第六章 对概率的进一步认识 同步优生辅导训练题 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

第六章 对概率的进一步认识 一、单选题 1．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子，则盒子中黑色棋子可能有（   ） A．2.9枚 B．3枚 C．7枚 D．7.1枚 2．如图，若随机用合开关中的两个，则能让两灯泡同时发光的概率（   ） A． B． C． D． 3．在一个不透明的袋子中装有2个红色小球，1个绿色小球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是（　　） A． B． C． D． 4．“良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（    ）    A． B． C． D． 5．在一个不透明的箱子里装有白球和红球共12个，这些球除颜色外完全相同．每次从箱子中摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则箱子中红球的个数约是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．小明有四根木条，长度分别是2，3，4，5，从中任意取三根木条作为边拼成三角形，小明能拼成三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 7．甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（  ）    A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．公平性不可预测 8．暑假快到了，父母找算带兄妹俩去某个景点旅游一次，长长见识，可哥哥坚持去黄山，妹妹坚持去泰山，争执不下，父母为了公平起见，决定设计一款游戏，若哥哥赢了就去黄山，妹妹赢了就去泰山．下列游戏中，不能选用的是（ ） A．掷一枚硬币，正面向上哥哥赢，反面向上妹妹赢 B．同时掷两枚硬币，两枚都正面向上，哥哥赢，一正一反向上妹妹赢 C．掷一枚骰子，向上的一面是奇数则哥哥赢，反之妹妹赢 D．在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球则哥哥赢，是红球则妹妹赢 二、填空题 9．小杨、小刚用摸球游戏决定谁去看电影，袋中有1个红球和1个白球（除颜色外其他都相同），现从袋子中任意摸出1个球，若是红球，小杨去看电影，否则，小刚去．这种方法对双方是 （填“公平的”或“不公平的”）． 10．有2名男生和2名女生参加演讲比赛，抽签决定出场顺序，则前两个出场的都是男生的概率为 ． 11．某鱼塘养了200条鲤鱼、150条鲢鱼和若干条草鱼，通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若随机在鱼塘中捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为 ． 12．小龙在纸上写下一组数字“20240222”，这组数字中2出现的频率为 ． 13．将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，1和1，5，2），那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是 ． 14．某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为 ． 三、解答题 15．经过某路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，求下列事件的概率： （1）两人都左拐； （2）恰好有一人直行，另一人左拐； （3）至少有一人直行． 16．某次数学测验中，一道题满分3分，老师评分只给整数，即得分只能为0分，1分，2分，3分．李老师为了了解学生得分情况和试题的难易情况，对初三（1）班所有学生的试题进行了分析整理，并绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示． 解答下列问题： （1）m= ，n= ，并补全条形统计图； （2）在初三（1）班随机抽取一名学生的成绩，求抽中的成绩为得分众数的概率； （3）根据右侧“小知识”，通过计算判断这道题对于该班级来说，属于哪一类难度的试题？ 17．一个不透明的袋子中有1个红球，1个绿球和个白球，这些球除颜色外无其他差别． (1)当时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？ (2)若摸到绿球的概率为0.25，求的值； (3)当时，利用树状图求两次摸出的球（不放回）颜色不同的概率． 18．小陇和小南用如图所示的同一个转盘进行“配紫色游戏”，游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则配成紫色）则小陇得分，否则小南得分（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一种颜色为止）．你认为这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表法说明理由． 19．在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） (1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） (2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 20．随着初三的到来，同学们都进入紧张的初三冲刺阶段，为了了解年级同学们每天作业完成时间情况，现对年级部分同学进行调查统计，并制成如下两幅不完整的统计图：（其中A代表完成作业时间2小时，B代表完成作业时间2.5小时，C代表完成作业时间3小时，D代表睡眠时间3.5小时，E代表睡眠时间4小时），其中扇形统计图中“C”的圆心角为90°，请你结合统计图所给信息解答下列问题： (1)共抽取了　 　名同学进行调查，同学们的完成作业时间的中位数是　 　小时，并将条形统计图补充完整； (2)抽取调查的同学中，D类学生有两男两女，E类学生有两男一女，现要从D、E两类学生中各抽取一名同学，了解其每天晚上作业时间安排的具体情况，则抽取到的两名学生刚好是一男一女的概率是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系，属于中考常考题型．先求出摸到白棋的频率为，即为概率，根据白棋个数=棋子的总数×摸到的白棋的概率，棋子的总数减去白棋的个数即为黑棋的个数． 【详解】解：∵不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子， ∴摸到白棋的频率为，即为概率， ∴盒子中黑色棋子为（枚）， ∴盒子中黑色棋子可能有（枚）， 故答案为：B． 2．B 【分析】本题考查简单的概率计算，利用列举法得到所有的等可能性，再找出能让两灯泡同时发光的的结果数，进而利用概率公式求解即可． 【详解】解：由题意，随机用合开关中的两个，所有的等可能的结果有：和、和、和，共3种，其中能让两灯泡同时发光的有和， ∴能让两灯泡同时发光的的概率为， 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查用树状图或列表法，求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用分数表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别．用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可． 【详解】解：根据题意画树状图，如图所示： ∵共有9种等可能的情况，其中两次都摸到红色的小球的情况数有4种， ∴两次都摸到红色的小球的概率是． 故选：C． 4．C 【分析】由图可得，成活概率在上下波动，由此即可得到答案． 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率稳定在，故这种树苗移植成活的概率约为， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，采用数形结合的方法是解此题的关键． 5．A 【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键． 根据利用频率估计概率可知红球出现的概率为0.25，从而可以计算出红球的个数． 【详解】解：∵经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右， ∴箱子中红球的个数约是（个）． 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了列举法求概率，三角形三边关系：两边之和大于第三边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把所有可能的组合罗列出来，再结合三角形的三边关系进行判断，最后根据概率公式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵长度分别是2，3，4，5， ∴从中任意取三根木条，所有可能的组合为：共4种组合， ∵， ∴这三根木条能拼成三角形； ∵， ∴这三根木条不能拼成三角形； ∵， ∴这三根木条能拼成三角形； ∵， ∴这三根木条能拼成三角形； 即能拼成三角形的组合共3种， ∴能拼成三角形的概率是， 故选：A 7．A 【分析】采用列表法列举分别求出指针指向的数的和为正数的概率和为非正数的概率，比较二者概率即可作答． 【详解】列表如下：    总的情况数为8种，为正数的情况有4种，为非正数的情况有4种， 指针指向的数的和为正数的概率为：； 指针指向的数的和为非正数的概率为：； ∵，概率相同， ∴甲、乙获胜的概率相同， 即游戏对二人公平， 故选：A． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 8．B 【分析】判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平，由此每项分析即可. 【详解】A、掷一枚硬币，正面向上的概率为，反向向上的概率为，概率相等可选，故此选项不符合题意；B、根据分析可知两枚都正面向上的概率为，一正一反向上的概率为，概率不相等可选，故此选项符合题意；C、掷一枚骰子，向上的一面是奇数和偶数的概率都为，概率相等，故此选项不符合题意；D、在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球的概率为，是红球的概率为，概率相等，故此选项不符合题意，故答案选B. 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，解本题的要点在于熟知判断游戏公平性就要计算每个事件的概率这个知识点. 9．公平的 【分析】本题考查了游戏的公平性，掌握概率的计算是关键． 运用概率公式计算出摸出红球的概率即可判定． 【详解】解：袋中有1个红球和1个白球（除颜色外其他都相同），现从袋子中任意摸出1个球， ∴摸出红球的概率为，则不是的概率为， ∴摸出的是红球的概率与摸出不是红球的概率相等， ∴这种方法对双方是公平的， 故答案为：公平的 ． 10． 【分析】本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握画树状图法是解题关键．先画出树状图，找出前两个出场的所有等可能的结果，再找出前两个出场的都是男生的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，前两个出场的所有等可能的结果共有12种，其中，前两个出场的都是男生的结果有2种， 则前两个出场的都是男生的概率为， 故答案为：． 11． 【分析】设鱼塘养了x条草鱼，由题意易得，然后可得鱼塘总共鱼的条数，进而根据概率公式可求解． 【详解】解：设鱼塘养了x条草鱼，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴捞到鲤鱼的概率为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解数量的问题是解题的关键． 12． 【分析】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数与频率之间的关系是解答本题的关键． 根据频率=频数÷总次数，进行计算，得到答案． 【详解】解：∵8个数字中2出现了5次， ∴这组数字中2出现的频率， 故答案为：． 13． 【详解】解：因为将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米， 共有5种情况，分别是1，2，5；1，3，4；2，3，3；4，2，2；1,1,6； 其中能构成三角形的是：2，3，3一种情况， 所以截成的三段木棍能构成三角形的概率是． 14．126 【分析】此题考查了排列组合的实际应用，理解题意，转化思路是解题的关键． 根据题意转化为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间，得到共有9个位置，进而求解即可． 【详解】解：∵路上有12盏路灯，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭， ∴可以理解为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间 ∴共有9个位置 ∴（盏）． ∴不同的关灯方案种数为126盏． 故答案为：126． 15．（1）；（2）；（3）． 【分析】画出树状图展示9种等可能的结果数． （1）从树状图中找出两左的结果数，然后根据概率公式求解； （2）从树状图中找出一直一左的结果数，然后根据概率公式求解； （3）从树状图中找出至少有一直的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果数； （1）两人都左拐的概率＝； （2）恰好有一人直行，另一人左拐的概率＝； （3）至少有一人直行的概率＝． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果数n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求解． 16．（1）25，20；（2）或者（0.45）；（3）中档题． 【分析】（1）根据图表得出得1分的人数，然后进行计算，即可得到m和n的值，再补全条形统计图即可； （2）根据众数的定义得到众数，在根据得分为众数的人数，计算概率即可； （3）根据题意可以算出L的值，从而可以判断试题的难度系数． 【详解】解：（1）∵被调查的总人数为6÷10%=60（人）， ∴得1分的人有：60-6-27-12=15（人） ∴m%=15÷60=25% n%=12÷60=20% ∴m=25，n=20， ； （2）众数为2分，有27人， ∴概率为=或者（0.45）； （3）平均数为=1.75， L==≈0.58， ∵0.58在0.4-0.7中间， ∴这道题为中档题． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，众数的定义和概率的计算，掌握知识点是解题关键． 17．(1)摸到红球和摸到白球的可能性相同 (2) (3) 【分析】（1）根据球的个数确定是否相同； （2）根据概率公式得到，解方程即可； （3）先画树状图得到所有12种等可能的结果，再找出两次摸出的球颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）当时，三种颜色的球的个数相同，故摸到红球和摸到白球的可能性相同． （2）根据题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． （3）画树状图如下：    由树状图可知共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色不同的结果共有10种， 所以两次摸出的球颜色不同的概率． 【点睛】本题考查了用树状图或列表法求概率、概率公式等知识，熟练掌握树状图或列表法、概率公式是解题的关键． 18．游戏不公平，见解析． 【分析】本题考查了列表法求概率，先列表，得出总情况数及所求情况数，根据概率公式即可得答案，掌握用列表法或树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：游戏不公平，理由如下： 列表如下： 第一次 第二次 红 蓝 黄 绿 红 （红，红） （红，蓝） （红，黄） （红，绿） 蓝 （蓝，红） （蓝，蓝） （蓝，黄） （蓝，绿） 黄 （黄，红） （黄，蓝） （黄，黄） （黄，绿） 绿 （绿，红） （绿，蓝） （绿，黄） （绿，绿） ∴共有种情况，其中颜色相同或配成紫色的情况有种，其余的情况有种， ∴小陇获胜的概率为，小南获胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 19．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了利用频率估计概率，列表法求概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率． （1）根据题意，用频率估计概率即可； （2）根据列表法求概率，即可求解． 【详解】（1）解：由图表可知，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是， 故答案为：． （2）解：列表如下， 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 共有4种等可能结果，其中“2枚硬币正面都朝上”，有1种， 因此“2枚硬币正面都朝上”的概率为． 20．(1)20，3，补图见解析；(2). 【分析】（1）由B情况的人数及其所占比例可得总人数，再分别求得C、A情况的人数，最后利用中位数的定义求解可得； （2）列表得出所有可能的情况数，再找出一男一女的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】(1)共抽取的同学人数=6÷30%=20（人）， 睡眠时间3小时左右的人数（人），睡眠时间2小时的人=20﹣6﹣5﹣4﹣3=2（人）， 按照睡眠时间从小到大排列，各组人数分别为2，6，5，4，3，共有20个数据， 第10个和第11个数据都是3小时，它们的平均数也是3小时， ∴同学们的睡眠时间的中位数是3小时左右； 将条形统计图补充完整如图所示： (2)列表得： 男 男 女 男 （男，男） （男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女） 女 （女，男） （男，女） （女，女） 女 （女，男） （男，女） （女，女） 所有等可能的情况有12种，刚好是一男一女的6种， 抽取到的两名学生刚好是一男一女的概率是． 【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $