精品解析：江西省抚州市临川一实验、五实验 2025-2026学年九年级上学期期中联考数学试题

九年级数学（北师大版）（二） 说明：1.范围：第一章—第四章第5节． 2.分值：120分，时间：120分钟． 3.请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则它的面积是（　　） A. 6cm2 B. 12cm2 C. 24cm2 D. 48cm2 3. 同时抛掷两枚1元的硬币，菊花图案都朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程 的根的情况是（  ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 6. 如图，矩形中，，将矩形绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形．若边交线段于H，且，则的值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若菱形的周长为8，则菱形的边长为___________． 8. 关于y的一元二次方程的一般形式是______． 9. 在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有______个白球． 10. 已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是________． 11. 如图，在正方形中，，交于点，则的度数为_____________． 12. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，为的中点，点是折线上的一个动点，线段把分割成两部分．若分割得到的三角形与相似，则符合条件的点的坐标为___________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程、证明： （1）； （2）如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．证：． 14. 某校准备从名男生和名女生五人中选拔学生，代表学校参加区中学生“党史知识竞赛”． （1）如果确定只需要一名女生参加，则女生被选中的概率是___________（直接填写答案）； （2）如果确定只需要两名学生参加，请用画树状图或列表法求恰好选中名女生的概率． 15. 如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 16. 交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 17. 如图，正方形放置在矩形上，且，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，画出的中点； （2）在图2中，画出的中点． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接并延长交于点，连接． （1）根据条件与作图信息知四边形是 ； A.非特殊的平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 （2）设与相交于点，四边形的周长为，，求的长． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若此方程有两个相等的实数根，求实数的值； （2）已知是此方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 20. 如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在瓷博会上某商家将进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），请完成如下问题： （1）用含x的代数式表示： ①每个瓷盘的实际利润是______元； ②实际的销售量是______个； （2）为了赚得10000元的利润而义尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 22. 如图，中，外角平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． （1） °直接写出结果不写解答过程）； （2）①求证：四边形是正方形． ②若，求的长． 六、（本大题共12分） 23. 综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（北师大版）（二） 说明：1.范围：第一章—第四章第5节． 2.分值：120分，时间：120分钟． 3.请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． 【详解】解：， ， 或， ∴，， 故选：C． 2. 菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则它的面积是（　　） A. 6cm2 B. 12cm2 C. 24cm2 D. 48cm2 【答案】C 【解析】 【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积． 【详解】根据对角线的长可以求得菱形的面积， 根据， 故选：C． 【点睛】考查菱形的面积公式，熟练掌握菱形面积的两种计算方法是解题的关键． 3. 同时抛掷两枚1元的硬币，菊花图案都朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用枚举法计算即可． 【详解】事件一共有正正，正反，反正，反反四种结果， 菊花图案都朝上只有一种结果即：正正， 所以P(菊花图案都朝上)=． 故选C． 【点睛】本题考查了枚举法计算概率,熟练掌握计算公式是解题的关键． 4. 如图，在中，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴的值为． 故选：B． 5. 一元二次方程 的根的情况是（  ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根，熟练掌握此知识点是解决问题的关键． 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，求出一元二次方程的判别式，确定有两个相等的实数根即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， 一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：B． 6. 如图，矩形中，，将矩形绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形．若边交线段于H，且，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，在中根据勾股定理列出关于x的方程，解方程就可以求出的值． 【详解】解：设， ∵，四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 即． 故选：C． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若菱形的周长为8，则菱形的边长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形性质：菱形四边相等，根据菱形性质：菱形四边相等直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的周长是8， ∴菱形边长是：， 故答案为：2． 8. 关于y的一元二次方程的一般形式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 9. 在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有______个白球． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，首先根据红球的个数和摸到红球的频率求出球的总个数，然后减去红球的个数即可得到白球的个数． 【详解】解：∵有3个红球，摸到红球的频率稳定在0.2左右， ∴这个盒子中大约有个球， ∴（个）， ∴这个盒子中大约有12个白球． 故答案为：12． 10. 已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由是一元二次方程的两个实数根，可知：， ∴； 故答案为． 11. 如图，在正方形中，，交于点，则的度数为_____________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，由正方形的性质得到，则可证明，得到，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，为的中点，点是折线上的一个动点，线段把分割成两部分．若分割得到的三角形与相似，则符合条件的点的坐标为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、求点的坐标等知识点，解题的关键是根据两直角三角形的公共锐角，判断出两三角形相似的所有情况． 根据公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当为公共锐角时，只存在为直角的情况；当为公共锐角时，存在和为直角两种情况，根据各种情况，可求得点的坐标． 【详解】 解： 如图，当时，，此时点坐标为； 如图，当时，，此时点坐标为； 如图，作，假设交于点，此时， 为的中点， 点坐标为， ，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 根据得： ， 即：， 解得：， ， 在上， ， 此时点坐标为； 综上所述，点坐标为或或． 故答案为：或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程、证明： （1）； （2）如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．证：． 【答案】（1）， （2） 证明：∵四边形是菱形． ，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，菱形的性质，全等三角形的性质和判定， 对于（1），根据平方差因式分解即可得出解； 对于（2），先根据菱形的性质得，，再根据“角角边”证明，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【小问1详解】 解：， ， ，， 解得：，； 【小问2详解】 略 14. 某校准备从名男生和名女生五人中选拔学生，代表学校参加区中学生“党史知识竞赛”． （1）如果确定只需要一名女生参加，则女生被选中的概率是___________（直接填写答案）； （2）如果确定只需要两名学生参加，请用画树状图或列表法求恰好选中名女生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）从名女生中选择一名女生参加，根据概率计算公式即可求解； （2）根据列表法可知共有种选择结果，恰好选中名女生的有种结果，由此即可求解． 【小问1详解】 解：，即女生被选中的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：选择两名学生参加竞赛，选择方式如下： ∴共有种等可能的选择方法，其中名都是女生的结果有种， ∴， ∴恰好选中名女生的概率是． 【点睛】本题主要考查用树状图或列表法求事件概率，掌握求概率的方法是解题的关键． 15. 如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】证明：，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】略 16. 交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】该品牌头盔销售量的月增长率为 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，根据一元二次方程与增长率的计算方法列式求解即可． 【详解】解：九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同， ∴设该品牌头盔销售量的月增长率为， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为． 17. 如图，正方形放置在矩形上，且，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，画出的中点； （2）在图2中，画出的中点． 【答案】（1） 如图点为所作中点 （2） 如图点为所作中点 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、正方形的性质及轴对称图形的性质，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质及轴对称图形的性质是解题的关键． （1）连接正方形和矩形的对角线交于，作直线交于点，点即为所求； （2）延长交于点，则四边形是矩形，连接正方形和矩形的对角线，交于，作直线交于点，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接并延长交于点，连接． （1）根据条件与作图信息知四边形是 ； A.非特殊的平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 （2）设与相交于点，四边形的周长为，，求的长． 【答案】（1）C （2） 【解析】 【分析】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法及菱形的性质是解答此题的关键． （1）先根据四边形是平行四边形得出，证明，得出四边形是平行四边形，再由即可得出结论； （2）先根据菱形的周长求出其边长，再由得出，根据勾股定理求出的长，再由菱形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意得：平分， ， ∵， ， ∵四边形是平行四边形， ∴． ， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：C； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，且周长为16， ∴．垂直平分， ∵， ∴． ∴， ∴． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若此方程有两个相等的实数根，求实数的值； （2）已知是此方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 【答案】（1） （2）方程的另一个根为， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程判别式的意义、一元二次方程根与系数的关系． （1）先计算根的判别式，得关于的方程，求解即可； （2）先设出方程的另一个根，根据根与系数的关系进行列式计算，可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为， 由题意得：， ∴， 即方程的另一个根为， 则， ∴， 解得． 20. 如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）的度数是． 【解析】 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在瓷博会上某商家将进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），请完成如下问题： （1）用含x的代数式表示： ①每个瓷盘的实际利润是______元； ②实际的销售量是______个； （2）为了赚得10000元的利润而义尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 【答案】（1）①； （2）元 【解析】 【分析】此题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确得出函数关系式是解题关键． （1）①根据售价进价利润，进而得出答案；②销量减少的销量实际销量进而得出答案； （2）利用总利润，进而得出方程求出答案； 【小问1详解】 解：①依题意，设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出 ∴每个磁盘的实际利润是：（元）； ②∵进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个 ∴实际的销售量是：个； 【小问2详解】 解：设瓷盘每个涨价元能赚得元的利润， 依题意得：， 解得：， 当涨价元时，则实际售价为（元）， 当涨价元时，则实际售价为（元）， 尽量兼顾顾客的利益应定为每个艺术瓷盘为元； 22. 如图，中，外角平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． （1） °直接写出结果不写解答过程）； （2）①求证：四边形是正方形． ②若，求的长． 【答案】（1）45 （2） ①证明：作于G，如图1所示： 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵外角平分线交于点A， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； ②2 【解析】 【分析】（1）根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到，，，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）①作于G，则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形；②设根据已知条件得到，由①得四边形是正方形，求得，根据全等三角形的性质得到，同理，，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：45； 【小问2详解】 ①略 ②解：设， ∵， ∴， 由①得四边形是正方形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理，， 在中，， 即， 解得：， ∴的长为2． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、矩形的判定、翻折变换的性质等知识，作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 六、（本大题共12分） 23. 综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 【答案】（1），； （2）  ，理由如下： ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，可得是等边三角形，可求，由可证≌，可得； 由全等三角形的性质可得，即可求解； 分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，通过证明∽，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：，； （2）略 如图，当点在线段上时，过点作，交于， ，， ， ， ， ∽， ， 设， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于， 同理可求：， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $