第八单元 数学广角-优化（知识梳理+导图+3个考点讲练+真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年人教版数学四年级上册单元复习举一反三培优精讲练

该小学数学讲义通过思维导图系统梳理人教版四年级上册“数学广角-优化”单元知识，以沏茶问题、烙饼问题、田忌赛马问题为核心，用框架图呈现各知识点的解题步骤、可并行任务与核心流程等关键要素，清晰展示时间优化、效率优化、策略优化的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层设计的“考点讲练+真题演练”，精选近两年名校易错题、压轴题，如烙饼问题中“3张饼交替烙法”典例及变式训练，培养学生优化思维与推理意识。基础夯实与创新拓展分层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，引导学生用数学思维解决实际问题。

第八单元 数学广角-优化 （知识梳理+3个考点讲练+真题演练+难度分层练 共37题） 【原卷版】 资料简介 内容梳理 1 梳理脉络 导图指引 2 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：沏茶问题（时间优化） 2 知识点梳理02：烙饼问题（效率优化） 3 知识点梳理03：田忌赛马问题（策略优化） 3 重点难点 考点讲练 4 高频考点讲练1：沏茶问题 4 高频考点讲练2：烙饼问题 5 高频考点讲练3：田忌赛马问题 6 升学真题 实战演练 7 优选题型 培优强化 8 基础夯实 能力提升 8 创新拓展 拔尖冲刺 11 同学你好，该份讲义用于人教版四年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：沏茶问题（时间优化） 1、问题本质：多任务协同完成，通过“并行处理”（同时进行不冲突的任务）缩短总时间，关键是找出“可并行的任务”和“必须串行的核心流程”。 2、解题步骤： （1）梳理所有任务及各自所需时间； （2）确定核心流程（必须先后进行的任务，如洗水壶→接水→烧水→沏茶）； （3）在核心流程的关键环节（如烧水），安排可并行的其他任务（如洗茶杯、找茶叶）； （4）计算总时间：核心流程总时间（不可并行部分）+无并行可安排的任务时间（若有）。 【易错点拨】 （1）区分“串行”与“并行”：串行任务必须按顺序进行（如先洗水壶才能接水），并行任务需独立无依赖（不能在接水时同时洗水壶），避免任务冲突。 （2）并行任务时间不额外叠加：若并行任务总时间≤核心环节时间，总时间不变；若并行任务总时间＞核心环节时间，需额外增加超出部分（如烧水8分钟，并行任务需10分钟，总时间需加2分钟）。 （3）解题技巧：先列任务清单→画流程图→标注并行任务→计算总时间； 知识点梳理02：烙饼问题（效率优化） 1、基础条件：锅最多烙2张饼，每张饼需烙2面，每面烙制时间相同（设为t），目标是“最短时间烙熟所有饼”。 2、核心策略：让锅始终有2张饼在烙（不空闲），是效率最高的关键。 3、数量规律： （1）双数张饼：2张为一组，每组烙2面（先正面→再反面），总时间=张数×t； （2）单数张饼：先烙3张（最优“交替烙法”），剩余双数张按双数策略烙制。 （3）3张饼交替烙法：①饼1正面+饼2正面（t）→②饼1反面+ 饼3正面（t）→③饼2反面+饼3反面（t），总时间= 3t； （4）通用公式：最短时间=饼的张数×每面烙制时间（张数≥1，锅最多烙2张）。 （5）拓展情况：若锅最多烙n张饼，最短时间=（饼的张数×2÷n）×每面时间（结果向上取整）。 【易错点拨】 解题技巧：双数张分组烙，单数张“先3后双”，牢记“张数×每面时间”（锅烙2张） 知识点梳理03：田忌赛马问题（策略优化） 1、问题背景：双方各有不同等级的资源（如马、卡片、选手），且一方同等级资源优于另一方，需通过“以弱胜强”的对阵策略，实现“三局两胜”的整体获胜目标。 2、核心策略：牺牲局部劣势，换取全局优势，具体对阵。 3、适用条件：双方资源均有“强、中、弱”三个等级，且弱势方的“强等资源＞对方中等资源”“中等资源＞对方下等资源”，否则无法实现以弱胜强。 【易错点拨】 解题技巧：先排序→定牺牲局→保关键局→验证2:1结果。 高频考点讲练1：沏茶问题 【典例精讲】（25-26四年级上·全国·单元测试）下面是小红每天早上到学校前要做的事情。你能帮小红设计一个最省时间的方案吗？把你的想法写出来。 从家到学校 起床整理被褥 刷牙 洗脸 用随身听听广播 用面包机烤面包 在家吃早饭 10分钟 3分钟 2分钟 3分钟 10分钟 2分钟 8分钟 小红每天早上7：15起床，她能在7：45前到校吗？ 【变式训练1】（25-26四年级上·全国·单元测试）制作某种零件共需A、B、C、D、E五道工序，五道工序所需时间如下表。 工序 A B C D E 所需时间/小时 5 6 8 2 7 有些工序可同时进行（B和C工序可同时进行，D和E工序可同时进行），但B、C工序必须在A工序完成后才能进行，D、E工序必须在C工序完成后才能进行。生产这种零件最少需要多少小时？ 【变式训练2】（2025四年级上·全国·专题练习）星期天，阳阳在家帮妈妈做家务。整理房间要15分钟，擦桌子要5分钟，拖地要12分钟，找齐要洗的衣服要5分钟，用全自动洗衣机洗好衣服要56分钟，晾衣服要5分钟。想一想：阳阳怎么做最省时间？最少需要多长时间？ 【变式训练3】（23-24四年级上·全国·单元测试）车间里有5台机器同时出现故障，已知第一台到第五台机器修复的时间分别为15、8、29、3、9分钟，每台机器停产一分钟会造成经济损失5元，如果只有一名修理工，按照最佳顺序修理。 （1）所有机器修理加等待的最短时间是多久？ （2）至少会造成多少经济损失？ 高频考点讲练2：烙饼问题 【典例精讲】（24-25四年级上·河北保定·期末）煮蛋器有两层，每层一次最多可以煮7个鸡蛋，煮熟一个鸡蛋需要8分钟，那么煮熟28个鸡蛋至少需要( )分钟。 【变式训练1】（24-25四年级上·贵州遵义·期末）笑笑想给爸爸、妈妈和自己每人煎一个鸡蛋。一个平底锅每次只能煎两个鸡蛋，两面都要煎，每面煎2分钟，最少( )分钟全家人都能吃上煎蛋。 【变式训练2】（24-25四年级上·河北保定·期末）大年初一的主食除水饺外，也可以吃荷包蛋，寓意是圆圆满满。煎荷包蛋要煎两面，正面需要2分钟，反面需要1分钟，锅里每次最多可以同时煎2个荷包蛋。煎3个荷包蛋至少需要( )分钟。 【变式训练3】（23-24四年级下·四川成都·期末）周末笑笑一行4人去参观自然博物馆，博物馆中有相同的3台体验设备，每台设备提供2个项目供游客体验，笑笑他们每人都要体验2个不同的项目，他们全部体验完至少需要( )分钟。 体验项目 所需时间 地壳探秘 4分钟 探索星空 2分钟 高频考点讲练3：田忌赛马问题 【典例精讲】（25-26四年级上·全国·单元测试）学校举行拍球比赛，三（1）班对阵三（2）班，下面是参赛选手的平均成绩。 三（1）班代表队 三（2）班代表队 小军230下/分 小平200下/分 小虎189下/分 小青165下/分 小刚150下/分 小强140下/分 采用三局两胜制，请问三（2）班代表队怎样才能赢得这场比赛的胜利？ 【变式训练1】（24-25四年级上·贵州遵义·期末）四年级学生举行100米赛跑，每班选手成绩如下表： 一班 甲：15秒 乙：19秒 丙：21秒 二班 A：16秒 B：20秒 C：23秒 一班选手的比赛顺序是甲→乙→丙。如果比赛采取三场两胜制，二班若想获胜，应采取的比赛顺序是（    ）。 A．C→A→B B．A→B→C C．B→C→A D．C→B→A 【变式训练2】（23-24四年级上·浙江温州·期末）有22枚棋子，每人每次可以拿1或2枚，拿到最后一枚的人赢。 （1）你觉得先拿赢还是后拿赢？ （2）请用写一写、画一画的办法说明你是怎么拿的？ 【变式训练2】（23-24四年级上·浙江台州·期末）东东和小丽玩扑克牌比大小的游戏，点数大的人赢。每人每次出一张牌，三局两胜。东东先出牌，最后小丽赢了。想一想：小丽第三张牌的点数最小是（    ），并把小丽的出牌次序记在表格中。 东东的牌：   小丽的牌： 东东出的牌 小丽出的牌 第一局 10 第二局 7 第三局 5 【演练1】（2025·重庆·小升初真题）电车公司维修站有7辆电车需要维修，如果用一名工人维修这7辆电车的修复时间分别为12、17、8、18、23、30、14分钟，每辆电车停开1分钟经济损失11元。现在由3名工作效率相同的维修工人各自单独工作，要使经济损失降到最低，最少损失多少元？ 【演练2】（2024·广东广州·小升初真题）妈妈要烙5张饼，锅里每次最多只能烙2张，两面都要烙，每面烙3分钟，至少需要 分钟。 【演练3】（2023·浙江·小升初真题）学校要购买50个足球，现在有甲、乙、丙三个体育用品商店可以选择。三个商店足球的标价都是25元/只，但有不同的优惠，甲店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送；乙店：买10个以上，每个足球优惠5元；丙店：购物满100元，返回25元。请你帮助算一算到哪个商店购买省钱？ 【演练4】（2021·新疆乌鲁木齐·小升初真题）小刚骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需2分钟，乙马过河需3分钟，丙马过河需6分钟，丁马过河需7分钟，每次只能两匹马同时过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少需 分钟． 【演练5】（2024·全国·小升初真题）（萝岗区）四年级两位老师带38名同学去参观航天展览，成人门票费48元，儿童门票费是半价；如果10人以上（包含10人）可以购团票每人25元，怎样购票最划算，并说明理由。 基础夯实 能力提升 1．（24-25四年级上·河南周口·期末）妈妈中午在学校接到小华放学到家后，要做这些事情，洗菜、切菜8分钟，炒菜10分钟，淘米2分钟，电饭煲煮饭15分钟。至少需要（    ）分钟才能尽早开饭。 A．20 B．18 C．17 2．（24-25四年级上·湖北孝感·期末）一个平底锅一次只能煎两条鱼，煎一条鱼需2分钟（正、反各1分钟），煎5条鱼至少需（    ）分钟。 A．5 B．6 C．10 3．（24-25四年级上·湖北武汉·期末）“比大小”的游戏，游戏规则是①对阵3次，出大者赢，赢两次者胜。②每人每次只出一张牌。③第一次谁先出牌，后两次还是谁先。左边三张是小红的，右边三张是小军的。小军先出5，小红出（    ）才有可能获胜。 A．3 B．6 C．9 D．无法确定 4．（25-26四年级上·海南海口·单元测试）烤面包，每次最多只能烤2片面包，两面都要烤，每面2分钟，烤2片至少需要( )分钟。 5．（24-25四年级上·安徽淮南·期末）5个鸡蛋同时煮需要8分钟，10个鸡蛋同时煮需要( )分钟。 6．（23-24三年级下·河北保定·期末）张老师周末上午9：00开始，要做下面几件事：用洗衣机洗衣服50分钟，拖地20分钟，擦桌子20分钟，晾衣服5分钟，下楼扔垃圾5分钟。如果张老师做完一件事再做另一件，共需要( )分钟；如果合理安排一下，只需要( )分钟。 7．（24-25四年级上·湖北黄石·期末）果果星期六要到绘画班学习画画，她早晨8：00起床后，要做的事情和所用时间如下图所示，她最早什么时间能到绘画班上课。 穿衣、叠被：5分钟 刷牙、洗脸：3分钟 吃早餐、收拾餐桌：10分钟 整理书包：2分钟 坐车：8分钟 听音乐：15分钟 8．（24-25四年级上·河北沧州·期末）芳芳早晨起床后，刷牙洗脸要用2分钟，用电饭锅烧早饭要14分钟，读英语单词要12分钟，吃早饭要用6分钟，请列式计算芳芳起床后最快多少分钟就能去上学。 9．（24-25四年级上·北京东城·期末）甲、乙两个体育商店都卖同一种跳绳，单价相同，现在两个商店都有优惠活动。 甲商店 每买10根跳绳赠送1根同样的跳绳，不足10根不赠送。 乙商店 购买跳绳数量超过30根（含30根）时，所买的跳绳每根均便宜8元。 体育李老师准备为学校购买33根这种跳绳，去哪家商店购买最省钱？用喜欢的方式表达你的思考过程。 10．（25-26四年级上·全国·单元测试）合理安排比赛。 四年级两个班要进行羽毛球比赛，每班有3名选手参加，两班实力相当。四（2）班的三名选手按实力强弱分别编号为A、B、C；四（1）班的三名选手按实力强弱分别编为甲、乙、丙。已知两个班只比赛三场，每名选手只能比赛一次，每班只要能赢两场即可赢得比赛。 （1）如果不考虑包括运动员水平发挥等各种情况，想让四（2）班赢得比赛，应该怎样安排各选手对阵？试填写在下表中。 四（1）班 四（2）班 本场胜者 第一场 甲 第二场 乙 第三场 丙 （2）如果不考虑包括运动员水平发挥等各种情况，想让四（1）班赢得比赛，应该怎样安排各选手对阵？试填写在下表中。 四（1）班 四（2）班 本场胜者 第一场 A 第二场 B 第三场 C 创新拓展 拔尖冲刺 11．（2015·全国·小升初真题）小华双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用20分钟，扫地要用6分钟，擦家具要用10分钟，晾衣服要用5分钟。做完这些事至少要花（    ）分钟。 A．21 B．25 C．26 D．35 12．（24-25四年级上·河北保定·期末）乐乐和涛涛玩出军棋比级别高低游戏，三局两胜。乐乐有三个棋子，涛涛有三个棋子。乐乐先出，涛涛要想获得最后胜利，应出（    ）。（军棋级别由高到低是军师旅团营连排） A．或 B．或 C．或 13．（24-25四年级上·河北保定·期末）乐乐和涛涛玩出军棋比级别高低游戏，三局两胜。乐乐有师长、团长、排长三个棋子，涛涛有营长、军长、连长三个棋子。乐乐先出排长，涛涛要想获得最后胜利，应出（    ）。（军棋级别由高到低是军师旅团营连排） A．营长或军长 B．营长或连长 C．军长或连长 14．（24-25四年级上·广东广州·期末）超市里同一种自动铅笔有下面三种不同的包装。刘老师要买46支（只能整盒购买）这样的自动铅笔作为奖品发给学生，至少需要（    ）元。      A．312 B．288 C．287 D．276 15．（24-25四年级上·河北保定·期末）小明早饭经常自己做烤面包片，每面需要烤2分钟，两面都要烤，每次只能放两片，小明要烤5片面包需要( )分钟。 16．（24-25四年级上·河北保定·期末）星期天，小明帮奶奶一起做家务。他们择菜5分钟，洗菜3分钟，电饭锅煮饭15分钟，淘米3分钟，切菜3分钟，炒菜5分钟，做完这些至少需要( )分钟。 17．（2024·湖北十堰·小升初真题）为解决食堂吃饭排队时间过长的问题，某学校实施错峰放学。中午12：00初中放学，15分钟后高中放学，且初中生和高中生人数一样多。假设每个窗口打饭速度一样，如果开放五个窗口，初中生能在20分钟内全部打饭完毕。12：00开放5个窗口，高中生放学时再增开窗口使全部学生在12：30前吃到饭，则至少需要增开 个窗口。 18．（25-26四年级上·全国·单元测试）牧马人骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需要5分钟，乙马过河需要6分钟，丙马过河需要3分钟，丁马过河需要9分钟。赶马过河时，每次最多能通过两匹马过河，要将四匹马都赶至对岸，牧马人应该怎样安排可使所用时间最短？最短需要多少分钟？ 19．（23-24四年级上·全国·课后作业）有2021粒棋子。甲、乙两人分别轮流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的为胜者。现在两人通过抽签决定谁先取。你认为先取的能胜，还是后取的能胜？怎样取法才能获胜？ 20．（21-22四年级上·江西赣州·单元测试）有30张卡片。两人轮流从中取，每次至少取1张，最多取3张，谁取到最后一张谁就输。让你先取，你有必胜的策略吗？怎样取才能获胜？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 数学广角-优化 （知识梳理+3个考点讲练+真题演练+难度分层练 共37题） 【解析版】 资料简介 内容梳理 1 梳理脉络 导图指引 2 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：沏茶问题（时间优化） 2 知识点梳理02：烙饼问题（效率优化） 3 知识点梳理03：田忌赛马问题（策略优化） 3 重点难点 考点讲练 4 高频考点讲练1：沏茶问题 4 高频考点讲练2：烙饼问题 6 高频考点讲练3：田忌赛马问题 8 升学真题 实战演练 11 优选题型 培优强化 14 基础夯实 能力提升 14 创新拓展 拔尖冲刺 19 同学你好，该份讲义用于人教版四年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：沏茶问题（时间优化） 1、问题本质：多任务协同完成，通过“并行处理”（同时进行不冲突的任务）缩短总时间，关键是找出“可并行的任务”和“必须串行的核心流程”。 2、解题步骤： （1）梳理所有任务及各自所需时间； （2）确定核心流程（必须先后进行的任务，如洗水壶→接水→烧水→沏茶）； （3）在核心流程的关键环节（如烧水），安排可并行的其他任务（如洗茶杯、找茶叶）； （4）计算总时间：核心流程总时间（不可并行部分）+无并行可安排的任务时间（若有）。 【易错点拨】 （1）区分“串行”与“并行”：串行任务必须按顺序进行（如先洗水壶才能接水），并行任务需独立无依赖（不能在接水时同时洗水壶），避免任务冲突。 （2）并行任务时间不额外叠加：若并行任务总时间≤核心环节时间，总时间不变；若并行任务总时间＞核心环节时间，需额外增加超出部分（如烧水8分钟，并行任务需10分钟，总时间需加2分钟）。 （3）解题技巧：先列任务清单→画流程图→标注并行任务→计算总时间； 知识点梳理02：烙饼问题（效率优化） 1、基础条件：锅最多烙2张饼，每张饼需烙2面，每面烙制时间相同（设为t），目标是“最短时间烙熟所有饼”。 2、核心策略：让锅始终有2张饼在烙（不空闲），是效率最高的关键。 3、数量规律： （1）双数张饼：2张为一组，每组烙2面（先正面→再反面），总时间=张数×t； （2）单数张饼：先烙3张（最优“交替烙法”），剩余双数张按双数策略烙制。 （3）3张饼交替烙法：①饼1正面+饼2正面（t）→②饼1反面+ 饼3正面（t）→③饼2反面+饼3反面（t），总时间= 3t； （4）通用公式：最短时间=饼的张数×每面烙制时间（张数≥1，锅最多烙2张）。 （5）拓展情况：若锅最多烙n张饼，最短时间=（饼的张数×2÷n）×每面时间（结果向上取整）。 【易错点拨】 解题技巧：双数张分组烙，单数张“先3后双”，牢记“张数×每面时间”（锅烙2张） 知识点梳理03：田忌赛马问题（策略优化） 1、问题背景：双方各有不同等级的资源（如马、卡片、选手），且一方同等级资源优于另一方，需通过“以弱胜强”的对阵策略，实现“三局两胜”的整体获胜目标。 2、核心策略：牺牲局部劣势，换取全局优势，具体对阵。 3、适用条件：双方资源均有“强、中、弱”三个等级，且弱势方的“强等资源＞对方中等资源”“中等资源＞对方下等资源”，否则无法实现以弱胜强。 【易错点拨】 解题技巧：先排序→定牺牲局→保关键局→验证2:1结果。 高频考点讲练1：沏茶问题 【典例精讲】（25-26四年级上·全国·单元测试）下面是小红每天早上到学校前要做的事情。你能帮小红设计一个最省时间的方案吗？把你的想法写出来。 从家到学校 起床整理被褥 刷牙 洗脸 用随身听听广播 用面包机烤面包 在家吃早饭 10分钟 3分钟 2分钟 3分钟 10分钟 2分钟 8分钟 小红每天早上7：15起床，她能在7：45前到校吗？ 【答案】能；方案见详解 【思路引导】从家到学校和听广播可以同时进行，刷牙和烤面包可以同时进行。把单独进行的时间相加再加上同时进行的时间即可确定最少的时间，然后确定到校的时刻即可。 【规范解答】起床整理被褥3分钟→刷牙2分钟（同时用面包机烤面包）→洗脸3分钟→吃早饭8分钟→从家到学校 10分钟（同时用随身听听广播） 共计：3＋2＋3＋8＋10＝26（分钟） 7：45－7：15＝30分钟 因为30＞26，所以她能在7：45前到校。 答：她能在7：45前到校。 【变式训练1】（25-26四年级上·全国·单元测试）制作某种零件共需A、B、C、D、E五道工序，五道工序所需时间如下表。 工序 A B C D E 所需时间/小时 5 6 8 2 7 有些工序可同时进行（B和C工序可同时进行，D和E工序可同时进行），但B、C工序必须在A工序完成后才能进行，D、E工序必须在C工序完成后才能进行。生产这种零件最少需要多少小时？ 【答案】20小时 【思路引导】由题意得，B、C必须在A完成后才能进行，D、E工序必须在C工序完成后才能进行，所以要最先完成A工序。完成A工序需要5小时，之后同时进行B和C工序。B工序需要6小时，C工序需要8小时。6小时＜8小时，即C工序所需时间更长，那么B、C两个工序都完成需要8小时。完成C工序之后，再同时进行D和E工序。D工序需要2小时，E工序需要7小时，2小时＜7小时，即E工序所需时间更长，那么D、E两个工序都完成需要7小时。直接把三段时间相加即可算出生产这种零件最少需要多少小时。 【规范解答】5＋8＋7 ＝13＋7 ＝20（小时） 答：生产这种零件最少需要20小时。 【变式训练2】（2025四年级上·全国·专题练习）星期天，阳阳在家帮妈妈做家务。整理房间要15分钟，擦桌子要5分钟，拖地要12分钟，找齐要洗的衣服要5分钟，用全自动洗衣机洗好衣服要56分钟，晾衣服要5分钟。想一想：阳阳怎么做最省时间？最少需要多长时间？ 【答案】做法见详解；66分钟 【思路引导】要节省时间，需将能同时进行的任务安排在洗衣机工作的56分钟内完成。找衣服和晾衣服必须单独进行，其他任务可并行处理。洗衣服的时间，可以同时整理房间要15分钟，擦桌子要5分钟，拖地要12分钟，这三项总时间为15＋5＋12＝32（分钟），能在56分钟内完成，即最少需要5分钟（找衣服）＋56分钟（洗衣服）＋5分钟（晾衣服）＝66（分钟），据此解答即可。 【规范解答】15＋5＋12＝32（分钟） 32＜56 5＋56＋5＝66（分钟） 答：阳阳先找齐要洗的衣服，然后用全自动洗衣机洗衣服的同时整理房间、擦桌子、拖地，最后晾衣服；最少需要66分钟。 【变式训练3】（23-24四年级上·全国·单元测试）车间里有5台机器同时出现故障，已知第一台到第五台机器修复的时间分别为15、8、29、3、9分钟，每台机器停产一分钟会造成经济损失5元，如果只有一名修理工，按照最佳顺序修理。 （1）所有机器修理加等待的最短时间是多久？ （2）至少会造成多少经济损失？ 【答案】（1）133分钟 （2）665元 【思路引导】（1）最佳修理顺序为先处理修复时间最短的车床，依次为3分钟，8分钟、9分钟、15分钟、29分钟，那么修理3分钟的机器的时候，其他4台机器都要等待3分钟，也就是修理加等待为5个3分钟；修理8分钟的机器的时候，其他3台机器都要等待8分钟，也就是修理加等待为4个8分钟；修理9分钟的机器的时候，其他2台机器都要等待9分钟，也就是修理加等待为3个9分钟；修理15分钟的机器的时候，剩下1台机器也要等待15分钟，也就是修理加等待为2个15分钟；最后修理剩下的1台机器花费29分钟，将所有的时间用乘法计算出来再相加即可； （2）每台机器停产一分钟会造成经济损失5元，那么用停产的总时间乘5，可以计算出一共损失多少元；据此解答。 【规范解答】（1）3×5＋8×4＋9×3＋15×2＋29×1 ＝15＋32＋27＋30＋29 ＝133（分钟） 答：所有机器修理加等待的最短时间是133分钟。 （2）133×5＝665（元） 答：至少会造成665元经济损失。 【考点剖析】注意机器修理的正确顺序，是按时间最短到时间最长来修理，是解答本题的关键。 高频考点讲练2：烙饼问题 【典例精讲】（24-25四年级上·河北保定·期末）煮蛋器有两层，每层一次最多可以煮7个鸡蛋，煮熟一个鸡蛋需要8分钟，那么煮熟28个鸡蛋至少需要( )分钟。 【答案】16 【思路引导】煮蛋器有两层，每层一次最多可以煮7个鸡蛋，28除以7算出放4层，然后用4除以2算出需要煮蛋器煮两次，煮一次需要8分钟，2乘8即为28个鸡蛋至少需要几分钟。 【规范解答】28÷7÷2 ＝4÷2 ＝2（次） 2×8＝16（分钟） 煮熟28个鸡蛋至少需要16分钟。 【变式训练1】（24-25四年级上·贵州遵义·期末）笑笑想给爸爸、妈妈和自己每人煎一个鸡蛋。一个平底锅每次只能煎两个鸡蛋，两面都要煎，每面煎2分钟，最少( )分钟全家人都能吃上煎蛋。 【答案】6 【思路引导】笑笑想给爸爸、妈妈和自己每人煎一个鸡蛋，一共煎3个鸡蛋，先煎第一个与第二个的正面需2分钟，然后煎第一个的反面与第三个的正面需要2分钟，最后煎第二个的反面与第三个的反面需2分钟，煎完3个共需2×3＝6分钟，据此解答即可。 【规范解答】2×3＝6（分钟） 笑笑想给爸爸、妈妈和自己每人煎一个鸡蛋。一个平底锅每次只能煎两个鸡蛋，两面都要煎，每面煎2分钟，最少6分钟全家人都能吃上煎蛋。 【变式训练2】（24-25四年级上·河北保定·期末）大年初一的主食除水饺外，也可以吃荷包蛋，寓意是圆圆满满。煎荷包蛋要煎两面，正面需要2分钟，反面需要1分钟，锅里每次最多可以同时煎2个荷包蛋。煎3个荷包蛋至少需要( )分钟。 【答案】5 【思路引导】第一阶段（2分钟）： 同时煎两个荷包蛋的正面（每个正面需2分钟），此时两个蛋的正面完成。第二阶段（2分钟）：第一个1分钟：煎第一个蛋的反面（需1分钟）和第三个蛋的正面（开始煎，需2分钟）。第二个1分钟：取出第一个蛋，放入第二个蛋的反面（需1分钟），同时继续煎第三个蛋的正面剩余1分钟。第三阶段（1分钟）： 单独煎第三个蛋的反面（需1分钟）。 【规范解答】2分钟（第一阶段）＋ 2分钟（第二阶段）＋ 1分钟（第三阶段）＝5分钟 煎3个荷包蛋至少需要5分钟。 【考点剖析】通过合理安排煎蛋顺序，充分利用锅的两个位置，减少等待时间。 【变式训练3】（23-24四年级下·四川成都·期末）周末笑笑一行4人去参观自然博物馆，博物馆中有相同的3台体验设备，每台设备提供2个项目供游客体验，笑笑他们每人都要体验2个不同的项目，他们全部体验完至少需要( )分钟。 体验项目 所需时间 地壳探秘 4分钟 探索星空 2分钟 【答案】8 【思路引导】要想用时最短，那么每台设备尽量的不留空闲的时间。把4个小朋友编号为①②③④，他们可以让①②号小朋友先去第一、二台设备体验探索星空2分钟，③号小朋友去第三台设备体验地壳探秘4分钟，第一台设备体验完后继续让①号小朋友继续体验地壳探秘4分钟，第二台设备让④号小朋友体验地壳探秘4分钟，第三台设备体验完后让②号小朋友体验地壳探秘4分钟，然后等第一、二台设备地壳探秘体验完以后让③④号小朋友体验探索星空2分钟。这样他们4人都把所有的项目体验完了，并且3台设备同时开始和结束，中间没有空闲时间。 【规范解答】第一台设备：2＋4＋2＝8（分钟） 第二台设备：2＋4＋2＝8（分钟） 第三台设备：4＋4＝8（分钟） 他们全部体验完至少需要8分钟。 【考点剖析】此题考查了优化问题，要把能同时进行的事情安排同一时间进行，这样用时最少。 高频考点讲练3：田忌赛马问题 【典例精讲】（25-26四年级上·全国·单元测试）学校举行拍球比赛，三（1）班对阵三（2）班，下面是参赛选手的平均成绩。 三（1）班代表队 三（2）班代表队 小军230下/分 小平200下/分 小虎189下/分 小青165下/分 小刚150下/分 小强140下/分 采用三局两胜制，请问三（2）班代表队怎样才能赢得这场比赛的胜利？ 【答案】见详解 【思路引导】此题可以结合田忌赛马的故事进行解答，要使三（2）班胜出，可以让三（2）班的小强与三（1）班的小军比赛，三（1）的小军胜；三（2）班的小平与三（1）班的小虎比赛，三（2）班的小平胜，三（2）班的小青与三（1）班的小刚比赛，三（2）班的小青胜，根据三局两胜的规则即可得出三（2）班胜。 【规范解答】列表如下： 第一场 第二场 第三场 三（1）班 小军 小虎 小刚 三（2）班 小强 小平 小青 本场胜者 三（1）班 三（2）班 三（2）班 答：综上列表，根据三局两胜的规则即可得出三（2）班胜。 【变式训练1】（24-25四年级上·贵州遵义·期末）四年级学生举行100米赛跑，每班选手成绩如下表： 一班 甲：15秒 乙：19秒 丙：21秒 二班 A：16秒 B：20秒 C：23秒 一班选手的比赛顺序是甲→乙→丙。如果比赛采取三场两胜制，二班若想获胜，应采取的比赛顺序是（    ）。 A．C→A→B B．A→B→C C．B→C→A D．C→B→A 【答案】A 【思路引导】时间用得最少的人跑得最快，因此二班若想获胜，应让二班用时23秒的学生与一班用时15秒的学生比赛，即C与甲进行比赛；让二班用时16秒的学生与一班用时19秒的学生比赛，即A与乙进行比赛；让二班用时20秒的学生与一班用时21秒的学生比赛，即B与丙进行比赛；据此解答即可。 【规范解答】一班选手的比赛顺序是甲→乙→丙。如果比赛采取三场两胜制，二班若想获胜，应采取的比赛顺序是C→A→B。 故答案为：A 【变式训练2】（23-24四年级上·浙江温州·期末）有22枚棋子，每人每次可以拿1或2枚，拿到最后一枚的人赢。 （1）你觉得先拿赢还是后拿赢？ （2）请用写一写、画一画的办法说明你是怎么拿的？ 【答案】（1）先拿赢 （2）见详解 【思路引导】（1）（2）关键是掌握取棋子的方法；依据每人可以取1枚或2枚，要想获胜，则保证自己倒数第二次取完后还剩3枚；最后3枚中，无论对方取还是自己取，自己都可以取1枚或2枚，保证取完；用22除以（1＋2）可知，先拿1枚，后面每次拿的枚数与对手拿的枚数之和都为3枚，这样保证能赢，依此进行解答即可。 【规范解答】（1）答：我觉得先拿会赢。 （2）22÷（1＋2） ＝22÷3 ＝7（次）……1（枚） 先拿的拿1颗，后面每次拿的枚数与对手拿的枚数之和都为3枚。 画图如下： 【变式训练2】（23-24四年级上·浙江台州·期末）东东和小丽玩扑克牌比大小的游戏，点数大的人赢。每人每次出一张牌，三局两胜。东东先出牌，最后小丽赢了。想一想：小丽第三张牌的点数最小是（    ），并把小丽的出牌次序记在表格中。 东东的牌：   小丽的牌： 东东出的牌 小丽出的牌 第一局 10 第二局 7 第三局 5 【答案】8；见详解 【思路引导】根据田忌赛马的道理，用小丽点数最小的牌和小东最大的牌去比，输掉第一局。剩余两局，小丽比东东的点数大即可获胜。 【规范解答】游戏规则是三局两胜，小丽只需要赢两场就行。当东东出最大的点数10时，小丽只需要拿出自己最小的点数4，输掉第一局。第二局，东东出点数7时，小丽只需要比点数7大就行。所以，小丽的第三张牌的点数最小是8，第二局小丽获胜。第三局时，东东出点数5，小丽出点数6即可，第三局小丽获胜。这样，小丽赢2局输1局，小丽获胜。 东东出的牌 小丽出的牌 第一局 10 4 第二局 7 8 第三局 5 6 【考点剖析】本题主要考查数学广角中“田忌赛马”原理的灵活应用。 【演练1】（2025·重庆·小升初真题）电车公司维修站有7辆电车需要维修，如果用一名工人维修这7辆电车的修复时间分别为12、17、8、18、23、30、14分钟，每辆电车停开1分钟经济损失11元。现在由3名工作效率相同的维修工人各自单独工作，要使经济损失降到最低，最少损失多少元？ 【答案】1991元 【思路引导】要使经济损失最小，需将修复时间短的车辆优先分配给工人，减少总停开时间。将7辆车的修复时间从小到大排序为8、12、14、17、18、23、30分钟。分配给3名工人时，尽量均衡各组的总停开时间。最优分配为：工人①修8、14、18分钟的车，总停开时长为8＋8＋14＋8＋14＋18＝70分钟。工人②修17、23分钟的车，总停开时长为17＋17＋23＝57分钟。工人③修12、30分钟的车，总停开时长为12＋12＋30＝54分钟。把3名工人总停开时长相加后再与11相乘即可解答。 【规范解答】将修复时间排序：8、12、14、17、18、23、30分钟。 工人①：8、14、18分钟，停开时间总和：8＋8＋14＋8＋14＋18＝70（分钟） 工人②：17、23分钟，停开时间总和：17＋17＋23＝57（分钟） 工人③：12、30分钟，停开时间总和：12＋12＋30＝54（分钟） （70＋57＋54）×11 ＝181×11 ＝1991（元） 答：最少损失1991元。 【考点剖析】本题可根据要使经济损失降到最低，应让修复用时短的车辆优先维修，且使三名工人的工作时间尽量均匀的原则来安排维修顺序，进而计算出最少损失。 【演练2】（2024·广东广州·小升初真题）妈妈要烙5张饼，锅里每次最多只能烙2张，两面都要烙，每面烙3分钟，至少需要 分钟。 【答案】15 【思路引导】当烙2张及以上的饼，并且锅里只能同时烙两张饼时，最少需要的时间＝烙一面需要的时间×张数；依此计算并填空。 【规范解答】（分钟） 妈妈要烙5张饼，锅里每次最多只能烙2张，两面都要烙，每面烙3分钟，至少需要15分钟。 【演练3】（2023·浙江·小升初真题）学校要购买50个足球，现在有甲、乙、丙三个体育用品商店可以选择。三个商店足球的标价都是25元/只，但有不同的优惠，甲店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送；乙店：买10个以上，每个足球优惠5元；丙店：购物满100元，返回25元。请你帮助算一算到哪个商店购买省钱？ 【答案】丙商店 【思路引导】甲买10送2，那先买40个就送8个，再买2个即可，相当于花42个足球的钱购买了50个足球；乙店是每个足球优惠5元，即单价为20元；丙购买满100元，返回25元，相当于每买4个就返回25元。据此计算哪个商店费用低就更省钱。 【规范解答】甲店：50÷（10＋2）＝4（组）……2（个），即以10个足球为一组，买4组再单买2个。 10×4×25＋2×25 ＝1000＋50 ＝1050（元） 乙店：50×（25－5） ＝50×20 ＝1000（元） 丙店：100÷25＝4（个），即每买4个足球返还25元。 50÷4＝12（组）……2（个），即以4个足球为一组，买12组再单买2个。 12×4×25－12×25＋2×25 ＝1200－300＋50 ＝900＋50 ＝950（元） 950＜1000＜1050 答：到丙商店购买省钱。 【考点剖析】此题应根据题意进行计算，先求出每个商店所花的钱数，然后进行比较，即可得出结论。 【演练4】（2021·新疆乌鲁木齐·小升初真题）小刚骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需2分钟，乙马过河需3分钟，丙马过河需6分钟，丁马过河需7分钟，每次只能两匹马同时过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少需 分钟． 【答案】18 【思路引导】骑甲赶乙，骑回甲：3＋2＝5（分钟），再骑丙赶丁，骑乙回：7＋3＝10（分钟）；再骑甲赶乙过河不回，需3分钟，据此解答。 【规范解答】最少需要的时间是：3＋2＋7＋3＋3＝18（分钟） 【考点剖析】本题的关键是让用时最少的两匹马先过河，然后骑用时最少的回来，再把用时最多的赶过河，然后再骑用时最少的回来，然后再过河。 【演练5】（2024·全国·小升初真题）（萝岗区）四年级两位老师带38名同学去参观航天展览，成人门票费48元，儿童门票费是半价；如果10人以上（包含10人）可以购团票每人25元，怎样购票最划算，并说明理由。 【答案】两位老师和8名同学购买团体票，30名学生购买儿童票，最划算，理由见解析 【思路引导】抓住题干中的两种购票方案，因为成人票不如团体票便宜，所以成人尽量购买团体票；同理，因为儿童票比团体票便宜，所以学生尽量购买学生票；据此按分开购票、合购团体票、交叉买票，分别算出应付的钱数进行比较，即可解决问题。 【规范解答】（1）①分开购票， 48×2＋48÷2×38 ＝96＋912 ＝1008（元） ②合购团体票， 25×（38＋2） ＝25×40 ＝1000（元） ③交叉买票：两位老师和8名同学购买团体票，剩下的38﹣8＝30名学生购买儿童票， 25×（2＋8）＋48÷2×30 ＝250＋720 ＝970（元） 1008＞1000＞970； 所以，两位老师和8名同学购买团体票，30名学生购买儿童票，最划算。 【考点剖析】选用哪种购票方式与大人和学生的多少有关系，如果学生数多于一定数值则购买儿童票合算，如果成人数多于一定数值则购买团体票合算。 基础夯实 能力提升 1．（24-25四年级上·河南周口·期末）妈妈中午在学校接到小华放学到家后，要做这些事情，洗菜、切菜8分钟，炒菜10分钟，淘米2分钟，电饭煲煮饭15分钟。至少需要（    ）分钟才能尽早开饭。 A．20 B．18 C．17 【答案】A 【思路引导】可以先淘米，洗菜、切菜，炒菜的同时用电饭锅煮饭，此时用时最少。也就是用2＋8＋10，据此解题。 【规范解答】2＋8＋10 ＝10＋10 ＝20（分钟） 妈妈中午在学校接到小华放学到家后，要做这些事情，洗菜、切菜8分钟，炒菜10分钟，淘米2分钟，电饭煲煮饭15分钟。至少需要20分钟才能尽早开饭。 故答案为：A 2．（24-25四年级上·湖北孝感·期末）一个平底锅一次只能煎两条鱼，煎一条鱼需2分钟（正、反各1分钟），煎5条鱼至少需（    ）分钟。 A．5 B．6 C．10 【答案】A 【思路引导】先煎前两条鱼：把两条小黄鱼放入平底锅同时煎，因为煎一条鱼正反面各需1分钟，所以煎这两条鱼的正面和反面共需1＋1＝2（分钟），这样就煎好了两条小黄鱼。    煎第三条和第四条鱼：先煎第三条鱼的正面和第四条鱼的正面，这需要1分钟。然后煎第三条鱼的反面和第五条鱼的正面，又需要1分钟。此时第三条鱼已经煎好。 煎第四条和第五条鱼：最后煎第四条鱼的反面和第五条鱼的反面，这也需要1分钟，这样第四条和第五条鱼也煎好了。据此解答。 【规范解答】2＋1＋1＋1＝5（分钟） 所以煎5条小鱼最少需要5分钟。 故答案为：A 3．（24-25四年级上·湖北武汉·期末）“比大小”的游戏，游戏规则是①对阵3次，出大者赢，赢两次者胜。②每人每次只出一张牌。③第一次谁先出牌，后两次还是谁先。左边三张是小红的，右边三张是小军的。小军先出5，小红出（    ）才有可能获胜。 A．3 B．6 C．9 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】分析小军先出5时小红出3的情况：若小红第一次出3，小军出5，小军赢第一次。 因为第一次谁先出牌，后两次还是谁先，所以第二次小红先出牌。小红此时有6和9两张牌，小军有8和0两张牌。小红出9，小军出8，小红赢第二次。 第三次小红先出牌，小红出6，小军出0，小红赢第三次。这样小红赢了两次，符合赢两次者胜的规则，所以小红第一次出3有可能获胜。    分析小红出6或9的情况： 若小红第一次出6，小军出5，小红赢第一次。但第二次小红先出牌，若小红出3，小军出8，小军赢第二次；若小红出9，小军出0，小红赢第二次，此时前两次一胜一负。第三次小红先出牌，若小红出剩下的牌（3或9），小军出8或0，小军赢第三次，这样小军赢两次，小红输，所以小红第一次出6不能保证获胜。 若小红第一次出9，小军出5，小红赢第一次。第二次小红先出牌，若小红出3，小军出8，小军赢第二次；若小红出6，小军出0，小红赢第二次，此时前两次还是一胜一负。第三次小红先出牌，若小红出剩下的牌（3或6），小军出8或0，小军赢第三次，这样小军赢两次，小红输，所以小红第一次出9也不能保证获胜。 【规范解答】由分析知，小军先出5，小红出3才有可能获胜。 故答案为：A 4．（25-26四年级上·海南海口·单元测试）烤面包，每次最多只能烤2片面包，两面都要烤，每面2分钟，烤2片至少需要( )分钟。 【答案】4 【思路引导】每次最多烤2片，每面需要2分钟，将两片面包同时烤正面，再同时烤反面，总时间为2＋2＝4（分钟），据此即可解答。 【规范解答】将两片面包分别记为A和B。 第一次烤：A的正面和B的正面，用时2分钟。 第二次烤：A的反面和B的反面，用时2分钟。 总时间：2＋2＝4（分钟） 因此，烤2片至少需要4分钟。 5．（24-25四年级上·安徽淮南·期末）5个鸡蛋同时煮需要8分钟，10个鸡蛋同时煮需要( )分钟。 【答案】8 【思路引导】煮鸡蛋的时间取决于煮熟单个鸡蛋所需的时间，与数量无关，只要同时进行，时间不变。 【规范解答】5个鸡蛋同时煮需要8分钟，10个鸡蛋同时煮需要8分钟。 6．（23-24三年级下·河北保定·期末）张老师周末上午9：00开始，要做下面几件事：用洗衣机洗衣服50分钟，拖地20分钟，擦桌子20分钟，晾衣服5分钟，下楼扔垃圾5分钟。如果张老师做完一件事再做另一件，共需要( )分钟；如果合理安排一下，只需要( )分钟。 【答案】 100 55 【思路引导】如果张老师做完一件事再做另一件，将所有事情需要的时间相加，求出需要的总时间。要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，注意同时进行的两项任务应互不干扰。用洗衣机洗衣服的同时，可以拖地和擦桌子，并下楼扔垃圾。最后晾衣服。一共需要（50＋5）分钟。 【规范解答】50＋20＋20＋5＋5＝100（分钟） 50＋5＝55（分钟） 如果张老师做完一件事再做另一件，共需要100分钟；如果合理安排一下，只需要55分钟。 7．（24-25四年级上·湖北黄石·期末）果果星期六要到绘画班学习画画，她早晨8：00起床后，要做的事情和所用时间如下图所示，她最早什么时间能到绘画班上课。 穿衣、叠被：5分钟 刷牙、洗脸：3分钟 吃早餐、收拾餐桌：10分钟 整理书包：2分钟 坐车：8分钟 听音乐：15分钟 【答案】8时28分 【思路引导】在穿衣、叠被、刷牙、洗脸、吃早餐、收拾餐桌、整理书包、坐车的时候，同时听音乐，所以果果做这些事情需要的时间就是穿衣、叠被、刷牙、洗脸、吃早餐、收拾餐桌、整理书包、坐车所用的时间；然后根据结束时刻＝开始时刻＋经过时间，求出果果到绘画班上课的时间。 【规范解答】5＋3＋10＋2＋8＝28（分）   8时＋28分＝8时28分     答：她最早8时28分能到绘画班。 8．（24-25四年级上·河北沧州·期末）芳芳早晨起床后，刷牙洗脸要用2分钟，用电饭锅烧早饭要14分钟，读英语单词要12分钟，吃早饭要用6分钟，请列式计算芳芳起床后最快多少分钟就能去上学。 【答案】20分钟 【思路引导】芳芳可以用电饭锅烧早饭的同时，刷牙洗脸和读英语单词，然后再吃早饭。据此解题。 【规范解答】12＋2＝14（分钟） 14＋6＝20（分钟） 答：芳芳起床后最快20分钟就能去上学。 9．（24-25四年级上·北京东城·期末）甲、乙两个体育商店都卖同一种跳绳，单价相同，现在两个商店都有优惠活动。 甲商店 每买10根跳绳赠送1根同样的跳绳，不足10根不赠送。 乙商店 购买跳绳数量超过30根（含30根）时，所买的跳绳每根均便宜8元。 体育李老师准备为学校购买33根这种跳绳，去哪家商店购买最省钱？用喜欢的方式表达你的思考过程。 【答案】乙商店 【思路引导】如果去甲商店，满十赠一，即花10根的钱可以得到11根，33里面有3个11，也就是花30根的钱即可得到33根；去乙商店，33根超过30根，此时单价是（39－8）元，再根据总价＝单价×数量，求出总价；然后比较两个商店花的钱数即可。 【规范解答】10＋1＝11（根） 33÷11＝3（组） 39×（3×10） ＝39×30 ＝1170（元） 即去甲商店购买需要花1170元； 33＞30； （39－8）×33 ＝31×33 ＝1023（元） 1170元＞1023元 答：去乙商店买比较便宜，要花1023元。 10．（25-26四年级上·全国·单元测试）合理安排比赛。 四年级两个班要进行羽毛球比赛，每班有3名选手参加，两班实力相当。四（2）班的三名选手按实力强弱分别编号为A、B、C；四（1）班的三名选手按实力强弱分别编为甲、乙、丙。已知两个班只比赛三场，每名选手只能比赛一次，每班只要能赢两场即可赢得比赛。 （1）如果不考虑包括运动员水平发挥等各种情况，想让四（2）班赢得比赛，应该怎样安排各选手对阵？试填写在下表中。 四（1）班 四（2）班 本场胜者 第一场 甲 第二场 乙 第三场 丙 （2）如果不考虑包括运动员水平发挥等各种情况，想让四（1）班赢得比赛，应该怎样安排各选手对阵？试填写在下表中。 四（1）班 四（2）班 本场胜者 第一场 A 第二场 B 第三场 C 【答案】（1）C；甲 A；A B；B （2）丙；A 甲；中 乙；乙 【思路引导】（1）想让四（2）班赢得比赛，先用四（2）班实力最差的和四（1）班实力最好的比赛，然后用四（2）班实力最好的和四（1）班实力第二好的比赛，最后用四（2）班实力第二好的和四（1）班实力最差的比赛； （2）想让四（1）班赢得比赛，先用四（1）班实力最差的和四（2）班实力最好的比赛，然后用四（1）班实力最好的和四（2）班实力第二好的比赛，最后用四（1）班实力第二好的和四（2）班实力最差的比赛。 【规范解答】（1） 四（1）班 四（2）班 本场胜者 第一场 甲 C 甲 第二场 乙 A A 第三场 丙 B B （2） 四（1）班 四（2）班 本场胜者 第一场 A 丙 A 第二场 B 甲 甲 第三场 C 乙 乙 创新拓展 拔尖冲刺 11．（2015·全国·小升初真题）小华双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用20分钟，扫地要用6分钟，擦家具要用10分钟，晾衣服要用5分钟。做完这些事至少要花（    ）分钟。 A．21 B．25 C．26 D．35 【答案】B 【思路引导】可以在洗衣机洗衣服的同时扫地、擦家具，这时要花20分钟，再晾衣服要用5分钟，据此解答。 【规范解答】20＋5＝25（分钟） 做完这些事至少要花25分钟。 故答案为：B 12．（24-25四年级上·河北保定·期末）乐乐和涛涛玩出军棋比级别高低游戏，三局两胜。乐乐有三个棋子，涛涛有三个棋子。乐乐先出，涛涛要想获得最后胜利，应出（    ）。（军棋级别由高到低是军师旅团营连排） A．或 B．或 C．或 【答案】B 【思路引导】 由题意得，乐乐先出，涛涛要想胜出，他可以出或取得这一局的胜利，但涛涛需要留着。乐乐出或时，涛涛可以出取得这一局的胜利。涛涛赢了两局之后，一定可以获得最后的胜利。据此解答。 【规范解答】 由分析得，乐乐先出，涛涛要想获得最后胜利，应出或。 故答案为：B 13．（24-25四年级上·河北保定·期末）乐乐和涛涛玩出军棋比级别高低游戏，三局两胜。乐乐有师长、团长、排长三个棋子，涛涛有营长、军长、连长三个棋子。乐乐先出排长，涛涛要想获得最后胜利，应出（    ）。（军棋级别由高到低是军师旅团营连排） A．营长或军长 B．营长或连长 C．军长或连长 【答案】B 【思路引导】由题意得，乐乐有师长、团长、排长三个棋子，涛涛有营长、军长、连长三个棋子。乐乐先出排长，涛涛不管出什么，都可以取得这一局的胜利。但乐乐此时还剩师长和团长两个棋子，涛涛要想取胜，就必须留着军长这个棋子。所以乐乐先出排长时，涛涛可以出营长或连长。 【规范解答】由题意得，乐乐先出排长，涛涛要想获得最后胜利，应出营长或连长。 故答案为：B 14．（24-25四年级上·广东广州·期末）超市里同一种自动铅笔有下面三种不同的包装。刘老师要买46支（只能整盒购买）这样的自动铅笔作为奖品发给学生，至少需要（    ）元。      A．312 B．288 C．287 D．276 【答案】C 【思路引导】先用每种包装的价格除以每种包装的支数，求出每种自动铅笔的单价，比较三种包装后尽量选择单价低的买，且支数没有剩余时最省钱。 【规范解答】72÷12＝6（元） 21÷3＝7（元） 6＜7＜8，尽量买每盒12支的。 大盒：46÷12＝3（盒）……10（支） 中盒：10÷3＝3（盒）……1（支） 剩余1支买1小盒刚好。 72×3＝216（元） 21×3＝63（元） 216＋63＋8 ＝269＋8 ＝287（元） 至少需要287元。 故答案为：C 【考点剖析】解决本题的关键思路是要比较三种包装中每支铅笔的单价，选择便宜的并且不能浪费。 15．（24-25四年级上·河北保定·期末）小明早饭经常自己做烤面包片，每面需要烤2分钟，两面都要烤，每次只能放两片，小明要烤5片面包需要( )分钟。 【答案】10 【思路引导】这实际是烙饼问题，结合所学知识，一次最多烤2片，一面时间为2分钟，要求所花的时间最少，就要在保证火炉不空着的情况下，要烤5片的最短时间是2×5（分钟）， 当烤2片及以上的面包（两面都要烤），并且锅里只能同时烤2片时，最少需要的时间＝烤一面需要的时间×片数；据此解答即可。 【规范解答】先烤第一、二片面包的正面，需要2分钟。 然后烤第一片面包的反面和第三片面包的正面，需要2分钟。 接着烤第二、三片面包的反面，需要2分钟。 再烤第四、五片面包的正面，需要2分钟。 最后烤第四、五片面包的反面，需要2分钟。 一共：2×5＝10（分钟） 小明要烤5片面包需要10分钟。 16．（24-25四年级上·河北保定·期末）星期天，小明帮奶奶一起做家务。他们择菜5分钟，洗菜3分钟，电饭锅煮饭15分钟，淘米3分钟，切菜3分钟，炒菜5分钟，做完这些至少需要( )分钟。 【答案】19 【思路引导】要使花费的时间最少，需要考虑哪些家务可以在同一时间内进行，哪些家务是不能少的，合理利用时间，因为电饭锅煮饭不需要一直盯着，在煮饭的15分钟内可以同时做其他家务，据此分析即可。 【规范解答】首先淘米3分钟，然后电饭锅煮饭15分钟，在煮饭的15分钟内，可以同时进行择菜5分钟、洗菜3分钟、切菜3分钟和炒菜5分钟。这几项家务总共需要5＋3＋3＋5＝16分钟，所以煮好饭跟做好这几项家务总共就花了16分钟，加上前面淘米的3分钟，则总共需要：16＋3＝19（分钟） 所以做完这些至少需要19分钟。 17．（2024·湖北十堰·小升初真题）为解决食堂吃饭排队时间过长的问题，某学校实施错峰放学。中午12：00初中放学，15分钟后高中放学，且初中生和高中生人数一样多。假设每个窗口打饭速度一样，如果开放五个窗口，初中生能在20分钟内全部打饭完毕。12：00开放5个窗口，高中生放学时再增开窗口使全部学生在12：30前吃到饭，则至少需要增开 个窗口。 【答案】4 【思路引导】确定学生人数：已知开放5个窗口，初中生20分钟打完饭，根据“窗口数×时间＝总人数”，可得初中生人数为5×20＝100人，因为高中生人数与初中生相同，所以高中生人数也为100人。 划分高中打饭时间：高中12：15放学，12：30前要打完饭，总共15分钟。但前5分钟（12：15－12：20），5个窗口还在处理初中剩下的饭。初中15分钟已打5×15＝75人，还剩100－75＝25人，这25人需要5个窗口再用25÷5＝5分钟才能打完，即12：20完成初中打饭。所以高中打饭分为两段：前5分钟只能靠新增窗口，后10分钟原5个窗口和新增窗口一起打。 试算新增窗口数：先算出原5个窗口在后10分钟能打5×10＝50人，那么剩下100－50＝50人需要新增窗口在15分钟内打完。一个新增窗口15分钟能打1×15＝15人，通过试算，3个新增窗口15分钟能打3×15＝45人，小于50人，不够；4个新增窗口15分钟能打4×15＝60人，大于等于50人，满足需求。所以至少需要增开4个窗口。 【规范解答】计算初中生人数：5×20＝100（人），高中生人数同为100人。 计算初中15分钟后剩余人数：100－5×15＝25（人），剩余完成时间：25÷5＝5（分钟），即12：20完成初中打饭。 高中打饭时间分段：12：15－12：20（5分钟）：仅新增窗口为高中打饭；12：20－12：30（10分钟）：原5个窗口＋新增窗口共同打饭。 原5个窗口后10分钟打饭人数：5×10＝50（人），高中剩余需新增窗口打的人数：100－50＝50（人）。 试算新增窗口数：1个窗口15分钟打：1×15＝15（人），3个窗口15分钟打：3×15＝45（人）＜50人（不够），4个窗口15分钟打：4×15＝60（人）≥50人（满足）。 则至少需要增开4个窗口。 【考点剖析】抓总量关系：用“窗口数×时间”直接算出初中（及高中）总人数，建立工作量基准；拆时间阶段：把高中打饭时间拆成“前5分钟新增窗口独做”和“后10分钟新旧窗口合做”，避开复杂方程；用试算验证：先算原窗口后10分钟能帮打多少人，再用“剩余人数÷新增窗口总时间”试算整数解。这种方法通过“化整为零”的思路，将时间与工作量对应，用乘法和简单试算替代方程。 18．（25-26四年级上·全国·单元测试）牧马人骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需要5分钟，乙马过河需要6分钟，丙马过河需要3分钟，丁马过河需要9分钟。赶马过河时，每次最多能通过两匹马过河，要将四匹马都赶至对岸，牧马人应该怎样安排可使所用时间最短？最短需要多少分钟？ 【答案】安排见详解；26分钟 【思路引导】先比较需要时间的长短，返回时要骑时间少的马，然后把各自的时间相加。 【规范解答】3＜5＜6＜9， 第一次过河，骑丙马赶甲马：5分钟， 第一次返回骑丙马：3分钟； 第二次过河，骑丙马赶乙马：6分钟， 第二次返回骑丙马：3分钟； 第三次过河，骑丙马赶丁马：9分钟 5＋3＋6＋3＋9 ＝8＋6＋3＋9 ＝14＋3＋9 ＝17＋9 ＝26（分钟）， 答：牧马人第一次过河骑丙马赶甲马，返回时骑丙马；第二次过河骑丙马赶乙马，返回时骑丙马；第三次过河骑丙马赶丁马用时最短，最短需要26分钟。（过河的顺序不唯一） 19．（23-24四年级上·全国·课后作业）有2021粒棋子。甲、乙两人分别轮流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的为胜者。现在两人通过抽签决定谁先取。你认为先取的能胜，还是后取的能胜？怎样取法才能获胜？ 【答案】先取的人能胜；先取的人取1粒，以后保证每次两人所取的粒数和是5即可获胜。 【思路引导】当棋子数为5的倍数时，后拿者胜，必胜的策略是：无论对方拿几粒，只要使自己拿的粒数与对方拿的粒数之和正好等于5；当棋子数不是5的倍数时，先拿者胜，必胜的策略是：先拿取该数除以5后的余数，给对方剩下5的倍数，在以后的取数中无论对方拿几粒，只要使自己拿的粒数与对方拿的粒数之和正好等于5即可。 【规范解答】2021÷（1＋4） ＝2021÷5 ＝404……1 答：我认为先取的能胜，先取的人取1粒，以后保证每次两人所取的粒数和是5即可获胜。 【考点剖析】此类题型比较常见，也比较简单，主要考查学生对决胜对策知识的理解和应用，解答本题的关键是先拿取该数除以5后的余数，给对方剩下5的倍数，在以后的取数中无论对方拿几粒，只要使自己拿的粒数与对方拿的粒数之和正好等于5即可获胜。 20．（21-22四年级上·江西赣州·单元测试）有30张卡片。两人轮流从中取，每次至少取1张，最多取3张，谁取到最后一张谁就输。让你先取，你有必胜的策略吗？怎样取才能获胜？ 【答案】见详解 【思路引导】我先取1张，那么还剩下29张，则只要使自己取到第29张，让对方取第30张，我就能获胜，依此解答。 【规范解答】答：我有必胜的策略，我先取一张，再看对方取几张，我要取的张数与对方的取张数的和是4张，这样下去，就能保证我会取到第29张，让对方取第30张，这样我就会获胜。 【考点剖析】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $