精品解析：四川省仁寿县高中2025-2026学年高三上学期零诊考试数学试题

仁寿县高中2023级零诊考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容（除解析几何外）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，然后利用并集运算求解即可. 【详解】集合，又，所以. 故选：B 2. 已知随机变量服从二项分布，则（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再根据期望的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 则. 故选：B 3. 函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性，列出条件解出即可. 【详解】易得是上的增函数，则，即， 解得或. 故选： 4. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分，必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，满足，此时； 由，且，，得，当且仅当时等号成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. 或-1 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简求解即可. 【详解】因为，所以， 即，得， 因此，或，又时，, 所以或， 又因为时，所以，所以. 故选：A 6. 在中，是线段的中点，是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解. 【详解】因为是线段的中点，所以. 因为是线段的中点，所以， 则. 故选：D 7. 已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用轴截面的性质及平面几何知识即可求出内切球半径，再根据球的表面积公式即可求解. 【详解】如图，设该圆锥内切球的球心为，半径为， 球切该圆锥的母线于点，为该圆锥底面圆的圆心， 则，，因为，所以，又， ，则，解得， 故该圆锥的内切球的表面积为. 故选：C 8. 已知是定义在上的奇函数，当时，，若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，根据为奇函数，得出为偶函数，再结合题干得的单调性，即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以， 设函数，则，所以是偶函数. 因为，且当时，，所以在上单调递增. 因为是偶函数，所以在上单调递减. 若 ， ， ， 又因为，所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AD 【解析】 【分析】先化简复数，结合选项逐个验证可得答案. 【详解】由题意可得， 则的虚部为，，， 复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限， 综上：A正确，B错误，C错误，D正确. 故选：AD. 10. 设表示不超过的最大整数，例如，.已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 在上单调递减 D. 的取值集合是 【答案】BCD 【解析】 【分析】计算求解判断A；利用周期定义判断B；利用余弦函数的单调性判断C；利用值域及函数新定义判断D. 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，，则不是的周期，B错误； 对于C，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，C错误； 对于D，的值域是，则的取值集合是，D错误. 故选：BCD 11. 已知函数函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是 B. 若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是 C. 若有5个零点，则的取值范围是 D. 可能有6个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】作出的大致图象，对于A和B，只需通过平移直线观察它与的图象的交点情况即可得解；对于CD，首先若，则有或，数形结合即可建立的不等式组并求解，即可判断. 【详解】如图，作出的大致图象， 由图可知， 若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是，故A错误； 若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是，故B正确. 令，得，解得或. 若有5个零点，则或解得，故C正确. 若有6个零点，则解得，则最多有5个零点，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某电商平台统计了10款同类型耳机的月销量（单位：件），按从小到大排序后为180，200，230，250，280，300，320，350，380，400，则这组数据的第70百分位数是__________. 【答案】335 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】因为，所以这组数据的第70百分位数是. 故答案为：335 13. 某工厂生产某零件，2025年8月共生产该零件1万件，根据市场需求，计划这之后每月的产量在前一个月的产量的基础上增加20%，则2025年10月该工厂这种零件的产量为______万件，2026年2月该工厂这种零件的产量______（填“能”或“不能”）超过3万件.（参考数据：，） 【答案】 ①. 1.44## ②. 不能 【解析】 【分析】由题可得第n个月产量的表达式，据此可得的结果；求出2026年2月该工厂这种零件的产量，利用指数式和对数式的互化，以及对数的运算，即可求解. 【详解】记2025年8月为第1个月，该工厂这种零件的产量为， 则第个月该工厂这种零件的产量为，由题意可得（万件）. 2025年10月为第3个月， 则2025年10月该工厂这种零件的产量为. 2026年2月为第7个月，， 因为， 所以. 故答案为：1.44；不能 14. 在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为___________. 【答案】6 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用得到的关系式，再判断轨迹形状即可求解. 【详解】 以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 设， 则，， ，， 即，， 当时，，此时为棱的中点； 当时，，此时为棱的中点， 设棱的中点为，棱的中点为，连接MN，则点的轨迹是线段MN， ，点的轨迹长度为6. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求的值； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理边角互化，然后利用两角和的正弦公式化简得，即可求解. （2）利用余弦定理及基本不等式求得，再利用同角三角函数关系求得，代入面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 因为，所以， 所以. 因为，所以，所以. 【小问2详解】 由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立， 则. 由（1）可知，则， 则的面积， 故面积的最大值为. 16. 在数列中，，. （1）证明数列是等差数列，并求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） 因为，所以， 所以. 因为，所以， 则数列是首项为2，公差为1的等差数列， 从而， 故. （2） 【解析】 【分析】（1）由题中递推数列化简为，从而可求解. （2）由（1）结论可得，再利用裂项相消求和从而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， 则， 故 . 17. 如图，在四棱柱中，平面，四边形是梯形，，，，为棱的中点. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. （3）求平面与平面的夹角. 【答案】（1）由题意可知：，，则， 且平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离； （3）求平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知，，两两垂直， 以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，则，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 所以点到平面的距离. 【小问3详解】 因为，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角为. 18. 袋中初始装有2个红球和1个白球.每次随机摸出1个球，并执行以下操作：若摸到红球，则放回该红球并额外放入1个红球；若摸到白球，则放回该白球并额外放入2个白球. （1）求在前3次摸球中恰好摸到2次红球的概率； （2）求第4次摸到红球的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把前3次摸球中恰好摸到2次红球的情况一一列举出来，最后根据全概率公式求解. （2）把第4次摸到红球的情况一一列举出来，最后根据全概率公式求解. 【小问1详解】 由题意可知在前3次摸球中恰好摸到2次红球有以下三种情况： 第一种情况是前2次摸到红球，第3次摸到白球，其概率为； 第二种情况是第2次摸到白球，其他2次摸到红球，其概率为； 第三种情况是第1次摸到白球，后面2次摸到红球，其概率为. 故在前3次摸球中恰好摸到2次红球的概率为. 【小问2详解】 第4次摸到红球有以下八种情况： 4次都摸到红球，其概率为； 前2次摸到红球，第3次摸到白球，第4次摸到红球，其概率为； 第1次摸到红球，第2次摸到白球，后2次摸到红球，其概率为； 第1次摸到红球，第2，3次摸到白球，第4次摸到红球，其概率为； 第1次摸到白球，后3次摸到红球，其概率为； 第1，3次摸到白球，第2，4次摸到红球，其概率为； 第1，2次摸到白球，第3，4次摸到红球，其概率为； 前3次摸到白球，第4次摸到红球，其概率为. 故所求概率. 19. 已知函数，且曲线在处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）求的极值； （3）若，且，证明：. 【答案】（1） （2）极大值为，极小值为 （3）由（2）知. 设函数，，， 则在上恒成立，即在上单调递增， 故，即在上恒成立， 因为，所以. 因为，，且在上单调递减， 所以，即. 设函数，，， 则在上恒成立，即在上单调递增， 故，即在上恒成立， 因为，所以， 因为，，且在上单调递增， 所以，即. 又，所以，则，即. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）根据极值的定义即可求解； （3）构造函数，，证明，构造，，证明，最后根据不等式的基本性质即可求解. 【小问1详解】 由题意可得. 因为曲线在处的切线与直线垂直， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）得，， 令，解得或， 当时，，则在和上单调递增； 当时，，则在上单调递减. 故的极大值为，极小值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿县高中2023级零诊考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容（除解析几何外）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 2. 已知随机变量服从二项分布，则（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 13 3. 函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. 或-1 D. 1或 6. 在中，是线段的中点，是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，当时，，若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 10. 设表示不超过的最大整数，例如，.已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 在上单调递减 D. 的取值集合是 11. 已知函数函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是 B. 若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是 C. 若有5个零点，则的取值范围是 D. 可能有6个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某电商平台统计了10款同类型耳机的月销量（单位：件），按从小到大排序后为180，200，230，250，280，300，320，350，380，400，则这组数据的第70百分位数是__________. 13. 某工厂生产某零件，2025年8月共生产该零件1万件，根据市场需求，计划这之后每月的产量在前一个月的产量的基础上增加20%，则2025年10月该工厂这种零件的产量为______万件，2026年2月该工厂这种零件的产量______（填“能”或“不能”）超过3万件.（参考数据：，） 14. 在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求的值； （2）若，求面积的最大值. 16. 在数列中，，. （1）证明数列是等差数列，并求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 如图，在四棱柱中，平面，四边形是梯形，，，，为棱的中点. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. （3）求平面与平面的夹角. 18. 袋中初始装有2个红球和1个白球.每次随机摸出1个球，并执行以下操作：若摸到红球，则放回该红球并额外放入1个红球；若摸到白球，则放回该白球并额外放入2个白球. （1）求在前3次摸球中恰好摸到2次红球的概率； （2）求第4次摸到红球的概率. 19. 已知函数，且曲线在处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）求的极值； （3）若，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $