第十七章 因式分解章末复习课件-2025-2026学年人教版 数学八年级上册

人教版(2024)版数学8年级上册 第十七章 因式分解 章末复习 整式的乘法 因式分解 公式法 乘法公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a b)2=a2 2ab+b2 特殊形式 相反变形 提公因式法 相反变形 具体方法 一、本章知识框架 因式分解是整式运算的逆向过程,是解决代数式化简、求值、方程求解等问题的重要工具。本章核心知识围绕“是什么、为什么、怎么分”展开,具体框架如下: - 概念本质:把一个多项式化为几个整式的积的形式(与整式乘法互逆) - 基本方法:提公因式法、公式法(平方差公式、完全平方公式) - 分解原则:一提(公因式)、二套(公式)、三查(彻底) - 应用场景:代数式化简、求值;解方程;判断整除性等 二、核心知识点梳理 1. 因式分解的概念(基础前提) 定义:把一个多项式表示成几个整式乘积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫分解因式。 关键辨析: - 本质是“和差化积”,与整式乘法(积化和差)互为逆运算。例如:$x^2-4=(x+2)(x-2)$(因式分解),$(x+2)(x-2)=x^2-4$(整式乘法)。 - 结果必须满足三个条件:① 是整式的积;② 每个因式都是整式且不能再分解(在有理数范围内);③ 因式分解前后多项式的值不变(恒等变形)。 - 反例:$x^2+1=x(x+\frac{1}{x})$(不是因式分解,因$\frac{1}{x}$不是整式);$x^2-4=(x^2-4)$(未分解,只是原式改写)。 2. 提公因式法(首要步骤) 提公因式法是分解因式的“第一招”,无论多项式结构如何,先看是否有公因式,有则先提。 1)公因式的确定:公因式是多项式各项都含有的公共整式,需从“系数、字母、字母指数”三方面分析: - 系数:取各项系数的最大公约数(符号统一,通常取正); - 字母:取各项都含有的相同字母; - 字母指数:取相同字母的最低次幂。 示例:多项式$6x^3y^2-9x^2y^3+3x^2y$的公因式:系数最大公约数是3,相同字母为$x$、$y$,$x$的最低次幂是2,$y$的最低次幂是1,故公因式为$3x^2y$。 2)提公因式的法则:$ma+mb+mc=m(a+b+c)$($m$为公因式) 3)注意事项: - 提尽公因式:确保提公因式后,括号内的多项式不再有公因式; - 首项为负先变号:若多项式首项系数为负,先提取负号,使括号内首项为正(注意括号内各项都要变号)。例如:$-2x^2+4xy=-2x(x-2y)$; - 常数项的公因式:不要忽略常数项的最大公约数; - 提公因式后项数不变:提取公因式后,括号内的项数与原多项式项数一致,若某项与公因式相同,提取后该项为1(不能漏写)。例如:$x^2-xy+x=x(x-y+1)$(此处“+1”不可省略)。 3. 公式法(核心方法) 提公因式后,若括号内的多项式符合平方差公式或完全平方公式的形式,可继续用公式分解。 1)平方差公式 - 公式形式:$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ - 适用条件:多项式是二项式,两项都能写成平方的形式,且两项符号相反(一正一负)。 - 关键:找准“$a$”和“$b$”——$a$、$b$可以是单独的字母、数字,也可以是单项式或多项式(把复杂部分看作一个整体)。 - 示例:① $4x^2-9y^2=(2x)^2-(3y)^2=(2x+3y)(2x-3y)$;② $(x+2)^2-16=(x+2)^2-4^2=(x+2+4)(x+2-4)=(x+6)(x-2)$。 2)完全平方公式 - 公式形式:$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$;$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$(即“首平方、尾平方,首尾积的2倍在中央,符号看前方”) - 适用条件:多项式是三项式,其中两项能写成平方的形式(且符号相同),第三项是这两项底数乘积的2倍(符号可正可负)。 - 示例:① $x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=(x+3)^2$;② $4x^2-20xy+25y^2=(2x)^2-2\cdot 2x\cdot 5y+(5y)^2=(2x-5y)^2$;③ $(a-b)^2+4(a-b)+4=(a-b)^2+2\cdot (a-b)\cdot 2+2^2=(a-b+2)^2$。 4. 因式分解的一般步骤(分解彻底) 1. “一提”:先提取各项的公因式(若有); 2. “二套”:若提公因式后仍可分解,观察多项式项数选择公式:① 二项式——尝试平方差公式;② 三项式——尝试完全平方公式; 3. “三查”:检查每个因式是否还能继续分解(在有理数范围内),确保分解彻底。 示例:分解因式$2x^3y-8x^2y^2+8xy^3$ 探究新知 知识回顾 概念:把一个多项式化为几个整式的_的形式,叫作这个多项式的因式分解,也叫作把这个多项式_. 与整式乘法的关系:因式分解与整式乘法是方向相反的变形. 因式分解 乘积 分解因式 知识点一 因式分解 注意:因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止. 探究新知 3 举一反三训练 1. 将 a3b – ab 进行因式分解,正确的是( ) A. a(a2b – b) B. ab(a – 1)2 C. ab(a + 1)(a – 1) D. ab(a2 – 1) C a3b – ab = ab(a2 – 1) = ab(a + 1)(a – 1) 探究新知 2. 有两道因式分解的题目: (1)3x2 – 9x + 3;(2)4x2 – 9. 小明的解答如下: 解:(1) 3x2 – 9x + 3 = 3(x2 – 6x + 1). (2) 4x2 – 9 = (2x + 3)(2x – 3). 请你利用因式分解与整式乘法的关系,判断小明分解的结果是否正确,并说明理由. 不正确. 解:(1)3(x2 – 6x + 1) = 3x2 – 18x + 3 正确. (2)(2x + 3)(2x – 3) = (2x)2 – 32 = 4x2 – 9 探究新知 知识点二 提公因式法 公因式:一个多项式的各项都含有的公共的因式. 确定公因式:①定_,②定_,③定_. 提公因式:如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式. 系数 字母 指数 探究新知 1. 已知 2x – y = ,xy = 2,则 2x4y3 – x3y4的值为_. 举一反三训练 解析: 2x4y3 – x3y4= x3y3(2x – y). 当2x – y = ,xy = 2 时, x3y3(2x – y) = 23 = 探究新知 2. 若 x2 + x = 1, 则 3x4 + 3x3 + 3x + 1 的值为_. 解析: 3x4 + 3x3 + 3x + 1 = 3x2(x2 + x) + 3x + 1 = 3x2 + 3x + 1 = 3(x2 + x) + 1 = 3 + 1 = 4 4 探究新知 3. 计算:(1)20242 + 2024 – 20252; (2)5 24 + 3 24 + 4 22. 解:(1) 20242 + 2024 – 20252 = 2024 (2024 + 1) – 20252 = 2024 2025 – 20252 (2) 5 24 + 3 24 + 4 22 = 5 24 + 3 24 + 24 = 24 (5 + 3 + 1) = 16 9 = 144 = 2025 (2024 – 2025) = – 2025 探究新知 知识点三 公式法 十字相乘法: x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) 综合运用多种方法分解因式 探究新知 一、核心考点巩固 考点1 因式分解的概念 1.[2025深圳月考]下列从左到右的变形中,属于因式分解的是( ) C A. B. C. D. 返回 探究新知 11 2.多项式与多项式 的公因式为( ) A A. B. C. D. 返回 探究新知 12 考点2 分解因式 3.把 分解因式时,提出公因式后,另一个因式是 ( ) A A. B. C. D. 返回 探究新知 13 4.[2025青岛月考]下列多项式能用平方差公式分解因式的是( ) D A. B. C. D. 返回 探究新知 14 5.下列因式分解正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 探究新知 15 6.若将多项式加上一个单项式 后,就能够在我们所学范围内分 解因式,则单项式 不可能是( ) D A. B. C. D. 返回 探究新知 16 7.[2025杭州期末]若,则 的值为 ( ) A A.12 B.6 C.3 D.0 返回 探究新知 17 8.[2025承德期末]若,, 为一个三角形的三条边,则 的值( ) B A.一定为正数 B.一定为负数 C.可能为正数,也可能为负数 D.可能为0 返回 探究新知 18 9.分解因式: (1) ; 解:原式 . (2) ; 解:原式 . (3) ; 解:原式 . (4) ; 解:原式 . 探究新知 19 (5) ; 解:原式 . (6) . 解:原式 . 返回 探究新知 20 10.利用因式分解计算: (1) ; 解:原式 . (2) . 解:原式 . 返回 探究新知 21 二、思想方法演练 方法一 配方法 11. 我们已学过完全平方公式 , 观察下列式子: ; . 探究新知 22 解答下列问题: (1),则_, _. 1 8 (2)如图,有一段长为 的围墙,在紧靠围墙的 空地上,利用围墙及一段长为 的木栅栏围成一个 长方形花圃,设长方形花圃垂直于墙的一边的长度为 ,完成下列任务: ①列式:用含的式子表示花圃的面积:_, 的取值 范围为_; ②请说明当 取何值时,花圃的面积最大,最大面积是多少平方米? 解:设花圃的面积为,则 , , 当时,花圃的面积最大,最大面积为 . 返回 探究新知 23 方法二 数形结合思想 12.[2025烟台期末]如图,大长方形是由三个小长方 形和一个小正方形拼成的. 【观察猜想】请根据此图填空: (①_) (②_). 【说理验证】事实上,我们也可以用如下代数方法进行变形: (③_)(④_)(⑤_) (⑥_). 于是,我们可以利用此方法进行多项式的因式分解. 探究新知 24 【尝试运用】 例:把多项式 分解因式: (1)将“观察猜想”“说理验证”的括号内序号处填上相应的内容; 解:; (①,②两处内容可以互换); ; ; ; (⑤,⑥两处内容可以互换) . 请解决下列问题: 探究新知 25 (2)利用上述方法分解因式: . 解: . 返回 探究新知 26 谢谢观看! $