5.1.1变化率问题第二课时教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1 导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题（第 2 课时） 一、内容和内容解析 1.内容 变化率的两个典型实例.一是高台跳水运动员的速度，二是抛物线的切线的斜率.本小节 计划用 2 课时，第一课时：高台跳水运动员的速度；第二课时：抛物线的切线的斜率. 2.内容解析 本小节是 2019 年人教 A 版选择性必修第二册第五章第 1 节.变化率是本章内容学习的 核心概念，是导数概念建立的核心.变化率问题（共 2 课时）的主要内容是高台跳水运动员的速度，抛物线的切线的斜率.通过实例分析，总结归纳出一般问题的平均变化率和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握平均变化率和瞬时变化率问题解法的一般步骤. 第一课时（问题 1），由于学生在学习导数之前没有学习极限，因此就不能用极限理论 建立导数概念.导数的本质是函数的瞬时变化率，即函数平均变化率的极限.通过高台跳水运动员的速度这个特殊实例，使学生经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，以直观的方式由平均变化率的极限引出瞬时变化率.由于导数是一种特殊的极限，其中自然蕴含着极限思想，所以导数的学习对于发展学生的数学抽象素养和正确的世界观有着重要的作用.从瞬时速度这个特殊的瞬时变化率出发，再抽象出导数概念，蕴含了数形结合、从特殊到一般的数学思想方法. 第二课时（问题 2），以学生熟知的特殊曲线（抛物线 f(x)=x2）为对象，研究其在特殊 · p0(1,1)处的切线及其斜率.与解决问题 1 的过程与方法类似，问题 2 再次让学生在“运动变化的观点”“极限思想与方法”的引导下，经历由割线斜率过渡到切线斜率的完整过程，进一步体会其中蕴含的导数的内涵和思想，进一步体会极限思想. 基于上述分析，确定本节的教学重点：（1）理解瞬时速度和极限思想；（2）理解函 数在某点处的切线和以直代曲思想. 二、目标和目标解析 1.目标 课程目标 素养目标 1 1.通过两个实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变 1.数学抽象：函数的变化率化率的过程. 2.经历用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，认识 2.逻辑推理：平均变化率与瞬时变化率的关 瞬时速度的本质是平均速度的极限，初步体会极限 系，割线斜率与切线斜率的关系. 思想. 3.经历由割线斜率过渡到切线斜率的完整过程，进 3.数学运算：求瞬时速度，求抛物线 f(x)=x2 一步体会其中蕴含的导数的内涵和思想，进一步体 在点 p0(1,1)处的切线方程. 会极限思想. 4.直观想象：割线的变化趋势. 2.目标解析 达成上述目标的标志是： （1）通过高台跳水运动员的速度（问题 1），学生能借助计算工具计算运动员的平均 速度，并通过观察平均速度在自变量间隔不断变小的过程中的变化趋势，得出瞬时速度；结 合抛物线的切线的斜率（问题 2），观察从割线过渡到切线的过程中，割线斜率在两交点的 横坐标间隔不断变小的过程中的变化趋势，得出切线的斜率.从而了解导数概念的实际背景， 知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想. （2）通过研究从曲线的割线过渡到切线、从割线斜率过渡到切线斜率的过程，能求函 数在某点处的切线斜率，进而求出切线的方程. （3）通过两个实例研究，能从平均速度的数值变化和图像过某点处的割线斜率的变化 趋势直观感知瞬时速度是平均速度的极限，切线斜率是割线斜率的极限. 三、教学问题诊断分析 由于学生在学习导数之前没有学习极限，所以学习导数的过程实际上是学生体会极限思想的过程.因此，如何用平均速度的极限理解瞬时速度，用割线斜率的极限理解切线的斜率，并由此体会极限思想，这是一个教学难点，要突破这个难得，需要在“高台跳水运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率”这两个案例中，让学生充分经历由“平均变化率”过渡到“瞬时变化率”的过程，通过观察平均速度的数值变化和图像过某点处的割线的变化趋势，正确理解平均速度的极限就是瞬时速度，以及割线的极限位置就是切线，割线斜率的极限就是切线斜率.在此过程中，帮助学生正确理解“极限”的含义是建立导数概念的关键. 基于以上分析，本节的教学难点是：（1）用平均速度的极限理解瞬时速度；（2）用 2 割线斜率的极限理解切线的斜率. 四、教学支持条件分析 学生之前没有学过极限的概念，而导数的本质便是极限，同时导数的表示要借助极限符 号，这些都增加了学生抽象概括出导数概念的难度.因此，教学中要借助信息技术工具，使 学生通过列表观察平均变化率的变化趋势，通过图像直观观察割线变化到切线的过程，感受“逼近”过程，以此降低学生对导数就是极限的认知难度. 五、教学设计过程 第二课时 （一）复习引入 回顾旧知： 上一节课我们研究了高台跳水运动员的速度，探究了某个时间段内的平均速度和某个时 刻的瞬时速度，我们一起来回顾一下.在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重 心相对于水面的高度 h（单位：m）与起跳后的时间 t（单位：s）存在函数关系 h(t) = −4.9t2 + 4.8t + 11.那么 （1）在[t0，t0+∆t]（或[t0+∆t，t0]）这段时间里的平均速度 v = ∆ℎ = ℎ(t0 + ∆t)−ℎ(t0) = −4.9∆t-9.8t0+4.8 ∆t ∆t （2）令∆t→0，则在 t=t0 时的瞬时速度 v(t0) = lim v = lim (−4.9∆t−9.8t0 + 4.8) = −9.8t0 + 4.8 ∆t→0 ∆t→0 思考：你能描述一下从平均速度到瞬时速度的研究过程吗？能否总结一下对其研究的思想方法。 师生活动：给出问题后，教师引导学生描述出：首先，求出在[t0，t0+∆t]（或[t0+∆t，t0]） ∆ℎ = ℎ(t0 + ∆t)−ℎ(t0) 这段时间里的平均速度v = ，接着，令∆t→0，则在 t=t0 时的瞬时速度 ∆t ∆t v(t0) = lim v.归纳出：经历了用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，理解瞬时速度就是平 ∆t→0 均速度的极限，回顾并体会极限思想方法. 引入新课：类比上节课的研究过程、思想和方法，这节课我们来研究抛物线的切线的斜率. 设计意图：通过对从平均速度到瞬时速度的研究过程、思想方法的回顾，启发学生运用类比 3 的思想方法研究抛物线的切线的斜率问题.培养学生语言表达能力，发展学生数学抽象、逻 辑推理等核心素养. （二）探究新知 探究：抛物线的切线的斜率 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.对于 一般的曲线 C，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线 f(x)=x2 为例进行研究. 问题 1：你认为应该如何定义抛物线 f(x)=x2 在点 P0（1,1）处的切线？ 师生活动：（1）给出问题后，教师启发学生用研究瞬时速度的方法类比研究抛物线 f(x)=x2 在点 P0（1,1）处的切线.（2）在点 P0（1,1）的附件任取一点 p(x,x2)，考查抛物线 f(x)=x2 的割线 P0P 的变化情况. 观察思考：如图 1，当点 p(x,x2)沿着抛物线 f(x)=x2 趋近于点 P0（1,1）时，割线 P0P 有什 么变化趋势？ 师生活动：引导学生观察发现，当点 P 无限趋近于点 P0 时，割线 P0P 无限趋近于一个确定 的位置，这个确定位置的直线 P0T 称为抛物线 f(x)=x2 在点 P0（1,1）处的切线.利用信息技 术工具演示图 1 中 P0P 的动态变化趋势，让学生经历由割线过渡到切线的逼近过程，进一 步体会极限思想.进而引出抛物线 f(x)=x2 在点 P0（1,1）处的切线的定义. 设计意图：让学生经历由割线过渡到切线的逼近的完整过程，进一步体会极限思想.进而引 出抛物线 f(x)=x2 在点 P0（1,1）处的切线的定义.通过具体问题的观察和思考，归纳总结， 4 抽象出曲线在某点处切线的概念.发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养. 问题 2：我们知道，斜率是确定直线的一个要素.割线的斜率与切线的斜率有什么关系呢？ 你能否利用这种关系求抛物线 f(x)=x2 在点 P0（1,1）处的切线 P0T 的斜率 k0 呢？ 师生活动：首先引导学生回顾上述切线的定义发现，抛物线 f(x)=x2 在点 P0（1,1）处的切线 P0T 的斜率与割线 P0P 的斜率有内在联系.记∆x = x−1(∆x可以是正值，也可以是负值，但 不为零)，则点 P 的坐标是（1 + ∆x，（1 + ∆x）2）.于是，割线 P0P 的斜率k = f(x)−f(1) = x−1 （1 + ∆x）2−1 = ∆x + 2. (1 + ∆x)−1 其次引导学生想象，如果不断缩短横坐标间隔|∆x|，那么割线 P0P 的斜率k就越来越趋近于切线 P0T 的斜率 k0.然后让学生尝试利用这种关系求切线 P0T 的斜率 k0. （1）教师利用信息技术工具演示割线的斜率逼近切线的斜率的计算过程. （2）学生利用计算工具演示（计算）割线的斜率逼近切线的斜率的计算过程.得出表 1. · 1 （3）让学生观察上面表 1，给出发现的结论，教师点评后总结出结论：随着横坐标间隔|∆x| 的不断变小，割线 P0P 的斜率k越来越接近于常数 2. 追问 1：给出∆x更多的值，利用信息技术工具计算更多的割线 P0P 的斜率k值，当∆x无限 趋近于 0 时，割线 P0P 的斜率k有什么变化趋势？ 师生活动：教师引导学生计算（操作）—观察，进而得出结论：当∆x无限趋近于 0 时，即 5 无论 x 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边无限趋近于 1 时，割线 P0P 的斜率k都无限趋 近于 2. 追问 2：你认为通过上述列表计算切线斜率的过程可靠吗？ 师生活动：教师提出问题后让学生讨论，若干学生发言后，教师点评学生的发言，启发学生认识到，通过前面计算的割线斜率的值，尽管我们发现“随着横坐标间隔|∆x|的不断变小， 割线 P0P 的斜率k越来越接近于常数 2”.但这种计算是有限的，不能断定割线斜率是否永远 具有这种特征.因此需要从理性的角度加以“说明”. 具体如下：因为抛物线 f(x)=x2，所以割线 P0P 的斜率k = f(1 + ∆x)−f(1) = ∆x + 2 ∆x 可以直接看出，当∆x无限趋近于 0 时，∆x + 2无限趋近于 2，即割线 P0P 的斜率k无限趋 近于 2.这与前面得到的结论是一致的. 我们把 2 叫做“当∆x无限趋近于 0 时，k = f(1 + ∆x)−f(1)的极限”.记为 ∆x lim f(1 + ∆x)−f(1) = 2 ∆x→0 ∆x 从几何图形上看，当横坐标间隔|∆x|无限变小时，点 P 无限趋近于点 P0，于是割线 P0P 无 限趋近于点 P0 处的切线 P0T.这时，割线 P0P 的斜率 k 无限趋近于点 P0 处的切线 P0T 的斜 · k0.因此，切线 P0T 的斜率 k0=2. 设计意图：让学生经历用割线斜率“逼近”切线斜率的过程，了解切线斜率就是割线斜率的极限，由此体会极限思想.发展学生的运算素养、逻辑推理素养. 追问 3：你能用上述研究的方法，定义抛物线 f(x)=x2 在点（x0,x02）处的切线吗？试求抛物 · f(x)=x2 在点（x0,x02）处切线的斜率. 师生活动：学生讨论后，引导学生用语言描述：在点 P0(x0，x02)的附近任取点 P（x，x2）， 当横坐标间隔|∆x| = |x−x0|无限变小，即点 P 无限趋近于点 P0 时，割线 P0P 就无限趋近 于一个确定的位置，这个位置的直线就是抛物线 f(x)=x2 在点（x0,x02）处的切线.然后让学生 思考计算抛物线 f(x)=x2 在点（x0,x02）处切线的斜率.教师通过信息技术平台展示学生的解答 过程并点评，强调切线斜率的极限表示，教师给出规范解答： 6 抛物线 f(x)=x2 过点（x0,x02）的割线斜率k = f(x0 + ∆x)−f(x0)，令∆x→0，则k = 2x0 + ∆x→2 ∆x x0 所以，抛物线 f(x)=x2 在点（x0,x02）处切线的斜率k0 = lim f(x0 + ∆x)−f(x0) = 2x0 ∆x→0 ∆x 设计意图：将求切线斜率的方法推广到一般情形，引导学生进一步体会极限思想及从特殊到一般的数学思想方法，从算法的角度体会求切线斜率的过程，提升数学运算素养. 问题 3：观察高台跳水运动员的速度问题中的函数h(t) = −4.9t2 + 4.8t + 11的图像（图 2） 图 2 思考：平均速度v = ℎ(1 + ∆t)−ℎ(1) 的几何意义是什么？瞬时速度v(1)呢？ (1 + ∆t)−1 师生活动：学生讨论后，引导学生回答：平均速度v = ℎ(1 + ∆t)−ℎ(1)的几何意义为割线 AB (1 + ∆t)−1 的斜率，瞬时速度v(1)的几何意义为函数h(t)在点 A 处的切线的斜率. 设计意图：研究割线、切线的几何意义，一方面从形数结合的角度，让学生理解切线斜率是割线斜率的极限，培养学生数形结合的思想方法；另一方面为下一节导数的概念及其几何意 义作铺垫. （三）学以致用 7 1.求抛物线 f(x)=x2 在点（-1,1）处切线的斜率.（教科书 P64 练习 1） 2.求抛物线 f(x)=x2+1 在点（0,1）处的切线方程.（教科书 P64 练习 2） （四）盘点收获 基础知识：曲线过某点处割线的斜率，在某点处的切线的斜率；某点处的切线是过该点的割 线的极限位置，切线的斜率是割线斜率的极限. 基本技能： 会求曲线在某点处的切线的斜率. 数学思想： 一是极限思想，经历用割线斜率“逼近”切线斜率的过程，并由此体会极限思想；二是从特殊到一般和数形结合的数学思想方法，这是研究数学的基本策略，也是数学学科一般观 念. 设计意图：从基础知识、基本技能、数学思想三方面小结，促进学生认知结构的重构和数学思维品质的优化.为抽象概括导数的概念及其几何意义奠基. （五）目标检测 1.若抛物线 y=2x2-1 的图象上一点（1,1）及其邻近一点（1 + ∆x，1 + ∆y），则这两点所 在割线的斜率为（ ） A. 2 + ∆x B. 2−2∆x C.4 + 2∆x D.4 2.已知点 P 和点 Q 是曲线 y=x2-2x-3 上的两点，且点 P 的横坐标是 1，点 Q 的横坐标是 4. 求 （1）割线 PQ 的斜率；（2）点 P 处的切线方程. 3.已知曲线 y＝2x2－7 在点 P 处的切线方程为 8x－y－15＝0，求切点 P 的坐标． 4.设曲线 f (x)＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y－6＝0 平行，求 a 值. 设计意图：设计三个问题考查学生对割线斜率逼近切线斜率的认识，使学生体会极限思想，为建立导数概念作准备. （六）板书设计 8 5.1.1 变化率问题（第 2 课时） 一、探究：抛物线的切线的斜率 f(x) = x2，P（x0，x02） 割线斜率 k = f(x0 + ∆x)−f(x0) ∆x 切线斜率 k0 = lim f(x0 + ∆x)−f(x0) = 2x0 ∆x→0 ∆x 二、收获： 1.知识：割线斜率−−→切线斜率， 理解了切线斜率的本质是割线斜率的极限. 2.技能：会求割线斜率k，切线斜率 k0 3.思想：极限（逼近），从特殊到一般、数形结合. 三、检测：（略） 9 10 学科网（北京）股份有限公司 $$