学易金卷：高二数学上学期第三次月考（北京专用）（范围：人教B版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何到选择性必修第二册第三章排列组合与二项式定理）

2025-2026学年高二数学上学期第三次月考（人教B版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何到选择性必修第二册第三章排列组合与二项式定理。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，若，则（   ） A． B．6 C． D． 2．圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线和平行，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 5．若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙相邻的种数为（    ） A．48 B．60 C．72 D．90 6．如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．已知甲、乙两人通过“石头、剪刀、布”决定谁先开始游戏，规则为：每局中两人出法相互独立，且出石头、剪刀、布的概率均为，若两人出法不同则直接定胜负（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），若出法相同则重新开局．记“甲在第1局或第2局获胜”为事件A，则（   ） A． B． C． D． 8．已知圆，若直线与圆相交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．2 9．已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（   ） A． B． C． D． 10．集合，集合，若中有8个元素，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若点.，则线段中点坐标 . 12．已知，则 ； ． 13．抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件为“2个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是 ． 14．设抛物线的焦点为，过点的直线与相交于，两点，点在轴上方，且，则直线的方程为 ，的面积为 . 15．四叶草曲线是数学中的一种曲线，其方程为，给出下列结论正确的有 ①．曲线有2条对称轴 ②．曲线上两点之间的最大距离为 ③．曲线经过5个整点（横、纵坐标都是整数的点） ④．四个叶片围成的区域面积小于 3、 解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分）已知直线与直线的交点为， (1)直线经过，且与直线垂直，求直线的方程： (2)直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 17．（13分）已知圆的方程为． (1)求实数的取值范围； (2)若圆与直线交于，两点，且，求的值． 18．（14分）将4个编号为的小球放入4个编号为的盒子中． (1)有多少种放法？ (2)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 19．（15分）已知的展开式中，各项的系数之和为729. (1)求的值； (2)求展开式中第三项的二项式系数和第三项； (3)求展开式的常数项． 20．（15分）已知椭圆的离心率为，短轴长为. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 21．（15分）在平面直角坐标系中，已知点，点为圆：上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若直线与直线分别交于点，，求证：，两点的纵坐标之积为定值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12． ____________________ 13． ____________________ 14．___________________ 15.____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考（人教B版） 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C A A A A B B C A 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11． 12． 13． 14. 15.②③④(答对1个或2个得3分，错1个0分) 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分） 【详解】（1）联立，解得，即， 由与直线垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即；（6分） （2）当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设直线的方程为， 因为，且，所以， 故此时直线的方程为； 综上可知，直线的方程为或.（13分） 17．（13分） 【详解】（1）方程可化为， 此方程表示圆，，即， 故实数的取值范围是；（6分） （2） 由（1）可得圆心，半径， 如图，过点作于点，则， 圆心到直线的距离为， 由图可得：，即， 解得：． 即的值为2.（13分） 18． 【详解】（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法．（4分） （2）（方法1）先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有种投放方法，故共有（种）放法． （方法2）先取4个球中的两个“捆”在一起，有种选法， 把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法，所以共有（种）放法．（9分） （3）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有（种）放法． （方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法， 第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法，由分步计数原理得，共有（种）放法．（14分） 19．（15分） 【详解】（1）由题设，令有，可得；（4分） （2）由（1）得，则展开式通项为，， 所以，第三项的二项式系数为，第三项为；（9分） （3）由（2），令，即，故常数项为.（15分） 20．（15分） 【详解】（1）由题意，得，解得， 则椭圆C的方程为.（6分） （2）设， 联立，得， 则，解得， 且， 所以， 点到直线的距离为，    则，解得或，满足， 则或.（15分） 21．（15分） 【详解】（1）    由题可得，圆心，半径，又线段的垂直平分线交半径于点， 所以，所以， 所以点的轨迹是以,为焦点的椭圆，设椭圆的方程为， 则，，故，所以的方程为；（4分） （2）由题，，，所以，所以直线过，斜率为， 则直线的方程为：，联立方程组， 化简得，则， 即直线与椭圆只有一个公共点，所以直线与椭圆相切；（9分） （3）证明：设，，，则线段中点， 直线：，即， 当时，， 当时，， 所以， 又，即， 所以， 所以,两点的纵坐标之积为定值．（15分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学上学期第三次月考（人教B版） 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 12. 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共6个小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(13分) 17.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 0.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考（人教B版）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何到选择性必修第二册第三章排列组合与二项式定理。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，若，则（   ） A． B．6 C． D． 2．圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线和平行，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 5．若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙相邻的种数为（    ） A．48 B．60 C．72 D．90 6．如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．已知甲、乙两人通过“石头、剪刀、布”决定谁先开始游戏，规则为：每局中两人出法相互独立，且出石头、剪刀、布的概率均为，若两人出法不同则直接定胜负（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），若出法相同则重新开局．记“甲在第1局或第2局获胜”为事件A，则（   ） A． B． C． D． 8．已知圆，若直线与圆相交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．2 9．已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（   ） A． B． C． D． 10．集合，集合，若中有8个元素，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若点.，则线段中点坐标 . 12．已知，则 ； ． 13．抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件为“2个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是 ． 14．设抛物线的焦点为，过点的直线与相交于，两点，点在轴上方，且，则直线的方程为 ，的面积为 . 15．四叶草曲线是数学中的一种曲线，其方程为，给出下列结论正确的有 ①．曲线有2条对称轴 ②．曲线上两点之间的最大距离为 ③．曲线经过5个整点（横、纵坐标都是整数的点） ④．四个叶片围成的区域面积小于 3、 解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分）已知直线与直线的交点为， (1)直线经过，且与直线垂直，求直线的方程： (2)直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 17．（13分）已知圆的方程为． (1)求实数的取值范围； (2)若圆与直线交于，两点，且，求的值． 18．（14分）将4个编号为的小球放入4个编号为的盒子中． (1)有多少种放法？ (2)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 19．（15分）已知的展开式中，各项的系数之和为729. (1)求的值； (2)求展开式中第三项的二项式系数和第三项； (3)求展开式的常数项． ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 20．（15分）已知椭圆的离心率为，短轴长为. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 21．（15分）在平面直角坐标系中，已知点，点为圆：上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若直线与直线分别交于点，，求证：，两点的纵坐标之积为定值． 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考（人教B版） 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何到选择性必修第二册第三章排列组合与二项式定理。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，若，则（   ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【详解】因，故， 所以， 化简得：，. 故选：B. 2．圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，故该圆的圆心为，半径为. 故选：C. 3．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为抛物线的开口向左， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：A. 4．已知直线和平行，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】由于两直线平行， 所以， 解得. 故选：A 5．若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙相邻的种数为（    ） A．48 B．60 C．72 D．90 【答案】A 【详解】把甲､乙捆绑在一起，则甲､乙相邻的种数为， 故选：A 6．如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意， . 故选：A 7．已知甲、乙两人通过“石头、剪刀、布”决定谁先开始游戏，规则为：每局中两人出法相互独立，且出石头、剪刀、布的概率均为，若两人出法不同则直接定胜负（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），若出法相同则重新开局．记“甲在第1局或第2局获胜”为事件A，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，在一次比赛中，试验的基本事件的空间共有9个基本事件组成， 其中甲获胜的包含3个基本事件，所以甲在一次试验中获胜的概率与平局的概率均为， 又由事件“甲在第1局或第2局获胜”，记事件“甲在第1局获胜”，事件“在第1局平局，第2局甲获胜”， 可得事件互斥，且， 所以事件的概率. 故选：B.    8．已知圆，若直线与圆相交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【详解】圆，即，圆心，半径， 直线，即，恒过定点， 由，则点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小，此时， 所以的最小值为. 故选：B 9．已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为等轴双曲线的实轴长为， 则双曲线的半焦距， 所以双曲线方程为，则渐近线方程为， 则，所以， 由，即为的中点，又为的中点， 所以，则，， 所以为等腰直角三角形，所以. 故选：C 10．集合，集合，若中有8个元素，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若中有8个元素，即曲线与圆有8个交点， 对于曲线， 用替换，方程不变，可得曲线关于y轴对称； 用替换，方程不变，可得曲线关于x轴对称； 圆的圆心为，半径，且关于x、y轴对称， 可知曲线与圆在第一象限内有2个交点， 若，曲线即为， 联立方程，消去y可得， 构建，则的图象开口向上，对称轴为， 可知在内有两个零点，注意到， 则，解得， 可得，， 原题意等价于在内有两个零点， 且， 可知符合题意，所以a的取值范围是. 故选：A. 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若点.，则线段中点坐标 . 【答案】 【详解】由中点坐标公式可得：线段中点坐标，即. 故答案为：. 12．已知，则 ； ． 【答案】 【详解】令，则， 又， 故， 令，则， 令，则，故 故答案为：. 13．抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件为“2个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是 ． 【答案】 【详解】抛掷2颗骰子的试验有个基本事件，其中事件有30个基本事件，事件有8个基本事件， 则，，所以. 故答案为： 14．设抛物线的焦点为，过点的直线与相交于，两点，点在轴上方，且，则直线的方程为 ，的面积为 . 【答案】 【详解】由焦点为，得，则， 设直线的方程为，，则， 由，得，解得， 因为点在抛物线上，所以，解得， 则，将点的坐标代入直线方程，得，解得， 故直线的方程为，即； 将代入中，得， 则，所以， 故. 故答案为：；    15．四叶草曲线是数学中的一种曲线，其方程为，给出下列结论正确的有 ①．曲线有2条对称轴 ②．曲线上两点之间的最大距离为 ③．曲线经过5个整点（横、纵坐标都是整数的点） ④．四个叶片围成的区域面积小于 【答案】②③④ 【详解】对于①，由曲线的方程， 用代换，方程不变，所以曲线关于轴对称； 用代换，方程不变，所以曲线关于轴对称； 用代换，用代换方程不变，所以曲线关于轴对称； 用代换，用代换方程不变，所以曲线关于轴对称， 所以曲线有4条对称轴，所以①错误； 对于②，设曲线上点到原点的距离为， 因为，所以，当且仅当时，取等号， 又因为， 即，解得，所以， 用代换，代换，方程不变，所以曲线关于原点对称， 所以曲线上两点的距离为，即最大距离为，所以②正确； 对于C，由曲线经过点，共计5个整点，所以③正确； 对于D，因为以原点为圆心，半径为的圆的面积为， 其中四个叶片围成的区域在以原点为圆心，半径为的圆内， 所以四个叶片围成的区域的面积小于，所以④正确. 故选：②③④. 3、 解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分）已知直线与直线的交点为， (1)直线经过，且与直线垂直，求直线的方程： (2)直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）联立，解得，即， 由与直线垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即； （2）当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设直线的方程为， 因为，且，所以， 故此时直线的方程为； 综上可知，直线的方程为或. 17．（13分）已知圆的方程为． (1)求实数的取值范围； (2)若圆与直线交于，两点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方程可化为， 此方程表示圆，，即， 故实数的取值范围是； （2） 由（1）可得圆心，半径， 如图，过点作于点，则， 圆心到直线的距离为， 由图可得：，即， 解得：． 即的值为2. 18．（14分）将4个编号为的小球放入4个编号为的盒子中． (1)有多少种放法？ (2)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 【答案】(1)256（种） (2)144（种） (3)12（种） 【详解】（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法． （2）（方法1）先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有种投放方法，故共有（种）放法． （方法2）先取4个球中的两个“捆”在一起，有种选法， 把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法，所以共有（种）放法． （3）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有（种）放法． （方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法， 第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法，由分步计数原理得，共有（种）放法． 19．（15分）已知的展开式中，各项的系数之和为729. (1)求的值； (2)求展开式中第三项的二项式系数和第三项； (3)求展开式的常数项． 【答案】(1)； (2)第三项的二项式系数为，第三项为； (3). 【详解】（1）由题设，令有，可得； （2）由（1）得，则展开式通项为，， 所以，第三项的二项式系数为，第三项为； （3）由（2），令，即，故常数项为. 20．（15分）已知椭圆的离心率为，短轴长为. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意，得，解得， 则椭圆C的方程为. （2）设， 联立，得， 则，解得， 且， 所以， 点到直线的距离为，    则，解得或，满足， 则或. 21．（15分）在平面直角坐标系中，已知点，点为圆：上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若直线与直线分别交于点，，求证：，两点的纵坐标之积为定值． 【答案】(1);(2)直线与椭圆相切，理由见解析;(3)证明见解析. 【详解】（1）    由题可得，圆心，半径，又线段的垂直平分线交半径于点， 所以，所以， 所以点的轨迹是以,为焦点的椭圆，设椭圆的方程为， 则，，故，所以的方程为； （2）由题，，，所以，所以直线过，斜率为， 则直线的方程为：，联立方程组， 化简得，则， 即直线与椭圆只有一个公共点，所以直线与椭圆相切； （3）证明：设，，，则线段中点， 直线：，即， 当时，， 当时，， 所以， 又，即， 所以， 所以,两点的纵坐标之积为定值． / 学科网（北京）股份有限公司 $