《第4章一次函数》同步优生辅导训练题2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2025-2026学年北师大版八年级数学上册《第4章一次函数》同步优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．已知和是一次函数图象上的两点，若，则该一次函数的图象还可能经过的点是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移2个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为（   ） A．3 B． C．6 D． 3．关于的一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与轴的交点坐标是 C．点和点都在该函数图象上，则 D．图象沿轴方向向上平移2个单位长度得到函数的图象 4．一次函数，（m，n为常数，且）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ）． A．B．C． D． 5．如图，小明购买一种笔记本付款金额（元）与购买量（本）之间的函数图像由线段和射线组成．则一次购买8本笔记本比分8次购买每次购买1本节省（    ） A．2元 B．4元 C．6元 D．8元 6．已知直线 与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点坐标为（  ） A． B． C． D． 7．一辆快车从实验中学开往锦绣中学，一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，两车同时出发，设快车离锦绣中学的距离为（），慢车离锦绣中学的距离为（），行驶时间为x（h），两车之间的距离为s（）．，与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中；②当时，两车相遇；③当两车相距时，．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 8．在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，则的面积为 ． 9．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离（单位：米）与乙出发的时间（单位：秒）之间的关系如图所示．甲的速度是 米/秒；甲、乙两人相距的最大距离是 米． 10．如图，直线，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；再过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点，…，按此作法进行下去，点的坐标为 ． 11．如图，函数的图象与轴，轴分别交于两点，点的坐标为，点为直线上的动点，连接，则的周长的最小值为 ． 12．如图，直线分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点，，P为x轴正半轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接，则的最大值为 ． 13．如图1所示，长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿着运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x的关系如图2所示，当时，则 秒． 14．疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天后接种人数达到30万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示，当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为 万人． 三、解答题 15．已知关于x的一次函数（a为常数，且a≠0）． (1)当自变量1对应的函数值为5时，求a的值； (2)对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，请求点Q的坐标． 16．甲、乙两工程队分别从两地相向修建两地之间的道路．已知甲队先施工2天，乙队才开始施工，乙队施工几天后因另有紧急任务暂停施工．因考虑到工期，甲队以原来速度的2倍修建，乙队完成紧急任务后以原速恢复施工，直到道路修通．甲、乙两队各自修路的长度与时间之间的关系如图所示．请结合图中信息解下列问题： (1)在施工的过程中，甲队在提速前每天修道路多少米？ (2)求乙队中途暂停施工的天数； (3)求乙队恢复施工几天后，甲队比乙队多修路384米． 17．如图1，直线与x轴， y轴分别交于A，B两点， 以点A为顶点、为腰在第三象限作等腰． (1)求点C的坐标； (2)如图2，已知点F为直线上的一点，且F到两坐标轴的距离相等，G为y 轴的负半轴上一点，坐标为，以为直角边作，始终保持，与x轴正半轴交于点，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求 n与m的函数关系式． 18．如图，在平面直角坐标系中，函数的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点C是直线上一点，且，求点C的坐标； (3)点P为x轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点P的坐标． 19．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． (1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______． (2)求的面积， (3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 20．在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于两点．点是直线上的动点，定义：直线为直线关于点的关联直线． (1)当时，直线的关联直线为______； (2)如图1，在直线上求点P，使得； (3)①试证明直线经过定点M，并求出M点的坐标； ②如图2，已知点关于直线的对称点为Q，连接，当时，求点A的坐标． 参考答案 1．A 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数的增减性得到，然后分别把四个选项的点的坐标代入解析式求得的值，即可判断． 【详解】解：和是一次函数图象上的两点，且， 随的增大而减小， ， 、将代入得，， ，符合题意； 、将代入得，， ，不符合题意； 、将代入得，不成立， ∴该一次函数的图象不经过点，故不符合题意； 、将代入得，， ，不符合题意； 故选： 2．B 【分析】本题主要考查了一次函数图象平移，正比例函数，熟知“左加右减”的平移法则是解题的关键． 根据“左加右减”的平移法则，表示出平移后的直线解析式，再结合正比例函数的定义求出的值即可． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移2个单位长度后， 所得函数的解析式为． 因为此函数为正比例函数， 所以， 解得． 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数图象经过的象限，比较一次函数值的大小，求一次函数与y轴的交点坐标，一次项系数和常数项都大于0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，据此可判断A；求出自变量的值为0时的函数值即可判断B；根据一次项系数大于0得到y随x增大而增大，据此可判断C；根据“上加下减”的平移规律可判断D． 【详解】解：A、∵一次函数解析式为，， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故A说法错误，不符合题意； B、在中，当时，，则图象与轴的交点坐标是，故B说法错误，不符合题意； C、∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而增大， ∵点和点都在该函数图象上，且， ∴，故C说法正确，符合题意； D、图象沿轴方向向上平移2个单位长度得到函数的图象，故D说法错误，不符合题意； 故选：C． 4．A 【分析】本题考查一次函数和正比例函数图象的综合判断，根据每个选项中图象所过象限，判断出的符号，即可得出结果． 【详解】解：A、一次函数过一，二，四象限，则，故，而正比例函数过二，四象限，则，符合题意； B、一次函数过一，二，四象限，则，故，而正比例函数过一，三象限，则，不符合题意； C、一次函数过一，二，三象限，则，故，而正比例函数过二，四象限，则，故不符合题意； D、一次函数过一，三，四象限，则，故，而正比例函数过一，三象限，则，不符合题意； 故选A． 5．B 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．根据待定系数法求出当时对应的函数关系式，当时，求出对应的值；求出当时，每本笔记本的价格，从而求出分8次购买每次购买1本的付款金额，进而求出一次购买8本笔记本比分8次购买每次购买1本节省多少钱即可． 【详解】解：当时，设对应的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 当时，设对应的函数关系式为， 当时，， 一次购买8本笔记本付款金额为36元， 当时，每本笔记本的价格为（元）， （元）， 分8次购买每次购买1本付款金额为40元， （元）， 一次购买8本笔记本比分8次购买每次购买1本节省4元． 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是关键． 由解析式求出点和点的坐标，再根据勾股定理即可得出的长，由折叠的性质，可求得，，设，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出的坐标． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， 时，，时，， ，， ． 由折叠的性质得：，， ． 设， 则． 在中，， 即， 解得：， ． 故选：B． 7．C 【分析】本题考查从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，理解题意，看懂图象是解题关键．由图象可知两地相距300千米，且当时，快车到达终点，即可判断①；分别求出快车和慢车的速度，即可求出相遇时的时间，可判断②；分两种情况讨论，列方程求解即可判断③． 【详解】解：由题意可知锦绣中学与实验中学的距离为300千米，当时，快车到达实验中学， ∴，故①正确； 快车的速度为，慢车的速度为， 相遇时，即， 解得：，故②正确； 在相遇前，两车相距，由题意得， 解得：； 在相遇后，两车相距，由题意得， 解得：， ∴当或时，两车相距 故③错误； 综上可知①②正确． 故选：C． 8． 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴交点问题，先令，则，令，则，求出与坐标轴交于两点坐标，然后用面积公式即可求解，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题关键． 【详解】解：由直线可得，令，则，令，则， ∴坐标轴交点为交于或， ∴，或，， ∴的面积为， 故答案为：． 9． 3 88 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息、行程问题等知识点，正确从函数图象上信息成为解题的关键． 由函数图象可知，甲出发4秒的路程为12米，则可求出甲的速度；根据观察函数图象可知，两人的距离先缩小，而甲先出发，故乙的速度大于甲的速度，则当甲、乙两人相距的距离最大时，乙此时刚到终点，据此求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，甲出发4秒的路程为12米， ∴甲的速度为； 观察函数图象可知，两人的距离先缩小，而甲先出发，故乙的速度大于甲的速度， ∴当甲、乙两人相距的距离最大时，乙此时刚到终点， ∴甲、乙两人相距的最大距离为米． 故答案为：3，88． 10． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合勾股定理，求出点的坐标并找到规律是解题的关键． 根据的坐标和函数解析式，求得的长度，再由此可求得的坐标，依次类推，即可求出点、，探究规律利用规律即可解决问题． 【详解】解：∵直线，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点， ， 在中，， ， ∴点的坐标为， ， 在中，， ， ∴点的坐标为， 同理，可得出：点的坐标为， 由此可知的坐标为， 故点的坐标为， 故答案为：． 11． 【分析】根据题意和最短路线问题，作关于直线为对称点 ，连接，则的周长的最小；在根据勾股定理可求结果. 【详解】解：如图， ∵函数的图象与轴，轴分别交于两点 ∴ ∵点为直线上的动点，的周长的最小值 作关于直线为对称点 ，连接与直线交于点D，连接，则的周长的最小； ∴ ∵ ∴ 在中，根据勾股定理得： ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、轴对称最短路线问题，解答本题的关键是明确题意，作出相应的辅助线，利用数形结合的思想解答． 12． 【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质． 根据直线与轴的交点，可求出点的坐标，再设，可表示出，再证，如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值，可求得点R的坐标，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵直线分别与轴交于两点，令，则， ∴，且， ∵为轴正半轴上的一动点， ∴设， ∴在中，， ∵是等腰直角三角形，， ∴； 如图所示，过点作轴于， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，且轴， ∴是等腰直角三角形，， 则点的轨迹在射线上， 如图所示，作点关于直线的对称点， 连接，，，， ∵是等腰直角三角形，即，根据对称性质， ∴， ∴轴，且， ∴，则， 如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值； ∴由勾股定理得：， 故答案为：． 13．或3 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，几何图形与函数图象的关联信息，正确理解几何图形与函数图象的关联信息是解题的关键； 根据动点P所在的位置与图象的关系求出，，然后根据动点P在边和上分析即可． 【详解】解：根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴， 由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， 当时，设点P运动的时间为x秒，有两种情况： 当动点P在边上时，由得 ； 当动点P在边上时，由得 ， 综上，当时，秒或3秒， 故答案为：或3． 14．4 【分析】本题主要考查了函数图象，解题的关键是读懂函数图象，从函数图象中获取准确信息． 根据题意和图象求出两地每天接种的人数，然后即可求解． 【详解】解：乙地每天接种的人数为（万人）， ∴， ∴甲地后期每天接种的人数为（万人）， ∴甲地未接种疫苗的人数为（万人）， 故答案为：4． 15．(1)3 (2) 【分析】本题主要考查代入求值和整式中某项系数为0的条件等知识点，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据题意把自变量和函数值代入解析式，即可解决问题； （2）对于任意非零实数对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，其实就是保证右边的整式中不包含a，把所有含a的项合并在一起，令其系数为0即可； 【详解】（1）解：把代入（a为常数，且）得，， 解得； （2）解：∵， ∴当时，可有 ， ∴对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点， ∴． 16．(1)96米 (2)2天 (3)2天 【分析】此题考查了从函数图象中获取信息，一元一次方程的应用，数形结合看懂每段线段所代表的修路进度是解决本题的关键． （1）根据图像求出甲队在提速前每天修道路的米数即可； （2）根据图像得出乙队的修路速度，进而解答即可； （3）设乙队恢复施工x天后，甲队比乙队多修路384米，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据图象可知：在施工的过程中，甲队在提速前每天修道路： （米）； （2）解：根据题意，乙队的速度为（米/天）， 乙队中途暂停施工的天数为： （天）； （3）解：设乙队恢复施工x天后，甲队比乙队多修路384米，根据题意得： ， 解得：， 答：乙队恢复施工天后，甲队比乙队多修路384米． 17．(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，坐标与图形，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）过点作轴于点，证明，得到，，求出点的坐标； （2）过点作轴于点S，轴于点，证明，得到，根据题意列式计算即可． 【详解】（1）直线与x轴， y轴分别交于A，B两点， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为； （2）由题意可设，代入直线， 得，解得， F的坐标为， 过点 F分别作轴于 S点，轴于T点， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ． 18．(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出的坐标，中点得到点的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）过点作轴，交直线于点，设，则：， 分割法得到，结合，进行求解即可； （3）分点在点左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴时，，时，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴设直线的解析式为，把，代入，得：； ∴直线的解析式为； （2）过点作轴于点，交直线于点，设，则：， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点坐标为：或 （3）当点在点右侧时：将直线沿着轴向上平移个单位，得到直线：， 此时， ∴， 当时，， ∴， 当点在点左侧时，作的中垂线，交于点，连接交x轴于点P，则：， ∴， 设， 则：， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴； 综上：或． 19．(1)，， (2) (3)所有满足条件的点Q坐标为或或 【分析】（1）当时，，即，当时，，解得，即，由勾股定理可得，设，则，由折叠的性质可得，，求出，再由勾股定理计算即可得解； （2）求出直线的表达式为，联立求得，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）用勾股定理逆定理证明得出为直角三角形，且，分三种情况：当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴；当点在的延长线上时，当时，过点作轴；当点在上时，当；分别利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得，， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可得：，， 代入表达式可得， 解得， ∴直线的表达式为， 联立，解得， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵与全等（点P与点C不重合）， ∴当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴，如图： ， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在的延长线上时，当时，过点作轴，如图： ， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在上时， ∵点与点不重合， ∴不存在； 当点在上时，当，如图： ， ∵， ∴， ∴把代入可得，， 此时； 综上所述，所有满足条件的点Q坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数综合，全等三角形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 20．(1) (2)或 (3)①证明见解析，；②或 【分析】（1）利用代入法和关联直线的定义即可解答； （2）如图1，在上取一点E，连接，交直线于点P，使，计算可得，设，则，根据勾股定理可得a的值，利用待定系数法可得直线的解析式为：，联立方程得，即可解答；如图2，与平行时，符合条件，即可解答； （3）①先根据代入法可得，则，过定点M，即当m无论为任何值时， ，即可解答； ②当时，存在两种情况：如图2和图3，过点M作轴于F，过点Q作于点D，连接，设交直线于点G，交y轴于点H，先证明，确定点Q的坐标，根据中点坐标公式可得的中点G的坐标，确定的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：当时，即， ∴直线的关联直线为：； 故答案为：； （2）解：分两种情况： ①如图1，在上取一点E，连接，交直线于点P，使， ∴， 在直线中， 当时， ， 当时， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ②如图2，∵ ， ∴， ∴P点横坐标为3， ∴P点纵坐标为， ∴， 综上，点P的坐标为或； （3）解：①∵点是直线上， ∴， ∴直线， ∴直线经过定点， ∴M点的坐标为； ②当时，存在两种情况： 情况一：如图3，过点M作轴于F，过点Q作于点D，连接，设交直线于点G，交y轴于点H，则， ∵， ∴， ∴， 由对称得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的中点G的坐标为， 设的解析式为， 将，代入得：， 解得， ∴的解析式为：， ∴； 情况二：如图4，过点M作轴于F，过点Q作于点D，连接，设交直线于点G， 同理可得：， ∴， 同理可得， ∴的中点G的坐标为， 同理可得：的解析式为：， ∴； 综上，点A的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $