第章相似三角形四单元专题：探究题型中的相似2025-2026学年浙教版九年级数学上册

2025年浙教版九年级第一学期第四单元专题：探究题型中的相似 1.阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，求的值． 小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：的值为　　 ． 参考小昊思考问题的方法，解决问题： （1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且．求的值； （2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，直接写出的值为　　 ． 【解答】解：如图2，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F， ∴∠F＝∠APF，∠FCE＝∠EAP， ∵BE为AC边的中线， ∴AE＝CE， ∴△AEP≌△CEF（AAS）， ∴AP＝FC， ∵PD∥FC， ∴△BPD∽△BFC， ∴， ∴， 故答案为：； （1）如图3，过A作AF∥BC，交BP延长线于点F， ∴△AFE∽△CBE， ∴， ∵， ∴， 设AF＝3x，BC＝2x， ∵， ∴BD＝3x， ∴AF＝BD＝3x， ∵AF∥BD， ∴△AFP∽△DBP， ∴1； （2）如图4，过C作CF∥AP交PB于F， ∴△BCF∽△BDP， ∴， 设CF＝2x，PD＝3x， ∵CF∥AP， ∴△ECF∽△EAP， ∴， ∴AP＝7x，AD＝4x， ∴． 故答案为：． 2.阅读下面材料： 小波遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，AD与BE相交于点P． （1）小波发现，，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF（如图2），经过推理和计算得到的值为 　　 ． （2）参考小波思考问题的方法，解决问题： ①如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，求的值； ②如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，求出的值． 【解答】解：（1）如图2，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F， ∴∠F＝∠APF，∠FCE＝∠EAP， ∵BE为AC边的中线， ∴AE＝CE， ∴△AEP≌△CEF（AAS）， ∴AP＝FC， ∵PD∥FC， ∴△BPD∽△BFC， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①如图3，过A作AF∥BC，交BP延长线于点F， ∴△AFE∽△CBE， ∴， ∵， ∴， 设AF＝3x，BC＝2x， ∵， ∴BDx， ∵AF∥BD， ∴△AFP∽△DBP， ∴； ②如图4，过C作CF∥AP交PB于F， ∴△BCF∽△BDP， ∴， 设CF＝3x，PD＝4x， ∵CF∥AP， ∴△ECF∽△EAP， ∴， ∴APx， ∴． ∴的值为． 3.在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上． （1）猜想验证：如图1，点D在BC边上，BD：BC＝3：4，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，求的值． （2）探究：如图2，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD：BC＝1：3，求的值． （3）应用：如图3，在（2）的条件下，且∠ACB＝90°，若CD＝4，AC＝12，请直接写出BP的值． 【解答】解：（1）∵BD：BC＝3：4， ∴设BD＝3x，BC＝4x， ∵BE是AC边上的中线， ∴AE＝CE， ∵AF∥BC， ∴△AFE∽△CBE， ∴1， ∴AF＝BC＝4x， ∵AF∥BC， ∴△AFP∽△DBP， ∴； （2）如图2，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F， ∵CD：BC＝1：3， ∴设CD＝y，BC＝3y，则BD＝4y， ∵BE是AC边上的中线， ∴AE＝CE， ∵AF∥BC， ∴△AFE∽△CBE， ∴1， ∴AF＝BC＝3y， ∵AF∥BC， ∴△AFP∽△DBP， ∴； （3）如图3，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F， ∵CD＝4，AC＝12， ∴BC＝12，AE＝CE＝6， ∴EB6， ∵△AFE∽△CBE， ∴1， ∴BE＝EF＝6， ∴BF＝12， ∵△AFP∽△DBP， ∴， ∴BP12． 4.在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上． 探究：如图①，点D在BC边上，BD：BC＝2：3，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，求的值． 应用：如图②，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD：BC＝1：2，若CD＝2，AC＝6，则PE＝　1　 ． 【解答】解：探究：如图①， ∵BE是AC边上的中线， ∴AE＝CE， ∵AF∥BC， ∴△AEF∽△CEB， ∴1， ∵BD：BC＝2：3， ∴BD：AF＝2：3， ∵AF∥BD， ∴△APF∽△DPB， ∴； 应用：过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，如图②， 设DC＝k，则BC＝2k， ∵AF∥BC， ∴△AEF∽△CEB， ∴1，即AF＝BC＝2k， ∵AF∥BD， ∴△APF∽△DPB， ∴， ∵CEAC＝3，BC＝2CD＝4， 在Rt△BCE中，BE5， ∴BF＝2BE＝10， ∵AF∥BD， ∴△APF∽△DPB， ∴， ∴BPBF10＝6， ∴PE＝BP﹣BE＝6﹣5＝1． 故答案为：1． 5.在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上． 猜想：如图①，点D在BC边上，BD：BC＝2：3，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，则的值为 　　 ． 探究：如图②，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD：BC＝1：2，求的值． 应用：在探究的条件下，若CD＝2，AC＝6，则BP＝　6　 ． 【解答】解：猜想：如图① ∵BE是AC边上的中线， ∴AE＝CE， ∵AF∥BC， ∴△AEF∽△CEB， ∴1， ∵BD：BC＝2：3， ∴BD：AF＝2：3， ∵AF∥BD， ∴△APF∽△DPB， ∴； 故答案为：； 探究：过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，如图②， 设DC＝k，则BC＝2k， ∵AF∥BC， ∴△AEF∽△CEB， ∴1，即AF＝BC＝2k， ∵AF∥BD， ∴△APF∽△DPB， ∴； 应用：CEAC＝3，BC＝2CD＝4， 在Rt△BCE中，BE5， ∴BF＝2BE＝10， ∵AF∥BD， ∴△APF∽△DPB， ∴， ∴BPBF10＝6． 故答案为6． 6.在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线． （1）如图1，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，则的值为　　 ； （2）如图2，点D在BC的延长线上，BE的延长线与AD交于点P，DC：BC：AC＝1：2：3． ①求的值； ②若CD＝2，则BP＝　6　 ． 【解答】解：（1）如图1，作DF∥AC交BE于F， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①如图2，作CH∥AD交BP于H， ∴，又AE＝EC， ∴CH＝AP， ∵CH∥AD， ∴， ∴； ②∵DC：BC：AC＝1：2：3，CD＝2， ∴BC＝4，AC＝6，ECAC＝3， 由勾股定理得，BE＝5， ∵CH∥AD，AE＝EC，∴HE＝EP， 设HE＝EP＝x，则BH＝5﹣x，BP＝5+x， ∵CH∥AD， ∴，即， 解得x＝1， 则BP＝5+x＝6． 7.阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，∠DAB＝∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC＝2AE． 小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB＝∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决． （1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是AAS （填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个） 参考小明思考问题的方法，解答下列问题： （2）如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF＝∠EAC，若CF＝2，求AB的长； （3）如图4，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD＝kDB（其中0＜k），∠AED＝∠BCD，求的值（用含k的式子表示）． 【解答】证明：（1）如图2， 作AF⊥BC， ∵BE⊥AD，∴∠AFB＝∠BEA， 在△ABF和△BAE中， ， ∴△ABF≌△BAE（AAS）， ∴BF＝AE ∵AB＝AC，AF⊥BC， ∴BFBC， ∴BC＝2AE， 故答案为AAS （2）如图3， 连接AD，作CG⊥AF， 在Rt△ABC中，AB＝AC，点D是BC中点， ∴AD＝CD， ∵点E是DC中点， ∴DECDAD， ∴tan∠DAE， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC中点， ∴∠ADC＝90°，∠ACB＝∠DAC＝45°， ∴∠F+∠CDF＝∠ACB＝45°， ∵∠CDF＝∠EAC， ∴∠F+∠EAC＝45°， ∵∠DAE+∠EAC＝45°， ∴∠F＝∠DAE， ∴tan∠F＝tan∠DAE， ∴， ∴CG2＝1， ∵∠ACG＝90°，∠ACB＝45°， ∴∠DCG＝45°， ∵∠CDF＝∠EAC， ∴△DCG∽△ACE， ∴， ∵CDAC，CECDAC， ∴， ∴AC＝4； ∴AB＝4； （3）如图4， 过点D作DG⊥BC，设DG＝a， 在Rt△BGD中，∠B＝30°， ∴BD＝2a，BGa， ∵AD＝kDB， ∴AD＝2ka，AB＝BD+AD＝2a+2ka＝2a（k+1）， 过点A作AH⊥BC， 在Rt△ABH中，∠B＝30°． ∴BHa（k+1）， ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BC＝2BH＝2a（k+1）， ∴CG＝BC﹣BGa（2k+1）， 过D作DN⊥AC交CA延长线与N， ∵∠BAC＝120°， ∴∠DAN＝60°， ∴∠ADN＝30°， ∴AN＝ka，DNka， ∵∠DGC＝∠AND＝90°，∠AED＝∠BCD， ∴△NDE∽△GDC． ∴， ∴， ∴NE＝3ak（2k+1）， ∵AN＝ka， ∴AE＝NE﹣AN＝2ak（3k+1）， ∴EC＝AC﹣AE＝AB﹣AE＝2a（k+1）﹣2ak（3k+1）＝2a（1﹣3k2）， ∴． 8.阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是线段BC上一点，连接AD，过点D作DE⊥DA，过点B作BE∥AC，BE与DE相交于点E，求证：DA＝DE．小明通过探究发现，由结论，要证明AD＝DE，所以考虑将△BDE通过旋转，使DE与DA重合，由此得到辅助线：过点D作BC的垂线交BA延长线于点F，从而可证△FDA≌△BDE，（如图2），使问题得到解决． （1），根据阅读材料请回答：△FDA与△BDE全等的条件是ASA （填“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”或“HL”中的一个）； （2）证明小明发现的结论； 参考小明思考问题的方法，解决下面的问题： （3）如图3，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝kAC，AE＝mAD，连接BE，作AG⊥BE，直线AG交CD于点F，求的值（用含k、m的式子表示） 【解答】解：（1）：△FDA与△BDE全等的条件是ASA．故答案为ASA． （2）如图2中，作DF⊥BC交BA的延长线于F． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠C＝45°， ∵DF⊥BC， ∴∠BDF＝90°， ∴∠F＝∠FBD＝45°， ∴BD＝DF， ∵DE⊥DA， ∴∠BDF＝∠ADE＝90°， ∴∠ADF＝∠BDE， ∵BE∥AC， ∴∠DBE＝∠C＝45°， ∴∠F＝∠DBE， ∴△FDA≌△BDE（ASA）． （3）如图3中，作DH∥AC交AF的延长线于点H． ∵AG⊥BE， ∴∠AGE＝90°， ∵∠DAE＝90°， ∴∠HAD+∠EAG＝90°，∠EAG+∠AEG＝90°， ∴∠DAH＝∠BEA， ∵∠DAE＝∠CAB＝90°， ∴∠DAC+∠EAB＝180°， ∵DH∥AC， ∴∠ADH+∠DAC＝180°， ∴∠EAB＝∠ADH， ∴△EAB∽△DAH， ∴m， ∴EB＝mAH，AB＝mDH， ∵DH∥AC， ∴， ∴， ∴， ∴AF＝AH••， ∴． 9.方法探索． 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在△ABC中，AB＝9，AC＝5，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． （1）嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．可以判定△ADC≌△EDB，得出AC＝BE，这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围，请你根据嘉鑫的思路写出完整解答过程问题解决． （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在△ABC中，点D、E在BC上，且DE＝DC，过E作EF∥MB与AD相交于点F，且EF＝AC．求证：AD平分∠BAC． 【解答】（1）解：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∵AC＝5， ∴BE＝AC＝5（全等三角形对应边相等）， 在△ABE中， AB﹣BE＜AE＜AB+BE， 即9﹣5＜2AD＜9+5， ∴中线AD的取值范围是：2＜AD＜7； （2）证明：延长AD到点M，使MD＝AD，连接EM． 在△ADC与△MDE中， ， ∴△ADC≌△MDE（SAS）， ∴∠DAC＝∠M（全等三角形对应角相等），AC＝ME（全等三角形对应边相等）， ∵EF＝AC， ∴EF＝ME（等量代换）， ∴∠EFM＝∠M（等边对等角）， ∵EF∥AB， ∴∠EFM＝∠BAD（两直线平行，同位角相等）， ∴∠DAC＝∠BAD（等量代换）， 即AD平分∠BAC． 10.阅读下面材料： 小明同学遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D是BC边的中点，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝3，求AC的长． 小明发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． （1）请你帮小明求出AC的长； （2）参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，AC与BD交于点E，AE＝3，BE＝2DE，求BC的长． 【解答】解：（1）如图2中，作CE∥AB，交AD的延长线于E． ∴∠E＝∠BAD＝75°，∵∠CAD＝30°， ∴∠ACE＝180°﹣∠E﹣∠CAE＝180°﹣75°﹣30°＝75° ∴∠E＝∠ACE， ∴AC＝AE， 在△ADB和△EDC中， ， ∴△ADB≌△EDC， ∴AD＝ED， ∴AE＝2AD＝6， ∴AC＝AE＝6． （2）如图3中，过点D作DF∥AB交AC于点F． ∴∠DFA＝∠BAC＝90°， ∵∠AEB＝∠DEF， ∴△BAE∽△DFE， ∴2， ∴AB＝2DF，EFAE，AF＝AE+EF， 在Rt△ADF中，∵∠CAD＝30°， ∴DF＝AFtan∠CADtan30°， AD， ∴AB＝2DF＝3 ， 在△ACD中，∵∠CAD＝30°，∠ADC＝75°， ∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝75°， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴AC＝AD＝3 ， 在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°， ∴BC． 11.阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且∠BAC＝2∠DCB，求证：AC＝AD． 小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法： 方法1：如图2，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E． 方法2：如图3，作∠DCF＝∠DCB，与AB相交于点F． （1）根据阅读材料，任选一种方法，证明AC＝AD． 用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题： （2）如图4，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且∠BDE＝2∠ABC，点F在BD上，且∠AFE＝∠BAC，延长DC、FE，相交于点G，且∠DGF＝∠BDE． ①在图中找出与∠DEF相等的角，并加以证明； ②若AB＝kDF，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想． 【解答】解：（1）方法一：如图2中，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E． ∵∠CAE＝∠DAE，∠CAB＝2∠DCB， ∴∠CAE＝∠DCB， ∵∠BCD+∠ACD＝90°， ∴∠CAE+∠ACD＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∵AE＝AE，∠AEC＝∠AED＝90°， ∴△AEC≌△AED， ∴AC＝AD． 方法二：如图3中，作∠DCF＝∠DCB，与AB相交于点F． ∵∠DCF＝∠DCB，∠A＝2∠DCB， ∴∠A＝∠BCF， ∵∠BCF+∠ACF＝90°， ∴∠A+∠ACF＝90°， ∴∠AFC＝90°， ∵∠ACF+∠BCF＝90°，∠BCF+∠B＝90°， ∴∠ACF＝∠B， ∵∠ADC＝∠DCB+∠B＝∠DCF+∠ACF＝∠ACD， ∴AC＝AD． （2）①如图4中，结论：∠DEF＝∠FDG． 理由：在△DEF中，∵∠DEF+∠EFD+∠EDF＝180°， 在△DFG中，∵∠GFD+∠G+∠FDG＝180°， ∵∠EFD＝∠GFD，∠G＝∠EDF， ∴∠DEF＝∠FDG． ②结论：BD＝k•DE． 理由：如图4中，如图延长AC到K，使得∠CBK＝∠ABC． ∵∠ABK＝2∠ABC，∠EDF＝2∠ABC， ∴∠EDF＝∠ABK， ∵∠DFE＝∠A， ∴△DFE∽△BAK， ∴， ∴BK＝k•DE， ∴∠AKB＝∠DEF＝∠FDG， ∵BC＝BC，∠CBD＝∠CBK， ∴△BCD≌△BCK， ∴BD＝BK， ∴BD＝k•DE 12.阅读下面材料： 小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CB，CA边上的点，且AE＝BC，BD＝CE，BE与AD的交点为P，求∠APE的度数； 小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B作BF∥AD且BF＝AD，连接EF，AF，从而构造出△AEF与△CBE全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：∠APE的度数为　45°　 ． 参考小乔同学思考问题的方法，解决问题： 如图3，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，D、E分别为CB，CA上的点，且AEBC，BD，BE与AD交于点P，在图3中画出符合题意的图形，并求出sin∠APE的值． 【解答】解：（1）如图2，过点B作BF∥AD且BF＝AD，连接EF，AF， ∵BF∥AD且BF＝AD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∴AF＝BD， 在△AEF和△CBE中 ∵， ∴△AEF≌△CBE（SAS）， ∴EF＝BE，∠AEF+∠CEB＝90°， ∴∠EBF＝45°， ∵AD∥BF， ∴∠APE＝45°； 故答案为：45°； （2）如图3，过点B作FB∥AD且FB＝AD，连接EF和AF， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∠APE＝∠FBE，AF＝DB， ∵AB是⊙O直径，∴∠C＝90°， ∴∠FAE＝∠BCE＝90°， ∵CE＝2BD，BC＝2AE， ∴CE＝2AF，∴2， ∴△AEF∽△CBE， ∴，∠1＝∠3， 又∵∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠2＝90°，即∠FEB＝90°， 在Rt△BEF中，∠FEB＝90°， ∴tan∠FBE， 又∵∠APE＝∠FBE， ∴sin∠APE． 13.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．根据SAS可以判定△ADC≌△EDB，得出AC＝BE．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是 　2＜AD＜8　 ． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，试说明：AC＝2AE； 【问题拓展】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，判断线段EF与AD的关系，并说明理由． 【解答】解：（1）在△ABE中，AB＝6，BE＝AC＝10，由三角形三边关系可得：AE﹣AB＝4＜AE＜AB+BE＝16，即AE到取值范围为4＜AE＜16， ∵AD， ∴AD的取值范围为2＜AD＜8； 故答案为：2＜AD＜8； （2）如图2，延长AE至点F，使得EF＝AE，连接DF，则AF＝EF+AE＝2AE， ∵E是BD中点， ∴DE＝BE， 在△EDF和△EBA中， ， ∴△EDF≌△EBA（SAS）， ∴DF＝AB＝CD，∠B＝∠EDF，∠F＝∠EAB， ∵∠CDA＝∠B+∠BAD，∠ADF＝∠BDA+∠EDF，∠BDA＝∠BAD， ∴∠ADC＝∠ADF， 在△AFD和△ACD中， ， ∴△AFD≌△ACD（SAS）， ∴AC＝AF， ∴AC＝2AE； （3）EF＝2AD，EF⊥AD， 理由：如图3，延长DA交EF于点P，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM， 由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS）， ∴BM＝AC，∠M＝∠CAD， ∵AC＝AF， ∴BM＝AF， 由（2）可知，AC∥BM， ∴∠BAC+∠ABM＝180°， ∵AE⊥AB、AF⊥AC， ∴∠BAE＝∠FAC＝90°， ∴∠BAC+∠EAF＝180°， ∴∠ABM＝∠EAF， 在△ABM和△EAF中， ， ∴△ABM≌△EAF（SAS）， ∴AM＝EF，∠BAM＝∠E， ∵AD＝DM， ∴AM＝2AD， ∴EF＝2AD， ∵∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝∠E+∠APE， ∴∠APE＝∠BAE＝90°， ∴EF⊥AD． 14.某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在△ABC中，AC＝6，AB＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． （1）嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．可以判定△ADC≌△EDB，得出AC＝BE，这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系，探究得出AD的取值范围是　1＜AD＜7　 ； （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在△ABC中，点D、E在BC上，且DE＝DC，过E作EF∥AB与AD相交于点F，且EF＝AC．求证：AD平分∠BAC． 【解答】（1）解：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE， ∵D是BC的中点， ∴CD＝BD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴EB＝AC＝6， ∵AB＝8， ∴AB﹣EB＝2，AB+EB＝14， ∵AB﹣EB＜AE＜AB+EB，且AE＝2AD， ∴2＜2AD＜14， ∴1＜AD＜7， 故答案为：1＜AD＜7． （2）证明：如图2，延长FD到点H，使DH＝DF，连接CH， 在△EDF和△CDH中， ， ∴△EDF≌△CDH（SAS）， ∴∠EFD＝∠H，EF＝CH， ∵EF∥AB与AD相交于点F，且EF＝AC， ∴∠EFD＝∠BAD，CH＝AC， ∴∠H＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴AD平分∠BAC． 15.【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如图4，△ABC中，AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决办法：延长AD到点E，使DE＝AD．请根据小聪的方法解决以下问题： （1）求得AD的取值范围是 　1＜AD＜5　 ； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题： 如图，已知∠BAC+∠CDE＝180°，AB＝AC，DC＝DE，P为BE的中点． （2）如图1，若A，C，D共线，AC：CD＝3：5，S△ABP＝6，求四边形ABED的面积； （3）如图2，若A，C，D不共线，AP＝PD，求证：AB⊥AC； （4）如图3，若点C在BE上，记锐角∠BAC＝α，且AB＝AC＝CD＝DE，则∠PDC的度数是 　45°　 ．（用含α的代数式表示） 【解答】（1）解：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，如图， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC＝BE＝4． ∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴6﹣4＜2AD＜6+4， ∴1＜AD＜5． 故答案为：1＜AD＜5； （2）解：如图，延长DP交AB延长线于点F， ∠BAC+∠CDE＝180°， ∴AF∥DE（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠PFB＝∠PDE，∠PBF＝∠PED， ∵P为BE的中点， ∴BP＝PE， 在△BPF和△EPD中， ， ∴△BPF≌△EPD（AAS）， ∴BF＝DE，PD＝PF，S△PBF＝S△PDE， ∴S四边形ABED＝S△ADF， ∵DC＝DE， ∴DC＝BF， ∵AB＝AC，AC：CD＝3：5， ∴AB：BF＝3：5， ∴S△ABP：S△BPF＝AB：BF＝3：5， ∵S△ABP＝6， ∴S△BPF＝10， 则S△APF＝16． ∵PF＝PD， ∴S△ADP＝S△AFP， ∴S四边形ABED＝S△ADF＝2S△APF＝32； （3）证明：延长DP至点F，使得PF＝PD，连接BF、AF、AD，如图， 由（1）同理易证：△DPE≌△FBP（SAS）， ∴BF＝DE＝CD，∠E＝∠FBP， ∵∠BAC+∠CDE＝180°，且∠ABP+∠BAC+∠CAD+∠ADC+∠CDE+∠E＝360°， ∴∠ABP+∠E+∠CAD+∠CDA＝180°， ∴∠ABF+∠CAD+∠CDA＝180°， ∵∠CAD+∠C+∠ADC＝180°， ∴∠ABF＝∠C， 在△ABF和△ACD中， ， ∴△ABF≌△ACD（SAS）， ∴AF＝AD，∠BAF＝∠CAD， 在△APF和△APD中， ， ∴△APF≌△APD（SSS）， ∴∠APD＝∠APF＝180°÷2＝90°， ∵AP＝PD， ∴∠PAD＝45°， 同理可得，∠PAF＝45°， ∴∠FAD＝90°， ∴∠BAC＝90° ∴AB⊥AC． （4）解：延长DP到点F，使PF＝DP，连接BF，AD，如图， 由（2）的证明过程可知：△PDE≌△PFB， ∴BF＝DE，∠FBP＝∠E． ∵∠BAC＝α，且AB＝AC＝CD＝DE，∠BAC+∠CDE＝180°， ∴∠ABC＝∠ACB＝90°α，∠DCE＝∠Eα． ∴∠FBCα． ∴∠ABC+∠FBC＝90°，∠ACB+∠DCE＝90°， ∴∠ABF＝∠ACD＝90°． 在△ABF和△ACD中， ， ∴△ABF≌△ACD（SAS）， ∴AF＝AD， ∵FP＝PD， ∴AP⊥DF． ∴∠APD＝90°． ∴∠PMD+∠CPD＝90°， ∵∠CAM+∠CMA＝90°，∠CMA＝∠PMD， ∴∠CAP＝∠CDP． 过点C作CG⊥BC交AP于点G， ∴∠GCP＝90°， ∴∠ACG＝∠DCP． 在△ACG和DCP中， ， ∴△ACG≌DCP（ASA）， ∴CG＝CP， ∴△CGP为等腰直角三角形， ∴∠CGP＝∠CPG＝45°， ∴∠DPE＝45°， ∴∠PDC＝∠DPE﹣∠DCE＝45°． 故答案为：． 16.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长AD到，使DE＝AD，连接BE．根据 SAS 可以判定△ADC≌△EDB，得出AC＝BE．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是 　2＜AD＜8　 ． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”一把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】（2）如图2，在△ABC中，∠A＝90°，D是BC边的中点，∠EDF＝90°，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE2+CF2＝EF2． 【问题拓展】（3）如图3，△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝5，且∠ADE＝90°．直接写出AE的长＝　8　 ． 【解答】（1）解：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵∠ADC＝∠EDB， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝10， △ABE中，10﹣6＜AE＜10+6， ∴4＜2AD＜16， ∴2＜AD＜8； 故答案为：SAS，2＜AD＜8； （2）证明：如图2，延长FD至G，使DG＝DF，连接EG，BG， ∵∠EDF＝90°， ∴ED是FG的垂直平分线， ∴EF＝EG， 由（1）同理得：△BDG≌△CDF， ∴∠C＝∠DBG，CF＝BG， ∵∠A＝90°， ∴∠EBC+∠C＝90°， ∴∠EBC+∠DBG＝90°， ∴EG2＝BE2+BG2， ∴BE2+CF2＝EF2； （3）解：如图3，延长ED，AB交于点F， ∵EC⊥BC， ∴∠ECD＝90°， ∴∠ABD＝∠DBF＝∠ECD＝90°， ∵AD是中线， ∴BD＝CD， ∵∠BDF＝∠CDE， ∴△BDF≌△CDE（ASA）， ∴BF＝CE＝5，ED＝DF， ∴AF＝3+5＝8， ∵∠ADE＝90°，DF＝ED， ∴AD是EF的垂直平分线， ∴AE＝AF＝8． 故答案为：8． 17.阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长． 小明发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． （1）请回答：∠ACE的度数为 　75°　 ，AC的长为 　3　 ． （2）参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，AC与BD交于点E，AE＝2，BE＝2ED，求AC的长． 【解答】解：∠ACE＝75°，AC的长为3． 过点D作DF⊥AC于点F． ∵∠BAC＝90°＝∠DFA， ∴AB∥DF， ∴△ABE∽△FDE， ∴2， ∴EF＝1，AB＝2DF． 在△ACD中，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°， ∴∠ACD＝75°，AC＝AD． ∵DF⊥AC， ∴∠AFD＝90°， 在△AFD中，AF＝2+1＝3，∠FAD＝30°， ∴DF＝AFtan30°，AD＝2DF＝2． ∴AC＝AD＝2． 18.阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积． 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）． 参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF． （1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于 　　 ． 【解答】解：△BDE的面积等于1． （1）如图．以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP． （2）平移AF到PE，可得AF∥PE，AF＝PE， ∴四边形AFEP为平行四边形， ∴AE与PF互相平分，即M为PF的中点， 又∵AP∥FN∥BC，F为AB的中点， ∴N为PC的中点， ∴E为△PFC各边中线的交点， ∴△PEC的面积为△PFC面积的 连接DE，可知DE与PE在一条直线上 ∴△EDC的面积是△ABC面积的 所以△PFC的面积是13 ∴以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于． 19. 倍长中线（Methodoftimesthelengthofline） 倍长中线的意思是：延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等，此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“SAS”证明对应边之间的关系． 请用倍长中线法解答下面问题：在△ABC中，∠ACB＝90°，BD是AC边上的中线，点E为射线BC上一动点． （1）问题发现 如图1，点E在BC上，BE：CE＝1：2，BD与AE相交于点P，延长BD至点F，使得BD＝DF，连接AF，求的值． 王林同学根据题意写出了如下不完整的求解过程，请补全其过程． 解：设BE＝k，则CE＝　2k ； ∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝CD； ∵在△BCD和△FAD中， ∴△BCD≌△FAD（ SAS ） ∴　∠CBD ＝　∠AFD ， ∴BC∥FA；∴BC＝FA＝3k； 又∵BC∥FA， ∴△BPE∽△FPA； ∴　3　 ． （2）类比探究 如图2，点E在BC的延长线上，AE与BD的延长线交于点P，CE：BC＝1：3，求的值． （3）拓展延伸 在（2）的探究结论下，若BC＝4，AC＝6，求BP的长． 【解答】解：（1）如图1延长BD至点F，使得BD＝DF，连接AF， 设BE＝k，则CE＝2k； ∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝CD； 在△BCD和△FAD中， ， ∴△BCD≌△FAD（SAS）， ∴∠DBC＝∠F， ∴BC∥FA； ∴BC＝FA＝3k； 又∵BC∥FA， ∴△BPE∽△FPA； ∴3， 故答案为：2k，SAS，∠CBD，∠AFD，3； （2）如图2，延长BD至点F，使得BD＝DF，连接AF， 设CE＝m， ∵CE：BC＝1：3， ∴BC＝3m， ∴BE＝BC+CE＝4m； ∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝CD； 在△BCD和△FAD中， ， ∴△BCD≌△FAD（SAS）， ∴∠CBD＝∠AFD， ∴BC∥FA； ∴BC＝FA＝3m； 又∵BC∥FA， ∴△BPE∽△FPA； ∴； （3）如图3，延长BD至点F，使得BD＝DF，连接AF， 由（2）知，AF∥BC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CAF＝90°， 过点B作BH⊥AF交FA的延长线于H， ∴∠H＝∠ACB＝∠CAH＝90°， ∴四边形ACBH是矩形， ∴BH＝AC＝6，AH＝BC＝4， ∵CE：BC＝1：3，BC＝4， ∴CE， ∴BE＝BC+CE， 由（2）知，BC＝FA＝4， ∴HF＝AH+AF＝8， 在Rt△BHF中，根据勾股定理得，BF10， 由（2）知，△BPE∽△FPA， ∴， ∴， ∴， ∴BPBF． 20．请阅读下面的材料： 如图（1）所示，等边三角形ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD＝30°，BD＝CDAB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”． 请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题： （1）△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝a，则BC＝　　 ； （2）如图（2）所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交AB于D，垂足为E，当BD＝5cm，∠B＝30°时，△ACD的周长＝　15cm ； （3）如图（3）所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB，那么BE：EA＝　3：1　 ； （4）如图（4）所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DM是AB的垂直平分线，BD＝8cm，则AC＝　4cm ； （5）如图（5）所示，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠CAD＝∠ABE，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB与PQ的数量关系，并简要说明理由． 【解答】解：（1）∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，且∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝30，∠C＝90°， ∴BCAB． 故答案为：； （2）如图2，∵DE是线段BC的垂直平分线，∠ACB＝90°， ∴CD＝BD，AD＝BD． 又∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴ACAB， ∴△ACD的周长＝AC+AB＝3BD＝15cm． 故答案为：15cm； （3）如图3，连接AD． ∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中点， ∴∠BAD＝60°． 又∵DE⊥AB， ∴∠B＝∠ADE＝30°， ∴BEBD，AEAD， ∴BE：EABD：AD， 又∵BDAD， ∴BE：AE＝3：1． 故答案为：3：1； （4）如图4，连接AD， ∵DM是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD＝8cm， ∴∠DAB＝∠B＝15°， ∴∠ADC＝30°， ∴ACAD＝4cm， 故答案为：4cm； （5）BP＝2PQ．理由如下： ∵△ABC为等边三角形． ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°， 在△BAE和△ACD中，， ∴△BAE≌△ACD（AAS）， ∴∠ABE＝∠CAD． ∵∠BPQ为△ABP外角， ∴∠BPQ＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60° ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ＝30°， ∴BP＝2PQ． 21.【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【初步感知】 （1）如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．可以判定△ADC≌△EDB，从而得到AC＝EB＝10．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系，即可求出中线AD的取值范围是 　2＜AD＜8　 （请直接写出答案）． 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆AB和教学楼CE顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面BC的中点D，用测角仪测得此时∠ADE＝90°，测得旗杆高度AB＝10.8m，教学楼高度CE＝20.2m，求AE的长． 【拓展探究】 （3）如图3，△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，连接DE，BC，点F是BC的中点，连接FA并延长，与DE相交于点G．试探究：DE和AF的数量关系和位置关系并说明理由． 【解答】解：（1）∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE＝AC， ∵AB＝6，AC＝10， ∴BE＝AC＝10， 在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE， 即10﹣6＜AE＜10+6， ∴4＜AE＜16， ∵DE＝AD， ∴AE＝2AD， ∵4＜2AD＜16， ∴中线AD的取值范围是：2＜AD＜8， 故答案为：2＜AD＜8． （2）延长ED交AB的延长线于H，如图2所示： 根据题意得：AB⊥BC，EC⊥BC， ∴∠HBD＝∠ECD＝90°， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDH和△CDE中， ， ∴△BDH≌△CDE（ASA）， ∴BH＝CE＝20.2m，DH＝DE， ∴AH＝AB+BH＝10.8+20.2＝31（m）， ∵∠ADE＝90°， ∴AD⊥EH， 又∵DH＝DE， ∴AD为线段EH的垂直平分线， ∴AE＝AH＝31m； （3）DE＝2AF，DE⊥AF，理由如下： 延长AF到P，使FP＝FA，连接BP，如图3所示： 则AP＝2AF， ∵点F是BC的中点， ∴BF＝CF， 在△BFP和△CFA中， ， ∴△BFP≌△CFA（SAS）， ∴∠P＝∠CAF，BP＝AC， ∴BP∥AC， ∴∠ABP+∠BAC＝180°， ∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形， ∴∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE， ∴∠BAD+∠CAE＝180°， ∴∠DAE+∠BAC＝180°， ∴∠ABP＝∠DAE， ∵BP＝AC，AC＝AE， ∴BP＝AE， 在△ABP和△DAE中， ， ∴△ABP≌△DAE（SAS）， ∴AP＝DE，∠BAP＝∠ADE， ∵AP＝2AF， ∴DE＝2AF， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAP+∠DAG＝90°， ∴∠ADE+∠DAG＝90°， ∴∠AGE＝180°﹣（∠ADE+∠DAG）＝90°， ∴AG⊥DE， 即AF⊥DE． 22.阅读下面材料： 子薇遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF． 子薇是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．她先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．她的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF． 请回答：在图2中，∠GAF的度数是 　45°　 ． 参考子薇得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一点，若∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长度． （2）如图4，已知线段AC＝4，线段BC绕点C旋转，且BC＝6，连结AB，以AB为边作正方形ADEB，连结CD．求线段CD的最大值． 【解答】解：阅读材料： ∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG， ∴∠GAB＝∠EAD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠GAF＝∠GAB+∠BAF， ＝∠EAD+∠BAF， ＝∠BAD﹣∠EAF， ＝90°﹣45°， ＝45°； 故答案为：45°； （1）如图3，过点A作AF⊥CB交CB的延长线于点F， ∵AD∥BC，∠D＝90°，AD＝CD， ∴四边形AFCD是正方形， 设BE＝x， 根据子薇的结论，BF＝BE﹣DE＝x﹣4， ∵CD＝10，DE＝4， ∴CE＝CD﹣DE＝10﹣4＝6， BC＝CF﹣BF＝10﹣（x﹣4）＝14﹣x， 在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2， 即（14﹣x）2+62＝x2， 整理得，﹣28x＝﹣232， 解得x， 即BE； （2）如图，过点A作AE⊥CA，取AE＝AC，连接BE，CE， ∵AE⊥CA，AE＝AC＝4， ∴EC＝4， ∵∠EAC＝90°＝∠BAD， ∴∠EAB＝∠CAD，且AC＝AE，AB＝AD， ∴△EAB≌△CAD（SAS）， ∴CD＝BE， ∵BE≤CE+BC＝46， ∴BE的最大值为46， ∴CD的最大值为46． 23.阅读思考，解决问题： 小华遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长． 小华发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算，能够使问题得到解决（如图2）． （1）①直接写出∠ACE的度数； ②求线段AC的长； （2）参考小华思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝AD，对角线AC与BD交于点E，AE＝2，BE＝2DE，求BC的长． 【解答】解：（1）①∵CE∥AB， ∴∠E＝∠BAD＝75°， ∴∠ACE＝180°﹣∠CAD﹣∠E＝180°﹣75°﹣30°＝75°； ②∵∠E＝75°， ∴∠ACE＝∠E， ∴AC＝AE， ∵CE∥AB，BD＝2DC， ∴AD＝2DE， ∴DE＝1， ∴AE＝3， ∴AC＝3； ∴AD＝2DE， AE＝AD+DE＝3， ∴AC＝AE＝3； （2）如图3，过点D作DF⊥AC于点F． ∵∠BAC＝90°＝∠DFA， ∴AB∥DF， ∴△ABE∽△FDE， ∴， ∴EF＝1，AB＝2DF， 在△ACD中，∠CAD＝30°，AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC＝75°， ∵DF⊥AC， ∴∠AFD＝90°， 在△AFD中，AF＝2+1＝3，∠FAD＝30°， ∴DF＝AFtan30°，AD＝2DF＝2， ∴AC＝AD＝2，AB＝2DF＝2． ∴BC2． 24.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： （1）如图1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）问题解决： 受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF． ①求证：BE+CF＞EF；②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明； （3）问题拓展： 如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作∠EDF为60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明． 【解答】（2）证明：①如答题图1，延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG． 则CF＝BG，DF＝DG， ∵DE⊥DF，∴EF＝EG． 在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF． 解：②若∠A＝90°，则∠EBC+∠FCB＝90°， 由①知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG， ∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°， ∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2， ∴BE2+CF2＝EF2； （3）解：如答题图2，将△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG． ∵∠C+∠ABD＝180°，∠4＝∠C， ∴∠4+∠ABD＝180°， ∴点E、B、G在同一直线上． ∵∠3＝∠1，∠BDC＝120°，∠EDF＝60°， ∴∠1+∠2＝60°，故∠2+∠3＝60°，即∠EDG＝60° ∴∠EDF＝∠EDG＝60°， 在△DEG和△DEF中， ∴△DEG≌△DEF（SAS）， ∴EF＝EG＝BE+BG，即EF＝BE+CF． 25.阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： 小明遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝4，BD＝2DC，求AC的长． 小明发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）． 任务： （1）∠ACE的度数为 　75°　 ，AC的长为 　6　 ； （2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，AC与BD交于点E，AE＝4，BE＝2ED，求AC的长． 【解答】解：（1）∵CE∥AB． ∴∠E＝∠BAD＝75°，△ABD∽△ECD， ∵∠CAD＝30°， ∴∠ACE＝180°﹣∠E﹣∠CAE＝180°﹣75°﹣30°＝75°， ∴∠E＝∠ACE， ∴AE＝AC， ∵△ABD∽△ECD， ∴， ∵AD＝4，BD＝2DC， ∴CD＝2， ∴AE＝4+2＝6， ∴AC＝6， 故答案为：75°，6； （2）如图：过点D作DF∥AB交AC于点F． ∴∠DFA＝∠BAC＝90°， ∵∠AEB＝∠DEF， ∴△BAE∽△DFE， ∴， ∴， 在Rt△ADF中，∠CAD＝30°， ∴，， ∴， 在△ACD中，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°， ∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝75°， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴． 26.【问题情境】 在△ABC中，AB＝AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PE＝CF． 证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．（不要证明） 【变式探究】 当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）．试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由．请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： 【结论运用】 如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD＝8，CF＝3，求PG+PH的值； 【迁移拓展】 在直角坐标系中．直线l1：yx+4与直线l2：y＝2x+4相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点，若点P到直线l1的距离为1．求点P的坐标． 【解答】证明：【变式探究】 连接AP，如图3： ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC＝S△ACP﹣S△ABP， ∴AB•CFAC•PEAB•PD． ∵AB＝AC， ∴CF＝PD﹣PE； 【结论运用】过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°． ∵AD＝8，CF＝3， ∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5， 由折叠可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF． ∴DF＝5． ∵∠C＝90°， ∴DC． ∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°， ∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC． ∴四边形EQCD是长方形． ∴EQ＝DC＝4． ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB． ∵∠BEF＝∠DEF， ∴∠BEF＝∠EFB． ∴BE＝BF， 由问题情境中的结论可得：PG+PH＝EQ． ∴PG+PH＝4． ∴PG+PH的值为4； 【迁移拓展】 由题意得：A（0，4），B（3，0），C（﹣2，0） ∴AB，BC＝5． ∴AB＝BC， （1）由结论得：P1D1+P1E1＝OA＝4 ∵P1D1＝1， ∴P1E1＝3 即点P1的纵坐标为3 又点P1在直线l2上， ∴y＝2x＝4＝3， ∴， 即点P1的坐标为（，3）； （2）由结论得：P2E2﹣P2D2＝OA＝4 ∵P2D2＝1， ∴P2E2＝5 即点P1的纵坐标为5 又点P1在直线l2上， ∴y＝2x+4＝5， ∴x， 即点P1的坐标为（，5） 27.阅读理解： （1）【学习心得】 学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆⊙A，（请你在图1上画圆）则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ 　28　 °． ②类型二，“定角+定弦”：如图2，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝12，BC＝8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，求线段PC长的最小值． 解：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PAB＝∠PBC， ∴∠ABP+∠PAB＝90°， ∴∠APB＝ 　90°　 ，（定角） ∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上，请完成后面的过程． （2）【问题解决】 如图3，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为 　4　 ； （3）【问题拓展】 如图4，在正方形ABCD中，AD＝10，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE＝CF．连接AE和DF，交于点P． ①请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【解答】解：（1）①∵AB＝AC，AD＝AC， ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，AB为半径的圆上，如图1， ∴， 故答案为：28； ②∵∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PAB＝∠PBC， ∴∠BAP+∠ABP＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上， 如图2，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小， ∵点O是AB的中点， ∴OA＝OB＝6， 在Rt△BCO中，∠OBC＝90°，BC＝8，OB＝6， ∴， ∴PC＝OC﹣OP＝10﹣6＝4． ∴PC最小值为4， 故答案为：90°； （2）如图3，连接AC，AM， ∵点B，点M关于直线AP对称， ∴AB＝AM， ∴点M在以点A为圆心，AB为半径的圆上运动， ∴当点M在线段AC上时，MC有最小值， ∵AB＝6，BC＝8， ∴， ∴MC的最小值为10﹣6＝4， 故答案为：4； （3）①结论：AE＝DF，AE⊥DF；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°， ∵DE＝CF， 在△ADE和△DCF中， ∴△ADE≌△DCF（SAS）， ∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF， ∵∠ADE＝90°， ∴∠ADP+∠CDF＝90°， ∴∠ADP+∠DAE＝90°， ∴∠APD＝180°﹣90°＝90°， ∴AE⊥DF； ②如图4，连接AC，BD交于点O， ∵点P在运动中保持∠APD＝90°， ∴点P的运动路径是以AD为直径的圆的， ∴点P的运动路径长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年浙教版九年级第一学期第四单元专题：探究题型中的相似 1.阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，求的值． 小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：的值为　 　 ． 参考小昊思考问题的方法，解决问题： （1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且．求的值； （2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，直接写出的值为　 　 ． 2.阅读下面材料： 小波遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，AD与BE相交于点P． （1）小波发现，，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF（如图2），经过推理和计算得到的值为 　 　 ． （2）参考小波思考问题的方法，解决问题： ①如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，求的值； ②如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，求出的值． 3.在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上． （1）猜想验证：如图1，点D在BC边上，BD：BC＝3：4，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，求的值． （2）探究：如图2，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD：BC＝1：3，求的值． （3）应用：如图3，在（2）的条件下，且∠ACB＝90°，若CD＝4，AC＝12，请直接写出BP的值． 4.在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上． 探究：如图①，点D在BC边上，BD：BC＝2：3，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，求的值． 应用：如图②，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD：BC＝1：2，若CD＝2，AC＝6，则PE＝　 　 ． 5.在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上． 猜想：如图①，点D在BC边上，BD：BC＝2：3，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，则的值为 　　 ． 探究：如图②，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD：BC＝1：2，求的值． 应用：在探究的条件下，若CD＝2，AC＝6，则BP＝　 　 ． 6.在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线． （1）如图1，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，则的值为　 　 ； （2）如图2，点D在BC的延长线上，BE的延长线与AD交于点P，DC：BC：AC＝1：2：3． ①求的值； ②若CD＝2，则BP＝　 　 ． 7.阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，∠DAB＝∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC＝2AE． 小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB＝∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决． （1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是AAS （填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个） 参考小明思考问题的方法，解答下列问题： （2）如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF＝∠EAC，若CF＝2，求AB的长； （3）如图4，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD＝kDB（其中0＜k），∠AED＝∠BCD，求的值（用含k的式子表示）． 8.阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是线段BC上一点，连接AD，过点D作DE⊥DA，过点B作BE∥AC，BE与DE相交于点E，求证：DA＝DE．小明通过探究发现，由结论，要证明AD＝DE，所以考虑将△BDE通过旋转，使DE与DA重合，由此得到辅助线：过点D作BC的垂线交BA延长线于点F，从而可证△FDA≌△BDE，（如图2），使问题得到解决． （1），根据阅读材料请回答：△FDA与△BDE全等的条件是ASA （填“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”或“HL”中的一个）； （2）证明小明发现的结论； 参考小明思考问题的方法，解决下面的问题： （3）如图3，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝kAC，AE＝mAD，连接BE，作AG⊥BE，直线AG交CD于点F，求的值（用含k、m的式子表示） 9.方法探索． 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在△ABC中，AB＝9，AC＝5，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． （1）嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．可以判定△ADC≌△EDB，得出AC＝BE，这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围，请你根据嘉鑫的思路写出完整解答过程问题解决． （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在△ABC中，点D、E在BC上，且DE＝DC，过E作EF∥MB与AD相交于点F，且EF＝AC．求证：AD平分∠BAC． 10.阅读下面材料： 小明同学遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D是BC边的中点，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝3，求AC的长． 小明发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． （1）请你帮小明求出AC的长； （2）参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，AC与BD交于点E，AE＝3，BE＝2DE，求BC的长． 11.阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且∠BAC＝2∠DCB，求证：AC＝AD． 小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法： 方法1：如图2，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E． 方法2：如图3，作∠DCF＝∠DCB，与AB相交于点F． （1）根据阅读材料，任选一种方法，证明AC＝AD． 用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题： （2）如图4，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且∠BDE＝2∠ABC，点F在BD上，且∠AFE＝∠BAC，延长DC、FE，相交于点G，且∠DGF＝∠BDE． ①在图中找出与∠DEF相等的角，并加以证明； ②若AB＝kDF，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想． 12.阅读下面材料： 小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CB，CA边上的点，且AE＝BC，BD＝CE，BE与AD的交点为P，求∠APE的度数； 小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B作BF∥AD且BF＝AD，连接EF，AF，从而构造出△AEF与△CBE全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：∠APE的度数为　 　 ． 参考小乔同学思考问题的方法，解决问题： 如图3，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，D、E分别为CB，CA上的点，且AEBC，BD，BE与AD交于点P，在图3中画出符合题意的图形，并求出sin∠APE的值． 13.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．根据SAS可以判定△ADC≌△EDB，得出AC＝BE．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是 　2＜AD＜8　 ． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，试说明：AC＝2AE； 【问题拓展】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，判断线段EF与AD的关系，并说明理由． 14.某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在△ABC中，AC＝6，AB＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． （1）嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．可以判定△ADC≌△EDB，得出AC＝BE，这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系，探究得出AD的取值范围是　 　 ； （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在△ABC中，点D、E在BC上，且DE＝DC，过E作EF∥AB与AD相交于点F，且EF＝AC．求证：AD平分∠BAC． 15.【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如图4，△ABC中，AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决办法：延长AD到点E，使DE＝AD．请根据小聪的方法解决以下问题： （1）求得AD的取值范围是 　 　 ； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题： 如图，已知∠BAC+∠CDE＝180°，AB＝AC，DC＝DE，P为BE的中点． （2）如图1，若A，C，D共线，AC：CD＝3：5，S△ABP＝6，求四边形ABED的面积； （3）如图2，若A，C，D不共线，AP＝PD，求证：AB⊥AC； （4）如图3，若点C在BE上，记锐角∠BAC＝α，且AB＝AC＝CD＝DE，则∠PDC的度数是 　 　 ．（用含α的代数式表示） 16.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长AD到，使DE＝AD，连接BE．根据 SAS 可以判定△ADC≌△EDB，得出AC＝BE．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是 　 　 ． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”一把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】（2）如图2，在△ABC中，∠A＝90°，D是BC边的中点，∠EDF＝90°，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE2+CF2＝EF2． 【问题拓展】（3）如图3，△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝5，且∠ADE＝90°．直接写出AE的长＝　 　 ． 17.阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长． 小明发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． （1）请回答：∠ACE的度数为 　 　 ，AC的长为 　 　 ． （2）参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，AC与BD交于点E，AE＝2，BE＝2ED，求AC的长． 18.阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积． 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）． 参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF． （1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于 　 ． 19. 倍长中线（Methodoftimesthelengthofline） 倍长中线的意思是：延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等，此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“SAS”证明对应边之间的关系． 请用倍长中线法解答下面问题：在△ABC中，∠ACB＝90°，BD是AC边上的中线，点E为射线BC上一动点． （1）问题发现 如图1，点E在BC上，BE：CE＝1：2，BD与AE相交于点P，延长BD至点F，使得BD＝DF，连接AF，求的值． 王林同学根据题意写出了如下不完整的求解过程，请补全其过程． 解：设BE＝k，则CE＝　 ； ∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝CD； ∵在△BCD和△FAD中， ∴△BCD≌△FAD（ ） ∴　 ＝　 ， ∴BC∥FA；∴BC＝FA＝3k； 又∵BC∥FA， ∴△BPE∽△FPA； ∴　 　 ． （2）类比探究 如图2，点E在BC的延长线上，AE与BD的延长线交于点P，CE：BC＝1：3，求的值． （3）拓展延伸 在（2）的探究结论下，若BC＝4，AC＝6，求BP的长． 20．请阅读下面的材料： 如图（1）所示，等边三角形ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD＝30°，BD＝CDAB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”． 请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题： （1）△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝a，则BC＝　 　 ； （2）如图（2）所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交AB于D，垂足为E，当BD＝5cm，∠B＝30°时，△ACD的周长＝　 ； （3）如图（3）所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB，那么BE：EA＝　 　 ； （4）如图（4）所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DM是AB的垂直平分线，BD＝8cm，则AC＝　 ； （5）如图（5）所示，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠CAD＝∠ABE，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB与PQ的数量关系，并简要说明理由． 21.【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【初步感知】 （1）如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．可以判定△ADC≌△EDB，从而得到AC＝EB＝10．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系，即可求出中线AD的取值范围是 　 　 （请直接写出答案）． 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆AB和教学楼CE顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面BC的中点D，用测角仪测得此时∠ADE＝90°，测得旗杆高度AB＝10.8m，教学楼高度CE＝20.2m，求AE的长． 【拓展探究】 （3）如图3，△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，连接DE，BC，点F是BC的中点，连接FA并延长，与DE相交于点G．试探究：DE和AF的数量关系和位置关系并说明理由． 22.阅读下面材料： 子薇遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF． 子薇是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．她先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．她的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF． 请回答：在图2中，∠GAF的度数是 　 　 ． 参考子薇得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一点，若∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长度． （2）如图4，已知线段AC＝4，线段BC绕点C旋转，且BC＝6，连结AB，以AB为边作正方形ADEB，连结CD．求线段CD的最大值． 23.阅读思考，解决问题： 小华遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长． 小华发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算，能够使问题得到解决（如图2）． （1）①直接写出∠ACE的度数； ②求线段AC的长； （2）参考小华思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝AD，对角线AC与BD交于点E，AE＝2，BE＝2DE，求BC的长． 24.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： （1）如图1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）问题解决： 受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF． ①求证：BE+CF＞EF；②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明； （3）问题拓展： 如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作∠EDF为60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明． 25.阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： 小明遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝4，BD＝2DC，求AC的长． 小明发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）． 任务： （1）∠ACE的度数为 　 　 ，AC的长为 　 　 ； （2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，AC与BD交于点E，AE＝4，BE＝2ED，求AC的长． 26.【问题情境】 在△ABC中，AB＝AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PE＝CF． 证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．（不要证明） 【变式探究】 当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）．试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由．请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： 【结论运用】 如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD＝8，CF＝3，求PG+PH的值； 【迁移拓展】 在直角坐标系中．直线l1：yx+4与直线l2：y＝2x+4相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点，若点P到直线l1的距离为1．求点P的坐标． 27.阅读理解： （1）【学习心得】 学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆⊙A，（请你在图1上画圆）则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ 　28　 °． ②类型二，“定角+定弦”：如图2，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝12，BC＝8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，求线段PC长的最小值． 解：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PAB＝∠PBC， ∴∠ABP+∠PAB＝90°， ∴∠APB＝ 　 　 ，（定角） ∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上，请完成后面的过程． （2）【问题解决】 如图3，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为 　 　 ； （3）【问题拓展】 如图4，在正方形ABCD中，AD＝10，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE＝CF．连接AE和DF，交于点P． ①请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $