5.2.1 基本初等函数的导数 （教学设计) 数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学教学设计聚焦“基本初等函数的导数”核心内容，通过无人机飞行、奶茶店吸管切口等生活情境导入，衔接导数定义，搭建“代数定义—几何直观—实际应用”学习支架，为后续导数应用奠定基础。 资料特色在于以生活情境培养数学眼光，用几何画板演示割线逼近切线渗透极限思想，分组推导幂函数导数发展数学思维，结合切线方程等实例强化数学语言表达，能提升学生直观想象与运算素养，为教师提供结构化探究式教学方案。

第五章一元函数的导数及其应用5.2导数的运算 5.2.1基本初等函数的导数 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第一册第五章“一元函数的导数及其应用”中的5.1.2节第2课时。内容包括：割线斜率与平均变化率的关系；切线的定义（割线无限逼近的确定位置）；导数的几何意义（函数在某点的导数等于该点切线的斜率）；导函数的概念；利用导数的几何意义求切线方程；结合实际问题解释导数几何意义的应用（如瞬时运动方向、曲线变化趋势判断）。 内容解析 本节是导数概念的延伸与具象化，是在学生学习了导数的定义（基于极限的代数表达）基础上的几何解读。其核心是建立“代数运算（导数）”与“几何图形（切线斜率）”的关联，体现“数形结合”的数学思想。 从知识关联看，本节搭建了导数“数”与“形”的桥梁，承接导数的代数定义，为后续学习导数的四则运算法则、利用导数研究函数的单调性、极值等性质奠定几何基础，同时连接了数学与物理学（瞬时速度的方向）、工程学（曲线切线的应用）等学科，是提升数学抽象、直观想象、数学运算等核心素养的关键载体。 从学习意义看，通过“割线逼近切线”的探究过程，学生能体会极限思想的实际应用，掌握“代数定义→几何直观→实际应用”的推导路径，理解导数不仅是一个数值，更是刻画曲线局部变化趋势的工具，为后续复杂函数的性质研究提供直观支撑。 教学目标 （一）课程标准要求 1. 能根据导数的定义推导几个常见基本初等函数的导数公式； 1. 熟记基本初等函数的导数公式，并能熟练运用公式求简单函数的导数； 1. 能结合导数的几何意义与物理意义，解决切线方程、瞬时速度等简单实际问题。 （二）课时目标要求 1. 通过定义法推导常见幂函数的导数，体会极限思想和代数运算的严谨性，归纳定义法求导的基本步骤。 1. 熟记基本初等函数的导数公式，能准确运用公式求函数的导数，提升数学运算素养。 1. 能利用导数公式解决曲线的切线方程、瞬时速度等实际问题，理解导数的几何意义与物理意义，发展直观想象和数学建模素养。 目标解析 1. 能复述定义法求导的三步法（算平均变化率→取极限→得导数），并独立推导、等简单函数的导数。 1. 能根据函数解析式选择正确的导数公式，快速求出函数的导函数及某点处的导数值。 1. 能利用导数的几何意义求曲线在某点的切线方程，结合物理情境解释导数的瞬时变化率意义。 达成上述目标的标志是： 1. 能在5分钟内独立用定义法推导的导数，步骤完整且计算正确。 1. 课堂练习中，利用导数公式求导的正确率≥90%，能准确求出曲线在指定点的切线方程。 1. 能结合“汽车行驶的瞬时速度” “曲线的切线斜率”等实例，解释导数的实际意义。 从学生已有认知基础来看，导数几何意义的学习，其认知基础是导数的定义（基于极限的代数运算）、直线的斜率公式、切线的初步概念，这些为“割线逼近切线”的探究提供了知识准备。 由于“割线逼近切线”的过程涉及极限思想，而学生对极限的理解仍停留在直观感知层面，尚未形成系统的理论认知，因此可能对“Δx→0时割线斜率无限趋近于切线斜率”的抽象过程存在理解困难。同时，学生容易混淆“曲线在某点的切线”与“过某点的切线”，忽略“该点是否在曲线上”的前提条件；在求切线方程时，容易出现忘记验证点在曲线上或计算导数错误的问题。 从具体实例出发，设计“问题串+动手操作”的探究活动，通过几何画板演示割线逼近的过程，能降低极限思想的抽象性。在教学中，需重点区分“割线与切线” “在点与过点”的差异，通过对比辨析纠正错误认知；在求切线方程的练习中，强调“先验证点在曲线上→求导得斜率→写方程”的步骤，培养严谨的运算习惯。 本单元教学中需要重点渗透数形结合、极限、特殊到一般的思想方法，并始终贯穿于探究过程。同时，导数的几何意义是运用导数研究函数性质的基础，学生需建立“导数→斜率→曲线趋势”的思维链条，为后续学习奠定基础。 基于以上分析，确定本节课的教学重点：1. 基本初等函数的导数公式及应用；2. 定义法求导的基本步骤。教学难点：1. 用定义法推导分式、根式函数的导数；2. 结合导数的几何意义解决切线方程问题。 知识点一　几个常见函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ 知识点二　基本初等函数的导数公式 1．若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝0； 2．若f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)，则f′(x)＝αxα－1； 3．若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx； 4．若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx； 5．若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝axln__a；特别地，若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex； 6．若f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝；特别地，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝． [提醒]　(1)对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝x，所以f′(x)＝x－1. (2)三角函数的导数公式中，一要注意名称的改变，二要注意符号的变换．可用口诀记忆：正弦求导数，弦变符不变；余弦求导数，弦变符也变． 新课导入1：生活情境——“无人机飞行的瞬时速度与轨迹切线” 教师展示无人机航拍视频片段，定格在无人机上升、转弯的画面，提出问题串： 1. 无人机在某一时刻的上升速度如何精确描述？（引导学生回忆导数的物理意义：瞬时速度） 1. 无人机转弯时的飞行轨迹是一条曲线，如何确定曲线在某点的飞行方向？（引导学生联系导数的几何意义：切线斜率） 1. 要快速计算不同运动轨迹（如匀速直线、抛物线型）的瞬时速度和切线斜率，仅用导数的定义推导是否繁琐？能否找到更简便的方法？ 【设计意图】以学生熟悉的无人机飞行为情境，将导数的物理意义（瞬时速度）与几何意义（切线斜率）结合，既复习了导数的定义，又引出“推导基本导数公式、简化求导运算”的必要性，统领本节课的学习主线。 新课导入2：生活情境——“奶茶店的吸管切口与温度变化率” 教师展示奶茶店制作饮品的短视频：先呈现店员用斜口剪修剪吸管的画面（吸管截面边缘为曲线，切口为直线），再切换到奶茶制作完成后，温度计实时显示温度下降的动态数据。播放结束后，提出问题串： 1. 我们喝奶茶时，斜口吸管能更轻松插入杯盖，这个“斜切口”其实是吸管截面曲线的一条切线。要让切口贴合嘴唇弧度，如何确定切线的倾斜程度？（引导学生关联“切线斜率”，初步感知导数的几何意义） 1. 刚做好的热奶茶温度会逐渐下降，第5分钟时温度下降得快不快？怎么用数学方法精确描述某一时刻的温度变化快慢？（唤醒学生对“瞬时变化率”的记忆，链接导数的物理意义） 1. 如果吸管截面曲线是（类似圆的一部分），奶茶温度随时间变化的函数是，仅用导数定义计算“切线斜率”和“温度变化率”会很繁琐。有没有更高效的方法，能直接算出这类函数在任意点的变化率？ 【设计意图】从学生日常接触的“喝奶茶”场景切入，将抽象的导数概念与“吸管切线”（几何）、“温度变化”（物理）两个具体现象结合：既用熟悉的生活画面降低导数几何意义的理解门槛，又通过“计算繁琐”的矛盾点，自然引出“推导基本初等函数导数公式”的必要性，同时呼应本节课“公式推导—实际应用”的主线，让学生感受到数学与生活的紧密联系。 探究点1：用定义法推导常见幂函数的导数 由导函数的定义可知，如果一个函数可导，那么它的导数是唯一确定的.我们知道，很多复杂的函数都是由基本初等函数通过加、减、乘、除等运算得到的，由此自然想到要计算较复杂函数的导数，是否可以先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的运算法则，这样就可以利用基本初等函数的导数和导数的运算法则来求复杂函数的导数了.本节课我们先研究基本初等函数的导数. 问题1：回顾上节课所学，函数在处的导数的概念是什么？导函数的概念又是什么？ 【师生活动】师生一起回顾已经学习的函数导数的相关概念。 函数在处的导数的概念 如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(derivative)(也称为瞬时变化率)，记作或，即 ． 导函数的概念 从求函数在处导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数.这样，当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数(简称导数).的导函数有时也记作,即 追问1：你能利用导数的定义求出下列函数的导数吗？ (1);(2) 【师生活动】学生根据导数的定义进行推导，可以选几个学生进行板演，得出： (1) 因为，所以； (2) 因为，所以； 追问2：若和分别表示两个不同物体运动时路程关于时间的函数，你能借助这两个物体在任意一个时刻的瞬时速度，解释它们的运动状态吗？ 【师生活动】学生独立思考之后，教师引导学生观察函数图象(图5.2-1和图5.2-2),结合导数的物理意义得出结论： (1)若函数表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为,即一直处于静止状态. (2)若函数表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动. 设计意图:这两个基本初等函数的导数的物理意义很直观，既可结合函数图象直接得到，又可利用导数定义推导得到，后者对前者的直观结果可进行验证解释，即从“形”到“数”再回到“形”,学生可充分体会数形结合的思想，发展直观想象的素养. 问题2：你能从以上两个函数求导过程中归纳出用定义法求导数的基本步骤吗? 【师生活动】学生分组讨论，相互交流，教师引导学生归纳得出用定义法求导的基本步骤： 第一步:计算平均变化率,并化简； 第二步，观察当无限趋近于0时，无限趋近于哪个定值.此时，要注意是的函数，视为常量. 第三步，无限趋近的定值就是函数的导数. 【设计意图】结合这两个最简单的函数的求导过程，归纳出用定义法求导数的三个步骤，即算比值求极限得导数，学生易于操作，理解求函数的导数是一种借助极限的运算，从而进一步体会极限思想，并为推导其他几个函数的导数公式作准备. 问题3：类似地，你能利用定义法推导以下两个函数的导数吗? (3)；(4) 【师生活动】学生分小组合作讨论，全班交流展示用定义法求导的推导过程，得到相应函数的导数. （3）因为， 所以， （4）因为 ， 所以， 【设计意图】将这两个函数放在一起探究，有助于学生对比算比值的环节，体会两者之间运算的相似性和差异性，并领会运用乘法公式化简的策略. 追问：你能从几何或物理角度解释问题3中的两个函数的导数的意义吗? 【师生活动】在学生分组合作讨论、全班交流的基础上，归纳得出函数的导数的几何意义和物理意义，函数的导数的几何意义.教师再利用信息技术演示验证函数图象上点处切线的斜率随的变化而变化的规律. （3）函数的导数的几何意义与物理意义. 表示函数的图象(图5.2-3)上点处切线的斜率为,说明随着的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，越来越小，减少得越来越慢；当x>0时，随着的增加，越来越大，增加得越来越快. 若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为. （4）出函数的导数的几何意义. 表示函数的图象(图5.2-4)上点处切线的斜率为,这说明随着的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. 设计意图:引导学生将导数与导数的意义联系起来，使学生深刻认识导数的内涵，逐渐养成应用数学知识解释现实问题的习惯，进一步体会数形结合的思想方法. 问题4：结合以上四个函数的导数推导方法，你能推导以下两个函数的导数吗? (5)； (6) 【师生活动】学生独立完成，教师通过投影仪展示学生代表的运算过程，师生共同总结求分式和根式结构的函数导数时，化简的运算心得，教师及时点评. （5）因为 所以． （6）因为 所以． 追问：画出函数的图象．根据图象，你能结合其导数描述图象的变化情况吗？你能求出曲线在点处的切线方程，并进一步说明导数的几何意义吗? 【师生活动】函数的图象如图5.2-5所示.结合函数图象及其导数，发现，当时，随着的增加，函数减少得越来越快；当时，随着的增加，函数减少得越来越慢. 根据导数的几何意义，函数在处的导数就是曲线在点(1,1)处切线的斜率.因为,所以函数在处的导数,所以曲线在点处切线的斜率为,因此过点的切线方程为. 【设计意图】让学生再次经历运算过程，进一步积累运算经验，感悟分式和根式结构的函数导数的推导过程，归纳总结其运算的关键仍是针对式子的结构特征，通过不同的代数变形达到消除分母中的的目的.让学生通过探究和解释相应导函数的几何意义，进一步体会用数学的眼光观察事物的变化规律，养成用数学语言准确表达的习惯. 探究点2：基本初等函数的导数公式 问题5：前面我们根据导数的定义求出了一些简单函数的导数.对于常用的基本初等函数的导数，教科书给出了公式表.请你阅读教科书，记忆并默写出这些公式. 【师生活动】学生阅读教科书后进行记忆： 1．若(为常数)，则； 2．若，则； 3．若，则； 4．若，则； 5．若(，且)，则； 特别地，若，则； 6．若(，且)，则； 特别地，若，则． 教师指出：这些公式的推导需要用到更多的知识，今后进一步学习后会得到完善，现在可以直接使用. 【设计意图】在不要求学生推导的前提下，让学生通过直接阅读教科书的方式了解基本初等函数的导数公式，只要学生记住并能使用就可以了. 探究点3：导数公式的直接应用 例1．求下列函数的导数： （1）；（2）． 【师生活动】教师引导学生独立思考，自行归纳使用公式时的步骤：分析函数解析式一选择导数公式一求函数导数. 解：（1）；（2） 【设计意图】本例是导数公式表的直接运用.通过对具体函数求导，熟悉用公式法求函数导数的基本步骤，体会用公式求导的简捷性. 例2假设某地在20年间的年均通货膨胀率为，物价(单位：元)与时间(单位：年)之间的关系为 ， 其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)? 解：根据基本初等函数的导数公式表，有 ， 所以 ． 所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨． 追问：如果某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少? 【师生活动】教师引导学生分析，当时，函数变为,解答这一问题需要求函数的导数.运用导数公式表，和的导数可以直接求得，而的导数已经不能直接用基本初等函数的导数公式表解答.教师引导学生课后思考：可否用与的导数来表示他们乘积的导数. 【设计意图】本例是一个关于指数函数求导的实际问题，体现了导数的实际应用，有利于学生进一步理解导数的意义.同时通过追问教科书边空中的问题，为下一节课学习导数的四则运算法则埋下伏笔. 1.（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】基本初等函数的导数公式、求某点处的导数值、导数定义中极限的简单计算 【分析】求出的导函数，， 代入求解即可. 【详解】由题， ， 故选：A. 2.（24-25高二下·广东清远·期末）已知，则的值为（    ） A．-1 B．-2 C．0 D．2 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数定义结合导数公式计算求解. 【详解】，所以， 故选：B. 3.（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数为的导函数，且，则实数（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】基本初等函数的导数公式、求某点处的导数值 【分析】求导，再根据即可得解. 【详解】，依题意得，. 故选：D. 4.（24-25高二下·甘肃酒泉·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本初等函数的导数公式、求某点处的导数值 【分析】利用基本函数的导数，得，即可求解. 【详解】因为，则， 故选：C. 5.（24-25高二下·重庆·阶段练习）下列导数运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】根据求导公式直接得解. 【详解】A选项：，A选项错误； B选项：，B选项错误； C选项：，C选项错误； D选项：，D选项正确； 故选：D. 6.（24-25高二下·广西南宁·期中）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数 【分析】根据基本函数的求导公式以及求导法则即可求解. 【详解】对于A, ,A错误， 对于B, ,B正确， 对于C, ,C错误， 对于D, ,D错误， 故选：B 7.（24-25高二下·湖南邵阳·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】根据题意，利用基本初等函数的导数公式，即可求解. 【详解】由函数，可得. 故选：D. 8.（多选题）（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】根据基本初等函数的导数逐项判断即可. 【详解】，A错误；，B错误； ，C正确；，D正确. 故选：CD. 9.（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）曲线上的点到直线的最短距离是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、求点到直线的距离、已知切线（斜率）求参数 【分析】先求出导函数，再根据切线斜率得出切点，进而应用点到直线距离公式计算求解. 【详解】因为，所以当切点满足斜率时，曲线上的点到直线的距离是最短距离， 所以，所以切点为，所以切点到直线的距离是， 所以曲线上的点到直线的最短距离是. 故选：A. 10.（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）函数在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式 【分析】先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程即可. 【详解】因为函数，所以，所以，， 所以在点处的切线方程为，即. 故选：A. 1.（2025·青海海东·三模）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式 【分析】求出函数解析式，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由，得，求导得，则， 所以所求切线方程为，即. 故选：B 2.（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数是奇函数，则曲线在处的切线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式 【分析】利用函数的奇偶性求出，然后求解函数的导数，得到切线的斜率，然后求解切点坐标，得到切线方程． 【详解】由函数的定义域为，且是奇函数， 则，即，解得， 于是，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线的方程为：，即. 故选：B 3.（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、求过一点的切线方程 【分析】设切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点求出，即可求出切点的坐标. 【详解】设切点坐标为，由，得， 则过切点的切线方程为， 把点代入切线方程得，，即， 又，所以，则， 则切点坐标为. 故选：A 4.（24-25高二下·湖北·期中）已知，则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、三角形面积公式及其应用 【分析】首先对原函数求导并结合赋值法求解原函数，再利用导数求出切线方程，求出切线和坐标轴的交点，最后得到三角形面积即可. 【详解】因为，所以， 令，得到，解得， 代回原函数得到， 而，故切点为， 而，， 设曲线在处的切线斜率为， 由导数的几何意义得， 故切线方程为，化简得， 令，得到，所以与轴交点为， 令，得到，所以与轴交点为， 且设三角形面积为，故，故B正确. 故选：B 1. 知识层面：定义法求导的三步法、基本初等函数的导数公式、导数的几何与物理意义； 1. 方法层面：数形结合、特殊到一般的思想，代数变形的技巧； 1. 易错点：公式混淆（如三角函数导数的符号）、根式/分式函数的幂函数转化。 设计意图:通过利用定义推导函数的导数的教学，既要让学生总结出求导数的三个基本步骤，又要让学生领悟求导过程中的特殊到一般、具体到抽象的数学思想方法;通过问题引导学生对本课时的重点内容进行归纳梳理，自主完成知识建构，加深对导数运算的基本方法的理解，感悟导数的几何意义在解决实际问题中的作用，领会函数与方程、化归与转化等思想方法在使用基本初等函数的导数公式表的过程中的价值和作用. 巩固作业：教科书第75页练习第1、2、3、4题 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 巩固作业答案： 1．求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【解析】 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 2．求下列函数在给定点的导数： （1）在处的导数； （2）在处的导数； （3）在处的导数； （4）在处的导数． 【解析】 （1），； （2），； （3），； （4），． 3．求余弦曲线在点处的切线方程． 【解析】 ，，， ，所以切线方程为 ，即． 4．求曲线在点处的切线方程． 【解析】 ，，， ∴切线方程为 ，即． 本节课通过“问题驱动+直观演示+探究归纳”的教学模式，围绕导数的几何意义展开学习，重点突出了“代数与几何”的关联。在教学中，通过具体函数的割线斜率计算和几何画板演示，有效降低了极限思想的抽象性，帮助学生理解“割线逼近切线”的过程；通过例题和练习的分层设计，兼顾了不同层次学生的需求，提升了学生的运算能力和应用能力。 但在教学过程中，仍需关注以下问题：一是部分学生对“Δx→0”的极限过程理解不够透彻，需通过更多具体实例和动态演示强化；二是在求解“过点处的切线方程”时，学生容易忽略设切点的步骤，需通过对比辨析和针对性练习纠正；三是对导数几何意义的实际应用拓展不足，可适当增加更多生活中的实例（如卫星轨道设计、公路弯道设计），提升学生的数学建模素养。 后续教学中，可进一步优化探究活动的设计，增加学生动手操作的环节，让学生更直观地感受极限思想；同时，加强导数几何意义与其他知识模块的关联（如函数单调性、极值），为后续学习做好铺垫。 板书设计 ( 5.2.1 基本初等 函数的导数 1．常见幂函数 的导数 例1. 导数 公式的应用 2. 基本初等 函数的导数公式 例 2. 导数 研究切线问题 例 3 .导数 的简单综合应用 ) 学科网（北京）股份有限公司 $