5.1.1 变化率问题（导学案）数学人教A版2019选择性必修第二册

5.1.1 变化率问题 导学案 1. 理解平均变化率、瞬时变化率的概念，能识别生活和学科中的变化率问题（如运动速度、切线斜率）。 2. 能根据函数表达式计算平均变化率，掌握利用极限思想求瞬时速度和抛物线切线斜率的方法。 3. 能运用变化率知识解决简单的实际问题（如求特定时刻的瞬时速度、某点处的切线方程），掌握核心求解步骤。 4. 体验从具体实例到抽象概念的思维过程，感受极限思想的本质，提升数学抽象和逻辑推理素养。 教学重点： 1. 平均变化率的计算方法； 2. 利用极限思想求瞬时速度和抛物线切线斜率。 教学难点： 1. 理解瞬时变化率的本质及极限思想的应用； 2. 把握“Δt（或Δx）无限趋近于0但不为0”的核心含义。 知识点一　跳水运动员的平均速度 在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11. 一般地，在t1≤t≤t2这段时间里， ＝ ＝ ． 知识点二　跳水运动员的瞬时速度 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 知识点三　跳水运动员在t＝1 s时瞬时速度的求法 Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 当Δt<0时，在时间段[1＋Δt，1]内 当Δt>0时，在时间段[1，1＋Δt]内 Δt ＝ ＝ ＝－4.9Δt－7 Δt ＝ ＝ ＝－4.9Δt－7 数学中，我们把－7叫做“当Δt无限趋近于0时，＝的 ”，记为 ＝－7．从物理的角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝1时的瞬时速度．因此，运动员在t＝1 s时的瞬时速度v(1)＝－7 m/s. 知识点四　抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线 与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线，我们通常在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f(x)＝x2的割线P0P的变化情况． 我们发现，当点P ，割线P0P 位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线． 知识点五　抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率 记Δx＝x－1，则点P的坐标是(1＋Δx，(1＋Δx)2)． 于是，割线P0P的斜率k＝ ＝ ＝ ． 我们发现，当Δx无限趋近于0时，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k都无限趋近于2. 事实上，由k＝＝ ＋2可以直接看出，当Δx无限趋近于0时，Δx＋2无限趋近于2.我们把2叫做“ ， ”，记为 ． 因此，切线P0T的斜率k0＝2. 课堂引入1：外卖配送的“速度谜题” “同学们，昨天我点了两份外卖，都是从同一家奶茶店送到咱们学校门口，距离都是3公里。A外卖员用了20分钟送达，B外卖员用了18分钟。但奇怪的是，A外卖员全程没有堵车，B外卖员中途还遇到了一个红灯停了1分钟——为什么耗时更短的B，反而有停留？”（停顿让学生思考）“其实A外卖员全程匀速骑行，平均速度9km/h；而B外卖员在绿灯后会快速冲刺，某一瞬间的速度能达到15km/h，虽然停了1分钟，但总耗时更短。这里的‘平均速度’只能告诉我们全程快慢，可‘某一瞬间的速度’才真正决定了中途的冲刺效率——那我们该如何精准描述‘某一时刻的快慢’，而不是模糊的‘全程平均’呢？’’ 课堂引入2：手机充电的“快慢密码” “大家有没有观察过手机充电？假设你的手机剩余10%电量，插上充电器后：前10分钟充到了40%，中间10分钟充到了65%，最后10分钟只充到了80%。同样是10分钟，充电量却越来越少——为什么充电速度会‘变慢’？”（展示手机充电电量-时间模拟曲线）“我们可以算出前10分钟的‘平均充电速度’是3%/分钟，中间是2.5%/分钟，但这只是一段时间的平均水平。如果我想知道‘充电到50%那一刻，手机每秒能充多少电’，该怎么计算？而且这条充电曲线，不同位置的‘倾斜程度’不一样，这和充电速度有什么关系？’’ 导入：“跳水运动员的速度如何精准刻画？” ——某跳水运动员起跳后，重心相对于水面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为h(t)＝－4.9t²＋2.8t＋11。 请思考： 1. 该运动员在0≤t≤1这段时间内的平均速度是多少？ 2. 如何精准描述运动员在t＝1s这一时刻的速度？ 3. 这个“瞬时速度”与平均速度有什么区别和联系？ 探究点1：平均变化率（平均速度）的计算 微积分相关历史介绍： 为了描述现实世界中的运动、变化现象，在数学中引入了函数.刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念.在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑. 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关.一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等.历史上科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分. 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具. 