专题27.6 正多边形和圆（高效培优讲义）数学华东师大版九年级下册

本讲义聚焦正多边形与圆的核心知识点，系统梳理正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念，整合内角、边长、周长、面积的计算方法及作图技巧。通过衔接圆的圆心角、圆周角知识，构建“概念-计算-应用”的学习支架，为几何综合应用奠定基础。 资料以司南、正六边形螺帽等生活实例引导学生用数学眼光观察现实，通过概念辨析、角度线段计算、规律探究等多样题型发展数学思维，典例与变式分层设计。课中助力教师高效授课，课后便于学生巩固练习，提升推理能力与应用意识。

专题27.6 正多边形和圆 教学目标 1.了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形. 2.结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题. 教学重难点 1、重点：正多边形与圆的相关概念及其之间的运算. 2、难点：探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系. 知识点01 正多边形的相关概念 1、正多边形的概念： 名称 定义 正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的外接圆 一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆. 中心 正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心. 半径 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 边心距 内切圆的半径叫做正多边形的边心距. 中心角 正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆. ◆2、正多边形的判定： 一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形. ◆3、正多边形的对称性： 正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n 为偶数时，正n边形为中心对称图形，它的中心就是对称中心. 知识点02 正多边形的有关计算 名称 公式 内角 中心角 外角 正n边形的边长a，半径R，边心距r 周长C C= n a 面积S S=a r·n=Cr 知识点03 正多边形的画法 ◆1、正多边形的画法：把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接 正多边形. ◆2、等分圆周的方法： （1）用量角器画一个等于 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的n个等分点； （2）顺次连接各等分点. 题型01 正边形与圆的相关概念辨析 【典例1】1．（2025九年级上·浙江·专题练习）下列命题正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 【答案】D 【分析】本题考查了命题，正多边形的定义和性质．正多边形必须各边相等且各角相等；中心对称性取决于边数；圆内接多边形各角相等不一定为正多边形；正多边形的半径即其外接圆半径，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形各边相等但角不等，故该选项不符合题意； B、正多边形不一定是中心对称图形，只有当边数为偶数时才是，如正三角形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如矩形各角相等但边不等，故该选项不符合题意； D、正多边形外接圆的半径就是正多边形的半径，故该选项符合题意； 故选：D 【变式1-1】（2025九年级上·浙江·专题练习）下列说法中，错误的是（    ） A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心 B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径 C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距 D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的相关概念，包括外接圆、内切圆、半径、边心距和中心角．本题主要考查了正多边形的外接圆、内切圆、半径、边心距和中心角的概念，熟练掌握这些概念的定义是解题的关键．依据各概念的定义判断选项正误即可． 【详解】解：正多边形的中心是外接圆和内切圆的共同圆心，故A正确，不符合题意． 正多边形的半径定义为外接圆的半径，故B正确，不符合题意． 正多边形的边心距是中心到边的距离，等于内切圆的半径，故C正确，不符合题意． 外接圆的圆心角是圆中任意的圆心角，正多边形的中心角是相邻顶点与圆心形成的角（），两者不等价，故D错误，符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤每条边都相等的圆内接多边形是正多边形．其中正确结论的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据圆的基本性质、确定圆的条件、三角形的外心性质、等弧的定义以及正多边形的判定，逐个分析判断，即可解题． 【详解】解：①直径是弦，正确； ②经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，故②错误； ③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，正确； ④半径相等的两个半圆是等弧，正确； ⑤在圆内接多边形中， 每条边都相等， 各边所对的圆心角也相等，结合等腰三角形性质可推出圆内接多边形各角相等． 每条边都相等的圆内接多边形是正多边形， 故⑤正确． 综上所述，正确结论的个数为4个， 故选：D． 【点睛】本题考查圆的基本性质、确定圆的条件、三角形的外心、等弧的定义以及正多边形的判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） ①顶点在圆上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③的圆周角所对的弦是直径；④同弧所对的圆周角相等；⑤各角相等的圆内接多边形是正多边形 A．①②③ B．③④⑤ C．②③④ D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形和圆等圆的基础知识，掌握相关知识和定理是解题的关键． 根据圆的相关知识逐个判断即可． 【详解】解：①顶点在圆周上且角的两边与圆相交的角是圆周角，故此选项错误； ②同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，故此选项错误； ③的圆周角所对的弦是直径，此选项正确； ④同弧所对的圆周角相等，此选项正确； ⑤各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，故此选项错误． 故选：D． 题型02 正多边形与圆中求角度 【典例2】如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，连接、，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理．连接、，根据圆周角定理得到，即可得出答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接、， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的性质求和的度数，再根据是的中点求，进而求的度数，最后根据圆周角定理可得． 【详解】解：连接． ∵六边形是正六边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形与圆、圆周角定理，熟练掌握正多边形的相关计算是解题关键． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点O，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角与外角，掌握正八边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键． 根据正八边形的性质以及圆周角定理进行计算即可． 【详解】解：如图，由正八边形的对称性可知，点是正八边形的中心， 所以， 故选：B． 【变式2-3】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度． 【答案】45 【分析】本题主要考查了正多边形的中心角，解题的关键是掌握中心角公式． 根据正多边形的中心角公式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， ， ∴正八边形的中心角为， 故答案为：． 题型03 正多边形与圆中求线段长 【典例3】（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，正六边形内接于，若的半径等于3，则正六边形的边长的长为（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，连接、，由题意证明为等边三角形，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴为等边三角形， ∵的半径等于3，即， ∴，即正六边形的边长为， 故选：B． 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质，由正六边形内接于，则，从而证明是等边三角形，然后根据等边三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：． 【变式3-2】（2024·广东·模拟预测）如图，正六边形内接于，若的长为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，弧长公式，勾股定理，等边三角形的判定与性质，连接，，过作于点，由正六边形内接于，则，，所以，是等边三角形，然后通过弧长公式求出，由等边三角形性质可得，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，过作于点， ∵正六边形内接于， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故选：． 【变式3-3】（2025·湖北武汉·一模）如图，正五边形内接于，连接交于点F． (1)求的度数． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形和圆，根据正五边形的性质，找到相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据五边形是正五边形，判断出，，再根据圆周角定理即可得到； （2）证明，推出，设，则，列出方程，解方程即可求出的长． 【详解】（1）解：∵五边形是正五边形， ∴，． ∵正五边形内接于， ∴； （2）解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∵， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， 同理， ∵ ∴， ∴，即， 设，则， ∴，即， 解得（舍去负值）． ∴的长是． 题型04 正多边形与圆中求半径 【典例4】（2024•武功县模拟）如果一个正六边形的边长等于2cm，那么这个正六边形的半径 等于 　 　cm． 【答案】2． 【分析】根据其性质可知其相邻两条半径与所夹边组成的三角形为等边三角形，即可求出答案． 【详解】解：如图， 根据正六边形的性质可知， ∴△AOB为等边三角形， ∴AO＝BO＝AB＝2cm，即正六边形的外接圆半径为2cm． 故答案为：2． 【点睛】本题考查正六边形的性质，等边三角形的性质与判定．熟练掌握正六边形的性质是解题关键． 【变式4-1】（2024•武威一模）生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举．如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则这个正六边形的半径R和扳手的开口a的值分别是（　　） A．2cm， B．4cm， C．4cm， D．4cm， 【答案】B． 【分析】根据正六边形的性质，边长等于半径R，可得R＝4cm，连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长． 【详解】解：依题意一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则R＝4cm， 连接AC，过B作BD⊥AC于D； ∵AB＝BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴AD＝CD； ∵此多边形为正六边形， ∴∠ABC120°， ∴∠ABD60°， ∴∠BAD＝30°，AD＝42， ∴a＝2AD＝4cm． 故选：B． 【点睛】此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解． 【变式4-2】（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，如图，点是的圆心，是的半径，过点作于点，设的半径为，利用正多边形的性质和锐角三角函数分别表示出边心距，进而即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，点是的圆心，是的半径，过点作于点，设的半径为， 当圆的内接多边形是正三角形时，圆心角， ∴， ∴； 当圆的内接多边形是正方形时，圆心角， ∴， ∴； 当圆的内接多边形是正六边形时，圆心角， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式4-3】（2025·江西吉安·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】此题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定和性质、正多边形与圆等知识，连接，根据相似三角形的性质得到正方形与正方形的周长比为，则正方形的周长为8，得到正方形的边长为2，用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵正方形与正方形是位似图形，， ∴正方形与正方形的周长比为， ∵正方形周长为4， ∴正方形的周长为8， ∴正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为， 故答案为：． 题型05 正多边形与圆中求周长 【典例5】（2024秋·四川广安·九年级统考期末）如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的周长为（    ）    A． B． C．3 D．18 【答案】D 【分析】连接、，根据的周长等于，可得的半径，而六边形是正六边形，即知，是等边三角形，即可得正六边形的边长，即可得到周长． 【详解】解：连接、，如图：    的周长等于， 的半径， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 即正六边形的边长为3， ∴正六边形的周长为18， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于，从而得到是等边三角形． 【变式5-2】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接六边形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到．，得到是等边三角形，得出，即可得到答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ．， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长． 【变式5-2】（2024秋·江苏南京·九年级校联考期末）如图，BF、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，若正六边形ABCDEF的边长是a，则四边形BCEF的周长是 ．（用含a的代数式表示） 【答案】2a＋2a 【分析】过点A作AH⊥BF，垂足为H，先证△ABF为等腰三角形，求出∠ABH的度数，用含a的代数式表示出AH、BH，然后利用等腰三角形的三线合一，矩形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：过点A作AH⊥BF，垂足为H，如图所示： ∵ABCDEF是正六边形， ∴，△ABF为等腰三角形， 正六边形的每个内角度数为：， ， ， ， ，则， ， ， 又，，， ∴四边形BCEF为矩形， ， 故答案为：2a＋2a． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确作出辅助线，熟悉这些性质定理是解决问题的关键． 【变式5-3】（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）如图，六边形是的内接正六边形，连接，． (1)填空：的度数为_____． (2)若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形与圆、直角三角形性质、勾股定理、弧长公式等知识，掌握这些是解题的关键． （1）根据正n边形中心角为，即可求解； （2）过点O作于点P，求得是等边三角形，利用直角三角形性质结合勾股定理求得半径是4，再利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：如图，过点O作于点P， ， 是等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得：， 即， 解得（舍去负值）， ， ， 的长为， 阴影部分的周长为． 题型06 正多边形与圆中求面积 【典例6】（25-26九年级上·北京·期中）若正六边形的半径是4，则正六边形的面积为（    ） A． B． C．24 D． 【答案】A 【分析】正六边形的外接圆半径等于边长，可将正六边形分割为六个全等的等边三角形，利用等边三角形面积公式计算单个三角形面积，再乘以6得到总面积． 本题考查了正六边形的计算，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 正六边形的半径（外接圆半径）， ∴ 边长 每个等边三角形的面积：， ∴ 正六边形的面积：， 故选：A． 【变式6-1】圆的内接正方形边长为2，则该圆的内接正八边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，中心角等知识点，熟练掌握圆与正多边形相关性质是解题的关键． 连接，交于点，先求出，，设，则为等腰直角三角形，由勾股定理可求，由求出的面积，再乘以8即为圆的内接正八边形的面积． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得，， ∵， ∴，， 设， 在中，由勾股定理得， 解得：（舍负）， ∴， ∴圆的内接正八边形的面积为， 故答案为：． 【变式6-2】（2025·福建福州·模拟预测）一个正多边形的中心角为，半径为，则该正多边形的面积等于 ． 【答案】 【分析】先利用中心角求出正多边形的边数，再利用正多边形的性质求出正多边形的面积． 本题主要考查正多边形的性质，熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题关键． 【详解】解：该正多边形的中心角为， 正多边形的边数为：， 如图所示，作于点， 则，， ， ， 正多边形的面积． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26九年级上·江苏淮安·期中）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆、三角形的面积的计算、解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 连接、，过点作于，得到圆的内接正八边形的圆心角，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，连接、，过点作于， ∵圆的内接正八边形的圆心角为， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正八边形的面积为 故答案为： ． 题型07 尺规作图---正多边形 【典例7】（25-26九年级上·北京·期中）我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（    ）． ①两等分；    ②三等分；    ③四等分． A．② B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆、尺规作图、等分圆周等知识，解题的关键是理解将圆六等分的方法，属于作图中的难题． 通过圆规六等分圆后，可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点，但四等分点无法仅用圆规得到． 【详解】解：∵ 只用圆规可完成圆的六等分， 可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点， 但无法只用圆规得到四等分点， ∴ ①②可行，③不可行， 故选：B． 【变式7-1】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 【变式7-2】如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 【变式7-3】如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 【答案】D 【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等 【详解】甲： ∵BF是中垂线   ∴四边形OCDE是菱形    ∴△OCD, △OED都是等边三角形， 同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 乙： ∵AB=AO=BO=AF=OF ∴△OAB, △OAF都是等边三角形， 同理可得△OCD, △OED也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 故选D 【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等 【变式7-4】（2024春·全国·九年级专题练习）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键． 题型08 正多边形与圆中的证明 【典例8】（2024秋·九年级课时练习）已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形． 【答案】证明见解析 【详解】试题分析：要求证五边形AEBCF是正五边形，就是证明这个五边形的五条边所对的弧相等进而得出即可． 试题解析： 连接BF，CE， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， 又∵∠BAC=36°， ∴∠ABC=∠ACB=72°． 又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F， ∴AF=CF，AE=BE， ∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°， ∴ ， ∴AE=AF=BE=BC=FC， ∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA． ∴五边形AEBCF为正五边形． 【变式8-1】如图，点M、N分别在正五边形ABCDE的边BC，CD上，BM＝CN，连接AM，BN相交于H． （1）求证：△ABM≌△BCN； （2）求∠AHB的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）72°． 【分析】（1）先由正五边形的性质得出AB＝BC，∠ABM＝∠C，再根据SAS证明即可； （2）由全等三角形的性质可得∠BAM＝∠CBN，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵正五边形ABCDE， ∴AB＝BC，∠ABM＝∠C， ∴在△ABM和△BCN中， ， ∴△ABM≌△BCN（SAS）； （2）解：由（1）可知△ABM≌△BCN， ∴∠BAM＝∠CBN， ∴∠BAM+∠ABH＝∠CBN+∠ABH＝∠ABC＝108°， ∴∠AHB＝180°﹣（∠BAM+∠ABH）＝72°． 【点睛】本题考查了正多边形，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式8-2】（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识． （1）利用正方形和圆的关系，求得中心角的度数，再利用圆周角定理即可求解； （2）要证明，只要证明即可； （3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，，    ∴ ∵正方形内接于， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接并延长交于点F，    ∵，，∴是线段的垂直平分线， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即点E到的距离为， 故答案为：． 【变式8-3】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在的内接正八边形中，，连接．    (1)求证； (2)的长为 　 　． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，先证明，可得，从而可得结论； （2）作，，证明，，四边形是矩形，从而可得答案． 【详解】（1）证明：连接，正八边形， ∴，    ，， ， ∴． （2）∵，同理可证：，， ∴四边形为等腰梯形， ， 作，，    ∵， ， 在中，，， ， 同理可得， ∵，，， ∴四边形是矩形， ， ． 【点睛】本题考查的是圆与正多边形的知识，圆周角定理的应用，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握正多边形的性质是解本题的关键． 题型09 正多边形与圆中的规律探究 【典例9】（1）如图1，△ABC为等边三角形，点M是BC上一点，点N是CA上一点，BM＝CN，BN、AM相交于点Q，求∠BQM的度数； （2）当（1）中的“等边△ABC”的边数逐渐增加，分别变为正方形ABCD（如图2）、正五边形ABCDE（如图3）、正六边形ABCDEF（如图4）…，“点N是CA上一点”变为点N是CD上一点，其余条件不变，分别确定∠BQM的度数，并直接将结论填入下表： 正多边形 正方形 正五边形 正六边形 … 正n边形 ∠BQM的度数 　 　 　 　 　 　 … 　　 　　 【答案】（1）60°． （2）90°，108°，120°，． 【分析】（1）根据等边三角形的性质、SAS定理证明△ABM≌△BCN，根据三角形的外角的性质求出∠BQM； （2）仿照（1）的结论，计算即可． 【详解】解：（1）在△ABM与△BCN中， ， ∴△ABM≌△BCN（SAS）， ∴∠BAM＝∠NBC， ∴∠AQN＝∠BAM+∠ABQ， ＝∠NBC+∠ABQ ＝∠ABM＝60°， ∴∠AQN＝60°． （2）由（1）可知，∠AQN＝各个多边形的一个角的大小， 所以正方形中∠AQN＝90°， 正五边形中∠AQN＝108°， 正六边形中∠AQN＝120°， … 正n边形中∠AQN． 故答案为：90°，108°，120°，． 【点睛】本题考查正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式9-1】（25-26九年级上·江西宜春·开学考试）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形和圆，规律型，点的坐标，坐标与图形变化-旋转，根据正六边形的性质及它在坐标系中的位置，求出点D的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2025次后顶点D的坐标即可． 【详解】解：边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，连接，如图，      ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 由中，由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， ∵将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转， ∴4次一个循环， ∵， ∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标与第一次旋转后得到的的坐标相同， ∵过点作轴于P， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∴，， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， ∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标为， 故选：D． 【变式9-2】（2025·河南漯河·三模）如图，在平面直角坐标系中，，正六边形的顶点A，D的坐标分别为，，点M是正六边形的边上一动点，连接，在的右上方作等腰直角三角形，其中．点M从点A出发，按照顺时针的方向（即）以每秒个单位长度的速度运动，则第2025秒时点N的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形综合问题，点坐标规律探索，解直角三角形的相关计算，解题关键是根据前几个点找出规律． 先证明是等边三角形，从而可求出，于是可得正六边形的周长为6，再求出点运动一周用时间，从而可得出第2025秒时点的位置与第9秒时点的位置相同，即与的中点重合，再求出，然后证明，利用全等三角形的性质可得出，，进而可求得，就可求得点N的坐标． 【详解】解：连结， ∵六边形是正六边形， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， 又点A，D的坐标分别为，， ∴， 正六边形的周长为6， 点运动一周用时（秒）． ， 第2025秒时点的位置与第9秒时点的位置相同，即与的中点重合， 如图，连结，，则， 与上面同理可证：是等边三角形， ∴， 又由正六边形的轴对称性可知轴， ∴． 过点作轴于点，则， ∵在的右上方作等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 又 ∴， ，， ， ． 故答案为：． 【变式9-3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、． (1)图①中的度数是_____； (2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____； (3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】此题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角的计算，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）连接，由圆周角定理即可求出，由全等三角形的判定与性质即可得到； （2）连接，分别求出图②③中的的度数，由全等三角形的判定与性质即可得到； （3）由前三个图可得到规律在正n边形中，的度数为． 【详解】（1）解：如图1中，连接． ， 分别为的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图②，连接， 为正方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ； 如图③，连接， 为正五边方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ， 故答案为：，； （3）在图①中，， 在图②中，， 在图③中，， 故在正n边形中，的度数为， 故答案为：． 一、选择题 1．（25-26九年级上·浙江·期中）已知圆内接正六边形的周长为30，则圆的半径为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆综合；圆内接正六边形的边长等于圆的半径，由周长可求边长． 【详解】解：∵圆内接正六边形的周长为30， ∴边长 ． 又∵圆内接正六边形的边长等于圆的半径 ， ∴ ． 因此，圆的半径为5． 故选：A． 2．（25-26九年级上·广西南宁·期中）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形对角线的中点，连接，若，则的长是（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题重点考查正多边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，推导出，且是解题的关键．由点为正六边形的对角线的中点，可得， ，且平分，从而得到是等边三角形，即可得到问题的答案． 【详解】解：∵多边形是正六边形， ∴， 点为正六边形对角线的中点，即正六边形的中心， ，且平分， ∴， 是等边三角形， ． 故选：B． 3．（2024·广东·模拟预测）如图，正五边形内接于，点是弧上的动点，则的度数为（   ） A． B． C． D．随着点F的变化而变化 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和，圆内接四边形，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键．先求出正五边形的内角度数，再利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：正五边形内接于， ， 点是弧上的动点， 四边形内接于， ， ， 故选：C． 4．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换、正方形的性质，解题的关键是掌握位似变换的性质． 根据相似比求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接，， ∵正方形∽正方形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D ． 5．（25-26九年级上·北京·期中）“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正六边形的边长等于半径的特点，正六边形可以分解为六个全等的三角形，易得每个三角形的面积，进而可得六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接、，过点作于点， ∴中心角， ∵正六边形的半径为， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即正六边形可以分解为六个全等的三角形，且每个三角形的边长都为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个正六边形的面积是． 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是掌握：正六边形的边长等于半径． 6．（25-26九年级上·广西柳州·月考）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正方形周长近似估计的周长，可得的估计值为，若用圆内接正六边形作近似估计，可得的估计值为（ ）． A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质和圆的对称性．圆内接正六边形可分成六个等边三角形，每个三角形的边长为1，根据正六边形的周长等于圆的周长进行求解即可． 【详解】解：的半径为1，圆内接正六边形可分成六个等边三角形，每个三角形的边长为1， 则正六边形的周长为， 由于圆的周长为，当半径为1时，， 解得． 故选：C． 7．（25-26九年级上·山西大同·期中）如图，正六边形的边长为3，分别以点A，D为圆心，以的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆的有关计算，解题关键是熟练运用扇形面积公式和等边三角形的性质． 根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：∵正六边形的边长为3，连接，把六边形分成6个全等的等边三角形，等边三角形的边长为3， 过点O作，如图所示： ∴， ∴， ∴每个等边三角形的面积为：， ∴正六边形的面积是：，， ∴图中阴影部分的面积是：， 故选：B． 8．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距和的长分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，连接、，根据正六边形内接于，可得：，又因为，可知是等边三角形，利用等腰三角形的三线合一定理可得：，利用勾股定理求出的长度，再利用弧长公式求出的长度即可． 【详解】解：如下图所示，连接、，则， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ． 故选：B． 9．（24-25九年级上·福建福州·期末）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆内接正十二边形的面积来近似估计⊙O的面积S，设的半径为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆，正确求出正十二边形的面积是解题的关键，根据圆的面积公式得到的面积，求得圆的内接正十二边形的面积，即可得出结论． 【详解】解： 的半径为1， 的面积， 如图，设是内接正十二边形的一条边，连接，， ∴， ∵圆的内接正十二边形的中心角为， ∴ 过点A作于点C， ， 圆的内接正十二边形的面积， ． 故选：A． 二、填空题 10．（24-25八年级下·上海·期末）如果一个正多边形的内角和是，那么它的中心角是 度． 【答案】72 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握正多边形中心角的求法是解题的关键． 根据正多边形的内角和求出其边数，即可求出这个正多边形的中心角的度数． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 则，解得， 所以正五边形的中心角是． 故答案为：72． 11．（2024·湖南·模拟预测）俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．根据正多边形中心角公式是即可解题． 【详解】解：正六边形的中心角等于； 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在正边形中，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的外接圆，圆周角定理，中心角，掌握正多边形与圆的关系是解题的关键； 先标字母，为正边形的外接圆，再根据圆周角定理求出，可求出中心角的度数，进而得出正多边形的边数． 【详解】解：如图所示，标记点，点，点，正边形的中心，为中心角，为正边形的外接圆， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2024九年级·安徽·专题练习）如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为 ． 【答案】． 【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可． 【详解】连接OD,OC,OE, ∵八边形ABCDEFGH是正八边形, ∴∠COD=∠DOE==45°, ∴∠COE=45°+45°=90°, ∴∠CPE=∠COE =45°. 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键． 14．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是正确解答的关键．     根据正六边形的性质以及所对的直角边是斜边的一半，勾股定理进行计算即可． 【详解】解：由题意得，， 正六边形是的内接正六边形， ． ，， ． 在中，，， ． ， 即正六边形的边心距是． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·云南昆明·期中）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形，若的半径为1，则这个圆的内接正八边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆、三角形的面积的计算、解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 过点作于，得到圆的内接正八边形的圆心角，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作于， ∵圆的内接正八边形的圆心角为， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正八边形的面积为 故答案为： ． 16．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，与正六边形的边分别相切于点C，F．若，则的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形和圆的综合，切线的性质定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数；连接，过D作于G，过E作于H，证出，得到，求出四边形是矩形，得到，再结合计算求解即可． 【详解】解：连接，过D作于G，过E作于H， ∴，     ∵是的切线，         ∴， ∵多边形是正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ∴， 过O作于M， ∴， ∴， ∴的半径长为； 故答案为：． 3、 解答题 17．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． (1)求的度数 (2)连接，，作．若劣弧的长为，求的长 【答案】(1)的度数为； (2)的长为． 【分析】（1）根据多边形的内角和公式计算即可； （2）先求出中心角，是等边三角形，根据弧长公式求得半径为2，由等边三角形的性质，结合已知可得，根据勾股定理即可得的长． 【详解】（1）解：， ∴的度数为． （2）解：∵正六边形，是它的外接圆， ∴中心角， ∵劣弧的长为， ∴， 解得：， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正多边形的内角，圆与正多边形，解直角三角形，正多边形的中心角，弧长公式，等边三角形的判定和性质，勾股定理． 18．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正六边形的半径为5． (1)求对角线的长； (2)求这个正六边形的周长与面积． 【答案】(1)； (2)这个正六边形的周长与面积分别为和． 【分析】本题考查的是正六边形的性质、三角函数、三角形面积的计算，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径． （1）连接，，根据正六边形的性质推出，，再利用直角三角形的性质即可得到结论； （2）由三角函数求出边心距，即可求出正六边形的周长和面积． 【详解】（1）解：连接，， 正六边形的半径等于边长， ，， ， ， ， ， ，； （2）解：如图，连接，，作于点， 由题意得； ∴正六边形的周长； ∴， 正六边形的面积． 19．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形内接于，P为上的一点，连接，． (1)求的度数： (2)若的半径为r，则阴影部分面积是________； (3)当点P为的中点时，是的内接正n边形的一边，则________． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）连接，根据正方形内接于，结合圆周角定理可得； （2）根据即可求出答案； （3）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出的度数，进而得出答案． 【详解】（1）解：连接， ∵正方形内接于， ∴， ∴． （2）由题意可得，阴影部分面积是： ， 故答案为： （3）解：连接，如图所示： ∵正方形内接于， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、正方形的性质、扇形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 20．（24-25九年级下·江苏徐州·阶段练习）今年假期，你有没有和父母或者小伙伴一起走进影院去看一下国漫电影《哪吒2》呀？影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？ 问题一：要求出“正八边形”的面积，我们可以把一个“正八边形”均分成八个顶角为______度的等腰三角形； 问题二：中，，，，求的面积和的值分别是多少？（可以作的中垂线交于D，交于E，则为等腰三角形，） 问题三：若“正八边形”的边长为，求：正八边形的面积． 【答案】问题一：45；问题二：，；问题三：． 【分析】本题考查正多边形的有关运算，含的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握含的直角三角形性质和利用正方形的面积解决正八边形的面积是解决本题的关键． 问题一：根据正八边形分成的八个等腰三角形的顶角组成，可得等腰三角形每个顶角的度数； 问题二：根据及的长可得和的长度，进而可得的长度，的面积，，把相关数值代入计算即可； 问题三：延长正八边形的四条边相交成正方形，则补充的四个小三角形为等腰直角三角形，求得正方形的边长后，正八边形的面积正方形的面积4个等腰直角三角形的面积，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：问题一：八个等腰三角形的顶角组成， 每个顶角的度数为：， 故答案为：45； 问题二：作的中垂线交于D，交于E， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 问题三：如图，延长正八边形的四条边相交成正方形，则补充的四个小三角形为全等的等腰直角三角形， 正八边形的边长为， ∴， ， 正方形的边长为， 正八边形的面积． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.6 正多边形和圆 教学目标 1.了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形. 2.结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题. 教学重难点 1、重点：正多边形与圆的相关概念及其之间的运算. 2、难点：探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系. 知识点01 正多边形的相关概念 1、正多边形的概念： 名称 定义 正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的外接圆 一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆. 中心 正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心. 半径 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 边心距 内切圆的半径叫做正多边形的边心距. 中心角 正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆. ◆2、正多边形的判定： 一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形. ◆3、正多边形的对称性： 正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n 为偶数时，正n边形为中心对称图形，它的中心就是对称中心. 知识点02 正多边形的有关计算 名称 公式 内角 中心角 外角 正n边形的边长a，半径R，边心距r 周长C C= n a 面积S S=a r·n=Cr 知识点03 正多边形的画法 ◆1、正多边形的画法：把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接 正多边形. ◆2、等分圆周的方法： （1）用量角器画一个等于 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的n个等分点； （2）顺次连接各等分点. 题型01 正边形与圆的相关概念辨析 【典例1】1．（2025九年级上·浙江·专题练习）下列命题正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 【变式1-1】（2025九年级上·浙江·专题练习）下列说法中，错误的是（    ） A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心 B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径 C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距 D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤每条边都相等的圆内接多边形是正多边形．其中正确结论的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） ①顶点在圆上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③的圆周角所对的弦是直径；④同弧所对的圆周角相等；⑤各角相等的圆内接多边形是正多边形 A．①②③ B．③④⑤ C．②③④ D．③④ 题型02 正多边形与圆中求角度 【典例2】如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，连接、，则（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点O，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度． 题型03 正多边形与圆中求线段长 【典例3】（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，正六边形内接于，若的半径等于3，则正六边形的边长的长为（   ） A． B．3 C．6 D．9 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·广东·模拟预测）如图，正六边形内接于，若的长为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·湖北武汉·一模）如图，正五边形内接于，连接交于点F． (1)求的度数． (2)已知，求的长． 题型04 正多边形与圆中求半径 【典例4】（2024•武功县模拟）如果一个正六边形的边长等于2cm，那么这个正六边形的半径 等于 　 　cm． 【变式4-1】（2024•武威一模）生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举．如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则这个正六边形的半径R和扳手的开口a的值分别是（　　） A．2cm， B．4cm， C．4cm， D．4cm， 【变式4-2】（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·江西吉安·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为 ． 题型05 正多边形与圆中求周长 【典例5】（2024秋·四川广安·九年级统考期末）如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的周长为（    ）    A． B． C．3 D．18 【变式5-2】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 【变式5-2】（2024秋·江苏南京·九年级校联考期末）如图，BF、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，若正六边形ABCDEF的边长是a，则四边形BCEF的周长是 ．（用含a的代数式表示） 【变式5-3】（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）如图，六边形是的内接正六边形，连接，． (1)填空：的度数为_____． (2)若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的周长． 题型06 正多边形与圆中求面积 【典例6】（25-26九年级上·北京·期中）若正六边形的半径是4，则正六边形的面积为（    ） A． B． C．24 D． 【变式6-1】圆的内接正方形边长为2，则该圆的内接正八边形的面积为 ． 【变式6-2】（2025·福建福州·模拟预测）一个正多边形的中心角为，半径为，则该正多边形的面积等于 ． 【变式6-3】（25-26九年级上·江苏淮安·期中）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为 ． 题型07 尺规作图---正多边形 【典例7】（25-26九年级上·北京·期中）我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（    ）． ①两等分；    ②三等分；    ③四等分． A．② B．①② C．①③ D．①②③ 【变式7-1】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【变式7-3】如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 【变式7-4】（2024春·全国·九年级专题练习）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 题型08 正多边形与圆中的证明 【典例8】（2024秋·九年级课时练习）已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形． 【变式8-1】如图，点M、N分别在正五边形ABCDE的边BC，CD上，BM＝CN，连接AM，BN相交于H． （1）求证：△ABM≌△BCN； （2）求∠AHB的度数． 【变式8-2】（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为 ． 【变式8-3】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在的内接正八边形中，，连接．    (1)求证； (2)的长为 　 　． 题型09 正多边形与圆中的规律探究 【典例9】（1）如图1，△ABC为等边三角形，点M是BC上一点，点N是CA上一点，BM＝CN，BN、AM相交于点Q，求∠BQM的度数； （2）当（1）中的“等边△ABC”的边数逐渐增加，分别变为正方形ABCD（如图2）、正五边形ABCDE（如图3）、正六边形ABCDEF（如图4）…，“点N是CA上一点”变为点N是CD上一点，其余条件不变，分别确定∠BQM的度数，并直接将结论填入下表： 正多边形 正方形 正五边形 正六边形 … 正n边形 ∠BQM的度数 　 　 　 　 　 　 … 　　 　　 【变式9-1】（25-26九年级上·江西宜春·开学考试）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·河南漯河·三模）如图，在平面直角坐标系中，，正六边形的顶点A，D的坐标分别为，，点M是正六边形的边上一动点，连接，在的右上方作等腰直角三角形，其中．点M从点A出发，按照顺时针的方向（即）以每秒个单位长度的速度运动，则第2025秒时点N的坐标为 ． 【变式9-3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、． (1)图①中的度数是_____； (2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____； (3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____． 一、选择题 1．（25-26九年级上·浙江·期中）已知圆内接正六边形的周长为30，则圆的半径为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（25-26九年级上·广西南宁·期中）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形对角线的中点，连接，若，则的长是（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 3．（2024·广东·模拟预测）如图，正五边形内接于，点是弧上的动点，则的度数为（   ） A． B． C． D．随着点F的变化而变化 4．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（   ） A．1 B． C． D．2 5．（25-26九年级上·北京·期中）“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·广西柳州·月考）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正方形周长近似估计的周长，可得的估计值为，若用圆内接正六边形作近似估计，可得的估计值为（ ）． A． B． C．3 D． 7．（25-26九年级上·山西大同·期中）如图，正六边形的边长为3，分别以点A，D为圆心，以的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 8．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距和的长分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 9．（24-25九年级上·福建福州·期末）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆内接正十二边形的面积来近似估计⊙O的面积S，设的半径为1，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（24-25八年级下·上海·期末）如果一个正多边形的内角和是，那么它的中心角是 度． 11．（2024·湖南·模拟预测）俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是 ． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在正边形中，，则的值是 ． 13．（2024九年级·安徽·专题练习）如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为 ． 14．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距是 ． 15．（25-26九年级上·云南昆明·期中）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形，若的半径为1，则这个圆的内接正八边形的面积为 ． 16．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，与正六边形的边分别相切于点C，F．若，则的半径长为 ． 3、 解答题 17．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． (1)求的度数 (2)连接，，作．若劣弧的长为，求的长 18．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正六边形的半径为5． (1)求对角线的长； (2)求这个正六边形的周长与面积． 19．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形内接于，P为上的一点，连接，． (1)求的度数： (2)若的半径为r，则阴影部分面积是________； (3)当点P为的中点时，是的内接正n边形的一边，则________． 20．（24-25九年级下·江苏徐州·阶段练习）今年假期，你有没有和父母或者小伙伴一起走进影院去看一下国漫电影《哪吒2》呀？影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？ 问题一：要求出“正八边形”的面积，我们可以把一个“正八边形”均分成八个顶角为______度的等腰三角形； 问题二：中，，，，求的面积和的值分别是多少？（可以作的中垂线交于D，交于E，则为等腰三角形，） 问题三：若“正八边形”的边长为，求：正八边形的面积． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $