专题02 等式与不等式（期末真题汇编，重庆专用）高一数学上学期人教A版

专题02 等式与不等式 3大高频考点概览 考点01 等式与不等式的性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程不等式 地 城 考点01 等式与不等式的性质 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)下列命题为真命题的是（    ） A．若，则成立 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．(23-24高一上·重庆长寿区八校·期末)设，为正数，且，记，，则（    ） A． B． C． D．，大小关系不确定 3．(23-24高一上·重庆长寿区·期末)下列命题为真命题的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 二、多选题 4．(24-25高一上·重庆主城区六校联考·期末)若，，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．“”是“”的充分不必要条件 D．命题“，”的否定为“，” 6．(23-24高一上·重庆第一中学校·期末)若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 基本不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)已知，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·重庆黔江区·期末)已知实数，若，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．8 3．(23-24高一上·重庆第一中学校·期末)已加正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．10 D．11 4．(23-24高一上·重庆南开中学校·期末)已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．36 5．(23-24高一上·重庆部分区·期末)当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高一上·重庆部分学校·期末)函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 二、多选题 7．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)已知且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)下列说法正确的是（    ） A．若，则的最小值为4 B．若，则的最小值为-1 C．若，则的最大值为6 D．若，且，则 三、填空题 9．(24-25高一上·重庆部分区·期末)已知都是正实数，若，则的最大值为 . 10．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为 . 11．(24-25高一上·重庆九龙坡区·)已知均为正实数，若，则的最小值为 . 12．(23-24高一上·重庆长寿区·期末)若不等式在上恒成立，则实数t的取值范围是 13．(23-24高一上·重庆北碚区·期末)已知正实数满足，则的最小值是 . 地 城 考点03 二次函数与一元二次方程不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆部分区·期末)若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·重庆九龙坡区·)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·重庆七校·期末)对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 5．(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 三、解答题 6．(24-25高一上·重庆主城区六校联考·期末)已知关于的一元二次不等式的解集为或. (1)求实数、的值； (2)若，，，且恒成立，求实数的取值范围. 7．(24-25高一上·重庆黔江区·期末)已知集合. (1)证明：； (2)当时，设集合.若“”是“”的充分条件，求的取值范围. 8．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)若函数， (1)若不等式的解集为，求的值； (2)当时，求的解集. 9．(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若，的解集为，求最小值. 10．(23-24高一上·重庆部分区·期末)已知关于的不等式. (1)若该不等式的解集为，求和的值； (2)若，求该不等式的解集. 11．(23-24高一上·重庆七校·期末)已知集合，. (1)若时，求，； (2)若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 12．(23-24高一上·重庆长寿区·期末)若函数且的解集为集合. (1)求实数的值; (2)若函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取值范围. 13．(23-24高一上·重庆七校·期末)已知函数. (1)若是的一个根，求的解集； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等式与不等式 3大高频考点概览 考点01 等式与不等式的性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程不等式 地 城 考点01 等式与不等式的性质 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)下列命题为真命题的是（    ） A．若，则成立 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】直接根据不等式的性质以及特值法逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，即或，故A错误； 对于B，当满足，但是，故B错误； 对于C，因为，不等式两边同时乘以可得， 不等式两边同时乘以可得，即成立，故C正确； 对于D，当时，结论显然不成立，故D错误； 故选：C. 2．(23-24高一上·重庆长寿区八校·期末)设，为正数，且，记，，则（    ） A． B． C． D．，大小关系不确定 【答案】C 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】， ∵，为正数，且，，则， ∴， ∴， 故选：C 3．(23-24高一上·重庆长寿区·期末)下列命题为真命题的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，如果，那么，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：B. 二、多选题 4．(24-25高一上·重庆主城区六校联考·期末)若，，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用不等式的性质逐一判断即可. 【详解】，故A对； 不妨设， 则，，故B错，D错； ，故C对； 故选：AC 5．(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．“”是“”的充分不必要条件 D．命题“，”的否定为“，” 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质可判断AB；取特值可判断C；根据全称量词命题的否定形式可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，即，A正确； 对于B，当，时，； 当，时，，故B正确； 对于C，若，则，即； 取，满足，但. 综上，“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D，命题“，”的否定为“，”，D错误. 故选：ABC 6．(23-24高一上·重庆第一中学校·期末)若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据给定条件，利用不等式性质，逐项判断即可得解. 【详解】由，得，则，A错误，C正确； 显然，则，B错误；，D正确. 故选：CD 地 城 考点02 基本不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)已知，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，利用基本不等式求解. 【详解】解：因为 ， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立； 所以的最大值是， 故选：B 2．(24-25高一上·重庆黔江区·期末)已知实数，若，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】将变形后，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知实数，， 故 ， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为4， 故选：B 3．(23-24高一上·重庆第一中学校·期末)已加正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】D 【分析】根据条件得到，从而得到，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】因为，显然，得到，所以， 又，为正实数，所以，得到，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故选：D. 4．(23-24高一上·重庆南开中学校·期末)已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．36 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，所以，所以，当且仅当，即时取等号， 故选：C 5．(23-24高一上·重庆部分区·期末)当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 6．(23-24高一上·重庆部分学校·期末)函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值是. 故选：D. 二、多选题 7．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)已知且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先化简式子得到，应用基本不等式的乘“1”法可判断BD，A直接应用基本不等式即可判断，C转化为二次函数即可判断. 【详解】根据题意: ， ， ，又，， ， 对A，，则， 当且仅当且，即时等号成立，A正确； 对B，， 当且仅当且，即时等号成立，B错误； 对C，由，又， 故，所以，当且仅当时等号成立，C正确； 对D，， 当且仅当且，即时等号成立，D正确. 故选：ACD. 8．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)下列说法正确的是（    ） A．若，则的最小值为4 B．若，则的最小值为-1 C．若，则的最大值为6 D．若，且，则 【答案】ACD 【分析】A由基本不等式和乘法可得；B举反例可得；C由二次函数的性质可得；D由基本不等式和解不等式可得. 【详解】A：，当且仅当时取等号，故A正确； B：当时，，故B错误； C：设，开口向下，对称轴为，最大值为，故C正确； D：由已知可得，当且仅当，即或时取等号，由解得或，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．(24-25高一上·重庆部分区·期末)已知都是正实数，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由基本不等式即可求解； 【详解】， 可得：，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为， 故答案为： 10．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为 . 【答案】 【分析】设，，利用折叠图形的性质，通过勾股定理得到与的关系，建立面积与的函数关系，再结合基本不等式求其的最大值. 【详解】如图： 长方形周长为，不妨设 ，且，设 在中， ，变形得： 当且仅当“”等号成立 所以面积的最大值为. 故答案为：. 11．(24-25高一上·重庆九龙坡区·)已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【答案】25 【分析】由代入消去，整理得，设，则得，利用基本不等式即可求得. 【详解】由可得，代入中，可得， 设，则， 于是， 因，当且仅当时，等号成立， 即时，取得最小值25. 故答案为：25. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于通过代入消元后，需要将所得的分式的分子进行换元处理，即可利用基本不等式求其最值. 12．(23-24高一上·重庆长寿区·期末)若不等式在上恒成立，则实数t的取值范围是 【答案】 【分析】利用基本不等式求出最小值，再结合恒成立的不等式求解即得. 【详解】当时，，当且仅当时取等号， 依题意，，解得， 所以实数t的取值范围是. 故答案为： 13．(23-24高一上·重庆北碚区·期末)已知正实数满足，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，， 所以， ，即， 当且仅当时，等号成立， 所以. 故答案为：. 地 城 考点03 二次函数与一元二次方程不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆部分区·期末)若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立问题求解. 【详解】当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 2．(24-25高一上·重庆九龙坡区·)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解一元二次不等式，根据集合包含关系分析充分、必要条件即可. 【详解】由解得或， 因为是或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得恒有成立，结合二次不等式恒成立性质对进行分类讨论进行求解即可. 【详解】由题意得恒成立，当时, 恒成立，满足题意； 当时, ,解得,综上. 故选:C. 4．(23-24高一上·重庆七校·期末)对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由题意首先考虑为零的情况，再考虑的情况，需满足，解不等式组即可得答案. 【详解】当时，明显成立， 当时，则，即，解得， 综上： 故选：B. 二、填空题 5．(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 三、解答题 6．(24-25高一上·重庆主城区六校联考·期末)已知关于的一元二次不等式的解集为或. (1)求实数、的值； (2)若，，，且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）分析可知，且关于的方程的两根为、，结合韦达定理可得出、的值； （2）由已知可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，根据题意可得出关于的不等式，即可解出的取值范围. 【详解】（1）因为关于的一元二次不等式的解集为或，则， 所以关于的方程的两根为、， 由韦达定理可得，可得，由，可得， 综上所述：，. （2）因为，，， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，即取得最小值， 因为恒成立，所以恒成立，即，解得. 所以，的取值范围为. 7．(24-25高一上·重庆黔江区·期末)已知集合. (1)证明：； (2)当时，设集合.若“”是“”的充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）直接作差配方即可证明； （2）根据题意分析得，从而得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）当时，， 又，若，则， 则有，解得． 8．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)若函数， (1)若不等式的解集为，求的值； (2)当时，求的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据条件，利用韦达定理建立方程组，且，即可求出结果； （2）利用含参的一元二次不等式的解法，分，，和三种情况讨论，即可求出结果. 【详解】（1）因为的解集为， 所以且，解得. （2），，所以，即， 又， 当，即时，的解集为； 当，即时，若，解集为，若，解集为； 当，即或时，的两根为，，且有， 此时，的解集为或， 综上所述，当时，的解集为； 当，解集为，当，解集为； 当或时，的解集为或. 9．(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若，的解集为，求最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法计算即可； （2）由已知可得方程的解为，且，利用韦达定理求出，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解. 【详解】（1）当时，， 则，即， 解得或， 所以不等式的解集为； （2）因为的解集为， 所以方程的解为，且， 则， 因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以最小值为. 10．(23-24高一上·重庆部分区·期末)已知关于的不等式. (1)若该不等式的解集为，求和的值； (2)若，求该不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由二次不等式的解得二次方程的根，利用韦达定理建立方程求解即可； （2）分类讨论解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以二次方程的根为， 由韦达定理可得，解得； （2）若，则不等式为，即， 令，得，当，即时，； 当，即时，无解；当，即时，. 综上：时，解集为；时，解集为；时，解集为. 11．(23-24高一上·重庆七校·期末)已知集合，. (1)若时，求，； (2)若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合间的基本运算进行求解即可； （2）将题意转化为真包含于，进而求解即可. 【详解】（1），当时，， 所以， 因为，所以； （2）由题意得真包含于，即是的真子集， 所以（等号不同时成立），解得， 即实数a的取值范围是. 12．(23-24高一上·重庆长寿区·期末)若函数且的解集为集合. (1)求实数的值; (2)若函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的特点可得和2是方程的两根，由韦达定理列式运算得解； （2）由题意只要m小于函数的最小值，求出函数的最小值得解. 【详解】（1）由三个二次的关系知：和2是方程的两根， . （2）由函数的图象始终在函数的图象上方， 得m小于函数的最小值. 又， 故. 13．(23-24高一上·重庆七校·期末)已知函数. (1)若是的一个根，求的解集； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入后可求得，再解不等式即可得； （2）参变分离后结合基本不等式即可得. 【详解】（1）将代入，有， 故，即，即求， 即，解得， 即解集为； （2）当 时，恒成立， 即在上恒成立， 有， 当且仅当时，等号成立，故. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $