专题6.4 点、线、面、体（高效培优讲义）数学人教版2024七年级上册

本初中数学讲义聚焦“点、线、面、体”核心知识点，系统梳理体交成面、面交成线、线交成点的静态关系及点动成线、线动成面、面动成体的动态转化，构建平面图形旋转形成几何体的认知框架，为立体几何学习提供基础支架。 资料以生活实例为载体，通过毛笔写字（点动成线）、折扇打开（线动成面）等情境培养几何直观与空间观念，典例与变式题结合发展推理意识，助力教师课堂实例教学，课后练习题覆盖判断与计算，帮助学生查漏补缺，强化用数学语言解释现实的能力。

专题6.4 点、线、面、体 教学目标 1. 掌握点、线、面、体以及他们之间的关系，并能快速的判断生活中的一些现象属于他们之间的什么关系。 2. 判断由平面图形旋转得到的几何体并能够进行简单的计算。 教学重难点 1. 重点 （1）点、线、面、体的认识； （2）由平面图形得到几何体。 2. 难点 （1）判断生活现象的数学原理； （2）关于几何体的简单计算。 知识点01 点、线、面、体 1. 点、线、面、体之间的关系： 体与体相交成 面 ，面与面相交成 线 ，线与线相交成 点 。或点动成 线 ，线动成 面 ，面动成 体 。面可以经过 移动 或 旋转 成为体。点、线、面、体组成几何图形。 【即学即练1】 1．在飘着墨香的书院门，书法家写毛笔字时，笔尖（可看作一个点）在纸上移动形成笔画．这一现象符合哪一个数学原理？（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 【答案】A 【解答】解：将“笔尖”看作一个点，笔尖在纸上移动形成笔画，体现的数学原理是点动成线． 故选：A． 【即学即练2】 2．中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称．如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【解答】解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为线动成面． 故选：B． 【即学即练3】 3．几何图形都是由点、线、面、体组成，点动成线，线动成面，面动成体．下列生活现象中，可以反映“面动成体”的是（　　） A．粉笔写字 B．流星划过夜空 C．硬币在桌上旋转 D．汽车雨刷转动 【答案】C 【解答】解：A、粉笔写字是“点动成线”，故本选项不合题意； B、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项符合题意； C、硬币在桌上旋转是“面动成体”，故本选项符合题意； D、汽车雨刷转动是“线动成面”，故本选项不合题意． 故选：C． 知识点02 由平面图形得到立体图形 1. 平面图形旋转而成立体： 平面图形不仅可以通过 平移 得到几何体，还可以通过 旋转 得到几何体。在旋转平面图形时，旋转轴不同则得到的几何体也不同。 【即学即练1】 4．（1）圆形硬币绕它的直径所在直线旋转，形成一个 　球　 体，用数学知识可解释为“面动成体”． （2）如图，找出给定三角形绕直线旋转一周后形成的对应几何体．并把它们用线连接． 【答案】（1）球； （2）见解析． 【解答】解：（1）圆形硬币绕它的直径所在直线旋转，形成一个球体，用数学知识可解释为“面动成体”； 故答案为：球； （2）如图： 题型01 判断生活现象的数学原理 【典例1】2024年“嫦娥号”飞船从月球返回地球时，卫星遥感记录了整个返回过程，那么卫星返回时留下的轨迹体现的数学原理是（　　） A．线动成面 B．面动成体 C．点动成线 D．以上都不对 【答案】C 【解答】解：2024年“嫦娥号”飞船从月球返回地球时，卫星遥感记录了整个返回过程，那么卫星返回时留下的轨迹体现的数学原理是点动成线， 故选：C． 【变式1】画卷即为卷轴形的画，如图是一幅画卷展开的过程，这个过程体现的数学原理是 　线动成面　 ． 【答案】线动成面． 【解答】解：画卷即为卷轴形的画，如图是一幅画卷展开的过程，这个过程体现的数学原理是线动成面． 故答案为：线动成面． 【变式2】如图，你见过一种折叠灯笼吗？它折叠起来是一张圆形的纸，打开后就变成了美丽的灯笼，这个过程可近似地用　面动成体　 的数学原理来解释． 【答案】解：由平面图形变成立体图形的过程是面动成体． 故答案为：面动成体． 【解答】由平面图形变成立体图形的过程是面动成体，由此解答即可． 题型02 判断几何体的点、线、面 【典例1】一个棱柱有10个面，那么它有 　16　 个顶点，有 　24　 条棱． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵一个棱柱有10个面， ∴这个棱柱为八棱柱， ∴它有 16个顶点，有 24条棱． 故答案为：16，24． 【变式1】如图中的几何体由　9　 个面　16　 条棱　9　 个顶点组成． 【答案】9，16，9． 【解答】解：图中的几何体由9个面，16条棱，9个顶点组成． 故答案为：9，16，9． 【变式2】一个棱柱共有20个顶点，设这个棱柱共有m个面，共有n条棱，则n﹣m＝　18　 ． 【答案】18． 【解答】解：根据题意得此棱柱为十棱柱， ∴这个棱柱共有12个面，共有30条棱，即m＝12，n＝30， ∴n﹣m＝30﹣12＝18， 故答案为：18． 【变式3】如图所示是一个六棱柱，它的底面边长是4cm，高是6cm． （1）这个棱柱共有多少条棱？所有的棱长的和是多少？ （2）这个棱柱共有多少个顶点？ 【答案】（1）这个棱柱共有18条棱，所有的棱长的和是84cm； （2）这个棱柱共有12个顶点． 【解答】解：（1）这个棱柱共有6+6+6＝18条棱； 所有的棱长的和是12×4+6×6＝48+36＝84（cm）； 答：这个棱柱共有18条棱，所有的棱长的和是84cm； （2）由题意得这个棱柱共有12个顶点； 答：这个棱柱共有12个顶点． 【变式4】如图，一个正五棱柱的底面边长为2cm，高为4cm． （1）这个棱柱共有多少个面？计算它的侧面积； （2）这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？ （3）试用含有n的代数式表示n棱柱的顶点数、面数与棱的条数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）侧面有5个，底面有2个，共有5+2＝7个面； 侧面积：2×5×4＝40（cm2）． （2）顶点共10个，棱共有15条； （3）n棱柱的顶点数2n；面数n+2；棱的条数3n． 题型03 平面图形得到几何体的判断 【典例1】如图几何体是一个平面图形绕虚线l旋转一周得到的，则该旋转平面图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由图可知，只有D选项图形绕直线l旋转一周得到如图所示立体图形， 故选：D． 【变式1】下面的几何体是由哪个平面图形沿虚线旋转一周得到的（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由图可知，几何体是由A选项平面图形沿虚线旋转一周得到． 故选：A． 【变式2】如图所示的花瓶中，（　　）的表面，可以看作由所给的平面图形绕虚线旋转一周形成的． A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意，得 图形与B的图形相符， 故选：B． 【变式3】以AB为轴旋转一周后得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：以AB为轴旋转一周后得到的立体图形是C． 故选：C． 题型04 关于几何体的简单计算 【典例1】将下面的直角三角形绕4cm的边旋转一周（如图），可以得到一个立体图形，这个立体图形的体积是（　　）cm3． A．12.56 B．25.12 C．37.68 D．50.24 【答案】C 【解答】解：根据面动成体的原理可知直角三角形绕4cm的直角边为轴旋转一周，可以得到一个立体图形是圆锥， 这个圆锥的高是4cm，底面半径是3cm， ∴体积是37.68（cm3）， 故选：C． 【变式1】如图，甲是一个直角三角形，乙是一个长方形，如果将图绕MN旋转一周，经过的空间形成了立体图形，此时甲和乙形成的立体图形的体积之比是（　　） A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1 【答案】A 【解答】解：根据题意得：将图绕MN旋转一周，甲形成高为3的圆锥，乙形成高为3的圆柱， 设甲，乙重合的边长为d， 则甲和乙形成的立体图形的体积之比是πd2×3：πd2×3＝1：3． 故选：A． 【变式2】如图是一张长方形纸片，AB长为8cm，BC长为4cm． （1）若将此纸片绕它的一边所在直线旋转一周形成的几何体是　圆柱　 ． （2）若将这个长方形纸片分别绕AB边和BC边所在直线旋转一周，求形成的几何体的体积各为多少．（结果保留π） 【答案】（1）圆柱； （2）形成的几何体的体积分别为128πcm3和256πcm3． 【解答】解：（1）若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱， 故答案为：圆柱； （2）绕AB边所在直线旋转一周，圆柱的底面半径为4cm，高为8cm， 体积为：π×42×8＝128π（cm3）； 绕BC边所在直线旋转一周，圆柱的底面半径为8cm，高为4cm， 体积为：π×82×4＝256π（cm3）． 【变式3】如图，小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到甲、乙两个立体图形． （1）小红得到的立体图形可以看成是由 　圆柱　 和 　圆锥　 构成的，这个现象用数学知识解释为 　面动成体　 ． （2）你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由． 【答案】（1）圆柱，圆锥，面动成体； （2）小红的说法正确，理由见解析． 【解答】解：（1）小红得到的立体图形可以看成是由圆柱和圆锥构成的，这个现象用数学知识解释为面动成体； 故答案为：圆柱，圆锥，面动成体； （2）小红的说法正确， 理由：甲的体积：π×32×6π×32×（6﹣3）＝54π﹣9π＝45π（cm3）， 乙的体积：π×32×3π×32×（6﹣3）＝27π+9π＝36π（cm3）， ∴小红的说法正确． 1．下面现象说明“线动成面”的是（　　） A．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹 B．扔一块小石子，石子在空中飞行的路线 C．天空划过一道流星 D．汽车雨刷在挡风玻璃上面划出的痕迹 【答案】D 【解答】解：A、旋转一扇门，门在空中运动的痕迹是“面动成体”，故本选项错误； B、扔一块小石子，石子在空中飞行的路线是“点动成线”，故本选项错误； C、天空划过一道流星是“点动成线”，故本选项错误； D、汽车雨刷在挡风玻璃上面划出的痕迹是“线动成面”，故本选项正确． 故选：D． 2．朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了______，把雨看成______，说明______（　　） A．点；直线；点动成线 B．点；线；点动成线 C．线；面；线动成面 D．线；面；面动成体 【答案】B 【解答】解：朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明点动成线， 故选：B． 3．将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意可以得到的立体图形是圆台． 故选：B． 4．将下面四个平面图形绕着虚线旋转一周，能得到圆柱体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据面动成体逐项分析判断如下： A、平面图形绕着虚线旋转一周，能得到圆柱体，符合题意； B、平面图形绕着虚线旋转一周，不能得到圆柱体，不符合题意； C、平面图形绕着虚线旋转一周，不能得到圆柱体，不符合题意； D、平面图形绕着虚线旋转一周，不能得到圆柱体，不符合题意； 故选：A． 5．如图所示，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：把直角三角形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是圆柱体中间去掉等底等高的圆锥体． 故选：B． 6．学习了“点动成线，线动成面，面动成体”，下列说法不正确的是（　　） A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体 C．将直角三角形沿一边旋转一周一定会得到一个圆锥 D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 【答案】C 【解答】解：A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱，故不符合题意； B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体，故不符合题意； C．将直角三角形沿直角边旋转一周一定会得到一个圆锥，故符合题意； D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱，故不符合题意． 故选：C． 7．将如图中的直角三角形ABC以直角边AB所在的直线为轴旋转一周，求所得图形的体积，列式正确的是（　　） A．3.14×52×6 B．3.14×62×5 C． D． 【答案】C 【解答】解：根据题意可知：形成的是一个圆锥， 所以圆锥的体积为， 故选：C． 8．分别以直角梯形（如图所示）的下底和上底为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个立体图形．则A，B两个立体图形的体积之比是（　　） A．1：1 B．1：2 C．4：5 D．5：4 【答案】C 【解答】解：几何体A的体积为π×22×2π×22×（4﹣2）＝8π， 几何体B的体积为π×22×4π×22×（4﹣2）＝16π， 所以几何体A与几何体B的体积比为4：5． 故选：C． 9．已知一个长方形的长、宽分别是4cm、3cm，若以这个长方形的一条边为轴旋转一周，则形成的立体图形的体积是（　　） A．36πcm3 B．24πcm3 C．24πcm3或48πcm3 D．36πcm3或48πcm3 【答案】D 【解答】解：绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×32×4＝36π（cm3）， 绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积：π×42×3＝48π（cm3）， 故选：D． 10．一张直角三角形纸片，两条直角边长分别为a和b（a≠b），将纸片先绕长为b的直角边所在直线旋转一周，得到圆锥体甲；再绕长为a的直角边所在直线旋转一周，得到圆锥体乙，关于这两个圆锥体，有下列两个结论： ①甲、乙的侧面积之比为a：b；②甲、乙的体积之比为a：b． 对于结论①和②，下列说法正确的是（　　） A．①正确，②错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【答案】B 【解答】解：如图，圆锥甲的侧面积为πa，体积为πa2b， 圆锥乙的侧面积为πb，体积为πb2a， 所以圆锥甲与圆锥体乙的侧面积之比为a：b，体积之比为a：b， 因此①②都正确， 故选：B． 11．硬币在桌面上快速地转动时，看上去像球，这种生活现象可以反映的数学原理是 　面动成体　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：硬币在桌面上快速地转动时，看上去像球，这种生活现象可以反映的数学原理是面动成体， 故答案为：面动成体． 12．现有一个长为4cm，宽为2cm的长方形，将该长方形绕着它的长所在的直线旋转一周，得到的几何体是　圆柱　 ，可解释为　面动成体　 ，体积是　16π　 cm3．（结果保留π） 【答案】圆柱，面动成体，16π． 【解答】解：如图，将该长方形绕着它的长所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱， 可解释为：面动成体， V＝π×22×4＝16π（cm3）． 故答案为：圆柱，面动成体，16π． 13．若长方体有a个顶点，b条棱，c个面，那么a+b﹣c＝　14　 ． 【答案】14． 【解答】解：根据长方体的特征可知，有8个顶点，12条棱，6个面， 即a＝8，b＝12，c＝6， ∴a+b﹣c＝8+12﹣6＝14． 故答案为：14． 14．一个棱柱共有18个顶点，所有的侧棱长的和是180cm，则每条侧棱长为　20　 cm． 【答案】20． 【解答】解：∵一个棱柱共有18个顶点， ∴这个棱柱是18÷2＝9，即九棱柱， ∵所有的侧棱长的和是180cm，即9条侧棱的长的和是180cm， ∴每条侧棱长为180÷9＝20（cm）， 故答案为：20 15．如图，已知长方形的长为a，宽为b，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则甲圆柱体与乙圆柱体的体积比为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：甲圆柱体与乙圆柱体的体积比为． 故答案为：． 16．如图，ABCD是一个直角梯形，将梯形以AB所在直线为轴旋转一周可以得到一个立体图形，求这个立体图形的体积（结果保留π）． 【答案】252πcm3． 【解答】解：将梯形ABCD以AB所在直线为轴旋转一周可以得到一个上面是圆锥与下面是圆柱的组合体， 这个立体图形的体积为 ＝252π（cm3） 答：体积为252πcm3． 17．如图是一个正方体的表面展开图，原正方体中相对的面上的两个数字之和相等，求代数式xy+y2的值． 【答案】﹣2． 【解答】解：根据题意，x与7相对，y与3相对，﹣2与6相对， ∵原正方体中相对的面上的两个数字之和相等，∴x+7＝﹣2+6，y+3＝﹣2+6， 解得x＝﹣3，y＝1， ∴xy+y2＝﹣3+1＝﹣2． 18．如图，有一个长6cm，宽4cm的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转180°，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）． 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）． （1）上述操作能形成的几何体是 　圆柱体　 ，说明的事实是 　面动成体　 ． （2）请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）以一组对边中点所在直线为轴旋转，能形成的几何体是圆柱体，说明的事实是面动成体， 故答案为：圆柱体，面动成体； （2）方案一：π×32×4＝36π（cm3）， 方案二：π×22×6＝24π（cm3）， ∵36π＞24π， ∴方案一构造的圆柱的体积大． 19．如图1，把一张长10cm、宽6cm的长方形纸板分成两个相同的直角三角形（圆锥的体积公式为，π取3.14）． （1）甲三角形（如图2）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方厘米？ （2）乙三角形（如图3）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）甲三角形旋转一周可以形成一个圆锥， 它的体积是 376.8立方厘米． （2）乙三角形旋转一周可以形成一个圆柱，里面被挖去一个圆锥， 它的体积是 753.6立方厘米． 【解答】解：（1）甲三角形旋转一周可以形成一个圆锥， 它的体积是 ． （2）乙三角形旋转一周可以形成一个圆柱，里面被挖去一个圆锥， 它的体积是 ． 20．如图，把一张长是a，宽是b的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小且边长为c的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． （1）若a＝12，b＝8，c＝2，求折成的长方体盒子的底面积是多少？ （2）请用含a，b，c代数式表示折成的长方体盒子的底面周长； （3）如果把长方形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的边长为c的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形，然后折成一个有盖长方体，那么它的底面周长是多少？（用含a，b，c代数式表示） 【答案】（1）32； （2）2a+2b﹣8c； （3）2a+b﹣6c． 【解答】解：（1）根据题意得： 当a＝12，b＝8，c＝2时： （a﹣2c）（b﹣2c）＝（12﹣2×2）（8﹣2×2）＝32． 则长方体盒子的底面积为32； （2）根据题意得：2（a﹣2c+b﹣2c）＝2（a+b﹣4c）＝2a+2b﹣8c， 则长方体盒子的底面周长为2a+2b﹣8c； （3）若按图1所示的方法剪折， 它的底面周长＝（a﹣2c）+2（b﹣2c）＝a+2b﹣6c； 若按图2所示的方法剪折， 它的底面周长＝2（a﹣2c）+（b﹣2c）＝2a+b﹣6c． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.4 点、线、面、体 教学目标 1. 掌握点、线、面、体以及他们之间的关系，并能快速的判断生活中的一些现象属于他们之间的什么关系。 2. 判断由平面图形旋转得到的几何体并能够进行简单的计算。 教学重难点 1. 重点 （1）点、线、面、体的认识； （2）由平面图形得到几何体。 2. 难点 （1）判断生活现象的数学原理； （2）关于几何体的简单计算。 知识点01 点、线、面、体 1. 点、线、面、体之间的关系： 体与体相交成 ，面与面相交成 ，线与线相交成 。或点动成 ，线动成 ，面动成 。面可以经过 或 成为体。点、线、面、体组成几何图形。 【即学即练1】 1．在飘着墨香的书院门，书法家写毛笔字时，笔尖（可看作一个点）在纸上移动形成笔画．这一现象符合哪一个数学原理？（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 【即学即练2】 2．中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称．如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【即学即练3】 3．几何图形都是由点、线、面、体组成，点动成线，线动成面，面动成体．下列生活现象中，可以反映“面动成体”的是（　　） A．粉笔写字 B．流星划过夜空 C．硬币在桌上旋转 D．汽车雨刷转动 知识点02 由平面图形得到立体图形 1. 平面图形旋转而成立体： 平面图形不仅可以通过 得到几何体，还可以通过 得到几何体。在旋转平面图形时，旋转轴不同则得到的几何体也不同。 【即学即练1】 4．（1）圆形硬币绕它的直径所在直线旋转，形成一个 　 　 体，用数学知识可解释为“面动成体”． （2）如图，找出给定三角形绕直线旋转一周后形成的对应几何体．并把它们用线连接． 题型01 判断生活现象的数学原理 【典例1】2024年“嫦娥号”飞船从月球返回地球时，卫星遥感记录了整个返回过程，那么卫星返回时留下的轨迹体现的数学原理是（　　） A．线动成面 B．面动成体 C．点动成线 D．以上都不对 【变式1】画卷即为卷轴形的画，如图是一幅画卷展开的过程，这个过程体现的数学原理是 　 　 ． 【变式2】如图，你见过一种折叠灯笼吗？它折叠起来是一张圆形的纸，打开后就变成了美丽的灯笼，这个过程可近似地用 　 的数学原理来解释． 题型02 判断几何体的点、线、面 【典例1】一个棱柱有10个面，那么它有 　 　 个顶点，有 　 条棱． 【变式1】如图中的几何体由　 　 个面　 　 条棱　 　 个顶点组成． 【变式2】一个棱柱共有20个顶点，设这个棱柱共有m个面，共有n条棱，则n﹣m＝　 　 ． 【变式3】如图所示是一个六棱柱，它的底面边长是4cm，高是6cm． （1）这个棱柱共有多少条棱？所有的棱长的和是多少？ （2）这个棱柱共有多少个顶点？ 【变式4】如图，一个正五棱柱的底面边长为2cm，高为4cm． （1）这个棱柱共有多少个面？计算它的侧面积； （2）这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？ （3）试用含有n的代数式表示n棱柱的顶点数、面数与棱的条数． 题型03 平面图形得到几何体的判断 【典例1】如图几何体是一个平面图形绕虚线l旋转一周得到的，则该旋转平面图形是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下面的几何体是由哪个平面图形沿虚线旋转一周得到的（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图所示的花瓶中，（　　）的表面，可以看作由所给的平面图形绕虚线旋转一周形成的． A． B． C． D． 【变式3】以AB为轴旋转一周后得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 题型04 关于几何体的简单计算 【典例1】将下面的直角三角形绕4cm的边旋转一周（如图），可以得到一个立体图形，这个立体图形的体积是（　　）cm3． A．12.56 B．25.12 C．37.68 D．50.24 【变式1】如图，甲是一个直角三角形，乙是一个长方形，如果将图绕MN旋转一周，经过的空间形成了立体图形，此时甲和乙形成的立体图形的体积之比是（　　） A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1 【变式2】如图是一张长方形纸片，AB长为8cm，BC长为4cm． （1）若将此纸片绕它的一边所在直线旋转一周形成的几何体是　 　 ． （2）若将这个长方形纸片分别绕AB边和BC边所在直线旋转一周，求形成的几何体的体积各为多少．（结果保留π） 【变式3】如图，小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到甲、乙两个立体图形． （1）小红得到的立体图形可以看成是由 　 　 和 　 　 构成的，这个现象用数学知识解释为 　 　 ． （2）你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由． 1．下面现象说明“线动成面”的是（　　） A．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹 B．扔一块小石子，石子在空中飞行的路线 C．天空划过一道流星 D．汽车雨刷在挡风玻璃上面划出的痕迹 2．朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了______，把雨看成______，说明______（　　） A．点；直线；点动成线 B．点；线；点动成线 C．线；面；线动成面 D．线；面；面动成体 3．将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 4．将下面四个平面图形绕着虚线旋转一周，能得到圆柱体的是（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（　　） A． B． C． D． 6．学习了“点动成线，线动成面，面动成体”，下列说法不正确的是（　　） A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体 C．将直角三角形沿一边旋转一周一定会得到一个圆锥 D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 7．将如图中的直角三角形ABC以直角边AB所在的直线为轴旋转一周，求所得图形的体积，列式正确的是（　　） A．3.14×52×6 B．3.14×62×5 C． D． 8．分别以直角梯形（如图所示）的下底和上底为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个立体图形．则A，B两个立体图形的体积之比是（　　） A．1：1 B．1：2 C．4：5 D．5：4 9．已知一个长方形的长、宽分别是4cm、3cm，若以这个长方形的一条边为轴旋转一周，则形成的立体图形的体积是（　　） A．36πcm3 B．24πcm3 C．24πcm3或48πcm3 D．36πcm3或48πcm3 10．一张直角三角形纸片，两条直角边长分别为a和b（a≠b），将纸片先绕长为b的直角边所在直线旋转一周，得到圆锥体甲；再绕长为a的直角边所在直线旋转一周，得到圆锥体乙，关于这两个圆锥体，有下列两个结论： ①甲、乙的侧面积之比为a：b；②甲、乙的体积之比为a：b． 对于结论①和②，下列说法正确的是（　　） A．①正确，②错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①②都错误 11．硬币在桌面上快速地转动时，看上去像球，这种生活现象可以反映的数学原理是 　 　 ． 12．现有一个长为4cm，宽为2cm的长方形，将该长方形绕着它的长所在的直线旋转一周，得到的几何体是　 　 ，可解释为　 　 ，体积是　 　 cm3．（结果保留π） 13．若长方体有a个顶点，b条棱，c个面，那么a+b﹣c＝　 　 ． 14．一个棱柱共有18个顶点，所有的侧棱长的和是180cm，则每条侧棱长为　 　 cm． 15．如图，已知长方形的长为a，宽为b，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则甲圆柱体与乙圆柱体的体积比为 　 　 ． 16．如图，ABCD是一个直角梯形，将梯形以AB所在直线为轴旋转一周可以得到一个立体图形，求这个立体图形的体积（结果保留π）． 17．如图是一个正方体的表面展开图，原正方体中相对的面上的两个数字之和相等，求代数式xy+y2的值． 18．如图，有一个长6cm，宽4cm的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转180°，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）． 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）． （1）上述操作能形成的几何体是 　 　 ，说明的事实是 　 ． （2）请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大． 19．如图1，把一张长10cm、宽6cm的长方形纸板分成两个相同的直角三角形（圆锥的体积公式为，π取3.14）． （1）甲三角形（如图2）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方厘米？ （2）乙三角形（如图3）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方厘米？ 20．如图，把一张长是a，宽是b的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小且边长为c的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． （1）若a＝12，b＝8，c＝2，求折成的长方体盒子的底面积是多少？ （2）请用含a，b，c代数式表示折成的长方体盒子的底面周长； （3）如果把长方形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的边长为c的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形，然后折成一个有盖长方体，那么它的底面周长是多少？（用含a，b，c代数式表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $