《5.4用一次函数解决问题》 同步练习题 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025-2026学年苏科版八年级数学上册《5.4用一次函数解决问题》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数，其图像如图所示，则不挂物体时弹簧的长度是（    ） A． B． C． D． 2．小明爬楼回家，他所爬楼梯台阶总数（个）是楼层的层数（层）（的整数）的一次函数，其部分对应值如表所示： 层数/（层） 2 3 4 5 … 台阶数/（个） 42 70 98 126 … 当层数为20时，小明爬楼梯的台阶总数为（    ） A．560个 B．546个 C．574个 D．592个 3．我们定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“均值点”，例如：点（2，2）和点（-3，-3）是正比例函数的图象的“均值点”，那么一次函数图象“均值点”坐标为（    ） A．（2，2） B．（3，3） C．（-3，-3） D．（-3，-3）和（3，3） 4．生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间（天）的关系，并画出如图所示的图象（轴），该植物最高的高度是（    ） A． B． C． D． 5．、两地相距，甲、乙两人分别从、两地沿同一条公路相向而行，他们离地的距离 与时间的函数关系如图，则乙从出发到与甲相遇的时间为（    ） A． B． C． D． 6．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，将绕点A顺时针旋转得到，则点B的对应点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．甲、乙两位运动员在一段2000米长的笔直公路上进行跑步比赛，比赛开始时甲在起点，乙在甲的前面200米，他们同时同向出发匀速前进，甲的速度是8米/秒，乙的速度是6米/秒，先到终点者在终点原地等待．设甲、乙两人之间的距离是y米，比赛时间是x秒，当两人都到达终点计时结束，整个过程中y与x之间的函数图象是（　　） A．   B．   C．   D．   二、填空题 8．实验表明，某种气体的体积随着温度的改变而改变，它的体积公式可用计算，已测得当时，体积；当时，，则 ． 9．油箱装满45升油，油从油箱的管道均匀流出，90分钟可以流尽．那么油箱中剩油量y（升）与流出时间x（分钟）之间的表达式是 ． 10．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交与点、点，点在轴正半轴，若是等腰三角形，则点坐标为 ． 11．如图所示，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，， 则过B、C两点直线的解析式为 ． 12．如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段的中点，点P为线段上一动点，当最小时，点P的坐标为 ．    13．如图1，在某个底面积为盛水容器内，有一个实心圆柱体铁块，现在匀速持续地向容器内注水，容器内水的高度y（）和注水时间x（s）之间的关系满足如图中的图象，则水流速度是 ． 14．如图1，是在空中参与飞行表演的两架无人机，如图2，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，（m）与飞行时间x（s）的函数关系，其中，线段与相交于点P，轴于点B，点A的横坐标为25，则所在直线解析式为 ，在第 秒时，1号和2号无人机飞行高度差为20米． 三、解答题 15．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线．若所作垂线与坐标轴所围成的长方形的周长的数值与面积的数值相等，则这个点叫作“和谐点”．例如，在下图中过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂线与坐标轴所围成的长方形OAPB的周长的数值与面积的数值相等，则点P是“和谐点”． (1)判断点是否为“和谐点”． (2)若“和谐点”在直线（b为常数）上，求a，b的值． 16．如图1，可以用秤砣（即秤锤）到秤纽（即绳纽）的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是关于的一次函数．表中为若干次称重时所记录的一些数据． （厘米） 1 2 4 5 8 10 （斤） 1.5 2 3 4 5 6 根据以上素材，解决下面问题： (1)表中有一对数据记录错误．观察判断_____是错误的； (2)求出这个一次函数的关系式； (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为18厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤？ 17．为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 (1)A户居民本月用水量为，求A户居民本月的水费为多少元． (2)设每户每月用水量为，水费为元，求关于的函数关系式． (3)若B户居民本月的水费为54元，求B户居民本月用水量． 18．为了让老百姓吃到放心的食品，富锦市大锦农生态园积极响应国家发展有机农业的号召，大力种植有机蔬菜，宜家连锁超市调查发现大锦农生态园种植的甲、乙两种有机蔬菜销量大，深受老百姓喜爱，其中甲种蔬菜售价每千克元；乙种蔬菜售价每千克元． (1)该超市购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元；购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元．求甲、乙两种有机蔬菜的进价分别是多少元？ (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共千克，且投入资金不少于元又不多于元，求有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 19．共享电动车，给我们的出行提供了方便．现有A，B两种品牌的共享电动车，收费y（元）与骑行时间x（分）之间的函数关系如图所示，其中A品牌的收费方式对应，B品牌的收费方式对应． (1)直接写出、的函数关系式； (2)若骑行8分钟，A，B两种品牌的共享电动车收费相差多少元？ (3)小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20km/h，小明家到工厂的距离为9km，那么小明应选择哪个品牌的共享电动车更省钱？请说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于两点，过点作交于，交轴于点．且． (1)点的坐标为______；线段的长为______； (2)求直线的函数关系式； (3)如图，点是线段上一动点（不与点重合），交于点，连接． ①点移动过程中，线段与数量关系是否不变？猜想并说明理由； ②当和面积相等时，请直接写出点的坐标为______． 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．设弹簧的长度y与物体质量x之间的关系为，利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】解：设弹簧的长度y与物体质量x之间的关系为， 观察图象得：当时，；当时，，则 ，解得：， ∴弹簧的长度y与物体质量x之间的关系为， 当时，． 即不挂物体时弹簧的长度为． 故选：D 2．B 【分析】本题考查一次函数的实际应用，由题意设一次函数解析式是，将、代入得，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案，熟练掌握待定系数法确定函数关系式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：他所爬楼梯台阶总数（个）是楼层的层数（层）（的整数）的一次函数， 设一次函数解析式是，将、代入得，解得， 一次函数解析式为， 当，， 故选：B． 3．A 【分析】设“均值点”坐标为，由题意可得，求出m即可求点的坐标． 【详解】解：设“均值点”坐标为， ∴， 解得， ∴“均值点”坐标为（2，2）． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，理解定义，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 4．C 【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出当0≤x≤50时，y与x的函数解析式，然后将x=50代入函数解析式求出相应的y的值，从而可以写出该植物最高的高度． 【详解】解：当0≤x≤50时，设y与x的函数解析式为y=kx+b， ∵点（0，6），（30，12）在该函数图象上， ∴， 解得， 即当0≤x≤50时，y与x的函数解析式为y=0.2x+6， 当x=50时，y=0.2×50+6=16， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． 5．C 【分析】设甲行驶的函数关系式为，把代入， 求得，设乙行驶的解析式为，把，代入，求得，解方程组，得到，得到相遇时间为，乙行驶时间为．解答即可． 本题主要考查了一次函数与二元一次方程组等，解决问题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系． 【详解】设甲行驶的函数关系式为， 把代入，得，解得 故解析式为， 设乙行驶的解析式为， 把，代入，， 解得， 故乙的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故相遇时间为，此时乙行驶时间为． 故选C． 6．A 【分析】本题主要考查了三角形的旋转，解题关键是正确应用一次函数知识． 由直线分别与轴、轴交于点，得，由将绕点顺时针旋转得到，得轴，轴，，则点的对应点的坐标是， 【详解】解：由直线分别与轴、轴交于点， 得， 由将绕点顺时针旋转得到， 得轴，轴，， 则点的对应点的坐标是， 故选：A． 7．B 【分析】先算出甲到达终点的时间，由此算出二者之间的最大距离，再算出乙到达终点的时间，由此找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式，根据函数解析式分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：当甲骑到终点时所用的时间为：（s）， 此时甲乙间的距离为：（m）， 乙到达终点时所用的时间为：（s）， ∴最高点坐标为． 甲追上乙时，所用时间为（s） 当时，设y关于x的函数解析式为， 有，解得：， 此时； 当时，设y关于x的函数解析式为， 有，解得：， 此时； 当时，设y关于x的函数解析式为， 有，解得：， 此时． ∴整个过程中y与x之间的函数图象是B． 故选：B． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题中的关键点，利用待定系数法求得每段函数解析式． 8． 【分析】本题考查了一次函数的应用．待定系数法求出气体的体积随着温度的关系式即可． 【详解】解：∵当时，；当是，， ∴， 解得， 故答案为：． 9．y =45-0.5x 【分析】根据油从油箱的管道均匀流出，90分钟可以流尽，可得每分钟流出升油，由此即可得到答案． 【详解】解：由油箱装满45升油，油从油箱的管道均匀流出，90分钟可以流尽， 得每分钟流出升油， ， 故答案为： 【点睛】本题考查实际问题与函数关系式，理解题意并找到等量关系式解题关键． 10．或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及勾股定理，分类讨论是解题的关键．由直线解析式求得、的坐标，由点，的坐标可求出的长，分、种情况讨论求得即可． 【详解】解：直线与轴、轴交与点、点， 令，则，解得：；令，则， 点，点，即，， ， 分两种情况考虑，如图所示： ①当， ，，点在轴正半轴， ， 点的坐标为； ②当时，， 点的坐标为； 点的坐标为（-4，0）或（-1，0）， 故答案为：或）． 11． 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 过作垂直于轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及，利用得到，由全等三角形对应边相等得到，，由求出的长，即可确定出坐标，然后根据待定系数法即可求得过、两点的直线对应的函数表达式． 【详解】解：对于直线，令，得到，即，， 令，得到，即，， 过作轴，可得， ， 为等腰直角三角形，即，， ， ， 在和中， ， ， ，，即， ， 设直线的解析式为把，代入得， ， 解得 ． 过、两点的直线对应的函数表达式是， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点的位置．根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点关于轴的对称点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时值最小，如图所示．    在中，当，则，当时， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵点、分别为线段、的中点， ∴，点． ∵点和点关于轴对称， ∴点的坐标为． 设直线的解析式为， ∴，解得： ∴直线的解析式为． 在中，当，则，解得：， ∴点的坐标为． 故答案为：． 13．20 【分析】本题主要考查一次函数的应用，根据图象，分两个部分：漫过实心圆柱体铁块需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程即可． 【详解】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为，实心圆柱体铁块的高度为， 水漫过实心圆柱体铁块需注满，“几何体”上面的空圆柱形容器需， 设匀速注水的水流速度为，则： ， 解得， 即匀速注水的水流速度为 故选：20． 14． 或 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式． 当 时，，求出点的坐标，进而求出的解析式，然后根据题意的高度差列方程求出时间值即可． 【详解】当时，， ∴点的坐标为， 由题意知点的坐标为， 设 将代入，得， ， ， ∴线段对应的函数表达式为：， 当号和号无人机飞行高度差为米时，得：， 解得：或， ∴在第或秒时，号和号无人机飞行高度差为米. 故答案为： ；或． 15．(1)点不是“和谐点”，点是“和谐点” (2)或 【分析】（1）根据和谐点的定义，利用长方形的面积和周长公式进行证明即可； （2）利用和谐点的定义列出关于的方程，由此求，然后将点的坐标代入直线方程求解值即可． 【详解】（1）解：∵． ∴点不是“和谐点”． ∵，∴点是“和谐点”． （2）解：当时，∵是“和谐点”， ∴， 解得． 将代入．解得； 当时，，解得． 将代入，解得． 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是新定义和列式计算的能力，能够读懂题意是解题的关键． 16．(1)4 (2) (3)秤钩所挂物重是10斤 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数表达式，是解题的关键： （1）观察可知，距离每增加1厘米，物重增加0.5斤，即可得出结果； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）把代入函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：观察表格中的数据可知：距离每增加1厘米，物重增加0.5斤， 故从4到5时，应该从3增加到3.5， 故是错误的； （2）设， 把代入函数解析式得， 解得：， ∴； （3）∵， ∴当时，； 答：秤钩所挂物重是10斤． 17．(1)A户居民本月的水费为60元 (2)关于的函数关系式为 (3)B户本月用水量为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． （1）根据A户居民本月用水量为处于超过但不超过进行计算即可； （2）分为3档进行列方程求解即可； （3）先算出和的水费，结合B户居民本月的水费为54元判断出处于超过但不超过的挡位进行计算即可． 【详解】（1）解：∵A户居民本月用水量为， ∴A户居民本月的水费为 ， ∴A户居民本月的水费为60元； （2）解：∵设每户每月用水量为，水费为元， ∴当用水量不超过时，， 当用水量超过但不超过时， ， 当用水量超过时， ， ∴关于的函数关系式为； （3）解：∵B户居民本月的水费为54元， ∴当时，水费（元）； 当时，水费（元）（，故用水量在区间）； ∴将代入，得： ， ∴B户本月用水量为． 18．(1)甲和乙两种有机蔬菜的进价分别是元和元 (2)①甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；②甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；③甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克 (3)购进甲种蔬菜千克，乙种蔬菜40千克获利最大，最大利润为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用； （1）设甲和乙两种有机蔬菜的进价分别是元/千克和元/千克，根据题意列出二元一次方程组，解方程即可求解． （2）设每天购进甲种蔬菜千克，则乙种蔬菜千克，由题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解． （3）设总利润为：，甲种蔬菜进货量为，根据题意列出函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设甲和乙两种有机蔬菜的进价分别是元/千克和元/千克，由题意得： 解得： 答：甲和乙两种有机蔬菜的进价分别是元/千克和元/千克． （2）设每天购进甲种蔬菜千克，则乙种蔬菜千克，由题意得： 解得： ∵是整数 或或 共有三种方案如下： ①甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；②甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；③甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克． （3）甲种售价 元千克，进价 元千克，每千克利润 元；乙种售价 元千克，进价 元千克，每千克利润 元． 设总利润为：元，甲种蔬菜进货量为千克， ∴ ∵， ∴当时，（元） 购进甲种蔬菜千克，乙种蔬菜40千克，获利最大，最大利润为元． 19．(1)， (2)2.8元 (3)小明骑B品牌共享电动车更省钱 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）将代入、的函数关系式，作差即可； （3）先计算小明从家到工厂所需时间，分别代入、的函数关系式，求出所需费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：设，函数图象过， ， ， ； 当时，， 当时，设，函数图象过，， ， 解得， ， ； （2）解：时， （元）， （元）， （元）， 即骑行8分钟，两种品牌的共享电动车收费相差2.8元； （3）解：， 小明从家到工厂所用时间为：（分钟）， 骑A品牌共享电动车费用为：（元）， 骑B品牌共享电动车费用为：（元）， ， 小明骑B品牌共享电动车更省钱． 20．(1)； (2) (3)①线段与数量关系是，保持不变，理由见解析；② 【分析】（）把和代入一次函数解析式解答即可求解； （）利用全等三角形的性质求出点坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）①证明即可求解；②利用全等三角形的性质可得和面积相等，与面积相等 ，即得与面积相等，进而得到与面积相等，得到点是线段的中点，再根据中点坐标公式解答即可求解． 本题考查了求一次函数的图象与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，一次函数的几何应用，中点坐标公式等，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴点点坐标为， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， 设直线的函数关系式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的函数关系式为； （3）解：①线段与数量关系是，保持不变，理由如下： ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴线段与数量关系是，保持不变； ②∵，， ∴和面积相等，与面积相等 ， ∴与面积相等， ∵和面积相等， ∴与面积相等， ∴点是线段的中点， ∵，， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $