5.1.1 变化率问题（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“变化率问题”，核心讲解平均变化率、瞬时变化率及抛物线切线斜率，通过外卖配送速度、手机充电快慢等生活实例导入，衔接必修中函数单调性的定性研究，以极限思想为支架，构建从具体到抽象的学习脉络，含几何画板动态演示辅助理解。 其亮点在于以生活情境激活数学眼光，如手机充电速度变化引导观察现实中的变化率差异，通过高台跳水速度计算、抛物线切线斜率推导等实例，用表格分析Δt趋近0的过程培养数学思维，以规范符号表达（如瞬时速度极限公式）强化数学语言。题型训练与小结结合，助力学生提升抽象和逻辑推理素养，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

第5章 一元函数的导数及应用 5.1.1 变化率问题 人教A版·选择性必修第二册· 学习目标 1.理解平均变化率、瞬时变化率的概念，能识别生活和学科中的变化率问题。 2.能根据函数表达式计算平均变化率，掌握利用极限思想求瞬时速度和抛物线切线斜率的方法。 3.能运用变化率知识解决简单的实际问题，掌握核心求解步骤。 4.体验从具体实例到抽象概念的思维过程，感受极限思想的本质，提升数学抽象和逻辑推理素养。 目录 CATALOG 01.瞬时变化率（瞬时速度）的求解 03.题型强化训练 02.抛物线在某点处的切线斜率 04.小结及随堂练习 5.1.1 变化率问题 01 瞬时变化率 （瞬时速度）的求解 导入新知1：外卖配送的“速度谜题” “同学们，昨天我点了两份外卖，都是从同一家奶茶店送到咱们学校门口，距离都是3公里。A外卖员用了20分钟送达，B外卖员用了18分钟。但奇怪的是，A外卖员全程没有堵车，B外卖员中途还遇到了一个红灯停了1分钟——为什么耗时更短的B，反而有停留？” “其实A外卖员全程匀速骑行，平均速度9km/h；而B外卖员在绿灯后会快速冲刺，某一瞬间的速度能达到15km/h，虽然停了1分钟，但总耗时更短。这里的‘平均速度’只能告诉我们全程快慢，可‘某一瞬间的速度’才真正决定了中途的冲刺效率——那我们该如何精准描述‘某一时刻的快慢’，而不是模糊的‘全程平均’呢？’’ 导入新知2：手机充电的“快慢密码” “大家有没有观察过手机充电？假设你的手机剩余10%电量，插上充电器后：前10分钟充到了40%，中间10分钟充到了65%，最后10分钟只充到了80%。同样是10分钟，充电量却越来越少——为什么充电速度会‘变慢’？” “我们可以算出前10分钟的‘平均充电速度’是3%/分钟，中间是2.5%/分钟，但这只是一段时间的平均水平。如果我想知道‘充电到50%那一刻，手机每秒能充多少电’，该怎么计算？而且这条充电曲线，不同位置的‘倾斜程度’不一样，这和充电速度有什么关系？’’ 引入新知 微积分简介 描述现实世界中的运动、变化现象 函数 引入 动态现象 刻画 深入研究 微积分 具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑. 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程 求曲线 的切线 求函数的最大值 与最小值 求长度、面积、体积和重心等 引入新知 本章知识框架 丰富的实际背景和具体实例 导数的概念 导数的基本运算 导数研究函数的性质 导数解决实际问题 极限的思想 引入新知 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数函数”比“直线上升”快得多．进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题． 新课探究 情景一：高台跳水运动员的速度 新课探究 新课探究 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平均变化率 新课探究 瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instantaneous velocity） 问题2：瞬时速度与平均速度有什么关系？ 新课探究 新课探究 新课探究 不断缩短时间间隔，计算其平均速度得到如下表格 0.01 －4.951 0.001 －4.9951 0.0001 －4.99951 0.00001 －4.999951 0.000001 －4.9999951 …… 0.01 －5.049 0.001 －5.0049 0.0001 －5.00049 0.00001 －5.000049 0.000001 －5.0000049 …… 新课探究 追问2：你认为上述列表计算瞬时速度的过程可靠吗? 新课探究 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 导数（导函数）概念辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平均变化率 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 导数定义中极限的简单计算 新课探究 瞬时速度 也就是说，当时间间隔|∆t|无限趋近于0时，平均速度 在某一时刻t=t0的极限就是运动员在t=t0时的瞬时速度，即: 学习新知 例题 详解 学习新知 例题 详解 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 瞬时变化率的概念及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 瞬时变化率的概念及辨析 02 抛物线在某点处的切线斜率 5.1.1 变化率问题 学习新知 情景二：抛物线的切线斜率 学习新知 y=x2 O y x x=1 学习新知 y=x2 O y x 学习新知 几何画板动态演示 学习新知 抛物线在某点处的切线 学习新知 学习新知 学习新知 学习新知 用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格： ∆x <0 ∆x >0 ∆x ∆x 通过观察可得，当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2. 学习新知 抛物线在某点处的切线斜率 事实上，由 可以发现，当∆x在无限趋近于时， 无限趋近于2，我们把2叫做“当△x无限趋近于0时， 的极限”，记为： 也就是说，当点P无限靠近点P0，即∆x无限趋近于0时，割线P0P无限趋近于切线P0T，因此切线P0T的斜率为： 学习新知 抛物线在某点处的切线斜率 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 导数定义中极限的简单计算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 导数（导函数）概念辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 瞬时变化率的概念及辨析 学习新知 应用新知 详解 应用新知 详解 应用新知 详解 03 题型强化训练 5.1.1 变化率问题 能力提升 题型一 求运动物体的瞬时速度 例题1 能力提升 总结归纳 第一步 第二步 第三步 能力提升 变式训练 能力提升 变式训练 能力提升 题型二 抛物线上某点的切线方程的求解 例题2 能力提升 题型二 抛物线上某点的切线方程的求解 例题2 能力提升 总结归纳 第一步 第二步 第三步 能力提升 变式训练 能力提升 变式训练 求抛物线f (x)=2x2 - 1在x = 1处的切线方程. 能力提升 变式训练 求抛物线f (x)=2x2 - 1在x = 1处的切线方程. 04 小结及随堂练习 5.1.1 变化率问题 课堂小结 变化率 问题 平均速度 瞬时速度 作业布置 巩固作业 巩固作业 教科书第61-62页练习第2、3题， 第P70页习题5.1第3、7题. 5.1.1 变化率问题 巩固作业答案（教科书第61-62页练习第2题） 巩固作业答案（教科书第61-62页练习第2题） 巩固作业答案（教科书第61-62页练习第3题） 巩固作业答案（教科书P70页习题5.1第3题） 巩固作业答案（教科书P70页习题5.1第7题） THANKS 感谢您的聆听 问题1：在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面 的高度(单位：m)与起跳后的时间(单位：s)存在函数关系 ． 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的 平均速度近似地描述他的运动状态． 在这段时间里， ； 在这段时间里， 一般地，在这段时间里， ． 追问1：计算运动员在这段时间里的平均速度，你发现了什么？ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 运动员在这段时间里的平均速度为0．显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态． 因此，平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 某质点沿直线运动，位移 （单位：m）与时间 （单位：s）之间的关系为： ，则该质点在 内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得平均速度是. 故选：A 设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时 刻的瞬时速度. 追问1：你能利用这种关系求运动员在时的瞬时速度吗？ 从前面计算的平均速度的值，我们发现“随着时间间隔的不断变小，平 均速度不断地接近于常数”,但这种计算是有限的，不能断定平均速度是否 永远具有这种特征，所以需要寻求更为精确的方法加以“说明” 事实上，由.可以发现，当无限趋近于0时， 也无限趋近于0，所以无限趋近于．这与前面得到的结论一致． 从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于0时，平均速度就无限趋 近于时的瞬时速度．因此，运动员在时的瞬时速度． 数学中，我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”， 记为． 2.设函数 在 处存在导数为2，则 （   ） A． B． C．2 D．4 【详解】由导数的定义可知. 故选：A 3.已知函数 ，则 （    ） A．1 B．2 C． D． 【详解】因为函数， 则. 故选：D. 4.设 ，则 等于（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 所以， 故选：C. 5.若 ，则 （   ） A． B．3 C．6 D． 【详解】依题意， . 故选：C 1.某物体的运动方程为 （位移单位： ，时间单位： ）， 若 ，则下列说法中正确的是（    ） A． 是物体从开始到 这段时间内的平均速度 B． 是物体从 到 这段时间内的速度 C． 是物体在 这一时刻的瞬时速度 D． 是物体从 到 这段时间内的平均速度 由 ， 可知， 是物体在 这一时刻的瞬时速度.故选：C 2.一物体的运动方程为 ，则其在 时瞬时速度为1． ． 因为瞬时速度为1，故 ，即 ． 故答案为： 6.已知函数 的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由题可知： 函数为单调递增且为上凸函数， 所以，即. 故选：B. 7.一物体做直线运动，其位移 （单位：m）与时间 （单位：s） 的关系是 ，则物体在 时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意知，位移与时间的关系是 ，可得， 可得. 故选：C. 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直 线与这个圆相切．对于一般的曲线，如何定义它的切线呢？下面我 们以抛物线为例进行研究． 问题3：你认为与曲线有且只有一个公共点的直线，一定是曲线的切线吗? 直线不是抛物线在点处的切线 追问1：你认为应该如何定义抛物线在点处的切线？ 通常在点的附近任取一点 ，考察抛物线的 割线的变化情况． 思考：如图5.1-1，当点沿着抛物线趋近于点 时，割线有什么变化趋势？ 当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的 位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点 处的切线． 问题4：我们知道，斜率是确定直线的一个要素．如何求抛物线 在点处的切线的斜率呢？ 追问1：根据以上的探究，割线的 斜率与切线的斜率之间具有怎样的 关系？ 追问1：根据以上的探究，割线的斜率与切线的斜率之间具有 怎样的关系？ 抛物线在处附近的某一区间内的割线 斜率情况，当区间长度很小时，割线近似替代 切线，于是可以用割线斜率近似表示切线斜率. 可以想象，如果不断缩短区间长度，那么在该 区间内割线斜率变化就越来越小，从而在区间 内的割线斜率就越来越趋近于在处的切线 斜率. 追问2：你能利用这种关系求抛物线在点处的切线 的斜率吗？ 对于给定的区间间隔,记（可以 是正值，也可以是负值，但不为0），则点的 坐标是，故可以先计算抛物线 在区间内的割线斜率，即： ， 观察当取正值不断趋近于0时，割线斜率有什 么变化趋势； 当取负值不断趋近于0时，能否得出同样的结论？ 抛物线上一点的附近任取一点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置P0T，这个确定的位置P0T称为抛物线在点处的切线．因此，切线的P0T的斜率为割线P0P斜率的极限,即： 8.已知 是函数 的导函数，则 （   ） A． B． C． D． 【详解】已知 ， 故选：B. 9.若函数 在 处可导，则 等于（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意， . 故选：D 设函数 的导函数为 ，且 ， 则 （   ） A． B． C． D． 【详解】由题意知，位移与时间的关系是 ，可得， 可得. 故选：C. 问题5：观察情景问题一中的函数的图象（图5.1-2）， 平均速度的几何意义是什么？瞬时速度呢？ (1)均速度是抛物线 在点，的割线的斜率； (2)时速度是抛物线在点 处的切线斜率. 1.函数在区间上的平均变化率等于( ). A．4 B． C． D． ，故选：B 2． 已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满 足条件的一个二次函数的表达式 ． 设， 则， 由题意知，解之得， 显然c的取值不改变结果，不妨取，则. 故答案为： 3．已知函数． (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)求函数在区间上的平均变化率． (1)， 函数在区间上的平均变化率为． (2)由(1)可知在区间上的平均变化率为， 当，时，， 即函数在区间上的平均变化率为8.02． 求问题1中高台跳水运动员在时的瞬时速度． 【详解】因为 ， 所以，高台跳水运动员在时的瞬时速度为． 所以， 求运动物体在时刻的瞬时速度的一般步骤 求时间的改变量与位移的改变量 计算平均速度； 观察时，平均速度趋近的确定值即为物体 注：①在极限表达式中，可把作为一个数来参与运算； ②求出的表达式后，无限趋近于0就是令,求出结果即可. 在时刻的瞬时速度，即求极限： (1)求运动员在时的瞬时速度； ． 解：运动员在时的瞬时速度 (2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度？ ． 解：运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度 你认为应该怎样定义抛物线在点处的切线？ 试求抛物线在点处切线的斜率． 【详解】在点的附任取一点，当点无限趋近于 点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位 置称为抛物线在点处的切线． 你认为应该怎样定义抛物线在点处的切线？ 试求抛物线在点处切线的斜率． 取横坐标间隔，过点，的割线斜率为： 所以，抛物线在点处的切线的斜率为： ． 求抛物线上一点处的切线斜率的方法 求抛物线在内的改变量； 求抛物线在点附近的割线斜率， 即： 求极限的值， 即为点处的切线斜率. 求抛物线在点处的切线方程． 解：抛物线在点处的切线的斜率 ， 抛物线在点处的切线方程为． 在这段时间平均速度为： ． 2．火箭发射后，其高度（单位：m）为，求： (1) 在这段时间里，火箭爬高的平均速度； (2) 发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度． 【详解】(1)因为， 所以在这段时间里, 火箭爬高的平均速度为； 2．火箭发射后，其高度（单位：m）为，求： (1) 在这段时间里，火箭爬高的平均速度； (2) 发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度． 【详解】(2)因为 ． 所以发射后第时，火箭爬高的瞬时速度． 3.一个小球从5m的高处自由下落，其位移（单位：m）与时间 （单位：s）之间的关系为．求时小球的瞬时速度． 【详解】由题意知： ，当时，小球的瞬时速度为． 3. 某质点沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式 ．求： (1)这段时间内的平均速度； (2)时的瞬时速度 【详解】 (1)当时，;当时，; 的平均速度为. (2)，. 7.求曲线在点处的切线的倾斜角． 【详解】 ， 所以曲线在点处的切线斜率为，则倾斜角为. $