5.1.1 变化率问题（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第二册

5.1.1 变化率问题　 题型一：平均变化率 1.（2025高二·全国·专题练习）若函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值等于（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 2.（25-26高二上·全国·单元测试）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 3.（24-25高二下·四川乐山·期末）已知函数，则当自变量由2变到时，函数的平均变化率为（   ） A．4 B．4.1 C．4.2 D．4.3 4.（24-25高二下·河南·期末）已知函数，则从1到的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 题型二：瞬时变化率的概念及辨析 1.（24-25高三上·河北邢台·期末）向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·四川眉山·期中）一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（  ） A． B． C．1 D．2 3.（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知半径为r的球的体积为，当时，的瞬时变化率为（   ） A． B． C． D． 4.（24-25高二下·河南焦作·期末）某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时，（   ） A． B． C． D． 题型三：利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 1.（24-25高二下·陕西榆林·阶段练习）已知函数的导函数为，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 2.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）设f(x)是可导函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 4.（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 题型一：平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 1.（24-25高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 2.（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（   ） A． B．1 C．2 D． 4.（24-25高二下·北京·阶段练习）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①② 题型二：导数（导函数）概念辨析 1.（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 2.（24-25高二下·山东日照·期中）若，则（    ） A． B．4 C．2 D． 3.（24-25高二下·福建福州·期中）函数在处可导，若，则（   ） A．1 B． C． D． 4.（24-25高二下·陕西榆林·期中）若函数在处的导数为1，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 题型三：导数定义中极限的简单计算 1.（24-25高二上·安徽六安·期末）若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二下·吉林长春·期中）已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．2 4.（24-25高二下·江苏扬州·期中）设定义在R上的函数的导函数为 ． 1.（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数在处可导，且，则（    ） A．8 B． C． D．2 2.（24-25高二下·吉林·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 3.（24-25高二·全国·课堂例题）物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 4.（24-25高二上·江苏南通·期末）已知函数则式子表示（    ） A．在处的导数 B．在处的导数 C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.1 变化率问题　 题型一：平均变化率 1.（2025高二·全国·专题练习）若函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值等于（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的定义列方程求解即可. 【详解】依题意有，解得. 故选：B. 2.（25-26高二上·全国·单元测试）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 【答案】B 【知识点】平均变化率 【分析】由函数的平均变化率定义进行求解． 【详解】由题意， ， ， 故． 故选：B 3.（24-25高二下·四川乐山·期末）已知函数，则当自变量由2变到时，函数的平均变化率为（   ） A．4 B．4.1 C．4.2 D．4.3 【答案】B 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的概念求解. 【详解】函数的平均变化率为. 故选：B. 4.（24-25高二下·河南·期末）已知函数，则从1到的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的定义计算可得. 【详解】. 故选：C. 题型二：瞬时变化率的概念及辨析 1.（24-25高三上·河北邢台·期末）向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据函数图象可知在相等时间间隔内容器内水面的高度增加量越来越大，结合容器形状可确定选项. 【详解】根据函数图象可知，随着注水时间的增大，在相等时间间隔内容器内水面的高度的增加量越来越大，即的变化率逐渐增大， 故该容器从下到上宽度应逐渐减小，选项C中容器符合要求. 故选：C. 2.（24-25高三上·四川眉山·期中）一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（  ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】表示，计算，利用可计算出 时的瞬时速度. 【详解】∵， ∴， ∴在 时的瞬时速度为. 故选：B. 3.（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知半径为r的球的体积为，当时，的瞬时变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的体积的有关计算、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】对球体体积公式求导，结合瞬时变化率的定义求时的瞬时变化率. 【详解】因为，所以，故时，的瞬时变化率为. 故选：B 4.（24-25高二下·河南焦作·期末）某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据导数的意义求解. 【详解】由，得， 则， 令， 得. 故选：B. 题型三：利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 1.（24-25高二下·陕西榆林·阶段练习）已知函数的导函数为，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】根据导数的定义得解. 【详解】由导数的定义知． 故选：B 2.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】导数定义中极限的简单计算、利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】根据导数的物理意义直接求解即可. 【详解】， 当时，， 即该物体在时的瞬时速度是. 故选：D. 3.（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）设f(x)是可导函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算、利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】根据导数的定义计算即可得解 【详解】由可得， 所以， 故选：A 4.（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】根据导数的定义可求. 【详解】由导数的定义得: ． 故选：D. 题型一：平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 1.（24-25高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【答案】C 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断即可. 【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A、B错误； 因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率 故在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误. 故选：C. 2.（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据斜率表示变化率及导数表示瞬时速度，从而由斜率的变化得出速度的变化情况，进而得出答案． 【详解】根据题意， ①在时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，则汽车在该时间段内匀速行驶，汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同，故①正确； ②在时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确； ③在时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确； ④汽车在时刻的瞬时速度为0，在时间段内，位移不变，则汽车在该时间段内静止不动故时刻的瞬时速度为0，故④不正确． 故选：C． 3.（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据平均变化率和瞬时变化率的计算公式求解可得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为， 在时的瞬时变化率为， 所以． 故选：C 4.（24-25高二下·北京·阶段练习）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①② 【答案】C 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】本题可根据的几何意义，结合图象来逐一分析各个结论，从而确定正确答案. 【详解】由图可知，则， 对于①：表示区间上函数图象割线的斜率的相反数. 在这段时间内，甲企业对应图象割线的斜率小于于乙企业对应图象割线的斜率， 所以甲企业对应图象割线的斜率相反数大于乙企业对应图象割线的斜率相反数， 所以甲企业的污水治理能力比乙企业强，①正确. 对于②：在时刻，甲企业图象切线的斜率小于乙企业图象切线的斜率， 所以甲企业在时刻对应图象割线的斜率相反数大于乙企业对应图象割线的斜率相反数， 所以甲企业的污水治理能力比乙企业强，②正确. 对于③：从图象可以看出，在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量， 即甲、乙两企业的污水排放都已达标，③正确. 对于④：在，，这三段时间中， 这段时间甲企业图象割线的斜率最小，则其斜率相反数最大， 所以甲企业在的污水治理能力最强，而不是，④错误. 综上，①②③正确. 故选：C 题型二：导数（导函数）概念辨析 1.（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【知识点】导数（导函数）概念辨析、导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数的定义计算进行求解. 【详解】由， 则. 故选：D. 2.（24-25高二下·山东日照·期中）若，则（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【知识点】导数（导函数）概念辨析、导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】, 故选：C 3.（24-25高二下·福建福州·期中）函数在处可导，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数（导函数）概念辨析 【分析】根据导数的定义，变形后，即可求解. 【详解】，故， 由导数的定义可知，. 故选：B 4.（24-25高二下·陕西榆林·期中）若函数在处的导数为1，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【知识点】导数（导函数）概念辨析、导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】， 故选：C 题型三：导数定义中极限的简单计算 1.（24-25高二上·安徽六安·期末）若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】导数（导函数）概念辨析、导数定义中极限的简单计算、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据导数的概念将已知式配凑成定义式可得答案. 【详解】，所以， 故选：C. 2.（24-25高二下·吉林长春·期中）已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数与极限的定义求解． 【详解】， 所以， 故选：D 3．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据条件，利用导数的定义，即可求解. 【详解】根据导数的定义可知， ， 故选：D 4.（24-25高二下·江苏扬州·期中）设定义在R上的函数的导函数为 ． 【答案】4050 【知识点】导数（导函数）概念辨析、导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义得到. 【详解】. 故答案为：4050 1.（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数在处可导，且，则（    ） A．8 B． C． D．2 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义，对式子变形，求出答案. 【详解】由题意知：，即， 故选：A． 2.（24-25高二下·吉林·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】A 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率公式计算可得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为. 故选：A 3.（24-25高二·全国·课堂例题）物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 【答案】C 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】由瞬时变化率的物理意义判断． 【详解】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值，即是是物体在这一时刻的瞬时速度. 故选：C 4.（24-25高二上·江苏南通·期末）已知函数则式子表示（    ） A．在处的导数 B．在处的导数 C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率 【答案】C 【知识点】平均变化率、导数（导函数）概念辨析、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据平均变化率和导数概念判断即可. 【详解】解：因为 所以表示在上的平均变化率. 故选：C. 学科网（北京）股份有限公司 $