在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想.通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义. 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数函数”比“直线上升”快得多．进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题． 探究点2：瞬时变化率（瞬时速度）的求解 情景一：高台跳水运动员的速度 问题1：在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：m）与起跳后的时间（单位：s）存在函数关系 ． 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 例如：在这段时间里， ； 在这段时间里， 一般地，在这段时间里， ． 追问1：计算运动员在这段时间里的平均速度，你发现了什么？ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instantaneous velocity）． 问题2：瞬时速度与平均速度有什么关系？ 因此，要刻画运动员在某一时刻处的运动状态，我们不能用静止的观点看待问题，而应用运动变化的观点加以研究. 追问1：你能利用这种关系求运动员在时的瞬时速度吗？ 为了求运动员在时的瞬时速度，我们在之后或之前，任意取一个时刻，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0．当时，在1之后，当时，在1之前．当时，把运动员在时间段内近似看成做匀速直线运动，计算时间段内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在时的瞬时速度．当时，在时间段内可作类似处理．为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格（表5.1-1）． 表5.1-1 当时，在时间段内 当时，在时间段内 －0.01 －4.951 0.01 －5.049 －0.001 －4.9951 0.001 －5.0049 －0.0001 －4.99951 0.0001 －5.00049 －0.00001 －4.999951 0.00001 －5.000049 －0.000001 －4.9999951 0.000001 －5.0000049 … … 思考:给出更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度的值．当无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？ 进一步地，教师让学生思考常数的意义，教师在此基础上进行点评总结，并解释符号“”的意义. 追问2：你认为上述列表计算瞬时速度的过程可靠吗? 接着，教师引导学生利用解析式说明上面发现的结论：随着时间间隔的不断变小，平均速度不断地接近于常数.具体说明过程如下： 事实上，由. 可以发现，当无限趋近于0时，也无限趋近于0，所以无限趋近于．这与前面得到的结论一致． 数学中，我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为 ． 从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度．因此，运动员在时的瞬时速度． 设计意图：借助信息技术工具，从数值和解析式两个维度观察平均速度的变化趋势，让学生经历用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，理解瞬时速度就是平均速度的极限，并由此初步体会极限思想，体会“用运动变化的观点研究问题”“以直代曲”等微积分思想. 例：1．某物体的运动方程为（位移单位：，时间单位：），若，则下列说法中正确的是（    ） A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度 2.一物体的运动方程为，则其在 时瞬时速度为1． 探究点3：抛物线在某点处的切线斜率 情景二：抛物线的切线斜率 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线为例进行研究． 问题3：你认为与曲线有且只有一个公共点的直线，一定是曲线的切线吗? 追问1：你认为应该如何定义抛物线在点处的切线？ 思考：如图5.1-1，当点沿着抛物线趋近于点时，割线有什么变化趋势 教师利用信息技术工具，观察当点沿着抛物线趋近于点时，割线的变化趋势？（几何画板动态展示），学生观察变化过程中的变化趋势问题并总结。 我们发现，当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线． 问题4：我们知道，斜率是确定直线的一个要素．如何求抛物线在点处的切线的斜率呢？ 追问1：根据以上的探究，割线的斜率与切线的斜率之间具有怎样的关系？ 因此，要研究抛物线在处的切线斜率，我们不能用静止的观点看待问题，而应用运动变化的观点加以研究. 追问2：你能利用这种关系求抛物线在点处的切线的斜率吗？ 师生活动：对于给定的区间间隔,记（可以是正值，也可以是负值，但不为0），则点的坐标是，故可以先计算抛物线在区间内的割线斜率，即： ， 观察当取正值不断趋近于0时，割线斜率有什么变化趋势； 当取负值不断趋近于0时，能否得出同样的结论？ 教师利用信息技术演示，通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度，得到如下表格（表5.1-2）． 