5.1.1变化率问题第二课时课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高中数学 人教A版 选择性必修第二册 第五章 5.1.1 变化率问题(第2课时) (一)复习引入 高台跳水运动员的速度 1.平均速度 2.瞬时速度 在t=t0 时的瞬时速度 思考：你能描述一下从平均速度到瞬时速度的研究过程吗？ 它们有什么关系？能否总结一下对其研究的思想方法？ “逼近 ” 极限 探究 抛物线的切线的斜率 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点， 那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线C，如何定 义它的切线呢？ 下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究. 观察： 直线x=1是抛物线f(x)=x2在点P0 (1 ，1 )处的 切线吗？ 问题1：你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在 点P0 (1,1)处的切线？ x=1 p0 (1,1) (二)探究新知 探究 抛物线的切线的斜率 与研究瞬时速度类似(逼近、极限) 在点p0 (1 ，1 )的附近任取一点P (x， x2 ) 我们发现，当点 P 无限趋近于点P0 时 ，割线 的直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0 (1 ，1)处的切线. T 观察思考 抛物线f(x)=x2过P0 的割线P0 P的变 化情况 附 近： 要多近 有多近 P0 P 无限趋近于一个确定的 位置，这个确定位置 用运动变化的观 点研究问题是微积分 的重要思想. P(x,x2 割)线 切线 问题2： (1) 斜率是确定直线的一个要素.割线的斜率与切线的斜率有什么关系呢？ (2)你能利用这种关系求抛物线f(x)=x2在点P0 (1,1)处的切线P0T的斜率k0 吗？ 割线P0 P的斜率 k= Δx<0 k=Δx+2 Δx> 0 k=Δx+2 1.99 2.01 1.999 2.001 1.9999 2.0001 1.99999 2.00001 1.999999 2.000001 ...... ...... 观察表中数据发现， 当∆x无限趋近于0，即无论 x从小于1的一边，还是从 大于1的一边无限趋近于1 时， 割线P0P的斜率K都无 限趋近于2. 问题2: (2)求抛物线f(x)=x2在点P0 (1,1)处的切线P0T的斜 率k0 思考： 你认为通过上述列表计算切线斜率的过程可靠吗？ 推理论证， 可 靠！ 因此，切线P0T的斜率K0=2 T 吗？并试求其斜率. “逼近 ”极限 当点P 无限趋近于点P0 时 ，割线 P0 P 无限趋近于一个确定的 位置，这个确定位置 的直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0 (x0,x02 )处的切线. 割线 T 切线 P0(x0,x02) 追问 ：你能用上述研究的方法，定义抛物线f(x)=x2在点(x0,x02)处的切线 由特殊到一般 数形结合 A B (三)课堂练习 1. 求抛物线f(x)=x2在点(-1,1)处切线的斜率. (教科书P64练习1)； 2.求抛物线f(x)=x2 +1在点(0,1)处的切线方程. (教科书P64练 习2) k=3 y=-4 3已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标．P(2,1) 4.设曲线f (x)＝ax2在点(1 ，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行， 求a值. a=1 (四)拓展训练 C 一是极限思想，经历用割线斜率“逼近”切线斜率的过程，并由此体会 极限思想； 二是从特殊到一般、数形结合的数学思想方法，这是研究数学的基本策略. 抛物线在某点处的切线是过该点的 割线的极限位置； 切线的斜率是割线斜率的极限. (五)盘点收获 基础知识： 割线及其斜率 切线及其斜率 数学思想： 基本技能： $$