三角恒等变换专题练习-2026届高三数学二轮专题复习

1.2三角恒等变换 目录 题型一：三角恒等变换 题型二：辅助角公式 3 题型三：化简、求值 6 题型四：求角问题 P 综合练习 9 多选题专练 20 题型一：三角恒等变换 tan 例1. 12-=(） tan2π-l 12 A.3 B.3 C. D. 3 6 3 6 3 【答案】A 【分析】逆用正切二倍角公式化简即可 tan n 2tanπ 【详解】由正切二倍角公式可得 2-1. an2π-l21-tan2 2 tan. 6 6 12 12 故选：A 的2已<，m号则。-引() 2 B. D.7 【答案】D 【分析】结合角α的范围，根据二倍角公式计算出角的正、余弦值及正切值，再利用正切 的差角公式计算 【详解】：ae(0,π， 0π 2 (2 又：cosg=V5 25 sin2 20 -+cos 2 =1, .sin a2V5 = 25 0s2-5 cosa=2cos24-1-- a4 ’tana= 3 .sina=2sin2cos】 ina=- 4 2 cosa 3 > tana-1 ∴.tan(a- 3=1 4 1+tana 1 3 故选：D 例3.已知0<B<a<年，且sina-)-3,ana=5tanB,则e+B:（) A B. 5π C. D. 6 6 【答案】D 1 【分t析】由tana=5tanB得sincs=5 sino,又sina-)，得cosasinB=D 进而得sina cos B= ,计算sin(a+B)即可求解 5 【详解】由tana=5tanB→sina=5sinE →sina cosβ=5 sin B cosa, cosa cos B 1 又sin(a-B)=sinB-cossinB=4 ossiB=3月 所以cosa sin B= 12 5 所以sina cos B= 121 511 所以sin(a+β)=sina cos B+cosa sin阝= 2+122 十 又0<B<a<子，所以0<a+B<号 4 所以u+B=6, 故选：D 例4.己知a,B均为锐角，sinacosB=i -cosacosB .v10 ,则cos(a+B)=() 10 A. 3W10 B. V10 C. V10 D. 3v10 10 10 10 10 【答案】B sinacosβ 【分析】易得tana= =2,再分别求得sina,cosa,cosB,sinβ，然后利用两 cosacosβ 角和的余弦公式求解 【详解】tanc= sincreos=2,由a是锐角可得sina=2y5 cosacosβ 5 5 代入题干条件得到cosB=5,由B是锐角可得nB=5。 2 所以cosa+P)=coscop-sinsimp=5x5_25x互_-0 525210 故选：B 题型二：辅助角公式 例l.已知ca,B∈R,sin(a+β)=cosa-sinβ，则sin(a+B)的最大值为 【答案】3-1 【分析】设0=a+B,则a=0-B,由三角恒等变换得sin0=(sin0-l)sinβ+cos0cosB,设 a=sin6-1,b=cos0,利用辅助角公式可得sin0=√a2+b2sin(B+p),从而可得 sin0√a2+b2,代入a,b,整理得sin20+2sin0-2≤0，求解后即可得答案， 【详解】设0=a+阝，则a=0-B, 由sin(a+p=cosa-sinβ， 可得sin0=cos(0-B)-sinB =cos0cosβ+sin0sinβ-sinβ =(sin0-1)sinB+cos0 cos B, 设a=sin0-1,b=cos0, 则有sin0=asinB+bcosB=Va2+b2sin(B+p), b 其中sinp= va2+b2 V√a2+b2 所以sin0≤√a2+b2, 所以sin20≤a2+b2=(sin0-1)2+cos20, 即cos20-2sin0+1≥0， 整理得sin20+2sin0-2≤0， 解得-1-√5≤sin0≤√3-1， 又因为-1≤sin0≤1， 所以-1≤sin0≤√3-1， 所以sin0的最大值为√3-1， 即sin(a+β)的最大值为√3-1. 故答案为：√3-1 例2.设a,Be0, 则sina-B)+2sina+B)的最大值为 【答案】√万 【分析】对sin(a-)+2sin(a+B)展开化简得到：3 sina cosB+cosa sin B,使用辅助角公 式换元化简求出其最大值并检验其是否存在即可」 【详解】对sin(a-)+2sin(a+)展开化简得： =sina cosβ-cosa sinβ+2 sina cosβ+2 cosa sinβ=3 sin a cos B+cosa sin B, 令3sina=A,cosa=B,使用辅助角公式得：AcosB+Bsin B=√A+B2sin(B+p, A 3sina cosa 其中sinp= coS(= A 2+B2 1+8sin2a √A2+B21+8sin2a1 =tan= B =3tand, 故VA2+B2sin(B+p)≤√A+B2=V9sina2+cos2a=V8sin'a+1, 3 故sin(a-B)+2sin(a+B)≤VA+B2≤V8sin'a+l=8x+1=V万 4 当且仅当sin(B+p=1且a=无时取到等号， 0-合3mu[03月，存在mp>am吾-5，使得B+o川， 63 故最大值为√7， 故答案为：√万 例3.已知f八=imc+-boosx,f为f(纠的最大，值f八=25，当an,=号，时 则ab= 【答案】-6 【分析】利用辅助角公式解出x。,代入可得到关于α，b的方程，解方程即得答案 【详解】利用辅助角公式得： f(x)=asinx+bcosx=a2+b2 sin(x+a), 其中a满足cosa= a b va+b 和sina=后+行 这个函数的最大值是√a2+b2, 因此：√a2+b=25, 平方得：a2+b2=20, 在x=时，f)取得最大值，此时x,+Q=交+2kπ，k∈乙Z 即x0 2-a+2kr, π sin -a+2k元 2 cosa tan xo = π cos 2 -a+2kπ sina, a b 又cosa= √a2+b 和sina= a2+b, Q 代入得：tanx,= cosa va'+b a I sina b b 3' Va2+b2 得：b=-3a, 联立 a2+b2=20 b=-3a 解得： a=-2[a=V2 b=32b=-32' 所以ab=-6 故答案为：-6 题型三：化简、求值 例1.若、sin0 =2,则tan0=() 1-cos0 3 4 A. B. C. 2 3-4 D. 【答案】B 1 【分析】根据题意，利用倍角公式和三角函数的基本关系式，求得a22,结合正切的 倍角公式，即可求解 00 0 sin0 2sin-cos cos 【详解】由题意得 2 °2二 2 1 2sin20 = -cos0 0 =2,可得ta 1 2 tan sin 221 0 1 2tan 所以tan0= 2 2× 2、4 20 1-tan 1- 13 4 故选：B 3sin 例2.已知 +sina-3 则cos2a的值为() tan- 2 sina 1 5 1 A. B C. 4 13 3 D. 5 【答案】B 【分析】应用诱导公式和二倍角正余弦公式得tan2g=1-3tang, 再由二倍角正切公式可得 2 tand 3’ 再应用齐次式法求cos2a 3sin 【详解】由 +0 2 +sina-3 20 an 2 sina 得tan2& 3cosa sina-3 2sin sa-6sin2a 2 2=1-3tan a sina 2sin 2c0 2, 2tan 则tana 2 1-tan2g3,而cos2a= cos2a-sin'a 1-tan'a 5 cos2a+sin'a 1+tan'a 13 故选：B 1 例3.若tan0 3 则cos0(1+sin20】 sinθ+cos0 【答*】 【分析】先求出sin0,cos0之间的关系式，然后将其代入原式中进行化简，然后根据 sm9+cos0=1求出sn20=0,最后求得原式的值 【许解】因为a9-行·所以。- cos03所以cos0=35in0 (+sin20)cos0(12sin cos)3sin(1+2sin03sin) 1+6sin20) sin0+cos0 sin0+cos0 sin0+3sin0 因为sin28+cos20=1,所以sin0=10 1 所以ose1+sn20-21+6sin20)=3x89 sin+cos 4 455 故答案为： 6 5 例4.求值 4 tanl0+sinl0°- 【答案】1025 4 【分把A彩为根猛n60恋形，把切化为晚，用积和差公式及和 4 2 差化积公式变形，计算即可得到结果， 【详解】原式=sin60'sin10 +sin10° 2cos10 1 cos70°-cos50）+2sin10°cos10° 2 2cos10 2cos50、1 cos+sin20 2cos10 s2c0s50、1 1 c0s70°+c0s70 2cos10 cos50+c0s70） 2 2cos10 [cos60-10+os60+10] 2cos10 cos60°cos10 2cos10 cos60 2 4· 故答案为： 41 题型四：求角问题 例1.若-至a-B<受osa-2snB=l,sna+2c0月=-5，侧则a-B=（) A B.π 6 c.-3 D. 【答案】A 【分析】将两个等式平方相加，结合同角三角函数的平方关系式和和差角公式可得 s如a-=分，然后结合角的范用可得等案 【详解】由cosa-2sinB=1两边平方可得cos2u-4 cosa sin B+4sin2B=1①， 由sina+2cosB=-√2两边平方可得sin2a+4 sina cos B+4cos2B=2②， ①+②得：sin2au+cos2a+4 sina cos B-cosa sin B)+4cos2p+sin2β=3， 整理得5+4sina-B)=3,即sin(a-B)=2 又因为<a-B<号所以a-B=君 故选：A 例2.若cos2a=sinu,且a∈ 2'2 则a的值为 【答案】碳月 6 【分析】根据二倍角公式对等式进行化简，求出sin,然后根据a的范围求出结果 【详解】因为cos2a=sina,所以1-2sin2au=sina, 化简得2sin2a+sina-1=0,解得sina=-1±1+8--1±3 4 4 所以sina=。或sina=-l,因为a∈ π元 2'2 所以a=或a=- 6 2 故答案为：”或 6 2 例3.若0≤a<B<y<2π，B-a<π且sina+sinβ+siny=0,cosa+cosβ+cosy=0,求 B-u的值 【答案】B-a=2 3 【分析】法一：将sino+sinB=-siny,coso+cosB=-cosy两侧平方相加，应用差角余弦 公式得cosB-a)=-2,结合角的范围确定大小，法二：应用向量法，设a=(cosa,sina, b=(cosB,sinB),c=(cosy,siny),根据已知得向量a,b,c构成首尾相连的等边三角形，即可 得 【详解】法一：sina+sinB=-siny,cosa+cosB=-cosy,平方相加即得cosB-a)=- 又0<B-a<元，所以B-a=2 3 法二：设a=(cosa,sina),b=(cosB,sinB),c=(cosy,siny), 因为cosa+cosβ+cosy=0,sina+sinβ+siny=0,所以a+b+c=0. 所以向量ā6，c构成首尾相连的等边三角形，从而B-a= 3 综合练习 1.设P为椭圆亡+二=1上一点，过P作圆(x+2)2+y2=1的两条切线，切点分别为A,8, 1612 则cos ZAPB的最大值为() A B.8 C D. 【答案】A 【分析】根据椭圆及圆的方程可确定椭圆的焦点及圆的圆心，即可得PF∈[2,6]，根据切线 可知∠APB=2∠APF，结合二倍角公式及直角三角形中的三角函数值可得解 【详解】 如图所示， 圆方程配6+，得04，b=23,2 即椭圆的左焦点坐标为F(-2,0), 又圆(x+22+y2=1,即圆心-2,0)与椭圆的左焦点F重合， 所以椭圆上的点P到圆心的距离PF∈[2,6]， 又∠APB=2∠APF,且FA⊥PA,FA=1则sin∠APF= FA 1 PF PF' 则cos∠APB=1-2sin2∠APF=1-,2 F2· 所以当P=6时，ms乙48=1P取得最大位为1-是- 62-18’ 故选：A 1 2.若sin =() 3 1 7 A.9 B.- C. 2 9 【答案】B 【分析】利用换元法并结合二倍角的余弦公式即可得到答案 【详解】设写-a=,则a=行-1，snt 3 or+2-=osa-2=-os2=2sm1-1-2[-1号 故选：B.1.2三角恒等变换 目录 题型一：三角恒等变换 题型二：辅助角公式 题型三：化简、求值 题型四：求角问题 2 综合练习. 3 多选题专练. 5 题型一：三角恒等变换 例1. “12=（） tan2π-l 12 A.3 B.=3 D. 6 3 C. 6 3 例2.已知0<a<,cos9-5 25 4() 则tana- B. c. 7 D.7 例3.已知0<B<a<年，且sina-B)=3,ana=5tanB,则a+p=（） A月 B. C.2π 3 D.8 例4.已知a,B均为锐角，sinacosB=0 ，coscos=i ,则cos(a+B)=() 10 A.-3v10 B._v10 C. √1o D. 310 10 10 10 10 题型二：辅助角公式 例l.已知a,B∈R,sin(a+B)=cosa-sinB,则sin(a+β)的最大值为 π 例2.设a,Be0,写则sin(a-B+2sin(a+B)的最大值为， 例3.已知f(y=asi+cosr,f为f(y的最大值，f(x)=25,当a,=号时， 则ab= 题型三：化简、求值 例1.若，sin6 =2,则tan0=() 1-cos0 A2 B C. 4 D. 3sin +a+sina-3 例2.已知 (2 则cos2a的值为() 2 sina A B C.3 1 4-5 D. 例3.若tan0 3则cos01+sin29) sin0 +cose 例4.求值 tanl0°+sinl0°=」 题型四：求角问题 例1.若-<a-B<号cosa-2smB-l,sna+2cosB=-5,则a-B=（） A.君 B.π 6 c.胃 D. [ππ 例2.若cos2a=sina，且aC22],则a的值为 例3.若0≤a<B<y<2π，B-au<π且sina+sinB+siny=0,cosa+cosB+cosy=0,求 B-a的值. 综合练习 1、设P为椭四后后1上一点，过P作图(x+户+产-1的两条切线，切点分别为，。 ,则cos∠APB的最大值为() A.is B. c.3 D. 2.若小则mr后+2) B.7 9 c.3 n 3.已知sna+p=ama=4aB,则e02a-2p)=（) A.、1 c器 D. 41 50 50 A.5+2 B.5-2 C.5-2 D +2 3 6 3 6 5.已知0<a<x,sing=25 25,则ama+4=) A B.7 C.-7 D.月 6.已知锐角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=3x上，则 sma+ =() A.25 5 B. 5 c.25 D. √10 5 5 7.已知sina=2cosa,则sin2a+sin2a=() 8 A.5 7 B.5 c. D.1 2 8.若+sinsin y-2sn2r+sin2y=5,则sin(x+y川=（） A.-3 B音 c D.3 4 9.若ama+到=-3，mB=3,则ala sin(a+B) 10.已知a,B满足sinB=,2tana=tan(a+B),则sin(2a+B)的值为_ 4 1l.己知tana+ =4,且a∈0， ，则sin4a= tana 4 2.已海sm0+}-40小 则cos0= 13.已知tana=1,则cosa+2 4 14.已知 cosx一=2，则tan(x-)=」 sinx+cosx 4 1 π） 15.若cosa+sina=2则tana-4 16.已知sina+2sinB=2,则cosa+B)的最大值为 17.已知2sina+3cosa=2,求sina和cosa. 18.已知a,B均为锐角，且sina-sinB=-】 cosa+cos) 2 sina-B)）的值. 19.已知ama=}am明=号且a∈0Be受动， (I)求tan(a-B)的值； 2求-c0s20的值， sin2a (3)求2a-B. 20.已知tana,an邮是方程62-5x+1=0的两根，且0<a<,元<B3 ，求a+B的值 多选题专练 1.设函数fx=2 cosx(v3 sinx+cosx,则() A. =2 B.f(x的最小正周期是刀 C.f(x的值域是[-1,3] D.f(x在区间 π 32 上单调递增 2.下列各式的值为)的是() A.sin5π B.2sin c 2tanπ 8 π π 12c0s12 C. D.cos 12 +sin 6 1-tan2π 12 8 3.己知ana= 2.tanB= 其中a,为锐角， 1 以下判断正确的是() A.a+B=I 3V10 4 B.sina= 10 c.a明-号 D.cos(a-B)=5 4.已知a,Be02 ,tanatanB=4,则() A. tana+tanβ的最大值为4 B.tana+tanB的最小值为4 C.ng+)的最大值为号 cos(a+B)sin(a+B D. sinasinβcosacosβ 的最小值为 则() π）2√6 B.cos 7 5π)1 C.sin2a+ 649 D.cos2a+5π）-206 6 49 6.已知u,B为锐角，osa+刷=oa-)-手则（) 3 1 A.c0 sacosβ= 10 B.tanatanB= 7 7 C.sin2 asin2β= D.tana+tanf=】] 25 ⑦，已知a∈0，，sina-cosa=则下列结论正确的是() A.sin 2a B.sina+cosa = 17 3 c.cosa-lD.sa-A号 6 8.E知函数f到=sm3x+}m3x- ,则下列说法正确的是（) A.f(x)的图象可由y=si3x的图象向右平移元个单位得到 48 B.x=7π是了x的图象的一条对称轴 48 「5π11π C.xe48'48 ,f(x)的值域为[-l,v2] D.f(x)在区间 -48 上单调