重庆市巴蜀中学校2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题

数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 P 答案 C D C A B A D A 【解析】 1.z=3+D0+0-1+2i,则互=1-2i的虚部为-2，故选C. (1-i)0+) 2.由m2+3-3=1,解得：=-4或=1，又f(x)是偶函数，则=-4，故选D. 3.由方16-4得：.(-4a=0,则方=4a.方，又1a√-1)2+2=V5，所以 12a-万=√4a-4a.b+6=21a=2W5,故选C. 4.由切线斜率k=f'),则2x-5=-3,解得：x=1,则切点为a,),代入切线方程y=-3x+b 得：b=4,故选A. 5.已知圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(1,2)，半径为√5，设圆心(1,2)关于直线 b-2-1 x+y-2=0的对称点为a,b),则a+1 a-1b+2-2=0 解得 b-3,又对称圆的半径不 a=0 02 2 变，所以圆的方程为x2+(y-3)2=5,故选B. 6.因为圆锥侧面积S=Wl=8π，又1=PB=4,所以底面圆半径r=2, 如图1，连接OD,作DH⊥OB于点H,连接HC,因为OD∥PA, 所以∠ODC是异面直线PA与CD所成角或其补角.经计算， OD=2,DH=-PO=3,OH=1,HC=3,DC=6, 2 图1 △ODC中，由余弦定理：cos∠ODC= 4+6-4√6 ，故选A. 2×2×√64 数学参考答案·第1页（共10页） ■■■口口■■■ 7.由题意，当n=1时，4=T,则由4= 解得：4=5，当22时，a VT2-2 工，则 由工=工可得：T-,=2,即g)是等差数列，所以T=G+201-)=2n+1, T-2 2n+1 2n2-1,由a0可得142≥12以 2 于是4.=2n-1 1+ 2’则(a中 10 2n-1100 则n<221 所以正整数n的最大值为5，故选D. 42 8.由题意，a2+2b2+c2=25 absin C,由余弦定理：a2+b2-c2=2 ab cos C,两式相加得： 20+3动2=2ab(W5sinC+cosc9=26absm(c+9，其中tam0=有月 ，因为 2r+3≥2√6ab,2W6 ab sin(C+p)26ab,所以sin(C+p)=1,于是c= 2,所以 530 sinC=cos= ,故选A √66 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 BCD BD ACD 【解析】 9,因为a分别是Gcn的中点，所以o号0，当A=时时， BD,所以 EHLFG,又EFL}AC L HG,且AC=BD,所以四边形EFGH是一个菱形，则 2 G⊥H,所以A错误，B正确；对于C,当0<1<1时，BH∥BD,GLBD,则 2 EH∥G,所以E,F,G,H四点共面，C正确：对于D,当元≠时，BH∥BD,但 阻李兮D,面FG业兮BD,所以班∥G但不相等，所以四边形EGH是个梯形， 假设EF,HG相交于点P,因为P∈EFc平面ABC,P∈HGc平面ADC,又 平面ABC∩平面ADC=AC,所以P∈AC,从而可得直线EF,HG,AC相交于一点，D正 确.综上，故选BCD. 数学参考答案·第2页（共10页） ■■■口口■■■ 10.对于A,当@=-2时，f)的最小正周期T=2江=，故A错误：对于B,当@=-1时， 0=m行-月片则有o0-6m8=号两边半方1如20-号则如20- 1 数B正确：对于C.>0,当el0时，咖+子[臣m到 由f(x)有且仅有两 个单调区间，则5<om+亚≤3亚，于是<3 42 赦c错误对于D,由f到 =f(π-x) 4 得，)的图象关于直线x=背对称，则四+子机，解得：0- 3+4=2 4 +3k,从而当k=0 时，正数o的最小值为3，故D正确。综上，故选BD. × V2+V5由题意，-d:? 11.圆心C(-10)到1：2x+y+9=0的距离d=1-2+9-7, 2 2 则7、1 52I5+2,因为eN,所以r=3,故A正确：对于B,当CPL1且PA,PB 71 为切线时，4阳取得最大值，此时CP=d:行，C1,3,因为 5n∠APB.-3V5,5=sin60,所以此时∠APB>120,因此圆C上一定存在两个 2cp7> 2 点A,B,使得∠APB=120°，故B错误；对于C,因为PC是直径，则∠PMC=90°， 从而PM是圆C的一条切线，则1 PMHVCP-T≥Vr-产-25 ,又 元.M=≥号当CPL1时取等，放C正确：对于D,设Ia0),Q,),设 0Q月r,则有阿氏圆：92+)=《-+，整理得：+y名0 对比圆C:x2+y2+2x-8=0,则a=8,即T8,0).又D(0,2)在圆C内，而T(8,0)在 圆C外，所以|DQ+3引OQ=|DQ1+|QT1≥|DT1=217,当D,Q,T三点共线时取 等.即|DQ1+3|OQ1的最小值为2W17,故D正确.综上，故选ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 9 -12 68π 2 数学参考答案·第3页（共10页） ■■■口口■■■ 【解析】 12.等比数列{a}中，S,S。-S,Ss-S。仍成等比，则82=-4×(S,-4),解得：Ss=-12, 故答案为-12 13.由正弦定理，底面正三角形ABC的外接圆半径，=×26 =22,又正三棱柱的高的 2sin60° 一半上=A4=3,则外接球的半径R2=r产 h 17,所以表面积S=4πR2=68π，故 22 答案为68π. 14.由题意，2,5,8模3同余，3,6,9模3同余，则取球次数X的可能取值为34,5，因为 ar0话r-: P(K=3)=CA1 所以 +4+5号号数答案为号 B()=3x1+ 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)由bcosC+c cos B)sinC=√3(b-acos C), 根据正弦定理可得：(sin B cosC+sin Ccos B)sinC=√3(sinB-sinAcosC), …（2分） 则sin(B+C)sinC=√3 cos AsinC,在△ABC中，sin(B+C)=sinA,且sinC≠0， 于是sinA=√3cosA, …(4分) 即有A=5,因为A=0利，所以4-于 …(6分)》 (2)由coS∠BAD=- 14 则sim∠BAD=3V21 4，由1)知，A三 3, 所以coS∠CAD=coS 2 7 …(8分) √21 则sin∠CAD 27 =coS∠ADC,因为∠CAD,∠ADC均是锐角， 7 所以∠CAD+∠ADC=90°，则∠ACD=90°，又AC=2,AB=3, 数学参考答案·第4页（共10页） ■■■▣■■■ 于是有AD= AC =√7， …（11分) cOS∠CAD 在△BAD中，BD2=7+9-2×√7×3cos∠BAD=19,则BD=V19. …(13分) 16.(本小题满分15分) 解：(1)由f(x)=(x-nae-ax+b,得f'(x)=(x+1-ha①e*-a, …(（1分) 所以f'(lna=e血a-a=0, …（3分) 法一：当x>na时，x+1-lna>l,e*>a,则"(x)>0: 当x<lna时，x+l-lna<1,0<e*<a,则f'(x)<0: 所以f(x)的增区间为na,+),减区间为（←o,na四. ……(7分)》 法二：f"(x)=(x+2-lnae, 当x>na-2时，"(x)>0,则f'(x)单调递增； 当x<lna-2时，f"(x)<0,则f'(x)单调递减： 所以f"(x)mn=f'(na-2)=-ea-2-a<0, …（5分) 又当x→-o时，f"(x)→-a<0,而x→+o时，f'(x)→+o,且f"n=0, 所以当x<na时，f'(x)<0，则f(x)的减区间为(o,na, 当x>na时，f'(x)>0,则f(x)的增区间为(na,+o). …(7分) (2)由(1)知，f(x)在(-o,na)上单调递减，在(na+w)上单调递增， 又当x→-0时，f(x)→+0，而x→+0时，f(x)→+0， (8分) 为使得f(x)存在零点，只需f0n)=-ana+b≤0， 。 (10分) 则b≤ana,则b≤na …（11分) a a 段g)由g的=专>00<1<0 x2 数学参考答案·第5页（共10页） ■■■口▣■■■ 所以g()在(0，e)上单调递增，在(，+o)上单调递减，…(13分) 所以g)≤g(⊙)=1，于是得的最大值为} e e …(15分) 17.(本小题满分15分) (1)解：由离心率e=C b6 ,从而渐近线方程为x±√2y=0, a 又右顶点(a)到x±V2y=0的距离d=a=y ,解得a=V2,b=1, V33 所以双曲线C的标准方程为 22=1. …(6分) 《2)证明：由题意，设直线1的方程为x=w+2,联立之y2=1得： [m2-2≠0 02-2)y2+4y+2=0,则2 可得：m<-√2或>√2， >0 m2-2 -47l 2 设A:B(,),则y+y=m24m-2 …(8分) 又M(,0),,0,则直线MB:y=.-X),令x=1得y=-) X-X X2-X1 即0则w产 x2-x1 X2-1 ……(10分) 因为kw-kw=、一y）、=当，-D+-Dy0+0+y,0y+) x2-x1(x2-x)1-x2)(x2-x)1-x2) (x2-x)1-x2) 2my+(y+2)=0,所以A,P,N三点共线. …（15分） (x2-x)1-x2) 18.(本小题满分17分) (1)证明：如图2，设H是AD的中点，连接PH, 因为AP=PD,所以等腰△APD中，PH⊥AD, 因为平面PAD⊥平面ABCD,且交线为AD, D 所以PH⊥平面ABCD, …（2分) 图2 数学参考答案·第6页（共10页） ■■■口口■■■ 则PH⊥DC,又PD⊥DC,且PH∩PD=P,所以DC⊥平面APD, 又APc平面APD,所以DC⊥AP. …(5分) (2)解：在线段PC上存在点M,使得AB∥平面MDB,此时PM_? 论证如下： 因为DC⊥AD,PH⊥平面ABCD,所以以D为原点，DA,DC所在的直线为x轴，y轴， 过D点作PH的平行线为z轴建立如图2所示的空间直角坐标系： A(2V6,0,0),P(N6,0,),B(2W6,2,0),C(0,2,0),E 3v6 2 (6分) 设P4=20<元<)，即有PM=2Pc,可得：M(N6-),2元，hM-), PC 于是DM=(√61-)，21，h1-),DB=(2W6,2,0), 设平面MDB的一个法向量为a=(x,y,z), DM-V60 a 1,-√6， √6(3-1) a.DB=2√6x+2y=0 h1-2) …（8分) 因为AE∥平面MDB,所以AE⊥a, 即有亚a=-6-6+631D=0,解得元= 2 21-2) 31 即线段PC上存在点M,使得AB∥平面MDB,此时PM_ PC 3 …(10分) (3)解：因为2PA+5AB=22,设PA=X,则AB=22-2,高PH=-6, 5 于是%em5Pm-26.2:2.V-6-46Q1-F-6, 3 35 15 设y=01-xN-6,则y=2x01=0-V-6=22x+1x-0 2Wx2-6 2Wx2-6 当0<x<6时，y>0,该函数单增：当x>6时，y<0,该函数单减， 所以当x=6时，四棱锥的体积最大. 此时PA=6,则AB=2. …(13分) 数学参考答案·第7页（共10页） ■■■▣■■■ 由A(2√6,0,0)，P(V60,V30),B(2N6,2,0),C(0,2,0), 设平面APB的一个法向量为m=(x,,z）,则 m.AP=0∫-6x+V30z=0 m·AB=02y=0 令x=√5可得，m=(5,0,1); …（14分) 设平面PBC的一个法向量为=(x,y,z),则 n.BP=0「-√6x-2y+V30z=0 n.BC=0-2W6x=0 令y=V30可得，n=(0,√30,2)： …(15分) 设钝二面角A-PB-C为6，则cos6=-|cos)F- 2 V51 V6×V3451 于是钝二面角A-PB-C的余弦值为 W51 …(17分) 51 19.(本小题满分17分) 解：(1)由题可知{d,}的奇数项和偶数项分别成等差数列， 当n为奇数时，令n=2k-1(k∈N),则d+1=d-1+3, 所以d4=d+3-0=3k-2,d=3n,1 2 当n为偶数时，令n=2k(k∈N),则d2t+2=d+3, 所以4：=d+3-0=3k-1,d=32 2 (31-20为偶数 所以d,= 2 …(5分) 3-10为奇数) 2 (2)(i)由题可知：c=4d+4,d++a-d,+ad1,且n为偶数， 令n=2k(k∈N), 令c=T=4d+a,d,+…+4-d1=1×2+4×2+…+(3k-5)×223+3k-2)×22-1①， 所以4T=1×23+4×2++(3k-5)×221+3k-2)×22*+②， ①-②得-3T=2+3(22+2+…+22-1)-(3k-2)×221=22*+1(3-3k)-6, 所以c=T=(k-1)×22*+1+2=(-2)×2”+2(n为偶数)；…(9分) 数学参考答案·第8页（共10页） (i)结论： 站 ,理由如下： 由题可知：Cmx=4d1+,d2+…+a-dn-1+a,dn,记cms=En, 当n为偶数时，令n=2k(化∈N), 令M=4,d2+a,d4+…+42d2=2×22+5×24+…+(3k-1)×22， 因为6k-)×2=23k-2)×21+4,所以M,=27+40-4) 1-4 所以B=T+M,=3,+40.k-刀x2"+14keN, 1-4 所以当n为偶数时，E,=91-14④×2”+14 ； …(11分) 3 当n为奇数时，n+1为偶数， 所以B=B1-a1×d19-5X2+142x30+)-2_9m-13×2+14 3 2 3 (9m-14)×2”+140为偶数) 所以En= (91-13)×2”+140为奇数) …(12分) 3 由题意可得：当c的“伴随数对”中某一个b=1时，“伴随数对”中剩余b,U≠)的取值 均有0,1两种选择， 所以c的取值中各项ad(∈{1,2，，)出现的次数均为2次， …（14分) 所以所有c的取值之和 (9m-14)×4+14×2（0为偶数) Sn=2-(ad1+4,d,+.+adn)=2m-En= 6 9m-13)×4+14×20为奇数) 6 6 所以1 (91-l4x4+14×20为偶数) 6 -(n为奇数) (9n-13)×4"+14×2 数学参考答案·第9页（共10页） ■■■口▣■■■ 当m为容数，且a空2时咖1国44空424，支经 131 当n为偶数，且n≥2时，(9n-14)×4”+14×2”>4×4", —X S24 所以当n≥2时，1<3×1， 24 …(15分) 93 1、1 160 4 …(17分) 数学参考答案·第10页（共10页） 2026届重庆市巴蜀中学高三11月期中考试 数学试卷 注意事项: 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 3. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分, 考试用时 120 分钟. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 若复数 ( 是虚数单位)，则其共轭复数 的虚部为 A. 1 B. -1 C. -2 D. 2. 已知幂函数 是偶函数，则实数 A. 1 B. 2 C. -3 D. -4 3 已知非零向量 满足 ，则 A. B. C. D. 4. 已知直线 与函数 的图象相切，则实数 A. 4 B. 3 C. 2 D. -5 . 5. 圆 关于直线 对称的圆的方程是 A. B. C. D. 6. 如图 1,在圆锥 中, 是底面圆的直径,点 是底面圆周上的一点, ,点 是 的中点, ,若该圆锥的侧面积为 ,则异面直线 与 所成角的余弦值为 图 1 A. B. C. D. 7. 已知正项数列 的前 项积为 ,记 表示实数 的小数部分,例如 , ,则使得不等式 成立的正整数 的最大值为 1 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 在 中,三个内角 所对的边分别为 为 的面积,若 , 则 A. B. C. D. 二、多项选择题 (本大题共 3 个小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分) 9. 如图 2，在空间四边形 中， ， ， 分别是 ， 的中点， ， 分别在 ， 上,且 ,则下列说法正确的是 图 2 A. 当 时，四边形 是一个正方形 B. 当 时， C. 当 时， 四点共面 D. 当 时，直线 相交于一点 10. 已知函数 ,则下列说法正确的有 A. 当 时, 的最小正周期为 B. 当 时,若 ,则 C. 若 在 有且仅有两个单调区间,则正数 的取值范围为 D. 将 的图象向右平移 个单位后所得图象与 的图象关于 对称,则正数 的最小值为 11. 在平面直角坐标系 中,已知圆 上有且仅有 2 个不同的点到直线 的距离为 ，点 是直线 上的动点，则下列说法正确的是 A. B. 在圆 上不存在两个点 ,使得 C. 以 为直径的圆与圆 相交于 两点,则 的最小值为 D. 设 ,点 是圆 上任意一点,则 的最小值为 三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分) 12. 已知等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 _____. 13. 在正三棱柱 中， ，则该三棱柱的外接球表面积为_____ 14. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究. 对于两个整数 ， ，若它们除以正整数 所得的余数相同,则称 和 模 同余,记作 . 现已知箱子中有 6 个大小相同的小球,分别标号2,3,5,6,8,9,从中不放回地随机取球,每次取 1 个球,当满足模 3 同余的一组数字标号的球均被取出时则停止取球,记 为取球的次数,则 的数学期望 _____. 四、解答题 (共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 13 分) 在 中，内角 的对边分别为 ，且 . 图 3 (1)求角 ； (2)如图3， 是 外一点，若 . ，求平面四边形 的对角线 的长. 16. (本小题满分 15 分) 已知函数 是 的导函数. (1)求 的值，并求 的单调区间； (2)若 存在零点，求 的最大值. 17. (本小题满分 15 分) 已知双曲线 的离心率为 ，其右顶点到渐近线的距离为 . (1)求双曲线 的方程； (2)过点 且斜率不为 0 的直线 与 的左、右两支分别相交于 两点，过 分别作 轴的垂线，垂足为 ，设直线 与线段 交于点 . 求证: 三点共线. 18. (本小题满分 17 分) 如图 4,在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 是一个平行四边形， ， . (1)求证: ； (2)若 ，设 是 的中点，在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在， 请求出 的值; 若不存在,请说明理由. (3)若 ，当四棱锥 的体积最大时，求钝二面角 的余弦值. 图 4 19. (本小题满分 17 分) 定义:若实数 ，其中 ， ；所致数 在数组 下 “可分解”,且称 是 的 “伴随数对”. 已知实数 在数组 下可分解,其中 满足: ,且 (1)求数列 的通项公式； (2)(i)若 的“伴随数对”为(1，0，1，0，...，1，0)，求 (用含有 的代数式表示)； (ii) 当 的 “伴随数对” 不同时,则认为 是不同的. 记所有 的取值之和为 ,试判断 与 的大小关系,并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $