专题07 数学广角-优化（知识精讲+易错真题满分冲刺卷）-2025-2026学年人教版数学四年级上册专项培优讲练

专题07 数学广角-优化 【原卷版】 课题1:沏茶问题（时间优化） 易错知识点01：任务顺序分析错误 易错点：不能正确判断哪些任务必须按顺序依次完成（串行任务），哪些任务可以同时进行（并行任务）。例如在沏茶情境中，洗水壶、接水、烧水、沏茶这些是串行任务，必须依次进行；而洗茶杯、找茶叶可以在烧水时同时进行。若错误认为可以在没洗水壶时就接水，就会导致整个流程混乱。 应对方法：仔细分析每个任务之间的逻辑关系，明确先后顺序。可以通过画流程图的方式，将任务按顺序和并行关系清晰展示出来，如先洗水壶→接水→烧水（同时洗茶杯、找茶叶）→沏茶。 易错知识点02：并行任务时间计算错误 易错点：在计算总时间时，对并行任务的时间处理不当。当并行任务总时间小于等于核心环节（如烧水）时间时，总时间等于核心流程总时间；若并行任务总时间大于核心环节时间，总时间需要额外增加超出部分。例如烧水8分钟，并行的洗茶杯和找茶叶任务需10分钟，总时间应是核心流程时间加上超出的2分钟，但学生可能忽略这一点，直接用核心流程时间计算。 应对方法：准确计算每个任务的时间，比较并行任务总时间和核心环节时间。多做一些类似的时间计算练习，加深对并行任务时间计算规则的理解。 课题2:烙饼问题（效率优化） 易错知识点01：烙饼方法理解有误 易错点：没有掌握“交替烙”的方法，导致烙饼时间不是最短。例如，当要烙3张饼时，如果先把两张饼烙好一面后，再分别烙另一面，最后烙第三张饼，这样会浪费时间。正确的方法是先烙第一张饼和第二张饼的正面，然后烙第一张饼的反面和第三张饼的正面，最后烙第二张饼和第三张饼的反面。 应对方法：通过实际操作模拟烙饼过程，如用卡片代表饼进行演示，理解交替烙的原理。总结烙饼规律，当饼的数量大于1时，总时间 = 饼的张数×烙一面的时间（前提是一锅最多烙2张饼）。 易错知识点02：忽略特殊情况 易错点：对于饼的数量较少的情况，如只烙1张饼或2张饼，没有考虑到实际情况与一般规律的差异。按照常规规律计算可能会出错，实际上烙1张饼就直接烙两面，烙2张饼可以同时烙，时间和烙1张饼的两面是一样的。 应对方法：分别分析不同数量饼的烙法，明确特殊情况的处理方式。在解题时，先判断饼的数量，再选择合适的方法计算时间。 课题3:对策论问题（策略优化） 易错知识点01：不能准确分析局势 易错点：在类似“田忌赛马”的问题中，不能全面分析双方的实力情况，找出最优的应对策略。例如在比赛对阵中，没有考虑到每个选手的实力差异，随意安排出场顺序，导致失败。 应对方法：仔细比较双方每个元素的优劣，采用“以己之长，攻彼之短”的策略。可以通过列表的方式，将双方的实力情况清晰呈现，然后找出能获胜的对阵组合。 易错知识点02：缺乏逆向思维 易错点：在解决两人轮流报数等策略问题时，不能从最终目标逆向推导每一步的策略。比如两人轮流报数，每次只能报1或2，谁报数后和是10谁就获胜，学生可能不知道从10开始往前分析，确定先报的数和后续的应对方法。 应对方法：培养逆向思维能力，从问题的结果出发，逐步往前推导。多做一些类似的逻辑推理题目，总结其中的规律和方法。例如先计算1+2=3，10÷3=3⋯⋯1，所以先报1，然后每次保证两人报数之和为3就能获胜。 试题满分：100分 检测时间：90分钟 难度系数：0.45（较难） 一、选择题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 1．（本题2分）（24-25四年级上·湖南湘西·期末）妹妹感冒了，姐姐要为她冲泡感冒颗粒。需要做以下几件事：①到药箱找感冒颗粒，看使用说明书3分钟：②烧水6分钟：③清洗杯子2分钟；④拿杯子放药，倒水冲药2分钟。做这四件事用时最短的安排是（    ）。 A． B． C． D． 2．（本题2分）（24-25四年级上·湖南湘西·期末）乐乐和明明比卡牌大小游戏，采取三局两胜制。乐乐的三张牌分别是3、5、7，明明的三张牌分别是2、4、6，乐乐先出7，明明要想获得最后的胜利应该出（    ）。 A．2 B．4 C．6 D．5 3．（本题2分）（24-25四年级上·湖南湘西·期末）一口锅一次最多能煎3条鱼。如果一条鱼两面都煎，每面要5分钟，那么煎9条鱼要（    ）。 A．（9×3）÷3×2 B．（9×2）÷3×5 C．9×5 D．（9×3）÷2×5 4．（本题2分）（21-22四年级上·全国·单元测试）李红、王丰和赵月三人同时去医务室治病。李红打针共需4分钟，其中药溶解需2分钟，王丰开药需2分钟，赵月按摩需25分钟。于大夫合理地安排了他们三人的治疗顺序，使他们的治疗时间总和最少，最少的治疗时间总和为（    ）。 A．39分钟 B．28分钟 C．29分钟 5．（本题2分）（20-21四年级下·河南鹤壁·期末）一个平底锅每次能煎4条鱼，两面都要煎，每面需要4分，李阿姨要煎6条鱼，至少需要（    ）分。 A．8 B．12 C．16 2、 判断题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 6．（本题2分）（24-25四年级上·贵州黔东南·期末）一个平底锅，每次只能放2张饼，如果每张饼的两面都要烙，每面需要4分钟，那么烙完5张饼需要20分钟。( ) 7．（本题2分）（24-25四年级上·河南南阳·期末）扫地8分钟、烧水10分钟、沏茶1分钟，小希做完这些事至少要用10分钟。( ) 8．（本题2分）（24-25四年级上·湖南衡阳·期末）要烙3张饼，两面都要烙，每面要3分钟，每次只能烙2张，至少要用9分钟。( ) 9．（本题2分）（24-25四年级上·湖南张家界·期末）张嘉俊起床后需要做以下几件事：整理房间5分钟，刷牙3分钟，洗脸3分钟，听广播8分钟。他最快11分钟可以做完这些事。( ) 10．（本题2分）（19-20四年级上·河南南阳·期末）妈妈星期天在家做家务：拖地15分钟，烧水5分钟，整理客厅10分钟，整理书柜10分钟。用全自动洗衣机洗衣服30分钟。妈妈做完这些事情至少需要35分钟。( ) 三、填空题：本题共8小题，每空1分，共8分． 11．（本题1分）（24-25四年级上·浙江绍兴·期末）爸爸起床要做完：①整理被褥2分钟，②刷牙3分钟，③洗脸2分钟，④听新闻8分钟这4件事情，至少要用( )分钟。 12．（本题1分）（24-25四年级上·山东济南·期末）糖醋鲤鱼外脆里嫩，酸甜可口，是济南的传统名菜之一。做糖醋鲤鱼的过程可以用下表来表示，那么一道糖醋鲤鱼至少要用 分钟完成。 处理鲤鱼 腌制鲤鱼 面糊调制 准备姜丝、蒜末 炸鱼 浇汁完成 10分钟 20分钟 5分钟 3分钟 7分钟 3分钟 13．（本题1分）（24-25四年级上·黑龙江哈尔滨·期末）冬冬和爸爸玩卡片“比大小”的游戏，游戏规则是：每人每次只能出一张卡片，大的卡片赢，玩三次，赢两次的获胜。第一次谁先出卡片，后两次还是谁先出卡片。左边三张6、8、10是爸爸的卡片，右边三张9、7、5是冬冬的卡片，如果第一次爸爸出10，那么，冬冬第一次出( )方能确保获得最后的胜利。 14．（本题1分）（24-25四年级上·广东汕头·期末）妈妈中午下班回家做饭，淘米要2分钟，洗菜要6分钟，煮饭要23分钟，切菜切肉要4分钟，炒菜要12分钟。如果煮饭和炒菜用不同的锅子和炉子，最少要( )分钟才能把饭菜做好。 15．（本题1分）（24-25四年级上·广东佛山·期末）描金是一种传统工艺美术技艺，有两道工序，先上漆，再描绘花纹，每道工序10分钟。现在两位工匠要为3件漆器描金，最少需要( )分钟。 16．（本题1分）（2014六年级·全国·竞赛）明明、欣欣两人为7棵树苗浇水，由于各树距离的远近不同，浇水所需的时间分别为3分钟、5分钟、7分钟、7分钟、9分钟、10分钟、14分钟。现在两人各自同时开始，至少需要 分钟才能全部浇完。 17．（本题1分）（2023四年级上·全国·专题练习）将3枚相同的硬币依次放入如图所示的一个的正方形格子中（每个正方形中只能放1枚），求所放的3枚硬币中，任意2枚都不同行且不同列的放法有( )种。    18．（本题1分）（22-23四年级上·河南信阳·期末）妈妈在家里煎牛排，一个平底锅每次最多只能煎两块牛排，每面煎两分钟，现在她要煎5块牛排至少需要( )分钟。 四、应用题：本题共13小题，共72分. 19．（本题5分）（25-26四年级上·全国·单元测试）有10个茶杯，全都是杯口朝上（用“↑”表示），每次操作将其中任意3个茶杯同时翻转（杯口朝上的翻成杯口朝下，杯口朝下的翻。杯口朝上）。至少需要几次这样的操作，才能使这10个茶杯全部变成杯口朝下（用“↓”表示）？请用“个”和“↓”表示操作过程。 原来状态：↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑ 20．（本题5分）（24-25四年级上·山东济南·期末）星期天，丽丽帮妈妈做家务：刷碗要用7分钟；扫地要用8分钟；擦家具要用10分钟；用洗衣机洗衣服要用18分钟；晾衣服要用5分钟。请你尝试画出流程图，并帮丽丽算一算，做完这些事至少需要多长时间？ 21．（本题5分）（24-25四年级上·湖南湘潭·期末）一个平底锅每次可以烙2张饼，烙1张饼正、反两面各需要2分钟。 （1）烙熟5张饼至少需要多少分钟？用你喜欢的方式表示出来。 答：烙熟5张饼至少需要（    ）分钟。 （2）16分钟最多可以烙熟多少张饼？用你喜欢的方式表示出来。 答：16分钟最多可以烙熟（    ）张饼。 22．（本题5分）（24-25四年级上·湖南株洲·期末）下面是同一种啤酒不同规格的售价，林叔叔要买40瓶这种啤酒，怎样买最省钱？最少需要多少元？ 23．（本题5分）（24-25四年级上·天津滨海新·期末）丽丽家来客人了，她要给客人沏茶，沏茶要做的事情包括：洗水壶1分钟，洗茶杯2分钟，烧水6分钟，接水1分钟，找茶叶1分钟，沏茶1分钟，她要想让客人尽快喝到茶水，至少需要多长时间？请在下面的空白处简要说明丽丽怎样做能够让客人在最短的时间内喝上茶。 24．（本题5分）（24-25四年级上·浙江·期末）明明和亮亮在玩扑克牌比大小的游戏，每人拥有3张牌，每次各出一张，点数多的牌则大，三局两胜，游戏中规定明明先出牌。下图是明明和亮亮拿到的牌。 比了很多次，亮亮都无法获胜，请你帮亮亮调换一张牌，使得他有获胜的机会，你会怎么换？并写出能使亮亮获胜的出牌顺序。 25．（本题6分）（24-25四年级上·浙江杭州·期末）乐乐要完成烧饭和炒菜两项家务，需要的时间如下：淘米2分钟，电饭煲煮饭20分钟，洗菜2分钟，切菜3分钟，炒菜15分钟。他完成这两项家务至少要多少时间？（请写或画出过程） 26．（本题6分）（24-25四年级上·湖南郴州·期末）下面是同一种盒装面巾纸的价钱。一家宾馆要买30 盒这种面巾纸，怎样买最省钱？最少需要多少钱？ 27．（本题6分）（24-25四年级上·湖南怀化·期末）我县某学校的326名学生和14名老师包车去参观芷江和平园，大车每辆可坐40人，租金每辆90元，小车每辆可坐20人，租金每辆50元。怎样租车最省钱？最少多少租金？ 28．（本题6分）（19-20四年级下·黑龙江哈尔滨·期末）妈妈为全家人准备晚饭。 择菜 洗菜 淘米 煮饭 切菜 6分钟 3分钟 2分钟 18分钟 3分钟 经过合理安排，做完这些事至少需要多少分钟？（用图示的方法表示出来并计算出所需时间） 29．（本题6分）（2021六年级·全国·竞赛）6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？ 30．（本题6分）（19-20四年级上·河南南阳·期末）爸爸出差了，妈妈生病了，明明放学回家后帮妈妈做家务，明明是按照以下顺序做的：扫地（5分钟）→淘米（1分钟）→洗菜（9分钟）→打开炉子（1分钟）→煮饭（18分钟）→炒菜（7分钟）一共花了41分钟，妈妈平时没有用这么长时间，请你帮明明设计一个花费时间最少的做家务顺序。 31．（本题6分）（2020四年级上·全国·竞赛）一条直街上有五栋楼，相邻两栋楼的距离都是50米。这五栋楼从左到右编号为l、2、3、4、5，楼里分别有1名、2名、3名、4名、5名职工在A工厂上班。A厂计划在直街上建一个班车站接送这五栋楼的职工上下班，为使这些职工到班车站所走的路程之和最小，车站应建在距l号楼多少米处？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数学广角-优化 【解析版】 课题1:沏茶问题（时间优化） 易错知识点01：任务顺序分析错误 易错点：不能正确判断哪些任务必须按顺序依次完成（串行任务），哪些任务可以同时进行（并行任务）。例如在沏茶情境中，洗水壶、接水、烧水、沏茶这些是串行任务，必须依次进行；而洗茶杯、找茶叶可以在烧水时同时进行。若错误认为可以在没洗水壶时就接水，就会导致整个流程混乱。 应对方法：仔细分析每个任务之间的逻辑关系，明确先后顺序。可以通过画流程图的方式，将任务按顺序和并行关系清晰展示出来，如先洗水壶→接水→烧水（同时洗茶杯、找茶叶）→沏茶。 易错知识点02：并行任务时间计算错误 易错点：在计算总时间时，对并行任务的时间处理不当。当并行任务总时间小于等于核心环节（如烧水）时间时，总时间等于核心流程总时间；若并行任务总时间大于核心环节时间，总时间需要额外增加超出部分。例如烧水8分钟，并行的洗茶杯和找茶叶任务需10分钟，总时间应是核心流程时间加上超出的2分钟，但学生可能忽略这一点，直接用核心流程时间计算。 应对方法：准确计算每个任务的时间，比较并行任务总时间和核心环节时间。多做一些类似的时间计算练习，加深对并行任务时间计算规则的理解。 课题2:烙饼问题（效率优化） 易错知识点01：烙饼方法理解有误 易错点：没有掌握“交替烙”的方法，导致烙饼时间不是最短。例如，当要烙3张饼时，如果先把两张饼烙好一面后，再分别烙另一面，最后烙第三张饼，这样会浪费时间。正确的方法是先烙第一张饼和第二张饼的正面，然后烙第一张饼的反面和第三张饼的正面，最后烙第二张饼和第三张饼的反面。 应对方法：通过实际操作模拟烙饼过程，如用卡片代表饼进行演示，理解交替烙的原理。总结烙饼规律，当饼的数量大于1时，总时间 = 饼的张数×烙一面的时间（前提是一锅最多烙2张饼）。 易错知识点02：忽略特殊情况 易错点：对于饼的数量较少的情况，如只烙1张饼或2张饼，没有考虑到实际情况与一般规律的差异。按照常规规律计算可能会出错，实际上烙1张饼就直接烙两面，烙2张饼可以同时烙，时间和烙1张饼的两面是一样的。 应对方法：分别分析不同数量饼的烙法，明确特殊情况的处理方式。在解题时，先判断饼的数量，再选择合适的方法计算时间。 课题3:对策论问题（策略优化） 易错知识点01：不能准确分析局势 易错点：在类似“田忌赛马”的问题中，不能全面分析双方的实力情况，找出最优的应对策略。例如在比赛对阵中，没有考虑到每个选手的实力差异，随意安排出场顺序，导致失败。 应对方法：仔细比较双方每个元素的优劣，采用“以己之长，攻彼之短”的策略。可以通过列表的方式，将双方的实力情况清晰呈现，然后找出能获胜的对阵组合。 易错知识点02：缺乏逆向思维 易错点：在解决两人轮流报数等策略问题时，不能从最终目标逆向推导每一步的策略。比如两人轮流报数，每次只能报1或2，谁报数后和是10谁就获胜，学生可能不知道从10开始往前分析，确定先报的数和后续的应对方法。 应对方法：培养逆向思维能力，从问题的结果出发，逐步往前推导。多做一些类似的逻辑推理题目，总结其中的规律和方法。例如先计算1+2=3，10÷3=3⋯⋯1，所以先报1，然后每次保证两人报数之和为3就能获胜。 试题满分：100分 检测时间：90分钟 难度系数：0.45（较难） 一、选择题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 1．（本题2分）（24-25四年级上·湖南湘西·期末）妹妹感冒了，姐姐要为她冲泡感冒颗粒。需要做以下几件事：①到药箱找感冒颗粒，看使用说明书3分钟：②烧水6分钟：③清洗杯子2分钟；④拿杯子放药，倒水冲药2分钟。做这四件事用时最短的安排是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】优化问题注意先观察做事情的顺序；考虑哪些事情可以同时做；写出做事情的顺序；计算所需时间。先打开饮水机烧水6分钟，这是没办法节省时间的步骤，同时可以找感冒颗粒看使用说明书3分钟以及洗杯子2分钟，这两样是可以趁着烧水的时候做的事，可以节省时间的步骤，随后拿杯子放药倒水2分钟，这也是没办法节省时间的步骤；据此解答。 【规范解答】 根据分析可知，可以先烧水，在烧水的同时，完成①和③，最后拿杯子放药，倒水冲药。也就是。 故答案为：D 2．（本题2分）（24-25四年级上·湖南湘西·期末）乐乐和明明比卡牌大小游戏，采取三局两胜制。乐乐的三张牌分别是3、5、7，明明的三张牌分别是2、4、6，乐乐先出7，明明要想获得最后的胜利应该出（    ）。 A．2 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【思路引导】按照从小到大的顺序，明明的三张牌分别比乐乐的三张牌小，明明要想获胜，就需要采取田忌赛马的方法进行应对，乐乐出最大的牌7时，明明就要出最小的牌2，乐乐胜，乐乐出牌5时，明明就要出牌6，明明赢，乐乐出牌3时，明明就要出牌4，明明赢，最后明明赢两局，乐乐赢一局，据此解答即可。 【规范解答】由分析可知，乐乐先出7，明明要想获得最后的胜利应该出2。 故答案为：A 3．（本题2分）（24-25四年级上·湖南湘西·期末）一口锅一次最多能煎3条鱼。如果一条鱼两面都煎，每面要5分钟，那么煎9条鱼要（    ）。 A．（9×3）÷3×2 B．（9×2）÷3×5 C．9×5 D．（9×3）÷2×5 【答案】B 【思路引导】烙饼问题公式：总时间＝饼数×2÷每锅的可烙的数量×烙每面的时间。把鱼看作饼，代入公式计算即可。 【规范解答】（9×2）÷3×5 ＝18÷3×5 ＝6×5 ＝30（分钟） 所以那么煎9条鱼要30分钟。 故答案为：B 4．（本题2分）（21-22四年级上·全国·单元测试）李红、王丰和赵月三人同时去医务室治病。李红打针共需4分钟，其中药溶解需2分钟，王丰开药需2分钟，赵月按摩需25分钟。于大夫合理地安排了他们三人的治疗顺序，使他们的治疗时间总和最少，最少的治疗时间总和为（    ）。 A．39分钟 B．28分钟 C．29分钟 【答案】A 【思路引导】三个人同时来到医务室看病，有1个人看病其他两个人就要等着，由此可以看出自然是花时间少的人先看，等候时间的总和就会越少。 【规范解答】三人看病的顺序依次是：王丰→李红→赵月 2×3＋4×2＋25×1 ＝6＋8＋25 ＝39（分钟） 所以他们三人看病的时间的总和最少是39分钟。 故答案为：A 【考点剖析】解答这类题目的关键是要优化组合，找到优化组合的突破点，在这里是按时间少的先就诊进行排序即可。 5．（本题2分）（20-21四年级下·河南鹤壁·期末）一个平底锅每次能煎4条鱼，两面都要煎，每面需要4分，李阿姨要煎6条鱼，至少需要（    ）分。 A．8 B．12 C．16 【答案】B 【思路引导】根据烙饼问题的公式：总时间＝饼数×2÷每锅可烙的数量×烙每面的时间，代入数据计算即可。 【规范解答】6×2÷4×4 ＝12÷4×4 ＝3×4 ＝12（分） 故答案为：B。 【考点剖析】本题考查的是烙饼问题，利用烙饼问题的公式直接解答。 2、 判断题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 6．（本题2分）（24-25四年级上·贵州黔东南·期末）一个平底锅，每次只能放2张饼，如果每张饼的两面都要烙，每面需要4分钟，那么烙完5张饼需要20分钟。( ) 【答案】√ 【思路引导】烙5个饼：先同时烙两个，正反面共需4×2＝8分钟；再烙后三个，先烙第一个与第二个的正面需4分钟，然后烙第一个的反面与第三个的正面需要4分钟，最后烙第二个的反面与第三个的反面需4分钟，烙完3个共需4×3＝12分钟，5个共需8＋12＝20分钟，据此判断即可。 【规范解答】根据分析可知：一个平底锅，每次只能放2张饼，如果每张饼的两面都要烙，每面需要4分钟，那么烙完5张饼需要20分钟，原题说法正确。 故答案为：√ 7．（本题2分）（24-25四年级上·河南南阳·期末）扫地8分钟、烧水10分钟、沏茶1分钟，小希做完这些事至少要用10分钟。( ) 【答案】× 【思路引导】要使需要的时间最短，应先烧水，在烧水的过程中，可以扫地，水烧好以后再沏茶，一共需要（10＋1）分钟。 【规范解答】10＋1＝11（分钟） 扫地8分钟、烧水10分钟、沏茶1分钟，小希做完这些事至少要用10分钟。原题说法错误。 故答案为：× 8．（本题2分）（24-25四年级上·湖南衡阳·期末）要烙3张饼，两面都要烙，每面要3分钟，每次只能烙2张，至少要用9分钟。( ) 【答案】√ 【思路引导】根据烙饼问题公式：总时间＝饼数×2÷每锅可烙的数量×烙每面的时间；据此代入数据解答。 【规范解答】3×2÷2×3 ＝6÷2×3 ＝3×3 ＝9（分钟） 要烙3张饼，两面都要烙，每面要3分钟，每次只能烙2张，至少要用9分钟，所以原题说法正确。 故答案为：√ 9．（本题2分）（24-25四年级上·湖南张家界·期末）张嘉俊起床后需要做以下几件事：整理房间5分钟，刷牙3分钟，洗脸3分钟，听广播8分钟。他最快11分钟可以做完这些事。( ) 【答案】√ 【思路引导】5＋3＝8（分钟），即整理房间的时间加上刷牙（或洗脸）的时间正好和听广播的时间一样长，所以可以边听广播边整理房间和刷牙（或洗脸），因此他最块做完这些事的时间是8＋3＝11（分钟）；据此解答。 【规范解答】8＋3＝11（分钟） 张嘉俊起床后需要做以下几件事：整理房间5分钟，刷牙3分钟，洗脸3分钟，听广播8分钟。他最快11分钟可以做完这些事。原题说法正确。 故答案为：√ 10．（本题2分）（19-20四年级上·河南南阳·期末）妈妈星期天在家做家务：拖地15分钟，烧水5分钟，整理客厅10分钟，整理书柜10分钟。用全自动洗衣机洗衣服30分钟。妈妈做完这些事情至少需要35分钟。( ) 【答案】√ 【思路引导】要使需要的时间最短，可以先用全自动洗衣机洗衣服，再烧水。在完成这两项项任务的同时，可完成拖地、整理客厅以及整理书柜这三项任务。则一共需要30＋5＝35分钟。 【规范解答】30＋5＝35（分钟） 则妈妈做完这些事情至少需要35分钟。 故答案为：√。 【考点剖析】本题考查优化问题，要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，注意同时进行的两项任务应互不干扰。 三、填空题：本题共8小题，每空1分，共8分． 11．（本题1分）（24-25四年级上·浙江绍兴·期末）爸爸起床要做完：①整理被褥2分钟，②刷牙3分钟，③洗脸2分钟，④听新闻8分钟这4件事情，至少要用( )分钟。 【答案】8 【思路引导】根据题意，爸爸听新闻8分钟的同时可以依次完成起床整理被褥2分钟、刷牙3分钟、洗脸2分钟，即2＋3＋2＝7分钟，所以，做完这几件事情最少要用的时间就是听新闻的时间8分钟，据此解答即可。 【规范解答】爸爸起床要做完：①整理被褥2分钟，②刷牙3分钟，③洗脸2分钟，④听新闻8分钟这4件事情，至少要用8分钟。 12．（本题1分）（24-25四年级上·山东济南·期末）糖醋鲤鱼外脆里嫩，酸甜可口，是济南的传统名菜之一。做糖醋鲤鱼的过程可以用下表来表示，那么一道糖醋鲤鱼至少要用 分钟完成。 处理鲤鱼 腌制鲤鱼 面糊调制 准备姜丝、蒜末 炸鱼 浇汁完成 10分钟 20分钟 5分钟 3分钟 7分钟 3分钟 【答案】40 【思路引导】根据题意，处理鲤鱼、腌制鲤鱼、炸鱼、浇汁，这些步骤不能同时进行，而腌制鲤鱼的同时可以面糊调制、准备姜丝、蒜末，所以至少需要的时间是（10＋20＋7＋3）分钟。 【规范解答】10＋20＋7＋3 ＝30＋10 ＝40（分钟） 一道糖醋鲤鱼至少要用40分钟完成。 13．（本题1分）（24-25四年级上·黑龙江哈尔滨·期末）冬冬和爸爸玩卡片“比大小”的游戏，游戏规则是：每人每次只能出一张卡片，大的卡片赢，玩三次，赢两次的获胜。第一次谁先出卡片，后两次还是谁先出卡片。左边三张6、8、10是爸爸的卡片，右边三张9、7、5是冬冬的卡片，如果第一次爸爸出10，那么，冬冬第一次出( )方能确保获得最后的胜利。 【答案】5 【思路引导】要使冬冬获胜，那么冬冬至少要赢2次；因为只确定爸爸第一次出的卡片，有两种情况； 第一种情况：第一次：爸爸出10，冬冬没有卡片能大过10，则出最小的5；第二次：假如爸爸出8，则冬冬需要出9；第三次：假如爸爸出6，则冬冬需要出7； 第一种情况：第一次：爸爸出10，冬冬没有卡片能大过10，则出最小的5；假如第二次爸爸出6，则冬冬需要出7；第三次：假如爸爸出8，则冬冬需要出9；据此解答。 【规范解答】根据分析：如果第一次爸爸出10，那么，冬冬第一次出5方能确保获得最后的胜利。 14．（本题1分）（24-25四年级上·广东汕头·期末）妈妈中午下班回家做饭，淘米要2分钟，洗菜要6分钟，煮饭要23分钟，切菜切肉要4分钟，炒菜要12分钟。如果煮饭和炒菜用不同的锅子和炉子，最少要( )分钟才能把饭菜做好。 【答案】25 【思路引导】根据题意，洗菜6分钟，切菜切肉4分钟，再炒菜12分钟。这个时间是22分钟。所以妈妈先淘米，然后煮饭。在煮饭23分钟的同时，洗菜、切菜切肉、炒菜，这样用的时间最少。 【规范解答】根据分析，整个时间就是淘米的2分钟，加上煮饭的23分钟。 2＋23＝25（分钟） 所以，最少要25分钟。 15．（本题1分）（24-25四年级上·广东佛山·期末）描金是一种传统工艺美术技艺，有两道工序，先上漆，再描绘花纹，每道工序10分钟。现在两位工匠要为3件漆器描金，最少需要( )分钟。 【答案】30 【思路引导】每件漆器有两道工序，上漆和描绘花纹，每道工序10分钟，那么完成一件漆器的描金需要10＋10＝20分钟。有两位工匠同时工作，我们可以将工序进行合理分配来节省时间。两位工匠先同时给两件漆器上漆，接着其中一位工匠给第一件漆器描绘花纹，另一位工匠给第三件漆器上漆，两位工匠再同时给第二件和第三件漆器描绘花纹。据此解答。 【规范解答】第一步：两位工匠先同时给两件漆器上漆，这需要10分钟。 第二步：其中一位工匠给第一件漆器描绘花纹，另一位工匠给第三件漆器上漆，这又需要10分钟。 第三步：两位工匠再同时给第二件和第三件漆器描绘花纹，这需要10分钟。 总共花费：10＋10 ＋10＝30（分钟） 16．（本题1分）（2014六年级·全国·竞赛）明明、欣欣两人为7棵树苗浇水，由于各树距离的远近不同，浇水所需的时间分别为3分钟、5分钟、7分钟、7分钟、9分钟、10分钟、14分钟。现在两人各自同时开始，至少需要 分钟才能全部浇完。 【答案】28 【思路引导】根据题意，先用（3＋5＋7＋7＋9＋10＋14）÷2求出两人至少需要多少分钟才能同时结束，因为求出的结果是27.5分钟，根据题意可知，浇水结束的时间一定是整数，通过尝试将浇水时间凑成接近27.5分钟的整数，3＋7＋7＋10＝27（分钟），5＋9＋14＝28（分钟），据此可知至少需要多少分钟才能全部浇完。 【规范解答】（3＋5＋7＋7＋9＋10＋14）÷2 ＝55÷2 ＝27.5（分钟） 3＋7＋7＋10＝27（分钟） 5＋9＋14＝28（分钟） 所以至少需要28分钟才能全部浇完。 【考点剖析】先根据平均数的意义求出每人平均浇水需要的时间，再合理分配即可。 17．（本题1分）（2023四年级上·全国·专题练习）将3枚相同的硬币依次放入如图所示的一个的正方形格子中（每个正方形中只能放1枚），求所放的3枚硬币中，任意2枚都不同行且不同列的放法有( )种。    【答案】576 【思路引导】首先分别求得3枚硬币的不同方法，然后利用乘法公式，求得所有等可能的结果；再分别求得任意两个都不同行且不同列的情况即可求得答案。 【规范解答】计算总的放法数：第一枚硬币放入16个格子有16种放法；第二枚硬币放入剩下的15个格子有15种放法；第三枚硬币放入剩下的14个格子有14种放法。 因为总的放法数 又因为计算满足题目要求的放法数：第一枚硬币放入16个格子有16种放法，与它不同行或不同列的格子有9个。与第一枚硬币不同行或不同列的第二枚硬币有9种放法。与前两枚硬币不同行或不同列的格子有4个，第三枚硬币放入剩下的4个格子有4种放法。 所以满足题目要求的放法数 【考点剖析】本题考查学生平面图形计数中的枚举思想方法的理解和应用。 18．（本题1分）（22-23四年级上·河南信阳·期末）妈妈在家里煎牛排，一个平底锅每次最多只能煎两块牛排，每面煎两分钟，现在她要煎5块牛排至少需要( )分钟。 【答案】10 【思路引导】根据烙饼问题的公式：时间＝饼数×2×每面烙的块数÷每面所需的时间，代入数值即可解答。 【规范解答】 所以妈妈在家里煎牛排，一个平底锅每次最多只能煎两块牛排，每面煎两分钟，现在她要煎5块牛排至少需要10分钟。 【考点剖析】本题考查了烙饼问题。 四、应用题：本题共13小题，共72分. 19．（本题5分）（25-26四年级上·全国·单元测试）有10个茶杯，全都是杯口朝上（用“↑”表示），每次操作将其中任意3个茶杯同时翻转（杯口朝上的翻成杯口朝下，杯口朝下的翻。杯口朝上）。至少需要几次这样的操作，才能使这10个茶杯全部变成杯口朝下（用“↓”表示）？请用“个”和“↓”表示操作过程。 原来状态：↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑ 【答案】4次；过程见详解 【思路引导】一个茶杯由原来杯口朝上翻转成杯口朝下，需要翻转奇数次。这道题中，有10个茶杯，每个都要翻转奇数次，一共要翻转10个奇数次的和，即一共要翻转偶数次才行。现在每次操作，将其中任意3个茶杯同时翻转，那么像这样操作的次数就必须是偶数次。若操作4次，则一共翻转了12个茶杯，也是偶数。又由12＝3＋1×9可得，只要把其中的一个茶杯翻转3次，其余每个茶：杯翻转1次就能办到。 【规范解答】至少需要4次这样的操作，才能使这10个茶杯全部变成杯口朝下。 操作过程如下； 第1次：翻转前3个杯子→↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑（3个朝下，7个朝上）。 第2次：翻转前3个朝下的和1个朝上的（如前3个和第4个）→↓↑↑↓↓↑↑↑↑↑（4个朝下，6个朝上）。 第3次：调整翻转组合（如第1、2、5个）→↓↓↓↑↑↑↓↑↑↑（5个朝下，5个朝上）。 第4次：最终调整（如第3、4、6个）→↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓（全朝下）。 答：至少需要4次这样的操作，才能使这10个茶杯全部变成杯口朝下。 20．（本题5分）（24-25四年级上·山东济南·期末）星期天，丽丽帮妈妈做家务：刷碗要用7分钟；扫地要用8分钟；擦家具要用10分钟；用洗衣机洗衣服要用18分钟；晾衣服要用5分钟。请你尝试画出流程图，并帮丽丽算一算，做完这些事至少需要多长时间？ 【答案】图见详解；30分钟 【思路引导】由题意得，要想做完这些事情用时最少，丽丽需要合理安排做家务的顺序。她可以先用洗衣机洗衣服，然后在洗衣机洗衣服的同时去刷碗、扫地和擦家具，最后再晾衣服。据此解答。 【规范解答】 7＋8＋10＝25（分钟） 25＞18，即丽丽刷碗、扫地和擦家具的时间比她用洗衣机洗衣服的时间长。                25＋5＝30（分钟） 答：丽丽做完这些事至少需要30分钟。 21．（本题5分）（24-25四年级上·湖南湘潭·期末）一个平底锅每次可以烙2张饼，烙1张饼正、反两面各需要2分钟。 （1）烙熟5张饼至少需要多少分钟？用你喜欢的方式表示出来。 答：烙熟5张饼至少需要（    ）分钟。 （2）16分钟最多可以烙熟多少张饼？用你喜欢的方式表示出来。 答：16分钟最多可以烙熟（    ）张饼。 【答案】（1）10 （2）8 【思路引导】（1）要使烙饼的总时间最少，那么每一次锅内就应有两张饼，然后计算出时间总和。 烙5张饼时：第一次：第1张饼的正面，第2张饼的正面，用时2分钟； 第二次：第1张饼的反面，第3张饼的正面，用时2分钟； 第三次：第3张饼的反面，第2张饼的反面，用时2分钟； 因此当烙2张及以上的饼，并且锅里只能同时烙两张饼时，烙饼所需要的最短时间＝烙一面需要的时间×张数。 （2）当烙2张及以上的饼，并且锅里只能同时烙两张饼时，烙饼所需要的最短时间＝烙一面需要的时间×张数。烙饼的总时间除以烙一面需要的时间，即可算出16分钟可以烙（16÷2）张饼。 【规范解答】（1）5×2＝10（分钟） 答：烙熟5张饼至少需要10分钟。 （2）16÷2＝8（张） 答：16分钟最多可以烙熟8张饼。 22．（本题5分）（24-25四年级上·湖南株洲·期末）下面是同一种啤酒不同规格的售价，林叔叔要买40瓶这种啤酒，怎样买最省钱？最少需要多少元？ 【答案】买1箱24瓶装的，5组3瓶装的，1瓶单瓶；217元 【思路引导】根据题意，先用每种规格的钱数除以瓶数，求出每种规格每瓶的价格，尽量买便宜的，用总瓶数除以便宜规格的瓶数，求出的商即为买的数量，余数即为剩下的瓶数，看是否可以买第二便宜的规格，用剩下的瓶数除以该规格的瓶数，求出的商即为买的数量，余数即为剩下的瓶数，单独买单瓶的，最后用每种规格买的数量乘钱数，相加即可求出最少需要多少钱。 【规范解答】120÷24＝5（元） 18÷3＝6（元） 5＜6＜7，尽量买每箱24瓶的 40÷24＝1（箱）……16（瓶） 16÷3＝5（组）……1（瓶） 120＋5×18＋7 ＝120＋90＋7 ＝210＋7 ＝217（元） 答：买1箱24瓶装的，5组3瓶装的，1瓶单瓶的最便宜，最少需要217元。 23．（本题5分）（24-25四年级上·天津滨海新·期末）丽丽家来客人了，她要给客人沏茶，沏茶要做的事情包括：洗水壶1分钟，洗茶杯2分钟，烧水6分钟，接水1分钟，找茶叶1分钟，沏茶1分钟，她要想让客人尽快喝到茶水，至少需要多长时间？请在下面的空白处简要说明丽丽怎样做能够让客人在最短的时间内喝上茶。 【答案】洗水壶1分钟，接水1分钟，烧水6分钟，沏茶1分钟，这是必要步骤，其他可以在烧水的同时完成；9分钟。 【思路引导】此题属于合理安排时间问题，要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答。洗水壶1分钟，接水1分钟，烧水6分钟，沏茶1分钟，这是必要步骤，其他可以在烧水的同时完成，据此解答。 【规范解答】洗水壶1分钟，接水1分钟，烧水6分钟，沏茶1分钟，这是必要步骤，其他可以在烧水的同时完成。 1＋1＋6＋1＝9（分钟） 答：她要想让客人尽快喝到茶水，至少需要9分钟的时间。 24．（本题5分）（24-25四年级上·浙江·期末）明明和亮亮在玩扑克牌比大小的游戏，每人拥有3张牌，每次各出一张，点数多的牌则大，三局两胜，游戏中规定明明先出牌。下图是明明和亮亮拿到的牌。 比了很多次，亮亮都无法获胜，请你帮亮亮调换一张牌，使得他有获胜的机会，你会怎么换？并写出能使亮亮获胜的出牌顺序。 【答案】将4和明明的5调换；5、9、2。（答案不唯一） 【思路引导】根据规则，如果亮亮想获胜，则必须手上的三张牌至少有2张比明明的牌点数多，可以将亮亮的4和明明的5调换，当明明出最大的10时，亮亮出最小的2，明明出4时亮亮出5，明明出7则亮亮出9，亮亮胜两局，据此解答即可。 【规范解答】调换后明明拿到的牌为：4、7、10 亮亮拿到的牌为9、5、2 当明明出4时，亮亮出5，亮亮获胜； 当明明出7时，亮亮出9，亮亮获胜； 当明明出10时，亮亮出2，明明获胜。 答：将亮亮的4和明明的5调换，明明的出牌顺序是4、7、10，则亮亮获胜的出牌顺序为5、9、2。（答案不唯一） 25．（本题6分）（24-25四年级上·浙江杭州·期末）乐乐要完成烧饭和炒菜两项家务，需要的时间如下：淘米2分钟，电饭煲煮饭20分钟，洗菜2分钟，切菜3分钟，炒菜15分钟。他完成这两项家务至少要多少时间？（请写或画出过程） 【答案】22分钟 【思路引导】先淘米，然后再煮饭，在电饭煲煮饭的同时进行洗菜、切菜和炒菜；这样所花的时间最少；接着比较电饭煲煮饭的时间和洗菜、切菜和炒菜这三个时间之和的大小；然后用比较出来的长的时间加上淘米的时间就是至少所需的时间。 【规范解答】过程为：①淘米；②电饭煲煮饭，在煮饭的同时洗菜、切菜和炒菜； 2＋3＋15 ＝5＋15 ＝20（分钟） 电饭煲煮饭的时间和洗菜、切菜和炒菜的时间之和相等。 2＋20＝22（分钟） 答：他完成这两项家务至少要22分钟。 26．（本题6分）（24-25四年级上·湖南郴州·期末）下面是同一种盒装面巾纸的价钱。一家宾馆要买30盒这种面巾纸，怎样买最省钱？最少需要多少钱？ 【答案】买一箱、3组3盒和单买1盒，最少需要94元。 【思路引导】已知有1箱（20盒）60元，3盒10元，1盒4元。单独买1盒的单价是4元。3盒10 元时，每盒的价格是3（元）……1（元）。买一箱20盒时，每盒价格是（元）。因为买一箱时每盒价格最低，所以先考虑买整箱的。宾馆要买30盒，先买1箱（20 盒），花费60元，还需要（盒）。剩下的10盒，因为3盒10元，3（组）……1（盒），即买3组3盒的，花费（元），还剩1盒单独买，花费4元。 【规范解答】先购买一箱20盒，花费60元。 还需要（盒），剩下的10盒，按3盒10元的方式购买，3（组）……1（盒），即购买3组3盒，花费（元）。 还剩 1 盒单独购买，花费 4 元。 （元） 答：最省钱的方式是买一箱、3组3盒和单买1盒，最少需要94元。 27．（本题6分）（24-25四年级上·湖南怀化·期末）我县某学校的326名学生和14名老师包车去参观芷江和平园，大车每辆可坐40人，租金每辆90元，小车每辆可坐20人，租金每辆50元。怎样租车最省钱？最少多少租金？ 【答案】租8辆大车和1辆小车最省钱；770元 【思路引导】根据题意，大车每辆可坐40人，租金每辆90元，小车每辆可坐20人，租金每辆50元，两辆小车可坐40人，租金100元。应尽量多的租大车。租车最好是全部坐满，没有空位最省钱。首先用学生的人数加上老师的人数，326＋14＝340（人），求出总人数，用总人数除以每辆大车可坐的人数，340÷40＝8（辆）……20（人），租8辆大车，剩余的人数刚好租1辆小车，且没有空位，用租1辆大车的租金乘租车的数量，求出租8辆大车需要的钱数，再用租8辆大车需要的钱数加上租1辆小车需要的钱数，求出租8辆大车和1辆小车需要的钱数，据此即可求出怎样租车最省钱，最少多少租金。 【规范解答】20×2＝40（人） 50×2＝100（元） 90＜100，应尽量多的租大车。 326＋14＝340（人） 340÷40＝8（辆）……20（人） 租8辆大车，剩余的人数刚好租1辆小车，且没有空位， 租8辆大车和1辆小车需要的钱数： 8×90＋50×1 ＝720＋50×1 ＝720＋50 ＝770（元） 答：租8辆大车和1辆小车最省钱，最少770元租金。 28．（本题6分）（19-20四年级下·黑龙江哈尔滨·期末）妈妈为全家人准备晚饭。 择菜 洗菜 淘米 煮饭 切菜 6分钟 3分钟 2分钟 18分钟 3分钟 经过合理安排，做完这些事至少需要多少分钟？（用图示的方法表示出来并计算出所需时间） 【答案】20分钟 【思路引导】要使需要的时间最短，应先淘米，然后煮饭，在完成煮饭这项任务的同时，可完成摘菜、洗菜和切菜这三项任务。则一共需要2＋18＝20分钟。 【规范解答】 2＋18＝20（分钟） 答：做完这些事至少需要20分钟。 【考点剖析】本题考查优化问题，要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，注意同时进行的两项任务应互不干扰。 29．（本题6分）（2021六年级·全国·竞赛）6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？ 【答案】按照接水时间按从少到多顺序排列等候接水；最短时间是100分钟 【思路引导】第一个人接水时，包括他本人在内，共有6个人等候，第二个人接水时，有5个人等候； ……第6个人接水时，只有他1个人等候；可见，等候的人越多（一开始时），接水时间应当越短，这样总的等候时间才会最少，因此，应当把接水时间按从少到多顺序排列等候接水。 【规范解答】最短时间： ＝18＋20＋20＋18＋14＋10 ＝100（分钟） 答：按照接水时间按从少到多顺序排列等候接水；最短时间是100分钟。 【考点剖析】本题考查的是时间统筹优化问题，对于此类问题，要把时间最少的排在最前面。 30．（本题6分）（19-20四年级上·河南南阳·期末）爸爸出差了，妈妈生病了，明明放学回家后帮妈妈做家务，明明是按照以下顺序做的：扫地（5分钟）→淘米（1分钟）→洗菜（9分钟）→打开炉子（1分钟）→煮饭（18分钟）→炒菜（7分钟）一共花了41分钟，妈妈平时没有用这么长时间，请你帮明明设计一个花费时间最少的做家务顺序。 【答案】见详解 【思路引导】要使需要的时间最短，应先淘米，然后打开炉子，再煮饭。在完成煮饭这项任务的同时，可完成扫地和洗菜这两项任务，最后炒菜。则一共需要1＋1＋18＋7＝27分钟。 【规范解答】 【考点剖析】本题考查优化问题，要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，注意同时进行的两项任务应互不干扰。 31．（本题6分）（2020四年级上·全国·竞赛）一条直街上有五栋楼，相邻两栋楼的距离都是50米。这五栋楼从左到右编号为l、2、3、4、5，楼里分别有1名、2名、3名、4名、5名职工在A工厂上班。A厂计划在直街上建一个班车站接送这五栋楼的职工上下班，为使这些职工到班车站所走的路程之和最小，车站应建在距l号楼多少米处？ 【答案】150米 【思路引导】由于每个楼上的人数不尽相同，所以车站要建在人数较多的这一侧，可以考虑4号楼和5号楼，进行分类讨论。 【规范解答】先假设车站建在中间的3号楼处。如果挪动到4号楼，有人多走50米，有人少走50米，因此建在4号楼更好。如果从4号楼挪动到5号楼，有个人多走50米，有5个人少走50米，因此建在4号楼是最好的，这时车站与1号楼相距150米。 答：车站距离1号楼 150米。 【考点剖析】对于距离优化问题，可以先确定大致的位置，然后进行分类讨论，确定最终的位置。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $