,1).易知与l2过点 由(2)知，取1上一点(0，a+3), 则该点到！与1，的距离相等， 2 /0 a+ 2-110-2×a+2 +1 13分 5 整理得a+42a+2,解得a=2,或a=-2..15分 17.(本小题共15分) x+y-2=0mx=-1 解：(1)联立 y=2x+5，解得 =3,则圆心C(-1,3),2分 第2页共8页 因为圆C的半径为2，所以圆C的方程为(x+1)2+(y-3)2=4.4分 (2)当直线n的斜率不存在时， 此时直线n的方程为x=1,易知与圆C相切，符合题意；5分 当直线n的斜率存在时， 设直线n的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=O, 所以圆心C到直线n的距离为 -k-3-=2. 7分 Vk2+1 5 2(x-,即5x+12y-5=0. 解得k= 12 所以切线方程为y= 综上所述，所求圆C的切线方程为x=1或5x+12y-5=09分 (3)因为圆C的圆心在直线1：x+y-2=0上，故设圆心C为(a,-a+2), 则圆C的方程为(x-a}+[y-（-a+2)]=4, 10分 又因为OA=1,故OM=OA=1, 所以设M为(x,y),则x2+y2=1,设为圆D,圆心D(0,0),半径为1， 则点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有交点， 所以2-1≤Va+(-a+2≤2+， .12分 所以1≤2a2-4a+4≤9， 由1≤2a2-4a+4,解得a∈R, .13分 由2a-4a+4≤9，解得2-V 12+14 -≤≤ .14分 2 2 综上，a的取值范围为 2-142+V14 -≤a≤ 2 2 15分 18.(本小题共17分) 第3页共8页 9 1 a=2W5 M 解：(1根据题意得到 C- 2 ,解得b=2 a V3 a2=b2+c2 c=2W5 故椭圆C的方程为女+上 .4分 124 2因为-写G+-4名而，解得=2或m-2.6分 当m=2时，直线1的方程y=3x+2经过点43,1）不符合题意，舍去：7分 1 当m=-2时，y=-二x-2, 3 点P(O,2)到直线1的距离d= 6+6_610 5 9分 W10 放aPN的面积S-d-而6 =6;10分 5 (3)设M(x1,1),N(x22),直线1的方程为y= 3x+m, .1 y=- x+n 3 联立方程 ,y2 ，得4x2-6x+92-36=0,12分 (24=1 白A=(6mP-14(m-4到小0，得5<m<45 3 3 则x1+x2= 3m 9m2-36 2 13分 因为直线HM,HN均不与x轴垂直，所以x≠3，x2≠3，则m≠0且m≠2， 第4页共8页 尾k,当-1上1 〔写+m-+m-1 x-3x2-3 (:-3)(x-3) mssw-小 3m2-6-1, xx2-3(x+x2)+9 9m2-18m 3 故亿亿2为定值 .17分 19.(本小题共17分) 解：(1)法1：因为△ABC为正三角形，点E为BC中点， 所以AE⊥BC, …1分 因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以PA⊥BC,2分 因为PA∩AE=A,PA,AEC平面PAE, 所以BC⊥平面PAE, 因为AFC平面PAE,所以BC⊥AF,3分 因为AF⊥PE,BCOPE=E,BC,PEC平面PBC, 所以AF⊥平面PBC,4分 因为FCC平面PBC,所以AF L FC;.5分 法2：因为△ABC为正三角形，点E为BC中点，AB=2, 所以BE=EC=1,AE=√22-12=√5， 1分 因为PA⊥平面ABC,AEC平面ABC,所以PA⊥AE, 所以PE=VPA+AE2=1+(N5)2=2, 因为AF⊥PE, 所以AF=PAAE-1xV3_√5 .2分 PE 2 2 则EF=VAE2-AF2= 3 42 y3分 第5页共8页 因为△ABC为正三角形，点E为BC中点， 所以AE⊥BC, 因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以PA⊥BC, 因为PA∩AE=A,PA,AEC平面PAE, 所以BC⊥平面PAE, 因为EFC平面PAE,所以BC⊥EF, 所以RC=VBC+EF-+着2 +9-13 …4分 所以FC2+AP?=13+3 =4=AC2, 44 所以A℉⊥FC;.5分 (2)由(1)知AE⊥BC, 则以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中C,EA为x轴，y轴的正半轴， 限0.x.5.m.5.p.cu0小n29 6分 亚u0c-a-50aQ5} 7分 设平面PAC的法向量为=(x,y,z),则 mAP==0 令y=1,则法向量为 i:AC=x-√3y=0 m=(51,0),8分 设平面ACF的法向量为n=(a,b,c),则 B nAF=-5,3 -b+ =0 44 0，令c=1,则n=(3,5,1),…10分 i·AC=a-V3b=0 设平面PAC与平面ACF夹角为B, 第6页共8页 则cos0=eos(m列= 3W5+V5 2W39 m园√3+1x×V9+3+113 即平面PAC与平面ACF夹角的余弦值为 239 .12分 13 (3)法1：以BC的中点E'为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中EC,EA为x轴， y轴的正半轴，则P(0,√3,1)，A(0,√3,0)， 设E(t,0,0)(-1≤t≤1)，P℉=PE=(t,-V32,-) .F(t,V5-V5元，1-)， .F=(2t,-√3元1-2)，P匣=(t,-3,-1) .AF.PE=0.2f+4-1=0.= 1 2+4’14分 CF=(-)+(5-52+0-)2=2(t+4)-224+0+5=21 +5 t2+4 令-2t-7=x,x∈[-9，-5] 则CFP= 4x +5= 4 +5 x2+14x+65 x+65+14 16分 C℉P在x∈[-9，-√65]上单调递减，x∈[-√65，-5]上单调递增 当x65时.0F-3CFL-6顺-」 .17分 P 4 法2：设BC的中点为E,AF⊥PE,取PA中点T,过点T作平面PBC垂线，垂足为H, .PA⊥PF且F∈平面PBC, F点的轨迹为以PA为直径，即R=一的球与平面PBC的相交圆弧，14分 ● 由(1)可知，d,-平面Pc= d4-平面C=】 2 4 第7页共8页 相交圆半径 日 15分 .F点轨迹为在平面PBC中的以H为圆心， 为半径的圆弧， c。cm}eY wRY} .17分 B ® B 第8页共8页 试卷类型:A 高 二 数 学 2025.11 本试卷共 4页，满分为150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线过、两点，则该直线的斜率为 A． B． C． D． 2．已知椭圆，则椭圆的短轴长为 A． B． C．2 D．4 3．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为 A． B． C． D． 4．已知满足，则的值为 A． B． C． D． 5．在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为 A． B． C． D．与t有关 6．圆：与圆：的位置关系不可能为 A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 7．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为， ，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 8．在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满 足，在上满足，平面交于点，且，则的值为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．直线：与直线：平行，则实数可能为 A．1 B．2 C．3 D．4 10．下列说法正确的是 A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．已知三向量，，共面，则 D．若，则为钝角 11．棱长为1的正四面体ABCD的内切球球心为O，点P是该内切球球面上的动点，则以下说法正确的是 A．记直线AO与直线AB的夹角是α，则 B．记直线AO与平面ABC的夹角是β，则 C．记的最小值为n，则 D．记在上的投影向量为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．向量与共线，且方向相同，则 ___________． 13．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为___________． 14．在空间直角坐标系中，经过点且方向向量为的直线方程为，已知空间中一条直线方程为，则点到直线的距离为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题共13分） 如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设. （1）用表示； （2）求的长. 16．（本小题共15分） 已知直线的方程为(). （1）若直线与直线m：垂直，求直线的截距式方程； （2）若直线在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求直线的一般式方程; （3）已知两条直线，恰好关于直线l对称，求的值. 17．（本小题共15分） 已知为坐标原点，设圆的半径为2，圆心在直线：上. （1）若圆心也在直线：上，求圆的方程； （2）在（1）的条件下，求过点的圆的切线的方程 （3）若圆上存在点，使得，求圆心的横坐标的取值范围. 18．（本小题共17分） 已知椭圆：过点，离心率为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且，均不与轴垂直． （1）求椭圆的方程； （2）若，为椭圆的上顶点，求的面积； （3）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 19．（本小题共17分） 如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，点为线段BC上的动点，. （1）若点为BC中点，证明：； （2）在（1）的条件下，求平面PAC与平面ACF夹角的余弦值； （3）求线段长的最小值. 高二数学试题第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学试题参考答案 2025.11 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1~8 CBCD ACDB 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.BC 10.AC 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.1413.214.V5 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题共13分) 解：(1)连接ON,M=ON-OM OM=104-1a, 2分 oN=0丽+m=-0丽+号c=0丽+ac-0丽-c+丽-6+. 则mN=om-0M=-a+6+2 2 33…….6分 m=-a++2 C (2)由(1)可得 2”33, 3 B 3 3 9 ,….8分 第1页共10页 因为0-ABC是正四面体，0A=4,故a,b,C夹角均为60°， 所以a=万=c=16,a.b=ac=b.c=8 MP=116_4076 ）99,12分 所以 MN 2V19 2V19 3,即MW的长为3 13分 16.(本小题共15分) 解：①将+2y=4-2=0化为斜截式方程得P22x+Q+2 2 ≠0 因为直线1与直线m:2x-y=0垂直，所以2 a×2--1a+2」 且2 ，.2分 解得a=1; 直线，的斜截式方程为y=x+3 2 ☑ .4分 (2)当直线过坐标原点时，-a-2=0 解得a=2 -y=0 ,此时直线的方程为 ，此时满足条件： .5分 当直线l不过坐标原点时，则a≠0且a≠-2， .a+2 政令0生2,0用。。酚 a+2=2×a+2 因为直线在x轴上截距是y轴上截距的2倍，所以 2,.8分 第2页共10页 解得0=1，此时直线方程为+2y-3=0 综上，直线的方程 为-y=0或x+2y-3=0 10分 (3)由ax+2y-a-2=0得ax-1+2(y-1)=0 令x-1=0,得2(y-1)=0,解得y=1, :直线1过定点P1,.易知4与过点 由2)知取，上一点0宁子)，则该点到，与2的距离相等， /0a+2-1110三2×4+2 2 -+1 13分 5 5 整理得0+42a+2,解得a=2,或a=-2.15分 17.(本小题共15分) x+y-2=0 x=-1 解：(1)联立 y=2x+5，解得 y=3，则圆心C(-1,3),2分 因为圆C的半径为2，所以圆C的方程为x+1°+(y-3)2=4 .4分 (2)当直线n的斜率不存在时， 此时直线n的方程为X=1,易知与圆C相切，符合题意；5分 当直线n的斜率存在时， 设直线n的方程为y=k(x-1),即kc-y-k=0, -k-3- 所以圆心到直线的距离为 -2 Vk2+1 7分 第3页共10页 解得K二、 ，所以切线方是为y=3x-,即5x+12y-5=0 综上所述，所求圆C的切线方程为x=1或5.x+12y-5=09分 (3)因为圆C的圆心在直线1：x+y-2=0上，故设圆心C为a,-a+2), 则圆c的方程为(x-a+[y-(-a+2)]=4, 10分 又因为OA=1,故OM=OA=1, 所以设M为x,),，则x2+y2=1,设为圆D,圆心D(0,0),半径为1， 则点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有交点， 所以2-1≤Va2+(-a+2)≤2+1， 444…2分 所以1≤2a2-4a+4≤9， 由1≤2a2-4a+4,解得a∈R, 13分 -V142+V14 2a2-4a+4≤9'解得 ≤a≤ .14分 2 2 -V142+V14 综上，的取值范围为 15分 0 2 18.(本小题共17分) 第4页共10页 6 =1 M 解：(1根据题意得到 a-V3 ,解得 a=23, a2=b2+c2 b=2 c=2W2 x2,y2 =1 故椭圆C的方程为124 ,4分 阳为n-)+无-而，网=2成m-26分 当m=2时，直线1的方程3x×) r十2经过点A3,山，不符合题意，舍去：7分 当m=-2时，y= x-2 3 点P0,2)封直线所背d=6+60 √10 5 9分 故oPN的重积Sd=060 5 .10分 1 3)设Mn）,N2,2）,直线1的方程为'=一亏 x+m y=- -x+m 联立方程 1x2.y2 1，得 ,.12分 124 4x2-6mx+9m2-36=0 第5页共10页 45m<4 由△=(6m)2-144m2-4>0,得 3, 3m 9m2-36 则￥+=2， xX2= 4 13分 因为直线M,HW均不与轴垂直，所以西≠3，名≠3，则m≠0且m≠2， x,-3x2-3 (x-3(x2-3) -m*m护-6m 1 xx2-3(x+x2)+9 9m2-18m3’ 做2为定值7分 19.(本小题共17分) △ABC E 解：(1)法1：因为 为正三角形，点为BC中点， 所以AE⊥BC, 1分 PA上平面 ABC BCC平面 ABC PA⊥BC 因 ，所以 2分 因为 PAO4E=A,PA,AEC平面PAE 所以BC⊥平面PAE, 因为MFC平面P1E,所以A ,BC⊥AF .3分 因为AF⊥PE,BC∩PE=E,BC,PEC平面PBC, 所以AF⊥平面PBC，,… .4分 第6页共10页 F⊥FC 因为 Cc平面PBC,所以 .5分 △ABC E AB=2 法2：因为 为正三角形，点为BC中点， 所以BE=EC=1,AE=V22-IP=V5 1分 因为PA⊥平面ABC,AEc平面ABC,所以PA⊥AE, 所以PE=VPAP+AE2=V2+(W5)2=2, 因为AF⊥PE, 所以=P4E-1x55 PE 2 2…2分 FAEP5-子，3 △ABC E 因为 为正三角形，点为BC中点， 所以AE⊥BC, 因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以PA⊥BC, 因为 A04E=-A,PA,AEC平面PME, 所以BC⊥平面PAE, 因为EFC平面PAE,所以BC⊥EF, 1,9V13 所以FC=√EC2+EF2=+42,…4分 两PC2+Ar-+4=AC 44 第7页共10页 AF⊥FC 所以 .5分 (2)由(1)知AE⊥BC, 则以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中EC,EA为x轴，'轴的正半轴， 333 则E0.0,0.Po5,40,v5,0.cLo.0,F0,44 6分 -aac=oE-09》 7分 设平面PAC的法向量为m=(化，少2)，则 ZA m·AP=z=0 mAC=x-5y=0'令 =1'则法向量为 m=(5,1,0) E …8分 设平面 ACF 的法向量为”=a0,则 nF=-5,3 °b+二c=0 4 4 ,令，则 10分 i.AC=a-3b=0 c=1 n=(3,3,0 设平面PAC与平面ACF夹角为B, 则cos9-os元，训-号 3W3+V5 239 V3+1×W9+3+1 13, 2V39 即平面PAC与平面ACF夹角的余弦值为13；.12分 (3)法1：以BC的中点E'为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其 EC,EA为X 第8页共10页 轴，'轴的正半轴，则P(0,V3,),4(0,V5,0) 设Et0,0-1≤1≤)，PF=元PE=(t,-V52,-) .F(2t,V3-V32,1-2) .AF=(,-V3,1-2),PE=(t,-3,-1) AF-P呢=0+4-=0元=+4,4分 CF=(0-+(5-33+1-2=元2(t+4到-24+0+5=-2-7+5 t2+4 令21-7=xx∈[-9，- 1CFP=。 4x 4 —+5 x2+14x+65 65 则 x+- 2+14 16分 CF在x∈-9，-V6]上单调递诚，x∈-V65,-5]上单调递增 当x:V后时.1FE。38C-5- 8 4 .17分 法2：设BC的中点为E,MF⊥PE,取PH中点T,过点T作平面PBC垂线，垂是为 H, .PA⊥PF且F∈平面PBC, 1 R= ∴.F点的轨迹为以PA为直径，即2的球与平面PBC的相交圆弧，14分 第9页共10页 由（1)可知，4，-平面Pc=4 4平面PaC-V5 2 4, 相交圆半径 ..15分 :F点轨迹为在平面PBC中的以H为圆心，4为半径的圆弧， c=cm-c旷+1E可- 4 17分 P B e B 第10页共10页