4.2.2 等差数列的前n项和公式（第2课时）（教学设计）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学教学设计聚焦等差数列前n项和公式的深化应用与性质探究，涵盖最值问题、片段和性质及含绝对值求和。以“共享单车停放区设计”“报告厅座位安排”等真实情境导入，衔接第1课时基础公式，搭建从直接计算到综合应用的学习支架。 这份资料特色鲜明，通过真实情境与《张丘建算经》织布问题渗透数学建模，引导学生用数学眼光观察现实世界。借助Sₙ与二次函数关联的数形结合、片段和性质的逻辑推理，落实数学思维与运算素养。分层例题与变式训练助力学生突破抽象性质理解难点，为教师提供清晰的素养培养路径与实用教学资源。

4.2.1 等差数列的前n项和公式（第2课时） 教学设计 1.教学内容 本节课是《等差数列的前n项和公式》第2课时，重点在于公式的深化应用与性质探究。课程引导学生利用公式解决实际问题，如报告厅座位安排、资源规划等，建立等差数列模型。关键内容涉及前n项和的最值问题（通过通项符号分析或二次函数性质求解），以及重要性质如片段和性质（成等差数列）和求和比值关系。此外还专门探讨了含绝对值的等差数列求和问题，需要分段讨论处理。课程强调数形结合与函数思想，通过综合例题培养学生的逻辑推理、数学运算及数学建模核心素养，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。 2.内容解析 本节课是《等差数列的前n项和公式》的第二课时，属于公式的深化应用与性质拓展阶段。内容分析表明，其知识本质在于利用等差数列的“对称性”和“等差性”进行公式变形与应用，将不同数的求和问题转化为相同数的运算。教学内容主要涵盖三个层面：一是公式的实际应用，通过报告厅座位、织布问题等现实情境建立数学模型，体现数学建模思想；二是前n项和的性质探究，包括片段和性质（如()成等差）、和比关系以及最值问题（可通过分析通项符号或利用其二次函数特征求解）；三是综合问题的处理，特别是含绝对值的求和，需要分段讨论，这要求学生具备分类整合的数学思想。 本节课贯穿了函数与方程、数形结合、分类讨论等核心数学思想方法。其育人价值在于通过从实际背景抽象出数学模型，再到严谨的代数推导与性质证明，培养学生逻辑推理、数学运算的核心素养，并使其深刻体会数学的应用价值与系统性。教学关键在于引导学生实现从掌握基本公式到灵活运用性质解决复杂问题的能力跃升。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探究等差数列前n项和的性质，并运用其解决最值与实际应用问题。 1.教学目标 （1）通过等差数列的前n项和公式的变形应用，体会等差数列前n项和与一元二次函数表达式的关联，培养学生的逻辑推理核心素养； （2）通过等差数列的前n项和的性质的探究与应用，进一步培养学生的数学运算核心素养； （3）通过等差数列的前n项和公式在实际生活中的应用，使学生再一次认识到数学来源于生活，又服务于生活.同时发展学生善于观察生活的优秀品格，培养学生数学建模核心素养. 2.目标解析 （1）该目标旨在引导学生将代数公式与函数图象建立联系。通过将和公式变形为Sₙ=An²+Bn，学生能直观理解其二次函数特征，如图象开口、对称轴与最值的关系。这一过程不仅深化对公式结构的理解，更通过数形结合提升从代数形式到几何直观的逻辑推理能力。 （2）此目标聚焦等差数列片段和（如成等差）等性质的发现与推导。要求学生进行精确的代数运算，从特殊案例归纳一般规律，并严谨证明。这能有效训练其运算技巧和从具体到抽象的归纳能力，是数学运算素养的关键培养路径。 （3）该目标强调数学建模的完整过程。学生需从“共享单车停放”、“报告厅座位安排”等现实问题中识别等差模型，抽象为数学问题，利用公式求解并回归实际解释结果。这深刻体现了数学的应用价值，培养学生观察生活、提炼模型的意识和能力。 已有知识及掌握程度 学生已系统学习过等差数列的概念、通项公式以及前n项和公式（第1课时），能够运用公式进行基本计算。对数列作为特殊函数的性质有初步认知，并具备一次函数、二次函数的图象与性质的知识基础。多数学生能解决已知首项、公差、项数求和的直接应用问题，但对公式的深层结构和函数背景理解尚浅。 预估教学困难 性质理解的抽象性：学生难以自发发现并理解“片段和性质”（如成等差）等抽象规律，其推导过程涉及整体代换与逻辑推理，易产生思维障碍。 公式与函数的关联障碍：将前n项和公式Sₙ视为关于n的二次函数，并利用其对称性、最值等函数性质解决数列问题，需要实现从离散数列到连续函数的思维跨越，此为关键难点。 实际应用中的建模困难：将“报告厅座位安排”等实际问题准确转化为等差数列模型，并灵活选用公式或性质求解，对学生分析问题和建立数学模型的能力提出较高要求，易出现题意理解偏差或模型建立不准确的情况。 解决策略，针对上述困难，教学中将采用以下策略： 搭建认知阶梯：通过具体数字计算特殊案例（如计算S₃, S₆-S₃, S₉-S₆），引导学生观察、归纳规律，再过渡到一般性证明，化解抽象性。 强化数形结合：并列呈现Sₙ的数值表格与对应的二次函数图象，直观展示项数n与和Sₙ的对应关系，辅以几何画板等工具动态演示，帮助学生建立函数模型。 深化建模引导：采用问题串形式，引导学生逐层分析实际问题中的已知量（如排数、公差）、未知量（如首项），明确建模步骤，通过典型例题的变式训练巩固应用能力。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：将前n项和公式与二次函数性质关联，并运用片段和等性质解决实际应用中的最值问题。 情境引入 小明家的‘阳光小区’就遇到了一个‘甜蜜的烦恼’：共享单车的停放问题，停放区设计不够合理，高峰期车辆经常摆放混乱，甚至溢出到人行道上，既不美观，也存在安全隐患。” 小明设计了：阶梯式的共享单车停放区，第一排放20辆车位，往后每一排都比前一排多5个车位。 物业采纳小明的设计，需要向小区管委会申请建设资金，必须准确计算出：如果这个新停放区计划修建15排，那么总共能停放多少辆共享单车？ 这个总数直接关系到预算的审批。” 教师：这就需要用到本节课要学习的等差数列的前n项和公式的应用. 预设：建立等差数列模型解决实际问题 设阶梯式停车从第1排到第15排，各排的停车位数依次排成一列， 构成数列，其前15项和为. 根据题意，数列是一个公差为5的等差数列，且． 由， 因此，修建15排，总共能停放825辆共享单车. 设计意图：以社区真实问题为背景，激发学习兴趣，引导学生自然进入等差数列求和的实际应用情境，体会数学建模价值. 教学建议：建议先引导学生自主提取关键信息（首项、公差、项数），尝试列式，再小组讨论不同解法。教师最后点拨公式选择依据，强化建模思维. 例7 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位．问第1排应安排多少个座位． 师生：教师引导学生分析问题，将实际问题转化成等差数列的求和问题，即建立等差数列模型：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列．设数列的前项和为．由题意可知，是等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前项和公式求首项． 预设：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且． 由，可得． 因此，第1排应安排21个座位 设计意图：通过实际生活情境问题引入新课，引导学生利用等差数列模型刻画实际问题，进一步体会等差数列前n项和公式的应用. 问题1：从上述引例情境和例8的的探究中，你能总结一下建立数列模型解决实际问题的基本步骤吗? 师生：教师引导学生归纳 1）先将实际问题转化为数列问题，即用一个等差数列来表示实际问题中呈等差关系变化的量； 2）利用等差数列的通项公式和前n项和公式建立关于未知量的方程； 3）通过解方程使问题获解. 牛刀小试： 练1：《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有这样一个问题：“今有女善织，日益功疾。初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何?”其意思为：“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布.第一天织5尺，一个月(按30天计)共织390尺，问：每天多织多少布?”已知1匹=4丈，1丈=10尺，试计算该女子每天多织的布为多少尺. 师生：教师引导学生将该数学史问题转化成等差数列的求和问题，即该女子每天织布的数量从第1天起依次构成一个首项为5的等差数列,从而利用前30项的和,即可求出该数列的公差，也就是该女子每天多织的布的数量. 预设：设该女子从第1天到第30天，各天的织布数数依次排成一列，构成数列，其前项和为根据题意，数列是一个首项为的等差数列，且． 由，可得． 因此，该女子每天多织的布为尺. 设计意图：通过等差数列前n项和公式的综合应用，让学生进一步体会建立数列模型解决实际问题的思想方法。 例9. 已知等差数列的前项和为，若，公差，则是否存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由． 分析：由和，可以证明是递减数列，且存在正整数，使得当时，，递减．这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和． 另一方面，等差数列的前项和公式可写成，所以当时，可以看成二次函数当时的函数值．如图4.2-4，当时，关于的图象是一条开口向下的物物线上的一些点．因此，可以利用二次函数求相应的，的值． 解法1：由，得，所以是递减数列． 又由，可知： 当时，；当时，；当时，． 所以 ． 也就是说，当或6时，最大． 因为，所以的最大值为30． 解法2：因为． 所以，当取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30． 方法规律：等差数列前项和的最值 (1)在等差数列中, 当时,有最大值,使取得最值的可由不等式组确定; 当时,有最小值,使取到最值的可由不等式组确定. (2),若,零的二次函数的角度中:当时,有最小值;当时,有最大值.当取最接近对称轴的正整数时,取到最值. 等差数列前n项和公式的函数特征 思考：已知数列的前项和为，其中，，为常数，且，求数列的通项公式，并说说你有什么发现？ 师生：教师和学生一起复习已知前n项和求通项公式的方法，即，再结合通项公式探究. 当时，， 当时，. 所以，当时，，满足， 即：，此时数列为等差数列，且公差为. 当时，，不满足， 即：，此时数列从第二项起为等差数列，且公差为. 综上，已知数列的前项和为，其中，，为常数，且， 当时，数列为等差数列，且首项为，公差为. 当时，数列从第二项起为等差数列，且公差为. 等差数列的前n项和，其中. 牛刀小试 练2. 在等差数列中，，，求的最小值以及相对应的n值． 预设：方法一（单调性法）设等差数列的首项为，公差为d， 则有解得， 则， ∴ 当即时，有最小值， 解得， ∴当或时，取得最小值，最小值为． 方法二（配方法）由方法一得 ∴， ∴当或时，取得最小值，最小值为． 题型一：片段和性质的应用 例题：若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为（    ） A．30 B．70 C．50 D．60 预设：∵在等差数列中，，，也成等差数列， ∴ ， ∴ ，∴． 故选:C. 题型二：“和比”求“项比” 例题 等差数列的前项和分别为，已知，则的值为 . 解析：由等差数列性质可得，同理可得， 所以，由可得；因此. 题型三：等差数列前n项和的单调性与对称性问题 例题：在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 解析：等差数列的前n项和是关于n的二次函数，由二次函数的对称性及，，得， 解得，所以正整数k为2023．故选：D 题型四：等差数列，求数列的前n项和问题 例题 已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由; (2)记数列的前项和为，若，求. 预设：（1）当时，， 当时，有， 又因为，所以当时，也成立， 因此数列的通项公式为， 数列是等差数列，理由如下： 因为， 所以数列是等差数列； （2）令，解得且， 当时，， 可得； 所以，又因为，所以， 当时，， 可得 ， 令，解得或（舍去）， 所以. 方法规律：等差数列，求数列的前n项和问题 求数列的的前n项和实际上是求数列前n项和的绝对值之和.由绝对值的意义，我们必须分清这个数列的哪些项是负数，哪些项是非负数，然后再分段求前项各项的绝对值之和. 1．（25-26高三上·河北·月考）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 预设：因为是等差数列，且，，所以，，所以. 故选：A. 2．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设等差数列的前项和分别为．若，则（    ） A． B． C． D．2 预设：由题意得，因为，所以，故A正确. 故选：A. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为 ． 预设：设公差为，因，，则， 即，解得，，当时，取得最大值，最大值为49． 故答案为：49. 4．（24-25高二上·天津滨海新·期末）（多选）设等差数列的前项的和为，公差为，已知，，，则（     ） A． B． C． D．时，的最小值为14 预设：由题意，，而，可以判断是递减数列，所以，C正确，而，D错误； 又，所以，B错误；而，A正确. 故选：AC 5．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知等差数列的前项和为，其中． (1)求数列的通项公式 (2)求数列的前10项的和． 预设：（1）设等差数列的公差为，由，则，公差， 所以等差数列首项，公差，∴ （2）令，得，则前2项为负数，从第3项起为正数， ∴ 1．设等差数列的公差为为其前n项和，则仍构成等差数列，且公差为 ． 【答案】 2．公式可化成关于n的表达式：．当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的 函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次多项式，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 【答案】 3．等差数列前n项和的最值 （1）在等差数列中， 当时，有 值，使取得最值的n可由不等式组确定；当时，有 值，使取到最值的n可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有 值；当时，有 值．当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 答案： 巩固作业：教科书第24页练习第3题 教科书第25页习题4.2第7,8题 拓展作业：教科书第24页练习第5题 4.2.2 等差数列的前n项和公式 (第2课时) 1. 片段和性质： 2. 函数特征： 3. 最值： 4. 例题区：（学生板演区域） 本节课围绕等差数列前n项和公式的应用展开教学，以“共享单车停放区设计”的真实情境导入，有效激发了学生的学习兴趣，使其感受到数学建模的实际价值。教学重点突出对公式函数特征的理解及片段和等性质的探究，通过例题层层递进，引导学生从代数运算与函数图象两个角度分析问题，促进了逻辑推理与数学运算素养的落实。然而，部分学生在将离散的数列求和与连续的二次函数性质进行关联时仍存在思维障碍，对“倒序相加法”推导性质的理解不够深入。此外，在解决含绝对值的求和问题时，学生的分类讨论意识有待加强。今后教学需进一步增加数形结合的直观演示，如利用图形计算器动态展示Sₙ随n的变化趋势，并设计更多小组合作探究活动，让学生在交流中突破认知难点，同时加强从实际问题中抽象出等差数列模型的训练，提升数学应用能力。 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $