专题01 空间向量与立体几何（期末真题汇编，重庆专用）高二数学上学期人教A版

专题01 空间向量与立体几何 4大高频考点概览 考点01 空间向量的概念及基本运算 考点02空间向量中直线与平面所成角问题 考点03空间向量中的二面角问题 考点04空间向量中点到面的距离问题 地 城 考点01 空间向量的概念及基本运算 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)已知向量，满足，则的值为（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【分析】代入空间向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】由条件可知，，得. 故选：A 2．(24-25高二上·重庆巴川系·期末)已知，分别是平面，的法向量，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据法向量定义得到，进而得到，得到方程，求出答案. 【详解】，故， 故，解得. 故选：A 3．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量坐标运算得出结果. 【详解】若，则. 故选：B. 4．(24-25高二上·重庆北碚区·调研)若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基底的概念进行判断. 【详解】对A：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对B：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对C：因为，所以共面，所以不能构成空间向量的基底； 对D：因为不存在，使得，所以不共面，所以可以作为空间的另一组基底. 故选：D 5．(24-25高二上·重庆部分区·期末)如图，在平行六面体中，与的交点为，，则下列向量中与相等的向量是（   ）    A． B． C． D．- 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】, 故选：C 6．(24-25高二上·重庆九龙坡区·)已知向量，，若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】依据向量垂直的坐标运算计算即可. 【详解】因为向量，，且，所以， 即，解得：. 故选：B 7．(24-25高二上·重庆·期末)在正四面体中，过点P作四面体的高PO，用向量，，表示（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正四面体的性质可得为重心，则有，再借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】在正四面体中，为正三角形，则点为重心， 故，故， 故. 故选：B. 二、填空题 8．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)如图，在三棱锥中，N为BC的中点，M为PA的中点，设，则用表示为 ．    【答案】 【分析】运用向量的运算法则，结合几何图形表示即可. 【详解】，N为BC的中点，M为PA的中点，继续运算， ， 整理得到. 故答案为：. 9．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)已知直线的一个方向向量为，平面的法向量为，若直线平面，写出平面的一个法向量 （答案不唯一） 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用直线与平面平行时直线的方向向量与平面的法向量垂直这一性质来求解. 【详解】已知直线的一个方向向量为，平面的法向量为， 因为直线平面，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直. 根据向量垂直的性质，两个垂直向量的数量积为，则. 可得，即，移项得到. 为了得到平面的一个法向量，我们可以给赋值. 不妨令，将代入，可得. 所以平面的一个法向量可以是. 故答案为：（答案不唯一） 10．(24-25高二上·重庆·期末)已知空间直角坐标系中的一点，则点Q在平面上的射影点的坐标为 ． 【答案】 【分析】作边长为1的正方体，建立空间直角坐标系观察可得. 【详解】以棱长为1的正方体的共顶点的三条棱所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图，由图可知，点Q在平面上的射影为点P，坐标为.    故答案为： 地 城 考点02 空间向量中的直线与平面所成角问题 一、多选题 1．(24-25高二上·重庆主城七校·期末)如图，在棱长为6的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥体积为定值 B．存在点，使平面平面 C．设直线与平面所成角为，则最小值为 D．平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ACD 【分析】选项A：由等体积变换可得，可判断； 选项B：建立空间直角坐标系，设，根据空间向量由面面平行可得，可判断； 选项C：根据空间向量法表示线面角，可得，进而可得； 选项D：先做出平面截正方体所得截面，根据线面关系可得截面的面积. 【详解】选项A：，故A正确； 选项B： 如图建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则，则， ，设，故， 则, 由，得，不合题意，故B错误； 选项C：平面的法向量为， 则， ， 当时，取最小值为，故C正确； 选项D： 如图，直线分别交的延长线于点， 连接交于，连接交于，连接， 由题意可知五边形即为平面截正方体所得截面， 因，分别为棱，的中点，，， ，得， 由正方体性质可知，， 故所求截面面积为， 由选项可知，，， 故，， 故，， ， 故所求截面面积为，故D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：D选项的关键是先根据空间点线面的关系做出截面，进而由线面关系可求面积. 2．(23-24高二上·重庆第十八中学·期末)如图，已知正方体的棱长为1，若点E、F是正方形内（包括边界）的动点，若，，则下列结论正确的是（    ） A．点E到的最大距离为 B．点F的轨迹是一个圆 C．的最小值为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ACD 【分析】选项A：由，得，分析得的轨迹为圆，再求最值即可；选项B：由平面，而点在上，即的轨迹为线段；选项C：由E的轨迹为圆，的轨迹为线段，可分析得；选项D：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】对于A:，即，所以， 即点E在面内，以为圆心、半径为的圆上， 所以，当位于中点时，到直线的距离最大， 取的中点，连接，由题意得平面， 平面，所以，又因为，， 平面，所以平面，平面， 所以，所以到直线的距离最大为，故A正确；    对于B： 正方体中，，又，且， 所以平面，所以点F在上，即的轨迹为线段，故B错误； 对于C：在平面内，   到直线的距离为当点，落在上时，；故C正确； 对于D：    建立如图示的坐标系，则， ， 由B选项的证明过程可知：的轨迹为线段， 所以设，则，则， 而 设平面的法向量，则有， 不妨令，则， 设与平面所成角为， 则： 当时，有最大值，故D正确； 故选：ACD 【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法： （1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 二、解答题 3．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)如图，在四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，点分别为的中点，且平面平面．    (1)求证：直线平面． (2)求与面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）取的中点，连接，易证四边形是平行四边形，进而可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为分别是的中点，所以 则四边形是平行四边形，即证得 因为，平面平面， 所以平面.    （2）取AD的中点为点O，因为是正三角形， 所以,又平面平面．且相交于, 又在平面内， 所以平面． 再过点作的平行线，交与点, 易知两两垂直， 如图所示建立空间向量坐标系，    点O为AD的中点，设，则 设平面PBC的法向量为，则 取，即 故与平面所成角的正弦值为． 4．(24-25高二上·重庆主城七校·期末)如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点，分别在线段，上，且，. (1)求证：平面 (2)求直线与平面所成角正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作交于点，连接，由，得到，运用线面平行判定定理得到平面和平面，得到平面平面，再用面面平行性质得到线面平行即可.（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和平面法向量坐标，结合向量夹角余弦值公式计算即可. 【详解】（1）证明：过点作交于点，连接 因为，且， 又因为，故，所以 又因为平面，平面， 所以平面. 因为，平面，平面， 所以平面 又，平面，则平面平面， 因为平面，所以平面. （2）以中点为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图. 则，，，，设， 由即得，， 易知，平面的一个法向量为 设直线与平面所成角为， 故直线与平面所成角的正弦值为 5．(24-25高二上·重庆部分区·期末)如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，是与的交点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）利用中位线可得线线平行，由线面平行的判定定理求证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解； （3）利用向量法求出点到平面的距离，再由体积公式得解. 【详解】（1）连接交于，连接，如图， 因为分别为中点，所以， 又因为平面平面，平面， 所以平面. （2）由题意，两两垂直，分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则, ,， 设平面的法向量， 则，令，则， 设直线与平面的所成角为， 则 ， 所以. （3）由（2），平面的法向量， 设到平面的距离为，则， 又, 所以, 所以. 6．(23-24高二上·重庆长寿区·期末)如图，在四棱锥中，底面是矩形，且，， 平面，、分别是线段、的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意得，，从而得平面，进而得出结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量夹角公式求线面所成的角. 【详解】（1）因为底面是矩形，所以, 又因为平面，平面，所以， 又，平面， 则平面， 因为平面，所以. （2）如图，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则， 取，可得， 设直线与平面所成的角为， 则. 7．(23-24高二上·重庆九龙坡区·)如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，通过证明的方向向量和平面的法向量来证明线面平行； （2）利用向量法求直线与平面所成角. 【详解】（1）由已知得两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 则， 所以，又轴面， 则面的一个法向量为， 因为， 所以，又面， 所以平面；    （2）， ， 设面的法向量为， 则，取得， 设直线与平面所成角为， 则 所以. 8．(23-24高二上·重庆部分区·期末)如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，为BC中点，为PA中点，．    (1)证明：平面PCD； (2)求直线MN与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量求线面角. 【详解】（1）如图，取中点，连接、. 又为中点，所以且， 因为为中点，且，， 所以，，所以四边形为平行四边形. 所以，平面，平面， 所以平面.    （2）如图，因为、、两两垂直，可以为原点，建立如图空间直角坐标系.      则，，，，. 设平面的法向量为，则 ，取. 又. 所以，，. 设直线与平面所成的角为，则. 9．(23-24高二上·重庆第八中学校·期末)如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点为棱上的点，且． (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据题意建立合适的空间直角坐标系，结合线面角的计算公式求解即可. 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 又因为，平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以 （2）由（1）知，平面， 因为平面，所以， 所以在中，， 所以，所以， 以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面法向量为， 则，令，则， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 所以，即直线与平面所成角的大小为 地 城 考点03 空间向量中的二面角问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)在正方体中，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，将二面角转化为两个半平面的法向量之间的夹角问题，再利用空间向量的夹角公式进行求解. 【详解】不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示 则，，， 设平面的一个法向量为， 因为，，所以 则，即，取，则，，故. 平面，故平面的一个法向量为， 设二面角为， 则，因为为锐角，所以， 故二面角的余弦值为. 故选：D. 二、多选题 2．(24-25高二上·重庆部分区·期末)如图，在棱长为1的正方体中．分别是的中点，下列结论正确的是（   ）    A．的长为 B． C．点到的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】BC 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，得到，利用距离公式求出A错误；B选项，计算出，故，，B正确；C选项，，利用点到的距离公式进行求解；D选项，求出两平面的法向量，利用两法向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，故，A错误； B选项，，故， ， 故，，B正确； C选项，，， 故点到的距离为 ，C正确； D选项，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 因为， 所以， 令，则，， 所以， 设平面与平面夹角为， 则，D错误.    故选：BC 三、解答题 3．(24-25高二上·重庆巴蜀中学教育集团·期末)在三棱柱中，四边形是菱形，是的中点，平面平面，． (1)证明：； (2)若，，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）推导出， 利用面面垂直的性质可得出面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的正弦值． 【详解】（1）在中，由，是的中点，所以，             又平面平面，平面平面，面， 所以面，                        因为平面，故． （2）连接，在中，由，是的中点，所以， 又面，、平面，所以，，， 在直角三角形中，，， ， 在中，，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 所以、、、，                    设平面的一个法向量，，， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为，， 则，取，则， 所以，， 所以，. 因此，二面角的正弦值为. 4．(24-25高二上·重庆北碚区·调研)如图，在四棱锥中，是棱的中点，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且平面平面． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线和正方形的性质得到共面，根据正三角形的性质得到，根据面面垂直和线面垂直的性质得到，最后利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）建系，利用空间向量的方法求二面角. 【详解】（1） 如图，取的中点，连接． 因为分别是的中点，所以． 因为底面为正方形，所以，所以． 所以共面． 在正中，为的中点，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又平面，所以． 又平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以平面平面． （2）取中点，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系． 则，， ，，， 设平面的法向量为，则 取，可得． 所以． 设平面的法向量为，则 取，可得． 所以． 所以． 所以二面角的正弦值为． 5．(24-25高二上·重庆巴川系·期末)在三棱锥中，，，，. (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）由余弦定理得到，由勾股定理逆定理得⊥，又，从而证明出线面垂直，得到； （2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，两个平面的法向量，利用二面角夹角余弦公式和同角三角函数关系求出答案. 【详解】（1），由余弦定理得 ， 故， 因为，， 所以由勾股定理逆定理得⊥， 又，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以； （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， ， 由（1）中，⊥平面，故在平面中， 过点作⊥轴于点，则， 故， 故，， ，，， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， ， 设二面角的夹角大小为， 则， 二面角的正弦值为 6．(24-25高二上·重庆南开中学校·期末)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面，且有，为等腰直角三角形． (1)证明：； (2)求二面角的平面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）设，表示各边长，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可证明线线垂直. （2）求两平面法向量，利用空间向量计算二面角的余弦值. 【详解】（1）由题意得，，设，则. 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ∴，， ∴，∴. （2）由（1）得，，，， 设平面的法向量为，则， 取，则，故. 设平面的法向量为，则，     取，则，故， ∴， 由图象可知二面角的平面角为锐角，故 二面角的平面角的余弦值为. 7．(24-25高二上·重庆九龙坡区·)如图，在四棱锥中，底面，，为的中点，已知，，． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质定理和判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后由公式求平面与平面夹角的余弦值，最后利用同角三角函数基本关系求解即可． 【详解】（1）已知底面，且底面， 所以，因为，，所以， 又，可得为等边三角形， 又为的中点，所以，又，所以， 又，，平面，所以平面. （2）在中，，，所以， 由（1）知两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，则， 因为底面，且底面，所以， 由，可得，又，，平面， 所以平面，可知是平面的一个法向量， 又，， 设平面的一个法向量为，则，得， 即，令，得， 设平面与平面的夹角为，， 所以，所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 8．(24-25高二上·重庆·期末)如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且．    (1)求PC中点G到平面PAD的距离； (2)求平面PAB与平面PCD的夹角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建系标点，求平面PAD的法向量，利用空间向量求点到面的距离； （2）分别求平面PAB、平面PCD的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）作交AD于E，则， 以B为坐标原点，BC，BE，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，    则，，，，， 因为G为PC中点，故， 可得，， 设平面PAD的一个法向量为，则， 令，则，可得， 所以G到平面PAD的距离为． （2）由（1）可得：， 设平面PAB的一个法向量为，则， 令，则，可得， 设平面PCD的一个法向量为，所以， 令，则，可得， 设平面PAB与平面PCD的夹角为，由题设可得为锐角， 则，可得， 所以平面PAB与平面PCD夹角的正弦值为． 9．(24-25高二上·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期末)如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是的中点，且平面，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再由平面证明，根据线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求结论. 【详解】（1）在菱形中，连接， 由已知底面是菱形，， 为等边三角形， 因为是的中点，所以， 因为平面，平面，所以. 因为平面，平面， 且，所以平面. （2）因为平面，平面，则有， 由（1）知，，故，，两两垂直， 如图建立空间直角坐标系， 因为是的中点，，，所以， 因为底面是菱形，， 所以， 所以为等边三角形，由（1）也为等边三角形， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 又因为平面， 所以平面的一个法向量为， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 地 城 考点04 空间向量中的点到面的距离问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆巴川系·期末)在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】 如图，建立空间直角坐标系，则，，，， ，，设平面的一个法向量为， ，即，取，又， 所以点到面的距离. 故选：B. 二、填空题 2．(24-25高二上·重庆主城七校·期末)已知平面的一个法向量为，平面内一点的坐标为，平面外一点的坐标为，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】求向量的坐标，再求在法向量上的投影向量的模即可. 【详解】由已知， 又在上的投影向量的模为，， 所以点到平面的距离为， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 3．(23-24高二上·重庆长寿区·期末)如图，是棱长为4的正方体，点在正方体的内部且满足，则到面的距离为 .    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点面距离即可. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系，    则， ， ， 设平面的一个法向量， 所以， 取，即， 故到平面的距离. 故答案为：. 三、解答题 4．(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校·期末)如图在多面体中，，，平面，，D为线段AC上一点且，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)证明：直线与平面不平行； (3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系计算异面直线所成角的余弦值； （2）先求平面的法向量，再应用得出直线与平面不平行； （3）先应用线面角正弦得出点坐标，应用空间向量法公式计算点到平面距离即可. 【详解】（1） 因为，平面，， 所以以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 则， 设异面直线与所成角为， 则； （2）设平面的法向量为， 因为，所以， 所以，所以， 令，则， 因为不是0，所以直线与平面不平行； （3）设，， 直线与平面所成的角为， 所以， 所以，即得或（舍） ，点到平面的距离. 5．(24-25高二上·重庆主城七校·期末)如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为. (1)当时，求证：平面； (2)当时， （i）求点到底面的距离； （ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）翻折后由，，确定，得到平面，再结合勾股定理得到，即可求证； （2）（i）过点作，垂足为，确定平面，即可求解； （ii）建系，求得平面的法向量，通过向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为翻折前，所以翻折后，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角， 当时，，即， 又，且，平面， 平面， 平面，， 又在三角形中，易知，，， 满足：，由勾股定理可知，， ，且，平面， 平面. （2）当时， （i）由（1）知，，，平面， 平面，又平面， 平面平面， 在平面内，过点作，垂足为， 又平面平面，故平面， 即为点到平面的距离， 在中，，，故. （ii）由（i）知，如图建立空间直角坐标系， 故，，，，设， 设，即，即， 设平面法向量为， ，， ，即， 令，得，，即， 设平面的法向量， ，， ，即， 令，得，，即， 的余弦值为， ， 解得，即. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 4大高频考点概览 考点01 空间向量的概念及基本运算 考点02空间向量中直线与平面所成角问题 考点03空间向量中的二面角问题 考点04空间向量中点到面的距离问题 地 城 考点01 空间向量的概念及基本运算 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)已知向量，满足，则的值为（   ） A． B．3 C． D．1 2．(24-25高二上·重庆巴川系·期末)已知，分别是平面，的法向量，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)若，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·重庆北碚区·调研)若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·重庆部分区·期末)如图，在平行六面体中，与的交点为，，则下列向量中与相等的向量是（   ）    A． B． C． D．- 6．(24-25高二上·重庆九龙坡区·)已知向量，，若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．5 7．(24-25高二上·重庆·期末)在正四面体中，过点P作四面体的高PO，用向量，，表示（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)如图，在三棱锥中，N为BC的中点，M为PA的中点，设，则用表示为 ．    9．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)已知直线的一个方向向量为，平面的法向量为，若直线平面，写出平面的一个法向量 （答案不唯一） 10．(24-25高二上·重庆·期末)已知空间直角坐标系中的一点，则点Q在平面上的射影点的坐标为 ． 地 城 考点02 空间向量中的直线与平面所成角问题 一、多选题 1．(24-25高二上·重庆主城七校·期末)如图，在棱长为6的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥体积为定值 B．存在点，使平面平面 C．设直线与平面所成角为，则最小值为 D．平面截正方体所得截面的面积为 2．(23-24高二上·重庆第十八中学·期末)如图，已知正方体的棱长为1，若点E、F是正方形内（包括边界）的动点，若，，则下列结论正确的是（    ） A．点E到的最大距离为 B．点F的轨迹是一个圆 C．的最小值为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 二、解答题 3．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)如图，在四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，点分别为的中点，且平面平面．    (1)求证：直线平面． (2)求与面所成角的正弦值． 4．(24-25高二上·重庆主城七校·期末)如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点，分别在线段，上，且，. (1)求证：平面 (2)求直线与平面所成角正弦值. 5．(24-25高二上·重庆部分区·期末)如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，是与的交点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 6．(23-24高二上·重庆长寿区·期末)如图，在四棱锥中，底面是矩形，且，， 平面，、分别是线段、的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 7．(23-24高二上·重庆九龙坡区·)如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 8．(23-24高二上·重庆部分区·期末)如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，为BC中点，为PA中点，．    (1)证明：平面PCD； (2)求直线MN与平面PBC所成角的正弦值． 9．(23-24高二上·重庆第八中学校·期末)如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点为棱上的点，且． (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 所以，即直线与平面所成角的大小为 地 城 考点03 空间向量中的二面角问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)在正方体中，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高二上·重庆部分区·期末)如图，在棱长为1的正方体中．分别是的中点，下列结论正确的是（   ）    A．的长为 B． C．点到的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 三、解答题 3．(24-25高二上·重庆巴蜀中学教育集团·期末)在三棱柱中，四边形是菱形，是的中点，平面平面，． (1)证明：； (2)若，，求二面角的正弦值． 4．(24-25高二上·重庆北碚区·调研)如图，在四棱锥中，是棱的中点，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且平面平面． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值． 5．(24-25高二上·重庆巴川系·期末)在三棱锥中，，，，. (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 6．(24-25高二上·重庆南开中学校·期末)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面，且有，为等腰直角三角形． (1)证明：； (2)求二面角的平面角的余弦值． 7．(24-25高二上·重庆九龙坡区·)如图，在四棱锥中，底面，，为的中点，已知，，． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值． 8．(24-25高二上·重庆·期末)如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且．    (1)求PC中点G到平面PAD的距离； (2)求平面PAB与平面PCD的夹角的正弦值． 9．(24-25高二上·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期末)如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是的中点，且平面，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 地 城 考点04 空间向量中的点到面的距离问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆巴川系·期末)在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25高二上·重庆主城七校·期末)已知平面的一个法向量为，平面内一点的坐标为，平面外一点的坐标为，则点到平面的距离为 . 3．(23-24高二上·重庆长寿区·期末)如图，是棱长为4的正方体，点在正方体的内部且满足，则到面的距离为 .    三、解答题 4．(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校·期末)如图在多面体中，，，平面，，D为线段AC上一点且，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)证明：直线与平面不平行； (3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求点到平面的距离. 5．(24-25高二上·重庆主城七校·期末)如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为. (1)当时，求证：平面； (2)当时， （i）求点到底面的距离； （ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $