第7章 锐角三角函数 学情评估卷 2025-2026学年苏科版九年级数学下册

一、选择题(每小题3分，共24分) 1．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，sin A的值为(　　) A. B. C. D．2 2．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，b＝4，c＝5，则cos A的值为(　　) A. B. C. D. 3.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”小明周末在龙潭公园草坪上放风筝．已知风筝拉线长100 m且拉线与地面夹角为65°(如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计)，则风筝离地面的高度可以表示为(　　) A．100sin 65° B．100cos 65° C．100tan 65° D. (第3题)　　　　 4．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝，则∠A的度数为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 5．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A＝，cos B＝，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 6．如图是某壁挂台灯的侧面示意图，已知台灯底部离桌面距离CD＝20 cm，支架长BC＝15 cm，灯长AB＝16 cm，当支架BC与墙壁的夹角、灯AB与水平面的夹角均为30°时，阅读时光照效果最佳，此时点A与桌面的距离约为(图中所有点均在同一平面内，参考数据：≈1.73)(　　) A．34 cm B．41 cm C．45 cm D．50 cm (第6题)　　(第7题)　　(第8题) 7．如图，把一个长方形卡片ABCD放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，若tan α＝，则边BC的长为(　　) A. B．5 C．4 D. 8．如图，正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BE，连接CE，DE，若∠CED＝90°，则sin∠ECD的值是(　　) A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共30分) 9．若2cos A＝1，则锐角∠A＝________°. 10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则cos A的值为________. 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝，则BC的长为________. 12．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sin B的值是________． (第12题) 13．已知正六边形的内切圆半径为，则正六边形的周长为________. 14.在△ABC中，AB＝AC＝2，BD是AC边上的高，且BD＝，则∠ACB的度数是________. 15.图①为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，图②为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为________分米．(结果用含根号的式子表示) 　　　(第15题)　(第16题) 16．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则sin的值是________. 17．小智用七巧板拼了一个正方形(如图①所示)，再用这副七巧板拼成一个矩形(如图②所示)，连接矩形对角线，则tan α的值为________. (第17题)　　　(第18题) 18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，点A，B分别在x轴、y轴上，点C在函数y＝(k＞0)的图像上．若tan∠BAO＝，OA＝2，则k＝__________. 三、解答题(共66分) 19．(8分)计算： (1)|－3|＋2sin 30°－(π－2 025)0＋；　 (2)－cos 30°＋sin 45°. 20．(8分)在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.已知∠C＝90°，∠B＝60°，a＋c＝12，求a，b，c的值及∠A的度数. 21．(8分)在△ABC中，AB＝6，∠B为锐角且cos B＝，tan C＝3. (1)求∠B的度数． (2)求BC的长. 22.(8分)如图，在三角尺ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，将三角尺ABC绕点C逆时针旋转，当起始位置的点B恰好落在边A1B1上时，求A1B的长. 23.(8分)如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC＝6 km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B，D，C三点在一条直线上，DC＝BD. (1)求岛A与港口B之间的距离； (2)求tan C. 24．(8分)【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B.测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60 m，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°.画出示意图，如图①. 【问题解决】(1)计算A，P两点间的距离． (参考数据：sin 64°≈0.90，sin 79°≈0.98，cos 79°≈0.19，sin 37°≈0.60，tan 37°≈0.75) 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图②，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当点F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可． (2)乙小组的方案用到了________．(填写正确答案的序号) ①解直角三角形 ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案. 25．(8分)如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在上取点E，使＝，连接BE，交AC于点F. (1)求证：BE∥CD； (2)若sin D＝，BD＝1，求半圆O的半径及EF的长. 26．(10分)【问题呈现】如图①，已知P是正方形A1A2A3A4外一点，且满足∠PA1A2＋∠PA3A2＝180°，探究PA1，PA2，PA3三条线段的数量关系． 小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：如图②，构造△QA3A2与△PA1A2全等，从而得出PA1＋PA3与PA2的数量关系； 思路二：如图③，构造△MA1A2与△NA3A2全等，从而得出PA1＋PA3与PA2的数量关系． (1)请参考小颖的思路，直接写出PA1＋PA3与PA2的数量关系：____________； 【类比探究】(2)如图④，若P是正五边形A1A2A3A4A5外一点，且满足∠PA1A2＋∠PA3A2＝180°，PA1＝11，PA3＝49，求PA2的长度(结果精确到0.1，参考数据：sin 54°≈0.81，sin 72°≈0.95，cos 54°≈0.59，cos 72°≈0.31)； 【拓展延伸】(3)如图⑤，若P是正十边形A1A2…A10外一点，且满足∠PA1A2＋∠PA3A2＝180°，则PA1，PA2，PA3三条线段的数量关系为__________________(结果用含有锐角三角函数的式子表示). 答案 一、1.C　2.C　3.A　4.B　5.B　6.B　7.B　8.C 二、9.60　10.　11.1　12.　13.12　14.30°或60° 15．6－2　16.　17.　18.2＋4 三、19.解：(1)原式＝3－＋2×－1＋3 ＝3－＋1－1＋3 ＝6－. (2)原式＝－×＋×＝0. 20．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝30°.∴c＝2a. 又∵a＋c＝12，∴3a＝12，∴a＝4，∴c＝8. ∴b＝＝＝4. 21．解：(1)∵∠B为锐角且cos B＝，∴∠B＝60°. (2)如图，过点A作AH⊥BC于H， ∵cos B＝，∴＝， ∵AB＝6，∴BH＝3. 在Rt△ABH中，AH＝＝＝3， ∵tan C＝3，∴＝3， 即＝3，解得CH＝1，∴BC＝BH＋CH＝3＋1＝4. 22．解：∵在三角尺ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6， ∴∠ABC＝60°，BC＝2，AB＝4. 由旋转的性质可知∠B1＝∠ABC＝60°，B1C＝BC＝2，A1B1＝AB＝4， ∴△BCB1是等边三角形．∴BB1＝BC＝2. ∴BA1＝A1B1－B1B＝4－2＝2. 23．解：(1)如图，过点B作BM⊥AD，垂足为M， ∵AC⊥AD，∴BM∥AC， ∴△BDM∽△CDA， ∴＝， ∵DC＝BD，AC＝6 km， ∴＝，∴BM＝ km， 在Rt△ABM中，由sin∠BAD＝sin 37°＝＝≈， 得AB≈4 km. 答：岛A与港口B之间的距离约为4 km. (2)在Rt△ABM中，AM＝AB×cos 37°≈4×＝(km)， ∵△BDM∽△CDA，∴＝＝， ∴AD＝AM≈×＝(km)， 在Rt△ADC中，tan C＝≈＝. 24．解：(1)如图，过点B作BH⊥AP于点H. ∵AB＝60 m，∠PAB＝79°， ∴AH＝AB·cos 79°≈60×0.19＝11.4(m)， BH＝AB·sin 79°≈60×0.98＝58.8(m)． ∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°， ∴∠APB＝180°－79°－64°＝37°. ∵tan∠APB＝tan 37°＝≈0.75. ∴PH≈＝78.4(m)． ∴AP＝AH＋PH≈11.4＋78.4＝89.8(m)， 即A，P两点间的距离约为89.8 m. (2)②　点拨：∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP， ∠ADP＝∠EDF，∴△ADP≌△EDF(ASA)． ∴AP＝EF.∴只需测量EF即可得到AP的长度． ∴乙小组的方案用到了三角形全等． 25．(1)证明：如图，连接OC，则OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∵过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D， ∴OC⊥CD，∴∠BCD＋∠OCB＝90°， ∵AB为直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠OCA＋∠OCB＝90°，∴∠OCA＝∠BCD， ∴∠CAB＝∠BCD， ∵＝，∴∠CBE＝∠CAB＝∠BCD， ∴BE∥CD. (2)设半圆O的半径为r，则OC＝OB＝r， ∵BD＝1，∴OD＝r＋1， ∵OC⊥CD，∴sin D＝＝＝， ∴r＝2，即半圆O的半径为2，∴AB＝2r＝4. 连接AE，如图，则∠AEB＝90°， ∵BE∥CD，∴∠ABE＝∠D， ∴sin∠ABE＝sin D＝＝＝， ∴AE＝，∴BE＝＝. ∵＝，∴∠EAF＝∠BAF，∴AF平分∠BAE， ∴F到AE，AB的距离相等，都等于EF的长， ∴＝＝，∴＝＝， ∴＝，∴EF＝BE＝. 26．解：(1)PA1＋PA3＝PA2 (2)正五边形的一个内角为＝108°， 如图①，在射线PA3上截取A3Q＝PA1，连接A2Q，过点A2作A2T⊥PQ于点T， ∵∠PA1A2＋∠PA3A2＝180°，∠PA3A2＋∠QA3A2＝180°，∴∠PA1A2＝∠QA3A2，又∵A3Q＝A1P，A3A2＝A1A2，∴△QA3A2≌△PA1A2，∴∠A1A2P＝∠A3A2Q，A2P＝A2Q，∴∠PA2Q＝∠A1A2A3＝108°， ∴∠PA2T＝∠PA2Q＝54°. ∵PA1＝11，PA3＝49， ∴PQ＝PA3＋A3Q＝PA3＋PA1＝60， ∴PT＝PQ＝30，∴PA2＝≈≈37.0. (3)PA1＋PA3＝2PA2·sin 72°　 点拨：如图②，在射线PA3上截取A3Q＝PA1，连接A2Q，过点A2作A2T⊥PQ于点T， 同理可得∠PA2Q＝∠A1A2A3＝＝144°，∴∠PA2T＝∠PA2Q＝72°，∵PQ＝PA3＋A3Q＝PA3＋PA1，∴PT＝PQ＝(PA1＋PA3)， ∴PA2＝＝，即PA1＋PA3＝2PA2·sin 72°. 学科网（北京）股份有限公司 $