湖南省衡阳市祁东县育贤中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

《2025年下期育贤中学高二年级期中考试数学试题》参考答案 题号 1 2 4 6 9 10 答案 A D 0 & ABD BD 题号 11 答案 ACD 1.A 【分析】根据题意，求得直线的斜率为k=-2,结合直线的点斜式方程，即可求解。 【详解】由直线的方向向量为a=(-1,2),可得直线的斜率为k=-2, 又由直线过点P(1,2),由点斜式方程得y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0. 故选：A 2.C 【分析】由题意可得c=1,讨论焦点在x轴或y轴，根据c2=a2-b2即可求解. 【详解】因为焦距是2，所以c=1, 当焦点在x轴时，d2=m,b2=4,.c2=a2-b2=m-4=1 解得，=5， 当焦点在y轴时，a2=4,b2=,∴.c2=d-b2=4-=1 解得，m=3, 故选：C. 3.A 【分析】由共面向量定理进行判断· 【详解】：2a-b=2+(-1)b, ∴.根据向量共面定理知，2ā-b与a,b共面. 故选：A 4.D 【分析】根据直线方程的两点式使用条件可判断①②：③式是由直线两点式化简而得，通过 验证斜率为0或不存在即可验证命题真伪： 【详解】①正确，从两点式方程的形式看，只要x≠x2,y≠y,,就可以用两点式来求解直 线的方程；②正确，方程-4=-4与)出=X-之的形式有异，但实质相同，均表 y2-y1x2-x1 y-V2 x-x2 答案第1页，共12页 示过点(x,y)和(x2,y2)的直线：③显然正确 故选：D 5.D 【分析】利用空间向量的线性运算可得出OG关于基向量OA、OB、OC的表达式 【详解】连接Ow,因为G为VABC的重心，则AG=A,如下图所示： 因为v为8c的中点，则-丽+丽：孤+号8C=西+aC丽号亚号C 所以，4o-6西+c}6+c, 所以.0G=oA+4G=0A+6+}4c=aA+p丽-oA}bc-0A) -+50丽+号0c 故选：D. 6.C 【分析】解法一：取AC中点F,连接EF,DF,O为AB的中点，连接OD,CO,先证明DOI 平面ABC,即可得出DO⊥OE,根据勾股定理求出DE=DF=√.然后由EF/IAB,得出 ∠DEF或其补角等于异面直线AB和DE所成的角，在ADEF中，即可求出答案；解法二： 先证明DO⊥平面ABC,建立空间直角坐标系，得出点的坐标，表示出AB,DB,即可根据数 量积公式，求出答案 【详解】解法一： 答案第2页，共12页 万 E D 图1 如图1，取AC中点F,连接EF,DF,O为AB的中点，连接OD,CO,OE,OF, 易知CO⊥底面OAB, 因为COC平面ABC,所以平面ABC⊥底面OAB 又平面ABC∩底面OAB=AB,DO⊥AB, 所以DO⊥平面ABC 因为EOc平面ABC,所以DO⊥OE 同理可得，DO⊥OF 设底面半径为r,EF=r,DE=DF=√DO2+OE2=√2r 因为E,F分别为CB,CA的中点，所以EF/IAB, 则在ADEF中，∠DEF或其补角等于异面直线AB和DE所成的角， 所以cos∠DEF= DE2+EF2-DF22+1-2V2 2DE.EF 2W2.14 解法二： 如图2，O为AB的中点，连接OD,CO, 易知CO⊥底面OAB, 因为COC平面ABC,所以平面ABC⊥底面OAB 又平面ABC∩底面OAB=AB,DO⊥AB, 所以DO⊥平面ABC. 答案第3页，共12页 B D 图2 以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，设AB=2, 则40-10吵.B(010,D10.0),022 。1V3 AB.D√2 记所求角为0，则cos8 故选：C. 7.C 【分析】分析可知至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点，则三条直线不能构成三角 形 【详解】三条直线不能构成三角形·至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点。 1 若4∥12，则m=4;若1∥13，则-4m=1.m=- 若∥13，则-m2=1.m的值不存在： 若三条直线相交于同一点， 3 4x+y=3 x= 直线和2联立： 33m x+y=0 4-m,直线和l,交点为P 3 4-m’m-4 V=- -4 3m+2 4x+y=3 x= 1+4m 直线和联立： .直线和l交点为Q 3m+2。-5 (t-y=2 -5 1+4m'1+4m v= 1+4m 答案第4页，共12页 3 31+2 :三条直线相交于同一点P、Q两点重合 4-m 1+4m .m=1或 3m=-5 m-41+4m 故实数m的取值最多有4个. 故选：C 8.B 【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，根据向量法对选项一一判断即可. 【详解】以D为原点建立空间直角坐标系如图所示：设正方体的边长为2 则D(0,0,0,),C(0,2,0),21,2,2),B(2,2,0),N(0,0,1) C=(1,0,2),DC=(0,2,0,有C0.DC=0,所以C91DC, 又因为DC⊥平面ADDA,CQa平面ADDA,所以CQ∥平面ADD,A,故①正确； 因为BN.AA=（2,-2,1)(0,0,-2)=-2,所以②错误： 由C9.BN=(1,0,2)(-2,-2,1)=-2+2=0,得CQ⊥BN,故③正确： BN.CD 由cos(B,CD) 4兰，放④错误 42,2 BN.CD 故选：B zA D A B 9.ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为α+b2,r2的大小关系，结合点到直线的距离 及直线与圆的位置关系即可得解 r2 【详解】圆心C(0,0)到直线1的距离d= √a2+b2 答案第5页，共12页 若点A(a,b)在圆C上，则a2+b2=r2,所以d= 则直线1与圆C相切，故A正确； r2 若点A(a,b)在圆C内，则a2+b2<r2,所以d=- >， a+b2 则直线1与圆C相离，故B正确： 若点A(a,b)在圆C外，则a2+b2>r2,所以d= 则直线1与圆C相交，故C错误； 若点A(a,b)在直线1上，则a2+b2-2=0即a2+b2=r2, 所以d= va+b =,直线1与圆C相切，故D正确。 故选：ABD. 10.BD 【分析】由法向量是否共线判断A；计算数量积判断B；由直线与平面平行的意义判断C: 由法向量的意义，列式计算判断D. 【详解】对于A,向量n=(0,1,3)与2=(1,2,6)不共线，平面与B不平行，A错误： 对于B,由=-12，-1为，得a.6=1x2-11+2x(-0,1与m重直，B正 确： 对于C,a-n=1×(1)+(1)×(1)=0,a/1a,则lcx或l11a,C错误： 对于D,BA=1,-1,-1),BC=(-1,1,0),由n=(1,u,t)是平面a的法向量， BA.ii=1-u-t=0 得 ,解得u+t=1,D正确。 BC.i=-1+u=0 故选：BD 11.ACD 【分析】由题知 a=2a,① a,-c2=4-c,②’ 再根据不等式性质，结合离心率公式依次讨论各选项 即可得答案 答案第6页，共12页 【详解】解：由题知 a=2a,① a-C2=4-C,②' 由②两边同时加C2+C得4+C2=a,+C,,故C正确： 将①代入②得a2-c2=2a2-C1, 两边同时除以4，得：1-9=2-9=2-2，=2-22，即6，=28-1，故A正确： 2 2a, a 由②得C1=4-42+C2=42+C2>22,③ ③式两边同乘以4得c42>2,C2=a4c2,故B错误； 由③式得-C1<-2c2,故两边同加a,得4-C,=2a-C<4-2c2,故D正确 故选：ACD 12.5 【解析】根据条件求出点B的坐标，进而可得答案， 【详解】点P(3,-2,2)在xOz平面内的射影为B(3,0,2), 则x+y+2=3+0+2=5. 故答案为：5. 13.√37 【分析】求出点A关于直线x+y=4的对称点坐标，再由两点间距离公式计算可得结果. 【详解】设A(3,0)关于直线x+y=4的对称点A(a,b),如下图所示： 41 B O [b-0 =1 则 a-3 a+3,b ,解得a=4,b=1,即A(4,1) (2+24 此时4B即为最短路程，易知AB=4+2)'+12=V37. 所以最短总路程为√37 答案第7页，共12页 故答案为：√37 14. (0,2) 0 【分析】①直线的方程可化为y=x+2,即可求解，②曲线C是化简变形后可得 (x-2)+y2=4,(y≥0)，画出直线与曲线C有两个交点的图形即可求解。 【详解】①将直线l:x-y+2=0变形为y=(x-0)+2, 所以当x=0时，无论m取何值y=2,所以定点P的坐标为(0,2)， ②曲线C是化简变形后可得(x-2)+y2=4,(y≥0)， 其表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆在x轴上半部分（包含交点）如图所示， 10 若要直线1：x-y+2=0,与曲线C有两个交点， 则其在y=2与x+2y-4=0之间，所以可得直线1的斜率为m,则- ≤m<0, 故m的取值范围为[-20)， 150-号 (2)V11 【分析】(1)根据数量积的运算律，结合数量积的定义即可求得答案： (2)利用向量模的计算公式，结合数量积的运算律以及数量积定义，即可求得答案. 【详解】(1)由题意知a1b,c与a、6的夹角都是60°，并且-1，=2，日=3， 故(3a-2b)(6-3c)=3a.i-9a.c-2b2+6而.c =3×0-9×1×3×c0s60-2×2+6×2×3×c0s60 答案第8页，共12页 (2)a+2五-=Va+2b-c)2=h+4b+c+4ab-2a.c-4b.e =1+16+9+4x0-2x1x3×24x2x3×2 2 = 16.(1)x2+y2=4（2)直线1的斜率为±2√2】 【详解】试题分析：(1)先根据圆心到切线距离等于半径求”，再根据标准式写圆方程(2) 由题意得OM与AB互相垂直且平分，即得原点O到直线I的距离，再根据点到直线距离公式 求直线斜率 试题解析：(1)设圆O的半径长为r,因为直线x-√5y-4=0与圆O相切，所以 r0-5x0-4-2 V1+3 所以圆O的方程为x2+y2=4 (2)假设存在点M使得四边形OAMB为菱形，则OM与AB互相垂直且平分， 所以原点O到直线1y=+3的距离dF=二|OM=1.所以 3 =1,解得k2-8,即=±2√2，经验 1+2 证满足条件.所以存在点M使得四边形OAMB为菱形，此时直线1的斜率为±2√2 √ ,0, √2 17.(1) 或5.5 2 2 2 (2)3 【分析】(1)设a=(a,42,4),根据题意列方程，解方程即可得到a; (2)设元与a的夹角为a,根据数量积的运算律得到f(d)+2=V9-8cos2x,即可得到最 大值. 【详解】(1)依题意得：fu=u+2(-u·a)a=v,设a=(a,a,a), -1+2cG=0 则-.a=a, 2a4=0→a= √2 2 2a4=-1 (2)设元与a的夹角为a,则x.a=a cosa=cosa, f()+2=3x-2(x.a)a-V(3.x-2cosaa)=V9-8cosas3. 答案第9页，共12页 故最大值为3. 18.【答案】0)号+y=1 4 (2)(0,3] 【分析】(1)据条件求得椭圆E的基本量a、b、c,代入标准方程即可解决： (2)通过设直线AP斜率为k,可以由此表达出P、Q的坐标，进而把QPQA用斜率k表达 出来，再求其取值范围即可解决。 (1) 因为椭圆8的离心率为5，所以-5，即c-5。 2 又由a=B+c,可得b=20 因为点A(0,)在E上，所以b=1,所以a=2 所以z的方程为产+y=1 4 (2) 因为B为E的下顶点，所以B(0,-1) 因为点P在E内，所以直线AQ、BP的斜率存在且不为0. 设A9:y=kx+1, 由PA.PB=0,可得PA⊥PB,则直线AQ、BP的斜率乘积为-1 1 所以BP:y=-1 「x2 由4+广=L消去y得1+4k)x+8x=0, y=x+1, 8k 8k 所以无+=1中杯，所以。=1十报 2k 少消去y得2 y=kx+1, 所以O=(,-x2,y。-%)=(x-xg,x,-x》 @A=-(x4-x2y4-y2)=(x4-x2,k(k-x2月， 2②A=(x,-x)x-x2)+(c。-)c-x)=(1+2)(x。-xa)c-) 答案第10页，共12页2025年下期育贤中学高二年级期中考试数学试题 注意事项： 1。答题前填写好自已的姓名、班级、考号等信息 2。请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中 填涂符合题意的选项。本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1.过点P1,2)且直线的方向向量为a=(-1,2)的直线方程为() A.2x+y-4=0 B.x+y-3=0 C.x-2y+3=0 D.2x-y+4=0 2.椭圆士+二=1的焦距是2，则m的值为() A.5 B.3 C.5或3 D.20 3.对于空间的任意三个向量a,b,2ā-五，它们一定是(). A.共面向量B.共线向量 C.不共面向量D.既不共线也不共面的向量 4.有关直线方程的两点式，有如下说法： ①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程； ②直线方程=-以也可写成)长=-五： y2-以x2-￥ y-V2 x-X2 ③过点(，y),P（x2,2)的直线可以表示成(x2-x)(y-y)=(y,-y)(x-x) 其中正确说法的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 5.在三棱锥O-ABC中，M、N分别是OA、BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA、 OB、OC表示oG,则下列表示正确的是() A.104+08+00 B.104+108+100 4 3 C.-104+308+L00 1 D.1Q4+108+0C 1 6 6.如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，D为弧AB的中点，E为母线BC的中点，则 异面直线AB和DB所成角的余弦值为() B.② 3 C.② D. 4 试卷第1页，共4页 7.若三条直线l:4x+y=3,:x+y=0,3:x-y=2不能围成三角形，则实数的取值最 多有() A.2个 B.3个 C.4个 D.6个 8.如图，正方体ABCD-ABCD中，点Q为B,C的中点，点N为DD的中点.有下列四 个结论： ①CQ∥平面ADDA;②BN⊥平面ACCA: ③C2⊥BN;④异面直线BN与CD所成角为45°. 其中正确的结论有() A.①② B.①③ C.②④ D.①④· 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有错选的得0分.) 9.已知直线1：x+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是() A.若点A在圆C上，则直线1与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线1与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线1与圆C相离D.若点A在直线1上，则直线1与圆C相 切 10.以下命题正确的是() A.平面a,B的法向量分别为2=(0,1,3)，n,=(1,2,6),则11B B.直线1的方向向量为a=0,-1,2):直线m的方向向量为6=2.1,2，则1与m垂直 C.直线l的方向向量为a=(0,l,-1),平面a的法向量为=1，-l,-D,则111a D.平面x经过三点A1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量=(1，u,t)是平面a的法向量， 则+t=1 11.如图，椭圆C与椭圆C有公共的左顶点和左焦点，且椭圆C,的右顶点为椭圆C的中心， 设椭圆C与椭圆C,的长半轴长分别为a,和4，半焦距分 C 别为c和c2,离心率分别为e和e2,则以下结论中正确的 是() A.e2=2e1-1 B.ac2>ac 试卷第2页，共4页 C.4+C2=42+C1 D.4-2c2>242-C 第II卷（非选择题） 三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分 12.点P(3,-2,2)在xO平面内的射影为B(x,y,z),则x+y+二= 13.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗 中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出 发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营 所在的位置为B(-2,0),若将军从山脚下的点A(3,0)处出发，河岸线所在直线方程为 x+y=4,则将军饮马的最短总路程为 14.已知直线l:mx-y+2=0过定点P,则点P的坐标为 若直线1与曲线 C:y=√4x-x2有两个公共点，则m的取值范围为 四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)已知a1万，c与a、万的夹角都是60°，并且同=1，园=2，=3.计算： (1)(3a-2b)6-3c): (2)a+2b-d. 16.(15分)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x-√3y-4=0 相切、 (1)求圆O的方程. (2)直线I:y=x+3与圆O交于A,B两点，在圆O上是否存在一点M,使得四边形OAMB为 菱形？若存在，求出此时直线1的斜率；若不存在，说明理由. 试卷第3页，共4页 17.(15分)设全体空间向量组成的集合为V,a=(q,a2,a4)为V中的一个单位向量，建立 一个“自变量”为向量，“因变量”也是向量的“向量函数”f(x);f(x)=x+2(←x·a)(x∈). (1)设u=(1,0,0),v=(0,0,-1),若f(a=v,求向量a: (2)对于V中的任意单位向量x,求f()+2的最大值. 18.(Q7分)在平面直角坐标系O中，已知椭圆：千+片a>6>0的离心旁为 2 且点A(0,1)在E上 (1)求E的方程； (2)点B为E的下顶点，点P在E内且满足PA·PB=0,直线AP交E于点Q,求QP.QA的取 值范围. 19.(17分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面△PAD是正三角形，且与底面ABCD垂 直，BC1/平面PAD,BC=AD=1,B是棱PD上的动点. 2 (I)当E是棱PD的中点时，求证：CE/平面PAB: (2)若AB=1,AB⊥AD,求点B到平面ACE距离的范围. 试卷第4页，共4页