表5.1-2 －0.01 1.99 0.01 2.01 －0.001 1.999 0.001 2.001 －0.0001 1.9999 0.0001 2.0001 －0.00001 1.99999 0.00001 2.00001 －0.000001 1.999999 0.000001 2.000001 … … 思考：利用计算工具计算更多割线的斜率的值，当无限趋近于0时，割线的斜率有什么变化趋势？ 事实上，由可以直接看出，当无限趋近于0时，无限趋近于2．我们把2叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为： ． 从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点无限趋近于点，于是割线无限趋近于点处的切线．这时，割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率．因此，切线的斜率，即： . 因此，当横坐标间隔无限变小，趋近于0时，曲线过该点的割线斜率的极限值就是曲线在该点处的切线的斜率 问题5：观察问题1中的函数的图象（图5.1-2），平均速度的几何意义是什么？瞬时速度呢？ 师生活动：直接利用函数的图象，引导学生认识平均速度，瞬时速度的几何意义得到： （1）平均速度是抛物线在点，的割线的斜率； （2）瞬时速度是抛物线在点处的切线斜率.    1.（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 2.(24-25高二下·广东清远·期中）设函数在处存在导数为2，则（   ） A． B． C．2 D．4 3.（24-25高二下·四川成都·期中）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 4.（24-25高二下·全国·课后作业）设，则等于（    ） A． B． C． D． 5.（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）若，则（   ） A． B．3 C．6 D． 6.（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 7.（24-25高二下·海南海口·期中）一物体做直线运动，其位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系是，则物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 8.（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知是函数的导函数，则（   ） A． B． C． D． 9.（24-25高二下·江西·阶段练习）若函数在处可导，则等于（    ） A． B． C． D． 10.（24-25高一下·福建福州·期中）设函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 1.（24-25高二下·河北石家庄·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（   ） A． B．（为自然数的底数） C． D． 2.（2025高二·全国·专题练习）某探测器从距离月球表面15000m处开始实施动力下降，逐步将探测器相对月球的纵向速度从约1700m/s降为0m/s．12min后，探测器成功在月球预选地着陆．记探测器与月球表面距离的平均变化率为v，相对月球的纵向速度的平均变化率为a，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3.（24-25高二下·广西南宁·期中）已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位:cm）与时间t（单位:s）的函数关系式为.当时，液体上升高度的瞬时变化率为cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ） A．2 cm/s B．4 cm/s C．6 cm/s D．8 cm/s 4.（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 · 知识清单： 1. 本节课学习的概念有哪些？ (1) 平均速度、瞬时速度的概念及其关系。 (2) 瞬时速度的求法。 (3) 曲线割线与切线斜率的概念及其关系。 (4) 曲线切线斜率的求法。 (5) 平均速度与割线斜率、瞬时速度与切线斜率的关系。 · 方法归纳：定义法（求平均变化率）、极限法（求瞬时变化率、切线斜率）、类比迁移法（从物理到几何）。 · 常见误区： （1）混淆平均变化率与瞬时变化率，忽略“瞬时”需通过极限求解； （2）误解“Δt→0”，认为Δt＝0； （3）计算Δy（或Δs、Δf）时出错，导致后续结果偏差。 教科书第61-62页练习第2、3题，P70页习题5.1第3、7题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.1 变化率问题 导学案 1. 理解平均变化率、瞬时变化率的概念，能识别生活和学科中的变化率问题（如运动速度、切线斜率）。 2. 能根据函数表达式计算平均变化率，掌握利用极限思想求瞬时速度和抛物线切线斜率的方法。 3. 能运用变化率知识解决简单的实际问题（如求特定时刻的瞬时速度、某点处的切线方程），掌握核心求解步骤。 4. 体验从具体实例到抽象概念的思维过程，感受极限思想的本质，提升数学抽象和逻辑推理素养。 教学重点： 1. 平均变化率的计算方法； 2. 利用极限思想求瞬时速度和抛物线切线斜率。 教学难点： 1. 理解瞬时变化率的本质及极限思想的应用； 2. 把握“Δt（或Δx）无限趋近于0但不为0”的核心含义。 知识点一　跳水运动员的平均速度 在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11. 一般地，在t1≤t≤t2这段时间里， ＝＝－4.9(t1＋t2)＋2.8． 知识点二　跳水运动员的瞬时速度 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 知识点三　跳水运动员在t＝1 s时瞬时速度的求法 Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 当Δt<0时，在时间段[1＋Δt，1]内 当Δt>0时，在时间段[1，1＋Δt]内 Δt ＝ ＝ ＝－4.9Δt－7 Δt ＝ ＝ ＝－4.9Δt－7 数学中，我们把－7叫做“当Δt无限趋近于0时，＝的极限”，记为＝－7．从物理的角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝1时的瞬时速度．因此，运动员在t＝1 s时的瞬时速度v(1)＝－7 m/s. [说明]　“Δt→0”读作“Δt无限趋近于0”，是指时间间隔越来越短，能越过任意小的时间间隔，即|Δt|要多小就有多小，其含义是可以小于任何预先给定的正数，但Δt始终不能为零． 知识点四　抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线 与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线，我们通常在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f(x)＝x2的割线P0P的变化情况． 我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线． 知识点五　抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率 记Δx＝x－1，则点P的坐标是(1＋Δx，(1＋Δx)2)．于是，割线P0P的斜率k＝＝＝Δx＋2． 我们发现，当Δx无限趋近于0时，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k都无限趋近于2. 事实上，由k＝＝Δx＋2可以直接看出，当Δx无限趋近于0时，Δx＋2无限趋近于2.我们把2叫做“当Δx无限趋近于0时，k＝的极限”，记为＝2． 因此，切线P0T的斜率k0＝2. 课堂引入1：外卖配送的“速度谜题” “同学们，昨天我点了两份外卖，都是从同一家奶茶店送到咱们学校门口，距离都是3公里。A外卖员用了20分钟送达，B外卖员用了18分钟。但奇怪的是，A外卖员全程没有堵车，B外卖员中途还遇到了一个红灯停了1分钟——为什么耗时更短的B，反而有停留？”（停顿让学生思考）“其实A外卖员全程匀速骑行，平均速度9km/h；而B外卖员在绿灯后会快速冲刺，某一瞬间的速度能达到15km/h，虽然停了1分钟，但总耗时更短。这里的‘平均速度’只能告诉我们全程快慢，可‘某一瞬间的速度’才真正决定了中途的冲刺效率——那我们该如何精准描述‘某一时刻的快慢’，而不是模糊的‘全程平均’呢？’’ 【设计意图】 1. 贴近生活：外卖配送是学生高频接触的场景，容易产生代入感，降低抽象概念的理解门槛； 2. 统领全文：直接点出“平均变化率（平均速度）的局限性”和“瞬时变化率（瞬时速度）的必要性”，与课本高台跳水案例的核心逻辑一致，自然过渡到“平均→瞬时”的探究主线； 3. 勾起求知欲：通过“停留却更快”的矛盾点制造认知冲突，用“如何精准描述某一时刻的速度”的问题驱动学生思考，为后续极限思想、瞬时速度的学习埋下伏笔。 课堂引入2：手机充电的“快慢密码” “大家有没有观察过手机充电？假设你的手机剩余10%电量，插上充电器后：前10分钟充到了40%，中间10分钟充到了65%，最后10分钟只充到了80%。同样是10分钟，充电量却越来越少——为什么充电速度会‘变慢’？”（展示手机充电电量-时间模拟曲线）“我们可以算出前10分钟的‘平均充电速度’是3%/分钟，中间是2.5%/分钟，但这只是一段时间的平均水平。如果我想知道‘充电到50%那一刻，手机每秒能充多少电’，该怎么计算？而且这条充电曲线，不同位置的‘倾斜程度’不一样，这和充电速度有什么关系？’’ 【设计意图】 1. 生活关联性强：手机充电是每日必做的事，学生有直观体验，能快速代入问题情境； 2. 统领核心知识点：既覆盖了“平均变化率（平均充电速度）”与“瞬时变化率（瞬时充电速度）”的对比，又通过“曲线倾斜程度”自然衔接课本“切线斜率”的几何意义，同时呼应“变化率定量刻画局部变化”的导数本质； 3. 激发探究欲：以“充电变慢”的常见现象和“精准计算某一刻充电速度”的实际需求为切入点，让学生感受到研究变化率的现实意义，主动探索“如何用数学方法量化局部变化”，契合极限思想的渗透逻辑。 导入：“跳水运动员的速度如何精准刻画？” ——某跳水运动员起跳后，重心相对于水面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为h(t)＝－4.9t²＋2.8t＋11。 请思考： · 该运动员在0≤t≤1这段时间内的平均速度是多少？ · 如何精准描述运动员在t＝1s这一时刻的速度？ · 这个“瞬时速度”与平均速度有什么区别和联系？ 【设计意图】以学生熟悉的跳水运动为情境，从具象的平均速度切入，引发学生对“瞬时速度”的探究兴趣，自然过渡到本节课的核心问题，让学生体会“从平均到瞬时”的探究必要性，为极限思想的引入铺垫。 探究点1：平均变化率（平均速度）的计算 微积分相关历史介绍： 为了描述现实世界中的运动、变化现象，在数学中引入了函数.刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念.在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑. 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关.一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等.历史上科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分. 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具. 在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想.通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义. 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数函数”比“直线上升”快得多．进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题． 探究点2：瞬时变化率（瞬时速度）的求解 情景一：高台跳水运动员的速度 问题1：在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：m）与起跳后的时间（单位：s）存在函数关系 ． 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 师生活动：直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快．我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态． 例如：在这段时间里， ； 在这段时间里， 一般地，在这段时间里， ． 追问1：计算运动员在这段时间里的平均速度，你发现了什么？ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 师生活动：我们发现，运动员在这段时间里的平均速度为0．显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态．因此，平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instantaneous velocity）． 设计意图：让学生掌握用平均速度近似描述运动员的运动状态的方法，并发现平均速度不能准确刻画运动员的运动状态，体会研究瞬时速度的必要性. 问题2：瞬时速度与平均速度有什么关系？ 师生活动：引导学生认识瞬时速度与平均速度之间的关系： 设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度. 因此，要刻画运动员在某一时刻处的运动状态，我们不能用静止的观点看待问题，而应用运动变化的观点加以研究. 追问1：你能利用这种关系求运动员在时的瞬时速度吗？ 为了求运动员在时的瞬时速度，我们在之后或之前，任意取一个时刻，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0．当时，在1之后，当时，在1之前．当时，把运动员在时间段内近似看成做匀速直线运动，计算时间段内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在时的瞬时速度．当时，在时间段内可作类似处理．为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格（表5.1-1）． 表5.1-1 当时，在时间段内 当时，在时间段内 －0.01 －4.951 0.01 －5.049 －0.001 －4.9951 0.001 －5.0049 －0.0001 －4.99951 0.0001 －5.00049 －0.00001 －4.999951 0.00001 －5.000049 －0.000001 －4.9999951 0.000001 －5.0000049 … … 思考:给出更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度的值．当无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？ 师生活动：学生利用信息技术工具演示平均速度(与)的情况，让上述表格中的数据更多。同时，学生观察上面两个表格，给出发现的结论，教师点评后总结出结论：随着时间间隔的不断变小，平均速度不断地接近于常数. 进一步地，教师让学生思考常数的意义，教师在此基础上进行点评总结，并解释符号“”的意义. 追问2：你认为上述列表计算瞬时速度的过程可靠吗? 师生活动：教师提出问题后让学生讨论，选若干学生发言.教师点评学生的发言，启发学生认识到：从前面计算的平均速度的值，我们发现“随着时间间隔的不断变小，平均速度不断地接近于常数”,但这种计算是有限的，不能断定平均速度是否永远具有这种特征，所以需要寻求更为精确的方法加以“说明”. 接着，教师引导学生利用解析式说明上面发现的结论：随着时间间隔的不断变小，平均速度不断地接近于常数.具体说明过程如下： 事实上，由. 可以发现，当无限趋近于0时，也无限趋近于0，所以无限趋近于．这与前面得到的结论一致． 数学中，我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为 ． 从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度．因此，运动员在时的瞬时速度． 设计意图：借助信息技术工具，从数值和解析式两个维度观察平均速度的变化趋势，让学生经历用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，理解瞬时速度就是平均速度的极限，并由此初步体会极限思想，体会“用运动变化的观点研究问题”“以直代曲”等微积分思想. 例：1．某物体的运动方程为（位移单位：，时间单位：），若，则下列说法中正确的是（    ） A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度 【答案】C 【详解】由， 可知，是物体在这一时刻的瞬时速度. 故选：C 2.一物体的运动方程为，则其在 时瞬时速度为1． 【答案】 【详解】． 因为瞬时速度为1，故，即． 故答案为： 探究点3：抛物线在某点处的切线斜率 情景二：抛物线的切线斜率 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线为例进行研究． 问题3：你认为与曲线有且只有一个公共点的直线，一定是曲线的切线吗? 师生活动：给出问题后，引导学生回顾已经学习过的直线与曲线的位置关系并举出反例，如“观察直线与抛物线只相交于一点”,学生根据直觉，得到直线不是抛物线在点处的切线. 追问1：你认为应该如何定义抛物线在点处的切线？ 师生活动：与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线在点处的切线，我们通常在点的附近任取一点，考察抛物线的割线的变化情况． 思考：如图5.1-1，当点沿着抛物线趋近于点时，割线有什么变化趋势 教师利用信息技术工具，观察当点沿着抛物线趋近于点时，割线的变化趋势？（几何画板动态展示），学生观察变化过程中的变化趋势问题并总结。 我们发现，当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线． 问题4：我们知道，斜率是确定直线的一个要素．如何求抛物线在点处的切线的斜率呢？ 追问1：根据以上的探究，割线的斜率与切线的斜率之间具有怎样的关系？ 师生活动：引导学生认识：抛物线在处附近的某一区间内的割线斜率情况，当区间长度很小时，割线近似替代切线，于是可以用割线斜率近似表示切线斜率.可以想象，如果不断缩短区间长度，那么在该区间内割线斜率变化就越来越小，从而在区间内的割线斜率就越来越趋近于在处的切线斜率. 因此，要研究抛物线在处的切线斜率，我们不能用静止的观点看待问题，而应用运动变化的观点加以研究. 追问2：你能利用这种关系求抛物线在点处的切线的斜率吗？ 师生活动：对于给定的区间间隔,记（可以是正值，也可以是负值，但不为0），则点的坐标是，故可以先计算抛物线在区间内的割线斜率，即： ， 观察当取正值不断趋近于0时，割线斜率有什么变化趋势； 当取负值不断趋近于0时，能否得出同样的结论？ 教师利用信息技术演示，通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度，得到如下表格（表5.1-2）． 表5.1-2 －0.01 1.99 0.01 2.01 －0.001 1.999 0.001 2.001 －0.0001 1.9999 0.0001 2.0001 －0.00001 1.99999 0.00001 2.00001 －0.000001 1.999999 0.000001 2.000001 … … 思考：利用计算工具计算更多割线的斜率的值，当无限趋近于0时，割线的斜率有什么变化趋势？ 师生活动：学生利用信息技术工具演示割线的斜率(与)的情况，让上述表格中的数据更多。同时，学生观察上面两个表格，给出发现的结论，教师点评后总结出结论：当无限趋近于0时，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线的斜率都无限趋近于2． 事实上，由可以直接看出，当无限趋近于0时，无限趋近于2．我们把2叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为： ． 从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点无限趋近于点，于是割线无限趋近于点处的切线．这时，割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率．因此，切线的斜率，即： . 因此，当横坐标间隔无限变小，趋近于0时，曲线过该点的割线斜率的极限值就是曲线在该点处的切线的斜率 问题5：观察问题1中的函数的图象（图5.1-2），平均速度的几何意义是什么？瞬时速度呢？ 师生活动：直接利用函数的图象，引导学生认识平均速度，瞬时速度的几何意义得到： （1）平均速度是抛物线在点，的割线的斜率； （2）瞬时速度是抛物线在点处的切线斜率. 设计意图:让学生跳出高台跳水运动的实际背景，从函数图象上理解平均速度与瞬时速度的几何意义.同时也为后续给出导数的几何意义作铺垫.    1.（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平均变化率 【分析】由平均速度的定义求解即可. 【详解】由题意可得平均速度是. 故选：A 2.(24-25高二下·广东清远·期中）设函数在处存在导数为2，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【知识点】导数（导函数）概念辨析 【分析】根据给定条件，利用导数的定义计算得解. 【详解】由导数的定义可知. 故选：A 3.（24-25高二下·四川成都·期中）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】平均变化率 【分析】根据函数解析式计算求解. 【详解】因为函数， 则. 故选：D. 4.（24-25高二下·全国·课后作业）设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】利用导数的定义计算求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C 5.（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）若，则（   ） A． B．3 C．6 D． 【答案】C 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接求解. 【详解】依题意，. 故选：C 6.（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据函数单调性以及曲线在某一点导数的几何意义可知. 【详解】由题可知：函数为单调递增且为上凸函数，所以，即. 故选：B 7.（24-25高二下·海南海口·期中）一物体做直线运动，其位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系是，则物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据导数的运算公式，求得，得到的值，即可求解. 【详解】由题意知，位移与时间的关系是，可得， 可得. 故选：C. 8.（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知是函数的导函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】可根据导数的定义对所给极限式子进行变形，进而得出结果. 【详解】已知， 故选：B. 9.（24-25高二下·江西·阶段练习）若函数在处可导，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】导数（导函数）概念辨析 【分析】根据给定条件，利用导数的定义求出极限值. 【详解】依题意，. 故选：D 10.（24-25高一下·福建福州·期中）设函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数（导函数）概念辨析 【分析】根据导数的定义，变形求解. 【详解】因为，所以 故选：B 故选：B 1.（24-25高二下·河北石家庄·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（   ） A． B．（为自然数的底数） C． D． 【答案】B 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的定义进行运算判断即可. 【详解】A：函数在区间上的平均变化率为； B：函数在区间上的平均变化率为； C：函数在区间上的平均变化率为； D：函数在区间上的平均变化率为； 因为， 所以选项的函数在区间上的平均变化率最大， 故选： 2.（2025高二·全国·专题练习）某探测器从距离月球表面15000m处开始实施动力下降，逐步将探测器相对月球的纵向速度从约1700m/s降为0m/s．12min后，探测器成功在月球预选地着陆．记探测器与月球表面距离的平均变化率为v，相对月球的纵向速度的平均变化率为a，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】平均变化率 【分析】结合题意，由平均变化率的计算可得. 【详解】探测器与月球表面距离逐渐减小，直至着陆时，距离为0m， 故． 探测器的速度逐渐减小，直至着陆时，探测器相对月球的纵向速度降为0m/s， 故． 故选：B． 3.（24-25高二下·广西南宁·期中）已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位:cm）与时间t（单位:s）的函数关系式为.当时，液体上升高度的瞬时变化率为cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ） A．2 cm/s B．4 cm/s C．6 cm/s D．8 cm/s 【答案】B 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、求某点处的导数值 【分析】由导数的定义先求，由求出，进而得代入即可求解. 【详解】由有，当时，，即，所以，解得或（舍去）， 当时，，即当时，液体上升高度的瞬时变化率为， 故选：B. 4.（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 【答案】D 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】由导数的定义得，故D正确. 故选：D · 知识清单： 1. 本节课学习的概念有哪些？ (1) 平均速度、瞬时速度的概念及其关系。 (2) 瞬时速度的求法。 (3) 曲线割线与切线斜率的概念及其关系。 (4) 曲线切线斜率的求法。 (5) 平均速度与割线斜率、瞬时速度与切线斜率的关系。 · 方法归纳：定义法（求平均变化率）、极限法（求瞬时变化率、切线斜率）、类比迁移法（从物理到几何）。 · 常见误区： （1）混淆平均变化率与瞬时变化率，忽略“瞬时”需通过极限求解； （2）误解“Δt→0”，认为Δt＝0； （3）计算Δy（或Δs、Δf）时出错，导致后续结果偏差。 教科书第61-62页练习第2、3题，P70页习题5.1第3、7题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $