21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 *21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系. 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 重点：探索一元二次方程的根与系数的关系. 难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 自主学习 一、知识链接 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 2. 如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？ 算一算 解下列方程并完成填空： (1)x2+3x－4=0； (2)x2－5x+6=0； (3)2x2+3x+1=0. 一元二次方程 两根 x1 + x2=？ x1·x2=？ x1 x2 x2+3x－4=0 x2－5x+6=0 2x2+3x+1=0 想一想 方程的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？ 课堂探究 二、要点探究 探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系 猜一猜 （1） 一元二次方程 (x－x1)(x－x2) = 0 (x1，x2为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ （2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？ 证一证： x1 + x2= x1·x2= 归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，那么，. (前提条件是b2－4ac≥0) 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 典例精析 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2+7x－9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2. 归纳：在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判别 Δ≥0，如是则代入 a、b、c的值即可. 例2 已知关于x的方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 变式题 已知关于x的方程3x2－18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和. 练一练 设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则： (1) ， (2) ， (3) ， (4) . 归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入. 常见的求值式子如下： 例4 设x1，x2是方程 x2－2(k－1)x + k2 =0的两个实数根，且4，求k的值. 方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母代入方程中，方程应该满足Δ≥0 . 三、课堂小结 根与系数的关系的内容 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么，. 根与系数的关系的应用 ...... 当堂检测 1.如果－1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是 ，m = . 2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p = ， q = . 3.已知关于 x 的方程 3x2－19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 4.已知x1，x2是方程2x2+2kx+k－1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4. (1)求k的值； (2)求(x1－x2)2的值. 5.设x1，x2是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值： (1) (x1 + 1)(x2 + 1)； (2) 拓展提升 6. 当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根之差为1. 7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0 (1)若方程有实数根,求实数m的取值范围； (2)若方程两根x1，x2满足|x1-x2|= 1 求m的值. 参考答案 自主学习 1、 知识链接 1.当 Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为. 2.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根. 想一想 一元二次方程 两根 x1+x2=？ x1·x2=？ x1 x2 x2+3x－4=0 -4 1 -3 -4 x2－5x+6=0 2 3 5 6 2x2+3x+1=0 -1 课堂探究 二、要点探究 探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系 猜一猜 1.(x－x1)(x－x2) = x2－(x1+x2)x + x1x2 = 0 , x1+x2=－p，x1x2=q. 2.x1+x2=，x1x2=. 证一证：（注：b2－4ac≥0） 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 典例精析 例1 解：（1） a=1 , b= – 6 , c= – 15. Δ = b2– 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1 + x2 = –( – 6 ) =6，x1 x2 = – 15 . （2）a = 3 , b =7, c = –9. Δ= b2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1 + x2 =， x1 x2 =. （3） 方程可化为4x2–5x +1 =0，a =4，b = – 5，c = 1.Δ = b2- 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1， x2，那么x1 + x2 =，x1 x2 = 例2 解：设方程的两个根分别是x1，x2，其中x1=2 . 所以x1 x2 =2x2=即x2 = 由于x1 + x2=2+ = 得k=－7. 答：方程的另一个根是k=－7. 变式题 解：设方程的两个根分别是x1，x2，，其中x1=1.所以x1 + x2=1+ x2=6，即 x2=5 . 由于x1·x2=1×5= 得m=15. 答：方程的另一个根是5，m=15. 例3 解：根据根与系数的关系可知： ∵∴ 练一练 （1）4 （2）1 （3）14 （4）12 例4 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4(k-1)2-4k2≥0，即-8k + 4≥0. k≤由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1 x2 =k 2.∴ = 4(k - 1)2 - 2k2 = 2k2-8k +4.由 4，得 2k2-8k +4 =4，解得k1=0，k2=4 . ∵k≤，所以k=0. 当堂检测 1. ；-3. 2. 1 ； -2. 3.解：将x = 1代入方程中3 -19 + m = 0.解得m=16. 设另一个根为x1，则 4.解：(1)根据根与系数的关系得 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得k = -7； (2)因为k = -7,所以则 5. 解：根据根与系数的关系得 （1） (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= （2） 拓展提升 6.解：设方程两根分别为x1，x2（x1＞x2），则x1-x2=1.由方程有两个实数根，得 Δ = k2-8≥0，即 k2≥8 由根与系数的关系，得 7.解：（1）方程有实数根，所以Δ=b2-4ac=(-2m)2-4·m·（m-2）=4m2-4m2+8m=8m≥0.∵m≠0，∴m的取值范围为m＞0. （2）∵方程有实数根x1，x2， 解得m=8.经检验，m=8是方程的解. 学科网（北京）股份有限公司 $