5.2.3 简单复合函数的导数（教学设计) 数学人教A版2019选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用 5.2导数的运算 5.2.3简单复合函数的导数 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第一册第五章“导数及其应用”的核心内容，聚焦简单复合函数（限于形如）的导数。具体包括：通过实例分析复合函数的复合过程，明确自变量、中间变量、因变量的关系；从特殊到一般归纳复合函数的求导法则；综合运用基本初等函数导数公式、导数四则运算法则与复合函数求导法则求解简单复合函数的导数；结合实际问题（如弹簧振子振动、潮水高度变化）理解复合函数导数的实际意义，掌握“分析复合结构—选择求导法则—分步运算求解”的完整流程。 内容解析 本节是导数运算的延伸与深化，承接基本初等函数导数公式和导数四则运算法则，为后续利用导数研究复杂函数的单调性、极值等性质奠定运算基础，是导数运算体系的重要组成部分。其核心价值在于将复合函数的求导转化为基本初等函数的分层求导，体现化归与转化、特殊与一般的数学思想。 从知识关联看，本节整合了复合函数的概念与导数运算，连接了导数的“数”（运算结果）与“形”（切线斜率）、“理”（物理意义），是提升数学运算、逻辑推理、数学建模核心素养的关键载体。从学习意义看，通过“具体实例—分析结构—归纳法则—应用拓展”的流程，学生能掌握复合函数求导的基本方法，体会“以直代曲”的极限思想，形成严谨的运算思维。 教学目标 1. 理解复合函数的概念，能通过具体实例分析简单复合函数的复合过程，准确区分自变量、中间变量和因变量。 1. 能从特殊到一般直观感受复合函数的求导方法，归纳得出复合函数的求导法则，会直接运用法则求简单复合函数的导数，提升数学运算素养。 1. 能综合运用导数公式、四则运算法则和复合函数求导法则，求解复杂的简单复合函数导数，归纳复合函数求导的一般步骤；结合实际问题体会复合函数导数的现实意义，发展数学建模素养。 1. 体会特殊与一般、化归与转化、数形结合的数学思想，增强对导数运算本质的理解，培养用数学眼光分析问题的能力。 目标解析 1. 能举例说明复合函数的构成特点，准确将形如的复合函数分解为基本初等函数，清晰表述复合过程中的变量关系。 1. 给定简单复合函数（如、），能依据求导法则分步求导，正确率达到85%以上；能辨析复合函数求导与基本初等函数求导的区别与联系。 1. 针对实际问题（如弹簧振子的瞬时速度、潮水的水位变化速度），能识别复合函数结构并求导，用通俗语言解释导数结果的实际含义。 1. 能自主梳理“分析复合结构→分层求导→乘积回代”的求导流程，能纠正自身在复合函数结构分析、分层求导中的常见错误。 达成上述目标的标志是： 1. 能完整复述复合函数的定义和求导法则的符号表达式，准确分解3个以上不同类型的简单复合函数。 1. 独立完成简单复合函数的求导题，步骤规范，结果正确；能解决复合函数与四则运算结合的求导问题（如）。 1. 能将实际问题中的“瞬时变化率”转化为复合函数导数求解，并解释结果的现实意义（如“弹簧振子在某时刻的瞬时速度为0mm/s”的含义）。 1. 能总结复合函数求导的一般步骤，明确化归思想在复合函数求导中的核心作用，能主动反思运算中的错误并修正。 本节学习的认知基础是学生已掌握导数的定义、基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则，对复合函数的概念有初步认知，具备一定的代数运算和逻辑推理能力。但学生在学习中存在以下关键难点： 1. 概念理解层面：对复合函数的复合过程分析不清，难以准确区分自变量、中间变量和因变量，这是运用求导法则的前提障碍。 1. 法则应用层面：复合函数求导需要“从外往内”分层求导再相乘，学生易混淆求导的变量对象，出现漏乘中间变量对自变量导数的错误；在复合函数与四则运算结合时，难以确定运算顺序。 1. 意义关联层面：能机械套用法则求导，但对复合函数导数的几何意义、物理意义的理解不够深入，无法有效将导数结果与实际问题联系起来。 基于此，教学中需通过具体实例拆解复合函数结构，强化“先分析结构再求导”的思维；借助小组合作探究梳理分层求导的逻辑；结合实际问题搭建“运算—意义”的桥梁，降低认知难度。 基于以上分析，确定本节课的 教学重点：简单复合函数的求导法则。教学难点：简单复合函数结构的分析。 知识点一　复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 知识点二　复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 引入一：潮水涨落的速度探究 引入过程 同学们，大家有没有去过海边？有没有观察过潮水的涨落？其实潮水的涨落是有规律的，某海湾的水深（单位：m）和午夜后的时间（单位：h）满足这样的关系：。每到旅游旺季，当地的渔民和游客都很关心不同时间点潮水的水位变化速度，比如上午6点、中午12点的时候，潮水是涨得快还是落得快，变化速度具体是多少呢？ 要解决这个问题，就需要求出这个函数在对应时间点的导数。但大家看看这个函数，它不是我们之前学过的基本初等函数，也不能直接用四则运算法则求导，那该怎么计算它的导数呢？这就是我们今天要学习的简单复合函数的导数要解决的问题。 设计意图 1. 贴近生活实际：以海边潮水涨落这一学生可能见过或听过的自然现象为切入点，将抽象的数学导数问题与实际生活场景结合，让学生感受到数学在现实中的应用价值。 2. 引发认知冲突：给出的潮水水深函数无法用已学的导数知识求解，使学生意识到现有知识的局限性，从而激发他们探索新的求导方法的欲望，自然引出本节课的核心内容。 3. 统领整节课：潮水问题不仅是引入，也是后续复合函数导数实际应用的典型案例，在讲解完复合函数求导法则后，可回头解决这个问题，形成“提出问题—解决问题—应用拓展”的完整课堂逻辑。 引入二：弹簧玩具的振动速度分析 引入过程 大家小时候应该都玩过弹簧玩具吧，比如那种一按就会弹起来的弹簧小人。当弹簧振子做简谐振动时，它的位移（单位：mm）和时间（单位：s）的关系可以表示为。我们在玩的时候，可能会好奇弹簧小人在某一个瞬间，比如时，它的振动速度是多少？速度为零的时候又代表什么呢？ 要回答这些问题，关键还是求函数的导数。这个函数看起来比我们之前学的正弦函数复杂，它是一个“嵌套”起来的函数，那这种函数的导数该怎么求呢？今天我们就一起来揭开简单复合函数求导的神秘面纱。 设计意图 1. 结合生活体验：弹簧玩具是学生童年常见的物品，以此为背景提出问题，能迅速唤起学生的生活记忆，降低对抽象数学知识的陌生感，让学生更容易进入课堂学习状态。 2. 激发求知兴趣：围绕弹簧振子的振动速度提出具体问题，符合学生的好奇心，使他们产生想要解决问题的迫切心理，进而主动跟随老师的思路学习新的知识。 3. 串联课堂内容：弹簧振子的位移函数是典型的形如的复合函数，贯穿了复合函数的结构分析、求导法则应用以及导数实际意义理解等本节课的重点内容，能有效统领整节课的教学流程，让学生在解决实际问题的过程中掌握知识。 探究点1：复合函数的概念与复合过程分析 通过前面的学习，我们已经导出基本初等函数的导数公式，然后研究出导数的运算法则，并会用基本初等函数的导数和导数的运算法则求一些复杂函数的导数.先回顾一下： 师生活动：师生一起回顾所学. 1. 基本初等函数的导数: 初等函数 导函数 初等函数 导函数 (为常数) (，且) (，且) 2.导数的四则运算法则; ; ; ; 问题1：如何求函数的导数呢? 师生活动 教师应引导学生发现，这个函数不是基本初等函数通过四则运算得到的，因此无法通过 导数的四则运算法则来求导，从而引起学生的认知冲突. 设计意图：函数不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数．下面，我们先分析这个函数的结构特点． 问题2：函数的解析式具有怎样的结构特征？ 师生活动：教师引导学生相互讨论交流，采用从特殊到一般的方法，先分析的结构特点，使学生初步感知“复合”的概念，再给出“复合函数”的一般概念. 若设，则．从而可以看成是由和经过“复合”得到的，即可以通过中间变量表示为自变量的函数． 如果把与的关系记作，与的关系记作，那么这个“复合”过程可表示为 ． 设计意图：通过将具体函数分解为和,观察复合函数的结构特点，理解复合函数的复合过程，即因变量y通过中间变量u表示为自变量的函数的过程.明确复合过程中的自变量、因变量以及中间变量分别是什么,从而认识复合函数的结构特点，体会中间变量的作用. 复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数(composite function)，记作． 追问:你能举出一些复合函数的例子，并分析它们的复合过程吗? 师生活动:教师引导学生举出一些由基本初等函数复合而成的复合函数的例子，并分析复合过程，如等. 设计意图:通过学生自己举例，并分析这些函数的复合结构来加深学生对“复合函数”概念的理解.同时自然地引出函数,这个函数既可以看作复合函数，还可以看作由基本初等函数经过乘法运算得到，从而顺利地过渡到对复合函数的求导法则的探究上. 探究点2：复合函数的求导法则 问题3：如何求复合函数的导数呢?你能用导数的运算法则求出函数的导数吗?它与函数的导数有什么关系? 师生活动:教师引导学生相互讨论交流，说明函数可以看作,并用导数的去运算法则求出的导数，教师示范求导过程.然后引导学生进行合理猜测：函数的导数一定与函数的导数有关.在分别求出和的导数后发现，.在此基础上，直接给出复合函数的求导法则. 即以表示对的导数，表示对的导数，表示对的导数． 一方面， 另一方面，，． 可以发现，． 复合函数的导数法则： 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为 ． 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． ． 设计意图:问题1中给出的复合函数的引例是,问题3中则是以为例来探究复合函数的求导法则.之所以没有以同一个函数为载体，一方面是因为本身既是复合函数，又可以转化成的形式，因此可以利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求出函数的导数，这样就能降低学生对复合函数求导法则的理解难度；另一方面，如果在一开始的问题1中要求学生求函数的导数，学生是能求出来的，这不是“典型”的复合函数的求导问题，不利于学生探究复合函数的求导法则.由于对复合函数结构的分析是一个难点，因此通过追问举例分析，从而顺利突破教学难点. 例1．求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）． 师生活动:学生板演，教师点评，并归纳出简单复合函数的求导步骤，即分解→求导→相乘→回代，指出每个步骤应注意的地方. 解：（1）函数可以看作函数和的复合函数．根据复合函数的求导法则，有 ． （2）函数可以看作函数和的复合函数．根据复合函数的求导法则，有 ． （3）函数可以看作函数和的复合函数．根据复合函数的求导法则，有 小结： （1）复合函数求导的基本步骤 第一步：分解——适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系； 第二步：求导——分层求导（弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导），特别注意中间变量对自变量求导，即先求，再求. 第三步：相乘——将与两式相乘 第四步：回代——将中间变量代回元自变量（一般是）的函数. (2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 变式练习： 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 1．【解析】（1）函数可以看作函数和的复合函数， ． （2）函数可以看作函数和的复合函数， ． （3）函数可以看作函数和的复合函数， ． （4）函数可以看作函数和的复合函数， ． （5）函数可以看作函数和的复合函数， ． （6）函数可以看作函数和的复合函数， ． 例2. 某个弹簧振子在振动过程中的位移(单位：mm)与时间(单位：s)之间的关系为．求函数在时的导数，并解释它的实际意义． 解：函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数的求导法则，有 ． 当时，． 它表示当时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s． 题型一：复合函数与导数的四则运算综合求导问题 例1:求下列函数的导数： (1)；(2)； (3)；（4） 【详解】（1） （2）. （3） . （4）方法一 ：设，则 方法二 ：因为， 所以， 方法三：因为， 所以 方法规律：涉及导数运算法则的复合函数求导策略 求较复杂的复合函数的导数时，一般先整理化简再求导；若要直接求导，则应辨明和、差、积、商及复合关系，分清复合部分的层次，找准构成复合函数的基本函数，再依据基本初等函数的导数公式与运算法则求导. 题型二：复合函数导数在切线中的应用 例2：曲线在处的切线与直线平行，且与直线的距离为，求直线l的方程． 【答案】或． 【详解】， ． ∴经过点的切线方程为，即． ∵切线与直线平行，∴设直线的方程为， 根据题意，得，或． ∴直线l的方程为或． 方法规律： 求切线方程问题中常利用复合函数的求导法则求导，从而得到切线的斜率.其中对切点未知的问题，设切点坐标是解决问题的关键，用切点的横坐标表示切线的斜率，列方程求出切点坐标，进而写出切线方程. 题型三：复合函数导数的实际应用 例3：某港口一天内潮水的高度（单位：）随时间（单位：，）的变化近似满足关系式，则下列说法正确的是（    ） A．在上的平均变化率为 B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为 C．当时，潮水的高度会达到一天中最低 D．18时潮水起落的速度为 【答案】D 【详解】由题意，函数， 对于A中，函数在上的平均变化率为， 所以A不正确； 对于B中，由函数，其最小正周期为， 则邻两次潮水高度最高的时间间距为，所以B不正确； 对于C中，当时，，不是的最小值， 所以C不正确； 对于D中，，可得， 则由，所以D正确. 故选：D. 方法规律： 将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况． 1.（25-26高三上·广东中山·月考）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数 【分析】利用复合函数的导数公式求解即可. 【详解】由复合函数的导数公式得，故B正确. 故选：B 2.（25-26高三上·江苏南通·开学考试）设是大于1的常数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】导数的运算法则、导数的乘除法、简单复合函数的导数、导数的加减法 【分析】根据求导法则对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D错误. 故选：C 3.（24-25高二下·辽宁·期末）运用复合函数求导方法求函数的导函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数 【分析】同时取对数，即可根据复合函数的求导法则求解. 【详解】由可得，两边同时求导可得， 故， 故选：C 4.（24-25高二下·吉林长春·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为，则E对于M的瞬时变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、简单复合函数的导数 【分析】对求导即得. 【详解】因为 所以， 故选：D. 5.（24-25高二下·山东聊城·期末）一个弹簧振子做简谐运动，其位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为，该弹簧振子在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本初等函数的导数公式、瞬时变化率的概念及辨析、简单复合函数的导数、求某点处的导数值 【分析】根据瞬时速度即位移y的导数，先求出导函数，再代值计算即可. 【详解】由求导得， 依题意该弹簧振子在时的瞬时速度为： . 故选：A. 6.（2025·河南·模拟预测）已知曲线的一条切线的方程为，则实数（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】B 【知识点】简单复合函数的导数、已知切线（斜率）求参数 【分析】首先对函数求导，根据切线斜率1和切点坐标即可求出的值. 【详解】与的图象相切，设切点为， 则，故， 由，即，将代入上式，得，故. 故选：B. 7.（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知在点处的切线与轴平行，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】简单复合函数的导数、已知切线（斜率）求参数 【分析】利用导数的几何意义可得出，结合题意得出，可得出，，即可得出的表达式，即可得出合适的选项. 【详解】因为，则， 由题意可知，则， 且， 又因为切点为，所以，又， 所以， 则， 故，D满足要求. 故选：D. 8.（2025·河北衡水·模拟预测）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，点斜式即可写出切线方程. 【详解】设， 则， 当时，，， 所以曲线在处的切线方程为. 故选：B. 9.（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数 【分析】由复合函数的求导逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：C. 10.（24-25高二下·山东烟台·月考）下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数 【分析】根据导数的求导法则及复合函数的求导法则逐项求导即可. 【详解】，A错误； ，B错误； ，C正确； ，D错误. 故选：C. 1.（25-26高三上·广东广州·月考）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】简单复合函数的导数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由奇偶性求函数解析式 【分析】首先根据函数的奇偶性求出时的函数解析式，然后再根据导数的几何意义求解切线方程即可. 【详解】若，则， 则当时，， 为奇函数，， 即当时， ， ，则， 即曲线在点处的切线斜率. 因此可得：切线方程为， 即：. 故选：A 2.（25-26高三上·河北·期中）若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】简单复合函数的导数、求某点处的导数值 【分析】由导数的定义和运算法则即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 3.（2025·陕西西安·模拟预测）设与其导函数的定义域均为，若，的图象关于直线对称，在区间上单调递减，且，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C． D．的极小值为 【答案】D 【知识点】导数的运算法则、函数对称性的应用、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】利用函数对称性的恒等式来证明函数奇偶性和周期性，从而问题得解. 【详解】因为的图象关于对称，所以， 即，则为偶函数，故A错误； 由得，，两边取导数得，， 即，所以，则是奇函数，故B错误； 由上可知，，又由得， 所以，则， 所以有，即函数是一个周期函数且周期为8； 又由，令得，，则，故C错误； 因为是奇函数，所以的图象关于点对称， 又由在上单调递减，所以在上单调递减， 又，所以在上单调递减， 又A中知，故的图象关于对称， 所以在上单调递增， 由周期性可知，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，即， 由单调性和周期性可得的极小值只能为，故D正确， 故选：D 4.（多选题）（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数定义域为，其导函数为，且，则下列说法正确的是（   ） A．一个对称中心为 B．的一个周期为2 C．的图象关于对称 D． 【答案】ACD 【知识点】函数对称性的应用、由抽象函数的周期性求函数值、函数周期性的应用、简单复合函数的导数 【分析】对A，根据函数的对称性定义可判断；对B，由，两边求导可得的图象关于对称，结合条件可得，由周期函数的定义得解；对C，由的图象关于对称，周期为4，可判断；对D，将代入，可得，将代入结合可得，结合函数的周期性运算得解. 【详解】对于A，由满足，则关于中心对称，故A正确； 对于B，由，两边求导可得， 即，所以的图象关于对称， 又等价于， ，所以， ，即的一个周期为4，故B错误； 对于C，因为的图象关于对称，周期为4，所以的图象关于对称，故C正确； 对于D，将代入，可得， 将代入，得，又， 所以，， 所以， 又， 所以，故D正确. 故选：ACD. 回顾本节课的学习内容，回答下列问题： (1)如何分析简单复合函数的复合过程? (2)如何求简单复合函数的导数?你能归纳出复合函数求导的基本步骤吗? (3)你能说出复合函数求导的探究过程中用了什么思想方法吗? (4)回顾本单元的学习过程，你能总结一下导数运算的基本特点吗? 师生活动：学生回顾，自主发言，教师点评，并对学生所提出的疑惑进行解答，使学生在认知上得到进一步升华. 设计意图：引导学生对本节课的学习进行自我反思与评价，掌握简单复合函数求导法则的同时，回顾“实验→猜想→检验→运用”的探究过程，体会特殊到一般、化归与转化的思想方法.同时对本单元学习进行及时的反思、梳理和总结，加深学生对单元整体知识的认知，让学生进一步体会导数运算的内涵与思想. 巩固作业：教科书第81页习题5.2第2、11、13题 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 巩固作业答案： 教科书第81页习题5.2第2题 求下列函数的导数： （1）， （2）； （3）；4）； （5）； （6）． 【解析】 （1）； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 教科书第81页习题5.2第11题 11.设曲线在点处的切线与直线垂直，求的值． 【解析】，， ∴在点处的切线斜率， 又切线与直线垂直，，． 教科书第81页习题5.2第13题 13．某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15m．假设在该海湾某一固定点，大海水深(单位：m)与午夜后的时间(单位：h)之间的关系为．求下列时刻此固定点的水位变化速度(精确到0.01m/h)： （1）上午6：00； （2）上午9：00； （3）中午12：00； （4）下午6：00． 【解析】， （1）上午6：00时，此固定点的水位变化速度为 ； （2）上午9：00时，此固定点的水位变化速度为 ； （3）中午12：00时，此固定点的水位变化速度为 ； （4）下午6：00时，此固定点的水位变化速度为 ． 板书设计 ( 5.2.3 复合函数 的导数运算 1．复合函数 的导数运算法则 例1. 简单复合 函数的导数运算法则 例 2. 四则运算 与复合函数综合求导问题 例3.复合 函数 的 导数与切线问题 ) 本节课通过“实例分析—归纳法则—应用拓展”的流程，帮助学生掌握了简单复合函数的求导方法，突破了复合结构分析的难点。但从课堂反馈看，学生在复合函数与四则运算结合的求导中仍易出错，后续教学需增加此类变式训练；同时，部分学生对复合函数导数的实际意义理解不够深入，需结合更多生活实例强化数学建模意识。此外，可增加小组合作探究环节，让学生自主推导复杂复合函数的求导思路，进一步提升逻辑推理素养。 学科网（北京）股份有限公司 $