5.3.2 极大值与极小值（六大题型）（题型专练）高二数学苏教版2019选择性必修第一册

5.3.2 极大值与极小值 题型一：导函数图象与极值的关系 1．（多选）（22-23高二下·江苏盐城·期中）定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．-2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点 B．0是函数的极小值点 C．函数的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 2．（多选）（24-25高二上·江苏南京·期末）如图是函数的导函数的图象，则（   ） A．函数的图象在处切线的斜率小于零 B．函数在区间上单调递增 C．在时，函数取得极值 D．在时，函数取得极值 3．（多选）（22-23高二上·江苏镇江·期末）已知函数的定义域为R，函数的导函数的图象 如图所示，则下列选项正确的是（    ） A．函数的单调递减区间是 B．函数的单调递增区间是， C．处是函数的极值点 D．时，函数的导函数小于0 4．（多选）（22-23高二上·江苏常州·期末）函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的极值点 B．3是函数的极大值点 C．在区间上单调递减 D．1是函数的极小值点 题型二：导函数图像与极值点的关系 5．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知的导函数图象如图，则的极大值点为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数的极小值点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（多选）（23-24高二上·江苏南通·月考）对于定义在R上的可导函数，为其导数，下列说法正确的是（    ） A．使得的x一定是函数的极值点 B．“在R上单调递增”是“在R上恒成立”的必要不充分条件 C．函数在给定的区间上必存在最值 D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调 题型三：求已知函数的极值 8．（24-25高二上·江苏连云港·期末）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 9．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）在等比数列中，是函数的极值点，则（   ） A． B．4 C．3 D． 10．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 11．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）设，函数的单调增区间是． (1)求实数a； (2)求函数的极值． 12．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值． 题型四：根据极值求参数 13．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知函数在处取得极小值1，则（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高二下·江苏镇江·期末）若函数与函数有相等的极小值，则实数（    ） A． B． C．2 D． 15．（21-22高二上·江苏盐城·期末）已知函数既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高二上·江苏连云港·期末）已知函数，，． (1)若，函数在处取得极大值，求实数a的值； (2)若，求函数的单调区间． 17．（23-24高二上·江苏南京·月考）设，函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当函数与都存在极小值，且它们的极小值之和为0时，求的值． 题型五：求已知函数的极值点 18．（多选）（23-24高二上·江苏淮安·期末）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（    ） A．仅有两个极值点 B．有两个极大值点 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 19．（多选）（21-22高二下·江苏苏州·期中）已知函数，则（    ） A．和0是函数的极值点 B．在上单调递增 C．的极大值为 D．的极小值为 20．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知函数． (1)求函数的极值点； (2)记曲线在处的切线为，求证，与有唯一公共点． 题型六：根据极值点求参数 21．（24-25高三上·江苏常州·期末）若函数在处取得极小值，则实数（    ） A． B．2 C．2或0 D．0 22．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数的导函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（多选）（21-22高二上·江苏常州·期末）已知函数f（x）=（x-a）（x-3）2，当x=3时，f（x）有极大值，则a的取值可以是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 24．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知在处取得极小值，则实数的值为 ． 25．（23-24高二上·江苏徐州·月考）已知函数在上不是单调函数，则实数的取值范围为 ． 26．（23-24高二上·江苏南通·月考）若函数在内有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为 . 27．（24-25高三上·江苏无锡·期末）已知函数. (1)若在处有极小值，求的单调递增区间； (2)若函数的图象与直线相切，求实数的值. 28．（24-25高三上·江苏无锡·期中）已知函数. (1)若函数有两个不同的极值点，求的取值范围; (2)求函数的单调递减区间. 29．（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知曲线． (1)若在处有极大值，求的值； (2)若，求过点（2，8）且与曲线相切的直线方程． 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏南通·月考）已知函数在处取得极小值10，则的值为（    ） A．2或 B．或 C． D． 二、多选题 3．设为函数的导函数，已知，，则下列结论正确的是（   ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．在上有极大值 D．在上有极小值 4．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上有且仅有2个极值点 C．在区间上最多有4个零点 D．在区间上存在极大值点 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）对于函数，下列说法正确的是（　　） A．函数在上单调递减 B．对于任意实数恒成立 C．0是函数的一个极大值点 D．函数有无数个极大值点 6．（24-25高二上·江苏南京·期末）函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则（   ） A．数列为等差数列 B． C．为函数的极大值点 D． 三、填空题 7．（2024·江苏·二模）如果函数在区间[a，b]上为增函数，则记为，函数在区间[a，b]上为减函数，则记为.如果，则实数m的最小值为 ；如果函数，且，，则实数 . 8．（24-25高三上·江苏盐城·月考）若函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 四、解答题 9．已知函数． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)是否存在实数a，使得函数f(x)的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由． 10．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知函数. (1)若在其定义域内单调递减，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得函数为偶函数？若存在，求的值，若不存在，说明理由； (3)函数在区间上有且仅有一个极值点，求正数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.2 极大值与极小值 题型一：导函数图象与极值的关系 1．（多选）（22-23高二下·江苏盐城·期中）定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．-2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点 B．0是函数的极小值点 C．函数的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 【答案】BC 【分析】根据导函数的正负，即可判断原函数单调性和极值，得出正确选项. 【详解】由题意可得，当时，， 当时，， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以0是函数的极小值点，所以B，C正确，A，D错误. 故选：BC 2．（多选）（24-25高二上·江苏南京·期末）如图是函数的导函数的图象，则（   ） A．函数的图象在处切线的斜率小于零 B．函数在区间上单调递增 C．在时，函数取得极值 D．在时，函数取得极值 【答案】BC 【分析】根据导函数图象分析原函数的性质判断各项的正误即可. 【详解】对于A，的图象在处的切线斜率为，故A错误； 对于B，当时，且，此时单调递增，故B正确； 对于C，是导函数的一个变号零点，故当时取得极值，故C正确； 对于D，不是导函数的一个变号零点，故当时不能取得极值，故D错误. 故选：BC 3．（多选）（22-23高二上·江苏镇江·期末）已知函数的定义域为R，函数的导函数的图象 如图所示，则下列选项正确的是（    ） A．函数的单调递减区间是 B．函数的单调递增区间是， C．处是函数的极值点 D．时，函数的导函数小于0 【答案】BD 【分析】综合应用函数的单调性与导函数的关系即可解决. 【详解】根据导函数的图象，对于A项，在上，，可得函数的单调递减区间是，故A错误； 对于B项，在上，，在上，可得函数的单调递增区间是，，故B正确； 对于C项，是的变号零点，且时，，当时，，故是函数的极大值点， 是的不变号零点，不是函数的极值点，故C错误； 对于D项，，故D正确. 故选：BD. 4．（多选）（22-23高二上·江苏常州·期末）函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的极值点 B．3是函数的极大值点 C．在区间上单调递减 D．1是函数的极小值点 【答案】AC 【分析】根据导函数的图象，得出函数的单调区间，进而即可得出函数的极值情况. 【详解】对于A项，由图象可知， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以，在处取得极大值.故A正确； 对于B项，由图象可知， 当时，恒成立，且不恒为0，所以在上单调递减. 所以，3不是函数的极大值点.故B错误； 对于C项，由B可知，在区间上单调递减.故C正确； 对于D项，由B可知，在上单调递减. 所以，1不是函数的极小值点.故D错误. 故选：AC. 题型二：导函数图像与极值点的关系 5．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知的导函数图象如图，则的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导函数的图象判断区间单调性，进而确定极大值点. 【详解】由图知上，上且仅有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为. 故选：D 6．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数的极小值点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用导函数图象可得出原函数图象的单调性，即可得出函数的极小值点的个数. 【详解】根据导函数的图象可知，有三个变号零点， 则可得函数在上的单调性为先增再减，再增又减， 所以函数的极小值点的个数为1个. 故选：A 7．（多选）（23-24高二上·江苏南通·月考）对于定义在R上的可导函数，为其导数，下列说法正确的是（    ） A．使得的x一定是函数的极值点 B．“在R上单调递增”是“在R上恒成立”的必要不充分条件 C．函数在给定的区间上必存在最值 D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调 【答案】BCD 【分析】根据极值点和极值的定义，导数与函数单调性和极值的关系，函数最值的定义，对选项进行判断. 【详解】对于A：的x不一定是函数的极值点， 比如：，，，在R上单调递增， 但不是的极值点，故A错误； 对于B：若“在R上恒成立”则“在R上单调递增”，若“在R上单调递增”则“在R上恒成立” 故“在R上单调递增”是“在R上恒成立”的必要不充分条件，故B正确； 对于C：由最值的定义可知，函数在给定的区间上必存在最值，C正确； 对于D：根据极值点和极值的定义可以判断，若在R上存在极值，则它在R上一定不单调，故D正确． 故选：BCD. 题型三：求已知函数的极值 8．（24-25高二上·江苏连云港·期末）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 【答案】B 【分析】对函数求导，令导数等于0，求得，分别研究导函数在,和时的单调性，从而得极小值点，代入函数解析式求得极小值. 【详解】由函数，求导得, 令,得, 当时, ,函数单调递增; 当时, ,函数单调递减; 当时, ,函数单调递增; 所以是极小值点,所以函数的极小值为. 故选：B 9．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）在等比数列中，是函数的极值点，则（   ） A． B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】首先通过函数求导得出极值点所满足的方程，利用韦达定理得到与的乘积和和，再根据等比数列的性质求出的值，结合的正负确定的值. 【详解】已知，对求导可得. 因为，是函数的极值点，所以，是方程的两个根. 所以，. 所以，则. 由，且，可知与同号， 又因为，所以，.在等比数列中，奇数项的符号相同， 所以，因此. 故选：D. 10．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 【答案】(1) (2)极大值，极小值 【分析】（1）求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，即可得解； （2）根据导函数的正负确定函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）， ， 故曲线在点处的切线方程为. （2）由得或， 由于，故当时，，当时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故的极大值为，极小值为. 11．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）设，函数的单调增区间是． (1)求实数a； (2)求函数的极值． 【答案】(1)2 (2)极小值为，极大值为0. 【分析】（1）因为函数的单调增区间是，所以的解集为，由此可求参数的值. （2）求导，分析函数的单调性，可求函数的极值. 【详解】（1）函数的定义域为： 且 因为函数的单调增区间是， 所以的解集是. 所以方程的解是，， 所以. （2）当时，令，则或 当变化时，，的变化情况如下表： x 1 f'(x) + 0 f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 当时，有极小值； 当时，有极大值. 12．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值． 【答案】(1)增区间为和，减区间为 (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）对函数求导，由导数大于零和小于零求出单调区间； （2）列表，由单调性求出极值． 【详解】（1）因为函数， 所以， 由得或，由得， 则函数的增区间为：和，减区间为：. （2）由（1）可得 -2 + 0 0 ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 则函数的极大值为，极小值为． 题型四：根据极值求参数 13．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知函数在处取得极小值1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据极值定义进行求解即可. 【详解】由， 因为在处取得极小值1， 所以有， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以是函数的极小值点，故满足题意， 于是有. 故选：C 14．（22-23高二下·江苏镇江·期末）若函数与函数有相等的极小值，则实数（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由对勾函数可知：的极小值，对求导，利用导数判断的单调性和极值，运算求解即可. 【详解】由对勾函数可知：在时取到极小值， 对于，则有： 当时，在定义域内单调递减，无极值，不合题意； 当时，， 令，解得；令，解得； 则在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，解得. 故选：B. 15．（21-22高二上·江苏盐城·期末）已知函数既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的运算公式和法则求出，根据极值点与方程的解之间的关系即可得出结果. 【详解】由题意知，， 由函数有极小值和极大值， 得方程有两个不同的实根， 所以或， 即的取值范围为. 故选：C 16．（22-23高二上·江苏连云港·期末）已知函数，，． (1)若，函数在处取得极大值，求实数a的值； (2)若，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调增区间是和，减区间是 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出的值即可． （2）代值，求导，根据导数正负得到函数单调区间. 【详解】（1），令，解得；或， 若函数在处取得极大值，则，解得， 当时，，或， 所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增. 此时函数在处取得极大值，满足题意. 故． （2），则， 当时，和； 当时，， 所以函数的单调增区间是和，减区间是. 17．（23-24高二上·江苏南京·月考）设，函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当函数与都存在极小值，且它们的极小值之和为0时，求的值． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）利用导数对函数的单调性进行讨论即可； （2）根据第一小问的结果，分析的单调性求出极小值，得到的值. 【详解】（1）因为，函数定义域为， 可得, 当时，，在内单调递增； 当时，当时，，在内单调递减； 当时，，在内单调递增； 综上所述：当时，在内单调递增； 当时，在内单调递减，在内单调递增. （2）对于函数，由（1）可知： 当时，在内单调递增，无极值，不合题意； 当时，在内单调递减，在内单调递增， 则在处取得极小值，符合题意； 综上所述：，且的极小值为. 对于函数：可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以在处取极小值 因为函数与的极小值之和为，即， 构建，则， 可知在定义域内单调递增，且， 所以关于a的方程的根为1，即 题型五：求已知函数的极值点 18．（多选）（23-24高二上·江苏淮安·期末）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（    ） A．仅有两个极值点 B．有两个极大值点 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 【答案】BC 【分析】根据的图象，得到的正负，得到单调性和极值情况，得到答案. 【详解】根据的图象，可得 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在，处取得极大值，在处取得极小值，故A错误；B正确；C正确；D错误. 故选：BC. 19．（多选）（21-22高二下·江苏苏州·期中）已知函数，则（    ） A．和0是函数的极值点 B．在上单调递增 C．的极大值为 D．的极小值为 【答案】ACD 【分析】先求导，再求出函数的单调区间和极值，判断即得解. 【详解】解：由题得 当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减. 所以和0分别是函数的极大值点和极小值点，所以选项A正确； 所以在上单调递减，所以选项B错误； 函数的极大值为，所以选项C正确； 函数的极小值为，所以选项D正确. 故选：ACD 20．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知函数． (1)求函数的极值点； (2)记曲线在处的切线为，求证，与有唯一公共点． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）利用导数的性质，结合极值点的定义进行求解即可； （2）根据导数的几何意义，结合导数的性质进行运算证明即可. 【详解】（1）， 令， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以函数的极值点为； （2）由（1）可知：，而， 所以切线的方程为， 由，或， 当时，，此时，与有公共点， 当时，设， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以， 即，当且仅当时取等号， 所以由，即，此时与有公共点， 综上所述：与有唯一公共点. 题型六：根据极值点求参数 21．（24-25高三上·江苏常州·期末）若函数在处取得极小值，则实数（    ） A． B．2 C．2或0 D．0 【答案】D 【分析】对函数求导，根据极小值点求参数，注意验证即可得答案. 【详解】由，则，得或2， 时，，在R上单调递增，不满足； 时，，在上，在上， 所以在上单调递增，在上单调递减，满足题设， 所以. 故选：D 22．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数的导函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析得导函数必有2个零点，并且1必为小的零点，据此列不等式求解. 【详解】令，则或， 明显函数在上单调递增，且值域为， 所以方程必有根，设为， 即的根为或， 又是函数的极大值点， 则函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 即，所以，得. 故选：B. 23．（多选）（21-22高二上·江苏常州·期末）已知函数f（x）=（x-a）（x-3）2，当x=3时，f（x）有极大值，则a的取值可以是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】ABC 【分析】求得导数函数只需即可满足题意. 【详解】 令 ，则或， 当时，即时，在单调递增，单调递减，单调递增， 此时，当x=3时，f（x）有极大值， 则a的取值可以是4,5,6. 故选：ABC. 24．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知在处取得极小值，则实数的值为 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，求出导数进而求出值，再验证即可. 【详解】由，求导得，由在处取得极小值， 得，解得，此时， 当时，，当且仅当时取等号，当时，， 因此是函数的极小值点，所以. 故答案为：1 25．（23-24高二上·江苏徐州·月考）已知函数在上不是单调函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分析可知，函数在内存在极值点，根据导函数在上单调递增可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为，则， 因为函数在上不是单调函数，则函数在内存在极值点， 又因为函数在上是增函数， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 26．（23-24高二上·江苏南通·月考）若函数在内有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】本题根据极值点既是导函数的零点，又是导函数对应方程的根，解出方程的根，再由根的分布范围列出不等式即可求出参数a的范围. 【详解】因为函数的导数， 所以在上有两个不同的实数解， 令 ，解得 或 ， 所以 ，解得 且 ， 所以实数a的取值范围是 . 27．（24-25高三上·江苏无锡·期末）已知函数. (1)若在处有极小值，求的单调递增区间； (2)若函数的图象与直线相切，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据极值点的性质可得或6，并结合单调性检验即可得结果； （2）根据导数的几何意义求切线方程，结合题意列方程求解即可. 【详解】（1）由题意可知：， 因为在处有极小值，则，解得或6， 当时，则， 令，解得或；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 可知在处有极小值，符合题意； 当时，则， 令，解得或；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 可知在处有极大值，不符合题意； 综上所述：，的单调增区间为. （2）由（1）可知：， 设与切于， 则切线斜率， 可得切线方程为， 它与重合，则，显然， 整理可得，解得， 代入可得，所以. 28．（24-25高三上·江苏无锡·期中）已知函数. (1)若函数有两个不同的极值点，求的取值范围; (2)求函数的单调递减区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，可得有两个大于的不等实根，进而可得，求解即可； （2）求导数，对分类讨论可求得单减区间. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 令，可得， 因为函数有两个不同的极值点，所以有两个大于的不等实根， 所以，解得. 所以的取值范围为； （2）， 求导得 ， 令，解得或， 当时，，由，可得， 函数在上单调递减， 当，，由，可得，函数无单调递减区间， 当，，由，可得， 函数在上单调递减， 当时，，由，可得，函数在上单调递减， 综上所述：当时，函数在上单调递减， 当时，函数无单调递减区间， 当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减. 29．（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知曲线． (1)若在处有极大值，求的值； (2)若，求过点（2，8）且与曲线相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）函数在处有极大值，令，求得极值点，经过验证即可得出结论． （2）当时，，，设切点为，可得切线方程为，将点代入，解得，即可得到切线方程． 【详解】（1）函数在处有极大值， 令， 解得或， 若，解得，则， 时，时， 可得函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增． 函数在处有极大值，满足题意． 若，， 时，时， 可得函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增． 可得处有极小值，舍去， ． （2）当时，，， 设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为， 将点代入，化为， 因式分解为， 解得或， 故切线方程为或． 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数与函数极值点的关系判断可得出合适的选项. 【详解】因为函数在处取得极小值， 在左侧附近，，此时，， 在右侧附近，即存在，使得当，使得， 此时，，C选项合乎题意. 故选：C. 2．（23-24高二上·江苏南通·月考）已知函数在处取得极小值10，则的值为（    ） A．2或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】函数在处取得极小值10，则有，解出的值并检验极小值点，再求的值即可. 【详解】，， 又 在处取得极小值10， 则有，可得， 解得，或， 当 ，时， ， 当 时， ，当 时， ， 在处取得极小值； 当 ， 时， ， 当 时， ，当 时， ， 在处取得极大值，不合题意. 所以，， 则有 故选：C. 二、多选题 3．设为函数的导函数，已知，，则下列结论正确的是（   ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．在上有极大值 D．在上有极小值 【答案】AD 【分析】根据题意，由条件可得，从而可得的单调区间，即可得到结果. 【详解】由得，则，即， 设，由得， 由得， 即函数在单调递增，在单调递减， 即当时，函数取得极小值， 故选：AD. 4．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上有且仅有2个极值点 C．在区间上最多有4个零点 D．在区间上存在极大值点 【答案】CD 【分析】结合导数图像的正负性，判断原函数的单调性，进而逐一对选项辨析即可. 【详解】由图可知，在区间为负，单调递减， 在区间为正，单调递增，故A错误； 在区间上有3个零点，且零点附近左右两边的值一正一负， 故有3个极值点，故B错误； 在区间，为负，单调递减， 在区间，为正，单调递增， 则在与时取得极小值， 在时取得极大值，则当与时， ，且时， 在区间上最多有4个零点, 故C正确； 在区间上为正，单调递增， 在区间上为负，单调递减， 则为极大值点，故D正确； 故选：CD. 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）对于函数，下列说法正确的是（　　） A．函数在上单调递减 B．对于任意实数恒成立 C．0是函数的一个极大值点 D．函数有无数个极大值点 【答案】BCD 【分析】对A，由，举反例可判断；对B，由可判断；对C，由，结合，结合极大值定义判断；对D，求导，令，即，利用图象分析判断得解. 【详解】对于A，由，，则， 所以在上不是单调递减函数，故A错误； 对于B，因为，故B正确； 对于C，由，结合，在附近，均有，由极大值的定义可得0是极大值点，故C正确； 对于D，由，令， 所以，即，    如图，则有无数个解，所以函数有无数个极大值点，故D正确. 故选：BCD. 6．（24-25高二上·江苏南京·期末）函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则（   ） A．数列为等差数列 B． C．为函数的极大值点 D． 【答案】BC 【分析】求出函数在上的极值点的表达式，结合等差数列的定义可判断A选项；利用列举法求出，可判断B选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断C选项；利用正弦函数的对称性、等差数列的求和公式以及诱导公式可判断D选项. 【详解】对于函数，则， 令可得，解得或， 由题意可得，，，， 显然，则数列不是等差数列，A错B对； 当时，；当时，. 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，为函数的极大值点，C对； 由正弦函数的对称性可知，点、关于直线对称，则， 点、关于直线对称，则，， 以此类推可知，， 所以， ， 所以，，D错.    故选：BC. 三、填空题 7．（2024·江苏·二模）如果函数在区间[a，b]上为增函数，则记为，函数在区间[a，b]上为减函数，则记为.如果，则实数m的最小值为 ；如果函数，且，，则实数 . 【答案】 4 1 【分析】第一空：令,可得，可得函数的单调性可求得的最小值；第二空由题意可得是函数的极值点，可得,求解检验即可. 【详解】对于第一空：由题意在上单调递增， 因为，所以，令，则， 由对勾函数性质得当时，的单调递增区间为， 所以，即实数的最小值为2，所以实数的最小值为4； 对于第二空：函数可导，所以， 由题意在上单调递减，在上单调递增，即是函数的极值点， 所以，解得或， 经检验不满足题意，符合题意，所以. 故答案为：4；1. 8．（24-25高三上·江苏盐城·月考）若函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求导，将有两个极值点转化为和的图象有两个交点，画出图象，通过切线解决即可. 【详解】因为，所以， 因为有两个极值点，故有两个实数根， 即有两个实数根， 即和的图像有两个交点，画出图象，又恒过定点，    若，显然只有1个交点，不合题意； 若，则无交点，不合题意； 若，设直线和相切于点，由，则， 所以， 所以，解得，故切点是，所以，解得， 综上可得实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 9．已知函数． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)是否存在实数a，使得函数f(x)的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由． 【详解】（1），，， 当时，由于，故，于是， ，故在上单调递增； 当时，令，即， 解得， ， ， 时，，单调递增，当时，，单调递减. 综上，时，f(x)的单调增区间是，无单调减区间； 时，f(x)的单调增区间是，单调减区间是. （2）由(1)可知，当时，在上单调递增，无极大值； 当时，f(x)在处取到极大值. 由(1)可知，，即， 极大值， 令，∵在单调递增，且， 时，，即时，， ∴， 当时，，不等式显然成立； 当，即时，，∴， 综上，0＜a＜2. 10．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知函数. (1)若在其定义域内单调递减，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得函数为偶函数？若存在，求的值，若不存在，说明理由； (3)函数在区间上有且仅有一个极值点，求正数的取值范围. 【详解】（1），则， 因为在其定义域内单调递减，所以恒成立， 结合二次函数的性质，开口向下，令可得. （2）设存在， 则，即， 代入展开可得， 比较的系数可得，即， 验证其它项也满足，故. （3） ， 令，因为，所以， 则原函数可变为，则， 因为函数在区间上有且仅有一个极值点， 所以在上有且仅有一个极值点，即在有且仅有一个变号零点， ，， 所以， 所以正数的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $